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Conjuntos numericos

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Conjuntos numericos

  1. 1. .clopen greenroadGuía MatemáticaCONJUNTOS NUM ´ERICOStutora: Jacky Moreno
  2. 2. open greenroadUn conjunto es una colecci´on de objetos que se define mediante una propiedad que todos los elementoscumplen, por ejemplo el conjunto de los colores primarios seria C = {rojo, azul, amarillo}. En particu-lar, en esta gu´ıa estudiaremos los conjuntos num´ericos que corresponden a agrupaciones ´unicamente den´umeros que cumple con algunas propiedades en com´un.1. N´umeros Naturales (N)Los n´umeros naturales aparecen por primera vez en el proceso natural que tuvo el ser humano decontar y ordenar animales, comida, objetos, etc.El conjunto de los n´umeros naturales parte con el n´umero 1 o la unidad, y los otros elementos seforman a partir de la adici´on sucesiva de unidades de la siguiente manera: 1, 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4,etc. En base a esto, podemos decir que el conjunto de los n´umeros naturales es ordenado y posee infinitoselementos.El conjunto se designa con la letra N y se puede representar sobre la recta num´erica como se muestraa continuaci´on:N = {1, 2, 3, 4, 5, ..., ∞}1.1. Algunas propiedades de los n´umeros naturalesGiuseppe Peano, matem´atico italiano, fue el creador del sistema axiom´atico del cual deriva la aritm´eti-ca de los n´umeros naturales, en este caso resulta conveniente acudir a sus axiomas para conocer algunaspropiedades que cumplen estos n´umeros:Axiomas de Peano Versi´on actual de los axiomas de Peano1 es un n´umero. 1 es un n´umero natural, por lo tanto el conjuntode los n´umeros naturales no es vac´ıo.El sucesor inmediato de un n´umerotambi´en es un n´umero.Si a es un n´umero natural, entonces el sucesor dea, es decir, a+1, tambi´en es un n´umero natural.1 no es el sucesor inmediato dening´un n´umero.1 no es sucesor de ning´un n´umero natural, porlo tanto corresponde al primer elemento del con-junto num´erico de los naturales.Dos n´umeros distintos no tienen elmismo sucesor inmediato.Si los sucesores de dos n´umeros naturales a y bson distintos, entonces los n´umeros naturales ay b son distintos.Toda propiedad perteneciente a 1 yal sucesor inmediato de todo n´ume-ro que tambi´en tenga esa propiedadpertenece a todos los n´umeros.Si un conjunto de n´umeros naturales contiene al1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos,entonces contiene a todos los n´umeros naturales(Axioma de inducci´on matem´atica).2
  3. 3. open greenroad1.2. Algunos subconjuntos importantes de N1.2.1. N´umeros ParesLos n´umeros pares es un conjunto ordenado con infinitos elementos que corresponden a los n´umerosnaturales m´ultiplos de dos. El conjunto se puede representar como se muestra a continuaci´on:Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ..., ∞}Y matem´aticamente se puede expresar asi:P es un n´umero par ⇐⇒ P = 2n con n ∈ N1.2.2. N´umeros ImparesLos n´umeros impares es un conjunto ordenado con infinitos elementos los que corresponden a todoslos n´umeros naturales que no son pares. El conjunto se puede representar como se muestra a continuaci´on:Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., ∞}Y matem´aticamente se puede expresar asi:I es un n´umero impar ⇐⇒ I = 2n + 1 ´o I = 2n − 1 con n ∈ NEn base a los dos subconjuntos vistos anteriormente podemos clasificar todo n´umero natural en par oimpar. Al operar con estos n´umeros obtenemos las siguientes conclusiones:Par + Par = ParEsto se debe a que cada n´umero par lo podemos expresar de la forma 2n, donde n ∈ N, luegotomamos dos n´umeros pares arbitarios y los sumamos:2n + 2m = 2(n + m)Como n + m ∈ N tambi´en, se cumple lo propuesto en el enunciado.Por ejemplo: 10 + 22 = 32, donde 32 = 2 · (16)Impar + Impar = ParAnalizamos de manera completamente an´aloga a la proposici´on anterior, tomamos dos n´umerosimpares arbitrarios y luego los sumamos:(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2[(n + m) + 1]N´otese que si tomamos cada n´umero impar pero ahora de la forma 2n−1, el resultado es exactamenteel mismo.Por ejemplo: 13 + 41 = 54, donde 54 = 2 · (27)Par + Impar = ImparTomamos un n´umero par e impar arbitrarios, 2n y 2m + 1, luego sumamos:2n + (2m + 1) = 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1Claramente corresponde a un n´umero impar.Por ejemplo: 68 + 9 = 77, donde 77 = 2 · (39) − 13
  4. 4. open greenroadPar · Par = ParTomamos los n´umeros pares 2n y 2m, ahora procedemos a multiplicarlos:2n · 2m = 4 n · mEl n´umero 4 es m´ultiplo de 2, por lo tanto todo natural de la forma 4n es par tambi´en, y el productoentre dos n´umeros naturales es al mismo tiempo un n´umero natural. Se cumple lo propuesto.Por ejemplo: 4 · 14 = 56, donde 56 = 2 · (28)Impar · Impar = ImparVolvemos a escoger dos n´umeros impares de manera arbitraria, 2n − 1 y 2m − 1, multiplicamos:(2n − 1)(2m − 1) = 4n · m − 2n − 2m + 1 = 2[2n · m − (n + m)] + 1Ac´a debe tener en cuenta que siempre se cumple que 2n·m−(n+m) 0, por lo tanto tal expresi´oncorresponde a un n´umero natural.Por ejemplo: 3 · 7 = 21, donde 21 = 2 · (10) + 1Par · Impar = ParTomamos el par 2n y el impar 2m + 1, multiplicamos ambos:2n · (2m + 1) = 4n · m + 2nNote que el resultado corresponde a la suma de dos n´umeros pares y ya demostramos anteriormenteque tal suma tambi´en corresponde a un n´umero par.Por ejemplo: 8 · 11 = 88, donde 88 = 2 · (44)1.2.3. N´umeros PrimosLos elementos del conjunto de los n´umeros primos son todos aquellos n´umeros naturales mayores que1, tales que no son exactamente divisibles por alg´un n´umero, excepto s´ı mismo y el 1. Por ejemplo el 7 esun n´umero primo ya que s´olo lo divide perfectamente el 1 y el 7 (7 : 7 = 1 y 7 : 1 = 7) en cambio el 10no es primo ya que lo divide perfectamente el 1,2,5 y 10 (10 : 1 = 10, 10 : 2 = 5, 10 : 5 = 2 y 10 : 10 = 1)Este conjunto queda representado por extensi´on de la siguiente manera:Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ..., ∞}Como podemos notar existen infinitos n´umeros primos, pero su distribuci´on sigue siendo una inc´ognitahasta nuestros d´ıas.1.2.4. N´umeros CompuestosEl conjunto de los n´umeros compuestos es infinito y sus elementos son todos aquellos n´umeros naturalesmayores que 1 que no son primos, es decir, aquellos n´umeros que tienen 2 o m´as factores.Este conjunto queda representado por extensi´on de la siguiente manera:Compuestos = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, ..., ∞}Al igual que con los n´umeros pares e impares, todo n´umero natural se puede clasificar como primo ocompuesto, excepto el 1 que no es primo ni compuesto.4
  5. 5. open greenroadExiste el teorema fundamental de la aritm´etica que relaciona estos dos ´ultimos subconjuntos de lasiguiente manera:Todo n´umero n compuesto puede escribirse de mane-ra ´unica, salvo el orden, como un producto de n´ume-ros primos.Por ejemplo: 114 = 2 · 3 · 19.1.2.5. M´ultiplos de un n´umeroSi tenemos que 24 = 12 · 2 entonces decimos que 24 es m´ultiplo de 12 y 2.En general, si a es un n´umero natural, entonces los m´ultiplos de a son todos aquellos n´umeros queresultan de la multiplicaci´on de a por alg´un natural. El conjunto de los m´ultiplos de a es infinito y quedarepresentando como se muestra a continuaci´on:Multiplos de a = {b ∈ N | b = a · n, n ∈ N}As´ı por ejemplo, la extensi´on de los m´ultiplos de 3 se puede escribir como:Multiplos de 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ..., ∞}M´ınimo com´un m´ultiplo (m.c.m)El m´ınimo com´un m´ultiplo de un conjunto de n´umeros naturales es el menor m´ultiplo com´un distintode cero de todos esos n´umeros.Para obtener el m.c.m. de dos o m´as n´umeros en primer lugar descomponemos cada uno en factoresprimos para luego realizar el producto de los factores comunes y no comunes elevados a su mayorexponente. EjemploDeterminar el m´ınimo com´un m´ultiplo entre 12, 14 y 45Soluci´on: Primero descomponemos cada n´umero en factores primos:12 = 22· 314 = 2 · 745 = 32· 5Luego elegimos los factores primos repetidos y no repetidos con mayor exponente:22, 32, 5, 7Finalmente el producto de los n´umeros anteriores es el m.c.m(12,14,45):m.c.m(12, 14, 45) = 22· 32· 5 · 7 = 12605
  6. 6. open greenroad1.2.6. Divisores de un n´umeroSi tenemos que 16 = 8 · 2 entonces decimos que 8 y 2 son divisores de 16.Si a es un n´umero natural, entonces los divisores de a son todos aquellos n´umeros que lo pueden dividirresultando como cociente un n´umero natural y de resto cero. El conjunto de los divisores de a es finito yqueda representando como se muestra a continuaci´on:Divisores de a = {b ∈ N | ∃n ∈ N tal que a = b · n}As´ı, por ejemplo, la extensi´on de los m´ultiplos de 56 se puede escribir como:Divisores de 56 = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}Criterios de divisibilidadExisten ciertos criterios para determinar si un n´umero natural es divisible por otro sin la necesidadde realizar la divisi´on. A continuaci´on, se exponen los criterios de divisibilidad m´as comunes en N:Divisor Criterio2 Si termina en cero o cifra par.3 Si la suma de sus d´ıgitos es m´ultiplo de 3.4 Si sus dos ´ultimas cifras son ceros o m´ultiplo de4.5 Si termina en cero o en 5.6 Si es divisible por 2 y por 3.7 Si la diferencia entre el n´umero sin la cifra de lasunidades y el doble de la cifra de las unidadeses 0 o un m´ultiplo de 7.8 Si sus tres ´ultimas cifras son ceros o m´ultiplo de8.9 Si la suma de sus d´ıgitos es m´ultiplo de 9.10 Si termina en 0.M´aximo com´un divisor (M.C.D)El m´aximo com´un divisor de un conjunto de n´umeros naturales es el n´umero m´as grande que esdivisor de todos los elementos del conjunto.Para obtener el M.C.D de dos o m´as n´umeros, en primer lugar descomponemos cada uno en factoresprimos para luego realizar el producto de los factores comunes elevados a su menor exponente.6
  7. 7. open greenroad EjemploDeterminar el m´aximo com´un divisor entre 6, 18 y 42Soluci´on: Primero descomponemos cada n´umero en factores primos:6 = 2 · 318 = 2 · 3242 = 2 · 3 · 7Luego elegimos los factores primos repetidos con menor exponente:2, 3Finalmente el producto de los n´umeros anteriores es el M.C.D (6,18,42):M.C.D(6, 18, 42) = 2 · 3 = 6Cuando resulta que el ´unico divisor com´un en-tre dos n´umeros es el 1, entonces se dicen queson primos relativos o primos entre s´ı. Porejemplo 8 y 11 son primos relativos ya que elM.C.D(8, 11) = 1 Ejercicios 1Resolver los siguientes problemas.1. Camila quiere poner cer´amicas en una muralla de su ba˜no que mide 15, 3 [m] de largo y 3, 5 [m] deancho. Si desea embaldosar con baldosas cuadradas de la mayor dimensi´on posible de tal maneraque no tenga que cortar ni montar ninguna baldosa. ¿Cu´anto medir´a el lado cada baldosa?2. Tres reglas de 3 [m] de largo cada una, se superponen de tal forma que la marca que indica el n´umero0 coincide en las tres reglas. Si la primera regla est´a dividida cada 20 [mm], la segunda cada 32 [mm]y la tercera cada 15 [mm], ¿cu´ales son las marcas de divisi´on que coinciden?3. La empresa “Mi patria” produce flores de distintos tipos. Si posee tres terrenos de 6.468 [m2],5.628 [m2] y 7.812 [m2] que desea dividir en terrenos menores de igual ´area, ¿cu´al es el mayor tama˜noposible que pueden tener los nuevos terrenos para sembrar? Si planta un tipo de flor por terreno,¿cu´anta diversidad de flores puede tener?4. Cuatro amigos deciden realizar una carrera en el patio del colegio. Si en llegar a la meta el primerotarda 250 [s], el segundo 140 [s], el tercero 200 [s] y el cuarto 350 [s], partiendo los cuatro amigosjuntos, ¿en cu´antos segundos volver´an a pasar simult´aneamente todos por la l´ınea de partida? ¿Encu´antos segundos volver´an a pasar juntos los 3 primeros por la l´ınea de partida?7
  8. 8. open greenroad2. N´umeros Cardinales (N0)El conjunto de los n´umeros cardinales es ordenado infinito y corresponde al conjunto N pero se incluyeun elemento, el cero.El conjunto se designa por N0 y se puede representar sobre la recta num´erica como se muestra acontinuaci´on:N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., ∞}N0 = N ∪ {0}3. N´umeros Enteros (Z)Los n´umeros enteros est´an presentes desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastones de colo-res para distinguir cantidades positivas o negativas para as´ı diferenciar entre el aumento o la disminuci´onde ciertas magnitudes. Los ´arabes, por otro parte, dieron a conocer los n´umeros negativos que los hind´uesutilizaban para designar las p´erdidas en asuntos financieros.El conjunto de los n´umeros enteros nace entonces a partir de la necesidad de responder a ciertos proble-mas matem´aticos que los n´umeros naturales no pod´ıan resolver. En base a esto el conjunto est´a compuestopor los n´umeros naturales, el cero y los opuestos a los n´umeros naturales.El conjunto se designa por Z y se puede representar sobre la recta num´erica como se muestra acontinuaci´on:Z = {−∞, ..., −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ∞}Todo n´umero entero se caracteriza por tener dos elementos:Signo: Representa la propiedad que un n´umero tiene de ser negativo(-) o positivo(+).Valor absoluto o num´erico: Corresponde a la distancia que le separa al n´umero del 0 en la rectanum´erica. El valor absoluto de un n´umero, es el n´umero pero sin su signo. Por ejemplo, el valornum´erico de −12 es 12 o el valor num´erico de 3 es 3.8
  9. 9. open greenroadEn general el valor absoluto o num´erico de x se identifica con |x| y se trabaja como se indica acontinuaci´on:|x| =x x 0−x x 03.1. Algunos subconjuntos importantes de Z3.1.1. Enteros negativosEl conjunto de los enteros negativos tiene como elementos a los n´umeros naturales precedidos deun signo menos (-), por ejemplo −4. Este conjunto corresponde a todos los enteros menores que 0 ymatem´aticamente se puede representar como:Z−= {−∞, ..., −5, −4, −3, −2, −1}3.1.2. Conjunto 0Este conjunto tiene como ´unico elemento el n´umero 0, el cual separa en la recta num´erica a los n´umerosenteros positivos de los n´umeros enteros negativos. Matem´aticamente se puede expresar como:{0}3.1.3. Enteros positivosEl conjunto de los enteros positivos se puede identificar con el conjunto de los n´umeros naturales, porlo tanto, sus elementos son todos los enteros mayores que 0. Matem´aticamente se puede representar as´ı:Z+= {1, 2, 3, 4, 5..., ∞} = NSi unimos estos 3 subconjuntos vistos obtenemos el conjunto de los n´umeros enteros:Z = Z−∪ {0} ∪ Z+3.2. Operaciones b´asicas en Z3.2.1. Adici´on de n´umeros enterosAdici´on de enteros con igual signoSe suman los valores absolutos y se conserva el signo com´un.Por ejemplo al realizar la operaci´on −6 + −3 debemos sumar los n´umeros 6 y 3 y conservar el signonegativo que tienen:−6 + −3 = −(6 + 3) = −99
  10. 10. open greenroadAdici´on de enteros con distinto signoSe restan los valores absolutos y se conserva el signo del sumando de mayor valor absoluto.Por ejemplo al realizar la operaci´on −7 + 2 nos dara como resultado un n´umero negativo ya que elsumando con mayor valor absoluto (7) es negativo, por lo tanto restamos los n´umeros y conservamosel signo −:−7 + 2 = −(7 − 2) = −5Recordar que toda sustracci´on se puede transformar a una adici´on. As´ı, si tenemos 3 − 4 es lo mismoque escribir 3 + (−4). En general si tenemos la resta de dos enteros a − b que puede expresar como unasuma de la forma a + (−b)3.2.2. Multiplicaci´on de n´umeros enterosMultiplicaci´on de enteros con igual signoSe multiplican los valores absolutos de los n´umeros y se deja el producto positivo.Por ejemplo al realizar la operaci´on −2 · −8 multiplicamos los valores absolutos de los n´umeros y lodejamos son signo positivo:−2 · −8 = +(2 · 8) = 16Multiplicaci´on de enteros con distinto signoSe multiplican los valores absolutos de los n´umeros y se deja el producto negativo.Por ejemplo al realizar la operaci´on −3 · 5 multiplicamos los valores absolutos de los n´umeros y lodejamos con signo negativo:−3 · 5 = −(3 · 5) = −15 Ejercicios 2Resolver los siguientes ejercicios combinados1. −(5 · 3 + 11) + 4(−9 · 3 + 13 · 4)2. 3(9 · −2) − (3 · −5 + 7) + (4 · 23)3. 15 + 6 − 4 + (−3 + 2 · 0) − 94. (3−5·5)−(−1(22·3·−4·−2))+(40−68+4−9)5. (−4 · 6 − 7) − (−12(3 + ((4 + 32) · 8)) + 1)6. −(−(−2(−(7 · 12) + 5) − 24) − 8 · 3)4. N´umeros Racionales (Q)El conjunto de los n´umeros racionales es ordenado y posee infinitos elementos. Este conjunto abarca atodos los anteriores y se le agregan aquellos elementos que se pueden expresar en forma de divisi´on entredos n´umeros enteros cualesquiera, con la ´unica restricci´on de que el divisor o denominador tiene que serdistinto de cero. Por lo tanto los n´umeros racionales son todos aquellos que pueden ser representados pormedio de fracciones. El conjunto se designa por Q y se puede representar sobre la recta num´erica comose muestra a continuaci´on:10
  11. 11. open greenroadQ = {−∞, ..., −3, ...,−83, ..., −2, ...,−64, ..., −1, ..., 0, ...,12, ..., 1, ..., ∞}Cabe destacar que este conjunto Q tiene la propiedad de ser denso, es decir, siempre entre dosracionales cualesquiera, encontraremos un tercero entre medio, por muy pr´oximos que est´en los n´umerosentre s´ı.Entre dos n´umeros racionales hay infinitos n´umerosracionales.4.1. Fracciones, los elementos del conjunto QEn nuestro diario vivir utilizamos expresiones como “un cuarto para las 8”, “me queda la mitad” o”los goles son v´alidos desde mitad de cancha”. Dentro de ´estas expresiones estamos utilizando fraccionesya que hacen alusi´on a dividir una totalidad en cierta cantidad de partes iguales. En base a esto, unafracci´on se puede definir como la divisi´on de dos n´umeros cualesquiera, a/b, donde a (numerador) indicael n´umero de partes iguales que se han tomado y b (denominador distinto de 0) indica el n´umero de partesiguales en la que se ha divido un entero. Por lo tanto, si tenemos17significa que dividimos un entero en7 partes iguales y de esas partes tomamos una.4.1.1. Tipos de fraccionesFracciones PropiasUna fracci´on propia tiene el numerador menor que el denominador. Por ejemplo25.En general, la fracci´onabes propia si |a| |b|.Fracciones ImpropiasUna fracci´on impropia tiene el numerador mayor que el denominador. Por ejemplo138.En general, la fracci´onabes impropia si |a| |b|.Este tipo de fracciones se puede interpretar de la siguiente forma. Si tenemos32significa que debemostomar 3 veces12, esto lo conseguimos tomando dos partes de un entero dividido en dos y una partede otro entero equivalente al primero.11
  12. 12. open greenroadPor lo tanto, tomamos finalmente un entero m´as un medio. Este tipo de n´umeros se denominann´umeros mixtos o fracci´on mixta.Para transformar una fracci´on impropia a un n´umero mixto debemos seguir lossiguientes pasos:1. Dividir el numerador por el denominador.2. Escribir el cociente de la divisi´on como un n´umero entero.3. Escribir el resto encima del denominador.Para transformar un n´umero mixto a fracci´on debemos seguir los siguientes pasos:1. Multiplicar la parte entera por el denominador.2. Sumar el resultado al numerador3. Escribir el resultado sobre el denominador.4.1.2. Equivalencia de fraccionesDos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, es decir, tienen el mismo valor. Lasfracciones 906 y 604 valen 15, por lo tanto tienen el mismo valor y son equivalentes entre s´ı.Dadas dos fracciones diremos que representan un mismo n´umero racional si cumplen la siguientecondici´on:−1216=6−8−12 · −8 = 16 · 696 = 96En general, dados dos fraccionesabycdson equivalentes si:ab=cd⇐⇒ a · d = b · c4.1.3. Simplificaci´on de fraccionesSimplificar una fracci´on corresponde a dividir ambas partes (numerador y denominador) por un n´umeroentero de tal forma que me d´e como resultado una fracci´on equivalente. La fracci´on 15020 la podemossimplificar por el entero 10 para asi obtener una fracci´on equivalente.15020=150 : 10120 : 10=15212
  13. 13. open greenroadEn general, una fracci´onabse puede simplificar porc ∈ Z − {0} haciendo:ab=a : cb : cSiempre y cuando c sea divisor de a y b.Al momento de simplificar una fracci´on nos interesa reducirla a su m´ınima expresi´on, es decir, dividirlapor el mayor n´umero posible. Ese n´umero corresponde al m´aximo com´un divisor que existe entre el nume-rador y el denominador, de esta forma el dividir ambas partes de la fracci´on por ese n´umero obtenemosinmediatamente la fracci´on irreducible.4.1.4. Amplificaci´on de fraccionesAmplificar una fracci´on corresponde a multiplicar ambas partes (numerador y denominador) por unn´umero entero de tal forma que me d´e como resultado una fracci´on equivalente. La fracci´on 25 la podemosamplificar por 4 para obtener una fracci´on equivalente.25=2 · 45 · 4=820En general, una fracci´onabse puede amplificar por c ∈ Z − {0} haciendo:ab=a · cb · c4.1.5. Transformaci´on de fraccionesTodo elemento del conjunto de los n´umeros racionales se puede expresar como una fracci´on, perotambi´en pueden ser representados a trav´es de un n´umero decimal, ya que para esto basta realizar ladivisi´on entre el numerador y el denominador y se puede obtener como resultado un n´umero entero odecimal. Veamos algunas transformaciones importantes:De un n´umero entero a fracci´onLa fracci´on tendr´a como numerador el n´umero dado, y por denominador, la unidad 1. Por ejemplo4 =41´o −18 =−181.De un n´umero con decimales finitos a fracci´onLa fracci´on tendr´a como numerador el n´umero dado sin la coma, y por denominador, la unidad 1seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. Por ejemplo el n´umero 8, 74 posee dos cifrasdecimales as´ı que, 8, 74 =874100o el n´umero 234, 1 posee una cifra decimal as´ı que, 234, 1 =234110.De un n´umero con decimales peri´odicos a fracci´onLa fracci´on tendr´a como numerador el n´umero dado sin la coma, menos la parte entera, y pordenominador, un n´umero formado por tantos nueves como cifras tiene el per´ıodo. Por ejemplo eln´umero 2, 45 tiene dos cifras peri´odicas, por lo tanto, 2, 45 =245 − 299=24399o el n´umero 31, 1 tieneuna cifra peri´odica as´ı que, 31, 1 =311 − 319=2809.13
  14. 14. open greenroadDe un n´umero con decimales semiperi´odicos a fracci´onLa fracci´on tendr´a como numerador el n´umero dado sin la coma, menos la parte entera seguida delas cifras decimales no peri´odicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves comocifras tenga el per´ıodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no peri´odica. Porejemplo el n´umero 1, 63192 tiene 3 cifras peri´odicas y 2 cifras en la parte decimal no peri´odicas, por lotanto se escribir´a como 1, 63192 =163192 − 16399900=16302999900´o el n´umero 37, 25 tiene 1 cifra peri´odicay 1 cifra en la parte decimal no peri´odica, por lo tanto se expresar´ıa como 37, 25 =3725 − 37290=335390. Ejercicios 3Transformar a fracci´on los siguientes n´umeros decimales:1. 13, 562. −87, 63. 231, 654. −68, 7235. 54, 1836. −1, 34954.2. Orden en QComo dijimos al comienzo el conjunto de los n´umeros racionales es ordenado, por lo tanto se puedeestablecer un orden entre los elementos del conjunto, es decir, puedo ordenar las fracciones de menor amayor o viceversa. Algunos criterios para ordenar las fracciones se presentan a continuaci´on:Si dos o m´as fracciones tienen igual denominador, entonces es mayor la fracci´on que posea mayornumerador.109169En general, sean a, b ∈ Z y c ∈ Z − {0}acbc⇐⇒ a bSi dos o m´as fracciones tienen igual numerador, entonces es mayor la fracci´on con menor denomi-nador.156152En general, sean a, b ∈ Z y c ∈ Z − {0}abac⇐⇒ c b14
  15. 15. open greenroadSi dos o m´as fracciones tienen distinto denominador y numerador la relaci´on de orden se define delsiguiente modo:122−3(1 · −3) − (2 · 2)2 · −3 076 0En general, sean a, b ∈ Z y c, d ∈ Z − {0}abcd⇐⇒a · d − b · cb · d 04.3. Operaciones b´asicas en Q4.3.1. Adici´on de n´umeros racionalesAl sumar o restar dos fracciones obtenemos una fracci´on cuyo numerador corresponde a la suma oresta de dos enteros y cuyo denominador corresponde al m´aximo com´un divisor entre los denominadoresiniciales. Por ejemplo16+25=5 + 1230=1730−43−32=−8 − 96=−1762013+313=20 + 313=2313La adici´on o sustracci´on de racionales se define entonces se la siguiente forma:ab±cd=ad ± bcbdEn el caso de que los denominadores sean iguales, la expresi´on anterior se puede reducir a:ab±cb=a ± cb4.3.2. Multiplicaci´on de n´umeros racionalesAl multiplicar dos fracciones obtenemos una fracci´on cuyo numerador corresponde al producto delos numeradores iniciales y el denominador corresponde al producto de los denominadores iniciales. Porejemplo73·212=7 · 23 · 12=1436La multiplicaci´on de racionales se define entonces se la siguiente forma:ab·cd=a · cb · d15
  16. 16. open greenroad4.3.3. Divisi´on de n´umeros racionalesAl dividir dos fracciones obtenemos una fracci´on cuyo resultado corresponde a la multiplicaci´on cru-zada de los numeradores y denominadores de las fracciones. Por ejemplo113:65=11 · 53 · 6=5518113: −4 =113:−41=−1112La divisi´on de racionales se define entonces se la siguiente forma:ab:cd=a · db · c Ejercicios 4Ordenar de menor a mayor los siguientes n´umeros:1.47;2312;92;151002. 12, 4 ; −10, 2345 ; 0, 576 ; 23, 663.59+ 4, 32 ;1435:159;16·512−−1254.35+ 1, 124;−126;51 +14 +275. N´umeros Irracionales (I)El conjunto de los n´umeros irracionales est´a compuesto por infinitos elementos que corresponde aaquellos n´umeros que tienen infinitas cifras decimales no peri´odicas, como consecuencia, no se puedenescribir como fracci´on de dos n´umeros enteros. De acuerdo a lo anterior los elementos de este conjuntoson todos aquellos n´umeros que no son racionales.El conjunto se designa con la letra I y se puede representar sobre la recta num´erica como se muestraa continuaci´on:16
  17. 17. open greenroadI = {i|i ∈ Q}Algunos ejemplos donde aparecen n´umeros irracionales que son utilizados con mayor frecuencia son:Pi (π)El n´umero π es la constante que relaciona el per´ımetro de una circunferencia con la amplitud de sudi´ametro. Este n´umero lo utilizas generalmente en geometr´ıa para calcular per´ımetro (P = dπ) y´area de un c´ırculo (A = πr2). Del n´umero se han calculado millones de cifras decimales y a´un siguesin ofrecer un patr´on.π = 3, 141592653589 · · ·N´umero ´aureo (φ)El n´umero ´aureo o raz´on de oro, se representa con la letra φ y nacede la proporci´on que seg´un los griegos deb´ıan tener las cosas bellas.Este n´umero se encuentra presente en diversas situaciones, comopor ejemplo en el Parten´on, en Atenas, en donde las columnas, eltecho y las partes estan en la raz´on ´aurea.φ =1 +√52= 1, 618033988749 . . . Ejercicios 5Clasificar los siguientes n´umeros en racionales o irracionales seg´un corresponda:1. 1, 0100100010001 . . .2.π43. −√364. 05.√156. 4, 567567567567567 . . .7.1 +√52·89·1 +√528.2 · 1, 2341, 1+37, 637, 69.√4 ·√25 · 3√810.1027+43+√81711. π · π12. 3√3 + 3√3 + 3√35.1. Aproximaci´on de n´umeros irracionalesComo vemos hay n´umeros con infinitas cifras decimales, para poder trabajar con ellos de manera m´asf´acil es que utilizamos aproximaciones de dichos n´umeros.Para aproximar un n´umero se puede proceder de dos maneras:TruncamientoEn el truncamiento de un n´umero decimal se eliminan todas las cifras que no deseamos que aparezcana partir de un cierto n´umero. Por ejemplo si el n´umero 21, 23898 . . . lo truncamos en los dos primerosdecimales queda 21, 23.17
  18. 18. open greenroadRedondeoEn la aproximaci´on por redondeo de un numero decimal se observa la cifra decimal que se quieresuprimir:• Si esta cifra es menor que 5, entonces se eliminan los decimales. Por ejemplo si el n´umero132, 5679321 . . . lo redondeamos a los 4 primeros decimales queda 132, 5679• Si esta cifra es mayor o igual a 5, entonces se aumenta un una unidad la ´ultima cifra que seconserva en el n´umero. Por ejemplo si el n´umero 92, 678592 . . . lo redondeamos a los 3 primerosdecimales resulta 92, 679. Ejercicios 6Redondear y truncar los resultados de las siguientes operaciones a los 3 primeros decimales:1. 63, 25 : 42. 1, 5478 : 0, 253. 0, 33 : 84. 3, 572 · 0, 15. 75, 123 · 0, 56. 0, 2013 · 997. 1, 48 : 1, 06388. 0, 97 · 2, 062Determinar la diagonal de cada cuadril´atero:Desaf´ıo IConstruir sobre la recta num´erica el irracional√17. Respuesta6. N´umeros Reales (R)El conjunto de los n´umeros reales es infinito y ordenado y tiene como elementos tanto los n´umerosracionales como los irracionales. De manera matem´atica se puede expresar de la siguiente forma:R = Q ∪ IAl igual que el conjunto de los racionales, los n´umeros reales son densos, esto es, entre dos n´ume-ros reales cualesquiera existe otro n´umero real. Finalmente con los n´umeros reales la recta num´ericaest´a completa, es decir, cada n´umero de la recta num´erica le corresponde un n´umero real.18
  19. 19. open greenroadEn forma gr´afica los conjuntos que hemos estudiados quedan representando como se muestra a conti-nuaci´on:El conjunto de los n´umeros reales tiene estructura algebraica de cuerpo, esto es, que para las opera-ciones definidas en R, adici´on(+) y multiplicaci´on(·) se cumplen las siguientes propiedades:1. CerradoSi tomo dos n´umeros reales y los sumo o multiplico, ambos resultados corresponden a un n´umeroreal. Por ejemplo: 5 + 2 = 7 ∈ R y 5 · 2 = 10 ∈ REn general, para todo x, y ∈ R, entonces:x + y ∈ Rx · y ∈ R2. AsociativoSi tengo 3 o m´as n´umeros, la operaci´on que realice es independiente de la agrupaci´on que tenganlos n´umeros.Por ejemplo: (2 + 3) + 5 = 10 = 2 + (3 + 5) y (2 · 3)5 = 30 = 2(3 · 5)En general, para todo x, y, z ∈ R, entonces:(x + y) + z = x + (y + z)(x · y)z = x(y · z)3. ConmutativoLa operaci´on es independiente del orden de los n´umeros. Por ejemplo:, 4 + 2 = 6 = 2 + 4 y4 · 2 = 8 = 2 · 4En general, para todo x, y ∈ R, entonces:x + y = y + xx · y = y · x4. DistributivoLa suma de dos sumandos, multiplicada por un n´umero, es igual a la suma de los productos de cada19
  20. 20. open greenroadsumando por ese n´umero. Por ejemplo: 2 · (1 + 5) = 12 = 2 · 1 + 2 · 5En general, para todo x, y, z ∈ R, entonces:x(y + z) = x · y + x · z5. NeutroAl operar cualquier elemento del conjunto con el elemento neutro el resultado es el elemento original.Por ejemplo: 2 + 0 = 2 y 3 · 1 = 3En general, para todo x ∈ R, entonces:Existe 0 ∈ R tal que x + 0 = 0 + x = xExiste 1 ∈ R tal que x · 1 = 1 · x = x6. InversoAl operar cualquier elemento del conjunto con el elemento inverso el resultado es el elemento neutrocorrespondiente a cada operaci´on. Por ejemplo: 2 + (−2) = 0 y 3 · 3−1 = 1En general, para todo x ∈ R, entonces:Existe −x ∈ R tal que x + (−x) = (−x) + x = 0Existe x−1 =1x∈ R − {0} tal que x · x−1 = x−1 · x = 16.1. Operaciones en RComo mencionamos todo n´umero real se puede clasificar en racional o irracional. Al trabajar con lasoperaciones b´asicas en este conjunto obtenemos las siguientes conclusiones:Q + Q = Q. Por ejemplo:12+ 4 =92∈ QQ + I = I. Por ejemplo: 4 +√3 ∈ II + I = Q ´o I. Por ejemplo:√2 +√2 = 2√2 ∈ I ´o1 +√52+−√52=12∈ QQ · Q = Q. Por ejemplo:15· 5 = 1 ∈ QI · I = Q ´o I. Por ejemplo: 3√3 · 3√9 = 3 ∈ Q ´o 3√3 · 3√2 = 3√6 ∈ IQ · I = I, si el n´umero de Q es distinto de cero. Por ejemplo: 2 · π = 2π ∈ I6.2. Expresiones no definidas en REl conjunto de los n´umeros reales es el m´as grande que se estudia para el caso de la PSU. Sin embargo,hay que tener presente que hay algunas expresiones que no est´an definidas para este conjunto:Raices con ´ındice par y cantidad subradical negativa. Por ejemplo 4√−16Fracciones o divisiones en que el denominador o divisor es 0. Por ejemplo 2 : 0 o 12020
  21. 21. open greenroadPotencias de base 0 y exponente 0. Por ejemplo 00Desaf´ıo IIJuan realiz´o el siguiente razonamiento matem´atico:Dados a y b dos n´umeros cualesquiera. Supongamos que a = b, entonces:a2= aba2+ (a2− 2ab) = ab + (a2− 2ab)2a2− 2ab = a2− ab2a(a − b) = a(a − b)2a = a2 = 1¿D´onde est´a el error que cometi´o Juan?Respuesta7. Curiosidades Matem´aticas7.1. Cuadrados m´agicosLos cuadrados m´agicos son una forma antiqu´ısima de acertijo num´erico, consistente en formar uncuadrado con n´umeros cuyas filas, columnas y diagonales sumen lo mismo.A continuaci´on podemos ver como los cuadrados m´agicos se han hecho presentes en el arte. El artistaAlberto Durero, que data del a˜no 1514, incluy´o en su obra “Melancol´ıa” un cuadrado m´agico de 4 por 4,en el que sus filas, columnas y diagonales suman lo mismo: 34.21
  22. 22. open greenroad Ejercicios 7Rellenar las casillas en blanco para formar un cuadrado m´agico:Desaf´ıo IIIConstruir dos cuadrado m´agico. En el primero las filas, columnas y diagonales debensumar 30 y los espacios se deben completar con los primeros 9 n´umeros pares. Elsegundo debe ser creado con los primeros 9 n´umeros impares y las filas, columnas ydiagonales deben sumar 27. Respuesta7.2. Regularidades num´ericasEn las regularidades num´ericas se trata de encontrar un patr´on o regla que forma una sucesi´on. Unpatr´on es una sucesi´on de signos que se construyen siguiendo una regla, por ejemplo el conjunto de losn´umeros pares sigue un patr´on correspondiente a “2 · n”.Los patrones que estudiaremos son de recurrencia, es decir, son aquellas series en los que el n´ucleo cambiacon regularidad. Cada t´ermino de la sucesi´on puede ser expresado en funci´on de los anteriores de cuyoan´alisis se infiere su ley de formaci´on. Ejemplo¿Cu´antos palos se necesitan para formar la figura 21?Soluci´on: Vamos analizando por figura. La primera figura consta de 3 palitos, la segunda de 5 palitos,la tercera de 7 palitos y la cuarta de 9 palitos. En base a esto los n´umeros de nuestra sucesi´on son:3, 5, 7, 9, . . .Observando estos n´umeros podemos darnos cuentas que para formar el n´umero que viene se le sumados palitos al anterior, de esta manera:22
  23. 23. open greenroad3 = 2 · 1 + 15 = 2 · 2 + 17 = 2 · 3 + 19 = 2 · 4 + 1Generalizando, sea n el n´umero de la figura, la cantidad de palitos que se necesita para formar lostri´angulos queda dado por 2·n+1. Como nos piden el n´umero de palitos que tendr´a la figura 21 debemossustituir en la expresi´on antes deducida.2 · n + 1 = 2 · 21 + 1 = 43Finalmente necesitamos 43 palitos para formar la figura 21. Ejercicios 8Resolver los siguientes ejercicios.1. ¿Cu´antos puntos tendr´a la figura 16 de la serie que se muestra a continuaci´on?2. ¿Cu´antos puntos tendr´a la figura 20 de la serie que se presenta a continuaci´on?3. Si el lado de cada cuadradro mide 2 [cm], ¿cu´anto valdr´a el ´area de la figura 12?23
  24. 24. open greenroad4. ¿Cu´antos puntos tendr´a la figura 18 de la secuencia?5. ¿Cu´antos lados tendr´a la figura 20?6. ¿Cu´anto vale x?7. ¿Cu´anto vale x?24
  25. 25. open greenroadDesaf´ıos resueltos Desaf´ıo I: Para construir el n´umero√17 sobre la recta num´erica se debe construir un tri´angulorect´angulo de lados 4 y 1 para que as´ı la hipotenusa corresponda al n´umero irracional buscado.Aplicando el Teorema de Pit´agoras tenemos:42+ 12= x216 + 1 = x2√17 = xDe esta forma la construcci´on queda representada as´ı:Volver Desaf´ıo II: El error de Juan radica en que supuso que a era igual a b, por lo tanto al dividir por(a−b) para pasar de 2a(a−b) = a(a−b) a 2a = a se est´a dividiendo por 0 ya que a−b = a−a = 0.Volver Desaf´ıo III: El cuadrado de la derecha es el creado con los n´umeros pares y el de la izquierda conlos n´umeros impares.Volver25
  26. 26. open greenroadBibliograf´ıa[1 ] Apuntes para la preparaci´on de la PSU Matem´atica, Segunda Edici´on, 2009,Pamela Paredes N´u˜nez, Manuel Ram´ırez.[2 ] Libro para el maestro, Segunda Edici´on, 2001,Jes´us Alarc´on Bortolussi, Elisa Bonilla Rius, Roc´ıo Nava ´Alvarez, Teresa Rojano Cevallos, RicardoQuintero.[3 ] Historia de las Matem´atica en los ´ultimos 10.000 a˜nos, Edici´on, 2008,Ian Stewart.[4 ] Desarrollo del pensamiento matem´atico, Divisi´on, n´umero 7, Edici´on, 2006,Mart´ın Andonegui Zabala.[5 ] Desarrollo del pensamiento matem´atico, Divisibilidad, n´umero 8, Edici´on, 2006,Mart´ın Andonegui Zabala.26
  • FranRojas6

    Jul. 1, 2015
  • diazmaye

    Aug. 21, 2014

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