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.clopen greenroadGuía MatemáticaECUACIONES NO ALGEBRAICASprofesor: Nicol´as Melgarejo
open greenroad1. Ecuaciones no algebraicasSe le denomina a aquellas igualdades con inc´ognitas que no est´an descritas med...
open greenroad3. 24x−5 + 5 = 69Soluci´on:24x−5+ 5 = 6924x−5= 69 − 524x−5= 6424x−5= 264x − 5 = 64x = 11x =1144. 41−x −364= ...
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Logaritmos

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Logaritmos

  1. 1. .clopen greenroadGuía MatemáticaECUACIONES NO ALGEBRAICASprofesor: Nicol´as Melgarejo
  2. 2. open greenroad1. Ecuaciones no algebraicasSe le denomina a aquellas igualdades con inc´ognitas que no est´an descritas mediante polinomios. Porejemplo las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 y ax + b = 0 son ecuaciones polin´omicas o algebraicas, pero unaecuaci´on del tipo32x+1= 2no es algebraica, a este tipo de igualdades les denominamos ecuaciones exponenciales porque la inc´ogni-ta est´a en el exponente. Otro ejemplo de ecuaci´on no algebraica son las del tipolog(10x − 3) = log(x) + 1A estas ecuaciones se les llama ecuaciones logar´ıtmicas y tambi´en las estudiaremos en este cap´ıtulo.1.1. Ecuaci´on exponencialSon las igualdades donde la inc´ognita est´a en el exponente. Para resolver este tipo de ecuacionesdebemos considerar dos propiedades:4 xa = xb ⇐⇒ a = b4 xa = ya ⇐⇒ x = yPara aplicar estas propiedades en una ecuaci´on exponencial nuestro objetivo ser´a igualar las bases, detal modo que el problema se reduzca a resolver una ecuaci´on algebraica. Para entender c´omo procederveamos el siguiente ejemplo. EjemploHalla el valor de la inc´ognita para que la igualdad sea cierta.1. 52x+3 = 625Soluci´on: Recordar que el objetivo es igualar las bases, para ello podemos escribir 625 como 5452x+3= 62552x+3= 54Aplicando la primera propiedad, como tenemos la igualdad entre dos potencias con la misma base,entonces sus exponentes tambi´en tienen que ser iguales.2x + 3 = 42x = 4 − 3x =122. 3a+2 = 1Soluci´on: Como queremos igualar las bases podemos escribir 1 como 303a+2= 13a+2= 30Como las bases son iguales podemos igualar los exponentes.a + 2 = 0a = −22
  3. 3. open greenroad3. 24x−5 + 5 = 69Soluci´on:24x−5+ 5 = 6924x−5= 69 − 524x−5= 6424x−5= 264x − 5 = 64x = 11x =1144. 41−x −364= −132Soluci´on:41−x−364= −13241−x=364−13241−x=364−26441−x=16441−x=14341−x= 4−31 − x = −31 + 3 = xx = 4Desaf´ıo I¿Es cierto que si ax+ ay= azentonces x + y = z para cualquier a, x, y, z ∈ R?Respuesta3
  4. 4. open greenroad Ejercicios 1Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.1. 3x − 243 = 02.1128= 21−x3. 2x+1 + 2x+1 = 14.√3x =√9x+15. 728 = 92x−3 − 16. 11x(x−1) = 1007. Si 5a+3 = 1, entonces 5a+5 =8. 12 · 2x + 2x+2 = 1132x+34x−5=1161 3x+2 + 3x+3 = 42. LogaritmoPodemos entenderlo como el exponente al cual debe elevarse una base para obtener como resultadoun n´umero dado. Por ejemplo:El logaritmo en base 3 de 9 es 2Es decir, el exponente al que debemos elevar la base 3 para obtener 9 es 2. Lo anterior se escribematem´aticamente como:log3 9 = 2La relaci´on entre una potencia y la simbolog´ıa del logaritmo de manera general es:loga b = c ⇐⇒ ac = bDicha relaci´on nos permite pasar de una simbolog´ıa a la otra. Cabe destacar que cuando no se explicitala base, se asume que ´esta es 10.log b = log10 b Ejercicios 2Hallar el valor de cada logatimo1. El logaritmo en base 3 de 12. El logaritmo en base π de 13. El logaritmo en base 2 de 164. El logaritmo en base 100 de 1005. El logaritmo en base π de π6. El logaritmo en base 25 de157. El logaritmo en base 2 de128. El logaritmo en base 10 de11009. El logatirmo en base 8 de 2√210. El logatirmo en base 8 de 211. El logarimo en base 12 de 2√34
  5. 5. open greenroad2.1. PropiedadesAlgunas de las propiedades m´as importantes de los logaritmos son: El logaritmo loga b, est´a definido s´olo para a 0 Para loga b, no existe el logaritmo si b ≤ 0Por ejemplo log −3 no existe, ya que no hay n´umero c ∈ R tal que 10c = −3 porque la base espositiva. Para cualquier a 0 se cumple queloga a = 1Es f´acil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia:loga a = c ⇐⇒ ac= a∴ c = 1 Para cualquier a 0 se cumple queloga 1 = 0Es f´acil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia:loga 1 = c ⇐⇒ ac= 1∴ c = 0 El logaritmo del producto de a por b es igual a la suma de los logaritmos de a y blogc (a · b) = logc a + logc b El logaritmo del cociente de a con b es igual a la diferencia de los logaritmos de a y blogcab= logc a − logc b El logaritmo de an es igual n veces el logaritmo de alogc an = n · logc a Podemos cambiar la base de un logaritmo cualquiera mediante la siguiente igualdad:logc a =logb alogb c5
  6. 6. open greenroad2.2. Ecuaci´on logar´ıtmicaPara resolver ecuaciones logar´ıtmicas debemos tener en cuenta la siguiente propiedad que nos permitepasar de una ecuaci´on logar´ıtmica a una ecuaci´on algebraica.logc a = logc b ⇐⇒ a = bEs decir, si dos logaritmos con igual base son iguales, entonces sus argumentos tambi´en deben serlo. Ejemplo¿Para qu´e valor de x se cumple la igualdad?1. log 3 = log (2x + 5)Soluci´on: Como ambos logaritmos son iguales y tienen la misma base, entonces sus argumentosdeben ser iguales tambi´en.log 3 = log (2x + 5)3 = 2x + 53 − 5 = 2x−2 = 2xx = −1Ahora debemos comprobar que la soluci´on sea v´alida. Ya que los logaritmos est´an definidos s´olopara argumentos positivos. Reemplazamos x = −1 en el enunciado:log 3 = log (2(−1) + 5)log 3 = log 3Como los argumentos son positivos, la soluci´on x = −1 es v´alida.2. log 5 + log(2x + 3) = log xSoluci´on: Aplicando la propiedad de la suma de logaritmos:log 5 + log(2x + 3) = log xlog 5(2x + 3) = log x5(2x + 3) = x10x + 15 = x15 = −9x−159= x−53= xAhora debemos comprobar que la soluci´on sea v´alida. Reemplazamos x = −53en la ecuaci´on lo-gar´ıtmica:log 5 + log(2x + 3) = log xlog 5 + log 2 −53+ 3 = log −536
  7. 7. open greenroadComo el logaritmo de un n´umero negativo no existe, log −53no existe. Entonces x = −53no essoluci´on v´alida y la ecuaci´on logar´ıtmica no tiene soluci´on en los reales.3. log x2 − log 9 = 2Soluci´on: Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemoslog x2− log 9 = 22 log x − log 32= 22 log x − 2 log 3 = 22(log x − log 3) = 2 Simplificamos por 2log x − log 3 = 1 Recordar que log10 10 = 1log x − log 3 = log 10logx3= log 10x3= 10x = 30Ahora debemos comprobar que la soluci´on sea v´alida. Reemplazamos x = 30 en la ecuaci´on lo-gar´ıtmica:logx3= log 10log303= log 10log (10) = log 10No hay problemas con logaritmos de n´umeros negativos, entonces x = 30 es soluci´on de la ecuaci´onlogar´ıtmica.Recuerda que SIEMPRE debes comprobar las solu-ciones que obtienes en una ecuaci´on logar´ıtmica. Sial reemplazar los valores te queda alg´un logaritmo deun n´umero negativo, dicho valor no es soluci´on.2.3. Aplicaci´on de logaritmos para resolver ecuaciones exponencialesAnteriormente vimos un m´etodo para resolver ecuaciones exponenciales, el cual consist´ıa en igualar lasbases. Pero no siempre es posible igualar las bases, en tal caso podemos aplicar la relaci´on entre logaritmoy potencia para resolverlos. Veamos un ejemplo.7
  8. 8. open greenroad Ejemplo1. Resolver la ecuaci´on exponencial 7x+1 = 2xSoluci´on: No podemos igualar bases, en tal caso aplicamos logaritmo a ambos miembros de laigualdad.7(x−1)= 2xlog 7(x−1)= log (2x)(x − 1) log 7 = x log 2x log 7 − log 7 = x log 2x log 7 − x log 2 = log 7x(log 7 − log 2) = log 7x =log 7log 7 − log 2x =log 7log 72Si aplicamos el cambio de base obtenemosx = log727Desaf´ıo IISi log 3√a = 0, 1234 ¿cu´al es el valor de log a3? Respuesta Ejercicios 1Determina y verifica las soluciones de cada ecuaci´on logar´ıtmica y exponencial1. log2 (x + 1) = log2 22. log (3x + π) = 03. log (2x + 1) + log 7 = 14. log√x + log 2 = log (3x + 3)5. log (x + 2) − log 2 = logπ π6. log (x2 + 2x + 1) = log 197. 3x+5 = 108. 5x = 99. 22x+13x = 1210. 2x+1 ÷ 3x = 0, 258
  9. 9. open greenroadDesaf´ıos resueltos Desaf´ıo I: Es falso que si ax + ay = az, entonces z = x + y. Por ejemplo si a = 2, x = 1 e y = 2ax+ ay= azax+ ay= a(x+y)21+ 22= 21+22 + 4 = 236 = 8Como el resultado es falso, lo que asumimos como cierto es falso. Volver Desaf´ıo II: Podemos reescribir la expresi´on que conocemos:log 3√a = 0, 1234log a13 = 0, 123413log a = 0, 1234log a = 3 · 0, 1234log a = 0, 3702Necesitamos saber log a2 que es equivalente a 2 log a y conocemos el valor de log a, entonces:log a2= 2 log a= 2(0, 3702)= 0, 7404VolverBibliograf´ıa[1 ] Apuntes de ´Algebra I, Tomo I, Segunda edici´on 1993, Facultad de Ciencias, USACHAntonio Orellana Lobos.[2 ] Apuntes ´Algebra, Edici´on 2003, Facultad de Ciencias, USACHRicardo Santander Baeza.9

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