1 algebra lineal y vectores aleatorios

14,708 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
14,708
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
32
Actions
Shares
0
Downloads
216
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

1 algebra lineal y vectores aleatorios

  1. 1. INTRODUCCIÓN         1 . Álgebra lineal y vectores aleatorios         2 . Distribución normal multivariante   ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE COVARIANZAS         3 . Componentes principales         4 . Análisis factorial         5 . Correlaciones canónicas   CLASIFICACIÓN         6 . Análisis discriminante         7 . Análisis de conglomerados ANÁLISIS MULTIVARIANTE
  2. 2. <ul><li>ÁLGEBRA LINEAL </li></ul><ul><li>Y VECTORES ALEATORIOS </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>Vectores </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Ortogonalización de Gram-Schmidt </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Matrices ortogonales </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Autovalores y autovectores </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Formas cuadráticas </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Vectores y matrices aleatorias </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Matriz de datos </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>       </li></ul>
  3. 3. EJEMPLOS
  4. 4. ALGEBRA LINEAL Vectores Matriz de datos: p variables observadas en n objetos
  5. 5. ALGEBRA LINEAL Vectores Dados se define: 1. Suma
  6. 6. ALGEBRA LINEAL Vectores 2. Producto de un escalar por un vector 3. Producto escalar de dos vectores
  7. 7. ALGEBRA LINEAL Vectores 4. Norma de un vector Propiedades
  8. 8. ALGEBRA LINEAL Vectores 5. Distancia entre dos vectores 6. Ángulo entre dos vectores
  9. 9. ALGEBRA LINEAL Vectores Desigualdad de Cauchy-Schwarz Consecuencia:
  10. 10. ALGEBRA LINEAL Vectores 7. Ortogonalidad 8. Ortonormalidad es ortonormal si es ortogonal y todos los vectores tienen norma 1, es decir, es ortogonal si   n e e e , , , 2 1  i e i   1
  11. 11. ALGEBRA LINEAL Vectores Ejemplo
  12. 12. ALGEBRA LINEAL Vectores Un conjunto de vectores es linealmente independiente si (la única manera de construir una combinación lineal igual a 0 es que todos los coeficientes sean 0) =0
  13. 13. ALGEBRA LINEAL Vectores Proposición. Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. ortogonal l.i. Demostración
  14. 14. ALGEBRA LINEAL Vectores Proyección de x sobre y y y y x y y y y x x pr y 2 , , , ) (  
  15. 15. ALGEBRA LINEAL Vectores Ejemplo
  16. 16. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt V subespacio vectorial de si V es espacio vectorial, es decir, si <ul><li>Dado A = </li></ul>Propiedades   p V
  17. 17. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Proposición Demostración
  18. 18. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Sean Dado un conjunto de vectores l.i., se puede construir otro conjunto ortogonal que genere el mismo espacio. linealmente independientes
  19. 19. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Entonces:
  20. 20. ALGEBRA LINEAL Matrices ortogonales <ul><li>Matrices ortogonales </li></ul><ul><li>A nxn ; inversa A -1 : A A -1 = A -1 A = I. </li></ul><ul><li>A’ transpuesta de A. </li></ul><ul><li>Q nxn es ortogonal si Q’Q = QQ’ = I. </li></ul><ul><li>(las columnas de una matriz ortogonal son vectores ortonormales) </li></ul>
  21. 21. ALGEBRA LINEAL Matrices ortogonales Propiedades Qy Qx y x
  22. 22. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores A nxn ; x autovalor de A x es autovector asociado a Polinomio característico Ecuación característica
  23. 23. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores Ejemplo Autovalores y autovectores de
  24. 24. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores Propiedades Diagonalización de matrices
  25. 25. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: diagonalización Si A simétrica entonces existen autovalores reales con autovectores asociados ortonormales tales que P P’ D A=PDP’, siendo D diagonal y P ortogonal (Toda matriz simétrica es diagonalizable)
  26. 26. ALGEBRA LINEAL Ejemplo Diagonalizar Autovalores y autovectores: diagonalización
  27. 27. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: representación espectral Sea con autovectores ortonormales tales que Si A es simétrica entonces existen autovalores reales
  28. 28. ALGEBRA LINEAL Ejemplo Descomposición espectral de Autovalores y autovectores: representación espectral
  29. 29. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas A nxn simétrica; , f(x)=x’ A x es una forma cuadrática
  30. 30. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Ejemplo Expresar matricialmente la forma cuadrática Escribir en forma cuadrática
  31. 31. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Como A nxn es simétrica, es diagonalizable, se puede escribir A = PDP’ y, por tanto, queda: f(x) = x’PDP’x. Haciendo y = P’x: se tiene
  32. 32. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL x 2 x 1 y 2 y 1 e 2 e 1 y los autovectores x’Ax=c 2 representa geométricamente una elipse en ; los autovalores son normalizados son e 1 y e 2.
  33. 33. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL Ejemplo Representar, hallar los ejes y obtener la expresión reducida de
  34. 34. Formas cuadráticas Clasificación de formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL <ul><li>Sea f(x) = x’ A x </li></ul><ul><li>f es definida positiva si </li></ul><ul><li>f es semidefinida positiva si </li></ul><ul><li>f es semidefinida negativa si </li></ul><ul><li>f es definida negativa si </li></ul><ul><li>f es indefinida si </li></ul>
  35. 35. Formas cuadráticas <ul><li>Sean los autovalores de A </li></ul><ul><li>f es definida positiva </li></ul><ul><li>f es semidefinida positiva </li></ul><ul><li>f es semidefinida negativa </li></ul><ul><li>f es definida negativa </li></ul><ul><li>f es indefinida </li></ul>ALGEBRA LINEAL
  36. 36. Raíz cuadrada de una matriz B es raíz de A si A=BB; ALGEBRA LINEAL Raíz cuadrada de una matriz: A semidefinida positiva ; B=A 1/2 ; A=A 1/2 A 1/2 Si A es simétrica y A=PDP’ con descomposición espectral entonces:
  37. 37. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL Raíz cuadrada de una matriz: Nota:
  38. 38. Descomposición singular de una matriz ALGEBRA LINEAL Dada la matriz A mxn , AA’ es cuadrada y simétrica; por tanto, diagonalizable. es un valor singular de A, si es autovalor de AA’. Descomposición singular Sea A una matriz mxn ; valores singulares de A. Entonces existen matrices ortogonales U y V tales que:
  39. 39. Vectores y matrices aleatorias Vector aleatorio Matriz aleatoria 31
  40. 40. Vectores y matrices aleatorias Se llama vector de medias a: y covarianza entre dos variables a Se define la matriz de covarianzas de X como:
  41. 41. Vectores y matrices aleatorias
  42. 42. Vectores y matrices aleatorias ALGEBRA LINEAL Ejemplo
  43. 43. Vectores y matrices aleatorias Propiedades Sea X mxn y sean A kxm y B nxr matrices de constantes. Entonces:
  44. 44. Vectores y matrices aleatorias Matriz de correlaciones en forma matricial: donde V es la matriz de varianzas : donde
  45. 45. Vectores y matrices aleatorias Partición de un vector aleatorio <ul><li>Vector de medias: </li></ul>Sea <ul><li>Matriz de covarianzas: </li></ul>, donde
  46. 46. Matriz de datos
  47. 47. Matriz de datos <ul><li>Vector de medias: </li></ul><ul><li>Matriz de varianzas y covarianzas: </li></ul><ul><li>donde </li></ul><ul><li>Matriz de correlaciones: </li></ul>, donde
  48. 48. Matriz de datos Proposición Dado
  49. 49. Matriz de datos La matriz de datos se puede representar como: <ul><li>Diagrama de dispersión, n puntos en el espacio </li></ul>p=2 p=3 Como para p>3 no es posible representarlo, se utilizan diagramas de dispersión múltiple con pares de variables. x 1 x 2 x 1 x 2 x 3
  50. 50. Matriz de datos <ul><li>Considerando las columnas en vez de la filas de la </li></ul><ul><li>matriz de datos, es decir, p puntos en </li></ul>Para cuatro variables: Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 1 Y 2 Y 3 Y p Y 1 Y 4 Y 3 Y 2
  51. 51. Matriz de datos <ul><li>y forma el mismo ángulo con todos </li></ul><ul><li>los ejes. </li></ul>Vector de unos : n unos Propiedades <ul><li>es el vector unitario que forma el mismo </li></ul><ul><li>ángulo en todas las direcciones. </li></ul>
  52. 52. Matriz de datos <ul><li>Proyección de un vector sobre el vector </li></ul>y i 1
  53. 53. Matriz de datos Vector de desviaciones a la media:
  54. 54. Matriz de datos Entonces:
  55. 55. Matriz de datos Varianza generalizada y varianza total:
  56. 56. Matriz de datos <ul><li>Varianza generalizada de X : </li></ul><ul><li>Varianza total de X : </li></ul><ul><li>Varianza generalizada muestral: </li></ul><ul><li>Varianza total muestral: </li></ul>
  57. 57. Matriz de datos Interpretación geométrica <ul><li>Área = </li></ul><ul><li>Varianza generalizada en </li></ul>
  58. 58. EJEMPLOS
  59. 59. EJEMPLOS
  60. 60. EJEMPLOS
  61. 61. Matriz de datos Combinaciones lineales de las componentes de una variable y las combinaciones lineales: <ul><li>Media muestral de c’X : </li></ul><ul><li>Varianza muestral de c’X : </li></ul><ul><li>Covarianza muestral de c’X y b’X : </li></ul>
  62. 62. Matriz de datos ALGEBRA LINEAL Ejemplo
  63. 63. EJEMPLOS
  64. 64. EJEMPLOS
  65. 65. EJEMPLOS
  66. 66. EJEMPLOS
  67. 67. EJEMPLOS
  68. 68. EJEMPLOS
  69. 69. EJEMPLOS

×