Tema:                                           Angulos Definición ..........................................................
DefiniciónSemiplanoSe considera un plano α y una recta A tal que A ⊂ α              A      αLa recta A separa al plano  α...
ÁnguloDefinición: dados tres puntos no alineados a, b, c, se llama ángulo convexoabc a la intersección del semiplano de bo...
Clasificación de Ángulos PlanosÁngulo Agudo                                       Es el ángulo formado por la unión de    ...
Un ángulo llano o plano es igual a 180º, o     Rad.).Un ángulo de 180º.En un ángulo llano los dos lados están alineados un...
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus valores es unángulo recto, es decir, 90 grados sexagesimales.Ángulos...
Ángulos Opuestos por el VérticeDos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno sonsemirrectas opuesta...
(α+γ)-γ=(β+γ)-γ                       α=βCorolario:Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice, son semirrectas...
En la figura, la recta m es la mediatriz del segmento AB , pues:                                           m              ...
1º se considera un punto cualquiera de la mediatriz: por ejemplo, el P. uniendo                                           ...
Se une R con el punto medio o del AB , y resultan los triángulos:                                                        ...
R pertenece a la mediatriz del ABIgual razonamiento podría hacerse con cualquier otro punto que equidistara delos extremos...
T)                  1º todo punto de BN equidista de BA y de BC                    2º   Todo punto que equidista de BA y d...
Uniendo R con B resultan los triángulos: ∆          ∆RSB y RTB rectángulos en S y en T                                   ...
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Teoría para introducirnos a ángulos

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Este es una breve teoría, a modo de recapitular los contenidos previos, para introducirnos en el tema de ángulos, para luego trabajar con los alumnos de 7mo. de una forma más compleja, ya sea con las operaciones básicas con el sistema sexagesimal, ecuaciones entre otras alternativas acorde a desarrollo intelectual del grupo aúlico, según el docente lo estime adecuado.
Prof. Cruz Teresa Alicia

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Teoría para introducirnos a ángulos

  1. 1. Tema: Angulos Definición ...........................................................................................Pág. 2 Semiplano...........................................................................................Pág. 2 Ángulo.................................................................................................Pág. 3 Multilátero..........................................................................................Pág. 3 Clasificación de Ángulos Planos........................................................Pág. 4 Propiedades........................................................................................Pág. 6 Líneas Notable....................................................................................Pág. 8 Mediatriz de un Segmento..................................................................Pág. 8 Bisectriz de un Ángulo......................................................................Pag. 12 Profesora Cruz Teresa Alicia 1 Año 2.011
  2. 2. DefiniciónSemiplanoSe considera un plano α y una recta A tal que A ⊂ α A αLa recta A separa al plano  α  en dos partes.Cada una de esas partes se llama semiplanoA es el borde de los semiplanos.Para distinguirlos marcamos un punto en cada semiplano. A y x αDecimos:Semiplano de borde A que contiene a x.Semiplano de borde A que contiene a y.Escribimos en símbolos:Spl(A,x) y Spl(a,y) Profesora Cruz Teresa Alicia 2 Año 2.011
  3. 3. ÁnguloDefinición: dados tres puntos no alineados a, b, c, se llama ángulo convexoabc a la intersección del semiplano de borde ab que contiene a c y elsemiplano de borde bc que contiene a a.en símbolos: ˆSpl ( ab ,c ) ∩ Spl ( bc ,a ) = abc a a ángulo abc b c b c ˆabc Se lee: ángulo abc.ba y bc son los lados.b es el vértice.MultiláteroDados tres o más segmentos consecutivos se llama multilátero a la figuraformada por la unión de dichos segmentos Triláteros cuadriláteros multiláterosAbiertoscerrados Profesora Cruz Teresa Alicia 3 Año 2.011
  4. 4. Clasificación de Ángulos PlanosÁngulo Agudo Es el ángulo formado por la unión de dos líneas rectas en una aberturamayor de 0º y menor de 90º. A la unión se le llama vértice.Ángulo RectoUn ángulo recto es igual a 90º, o Rad.).Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí, la proyecciónortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con su punto deintersección.Ángulo ObtusoUn ángulo obtuso es superior a 90º e inferior a 180º, esto es entre yRad.).Ángulo Llano Profesora Cruz Teresa Alicia 4 Año 2.011
  5. 5. Un ángulo llano o plano es igual a 180º, o Rad.).Un ángulo de 180º.En un ángulo llano los dos lados están alineados uno a continuación de otrodividiendo el plano en dos semiplanos.Ángulo CóncavoEs el ángulo que mide más de 180º y menos de 360°Ángulo Perigonal o CompletoUn ángulo perigonal es igual a 360º, esto es Rad.).Este ángulo se obtiene al hacer girar la semirrecta hasta colocarla en suposición inicial.Ángulos Complementarios Profesora Cruz Teresa Alicia 5 Año 2.011
  6. 6. Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus valores es unángulo recto, es decir, 90 grados sexagesimales.Ángulos SuplementariosÁngulos suplementariosÁngulos suplementarios son aquellos cuya suma de sus grados es igual a180º.Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguarrestando sus grados a 180.PropiedadesSi dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, soncongruentes entre sí mismos. Profesora Cruz Teresa Alicia 6 Año 2.011
  7. 7. Ángulos Opuestos por el VérticeDos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno sonsemirrectas opuestas a los lados del otro.los ángulos que no cumplen esta condición son aquellos que solamente estánunidos por un vértice en común y sus lados no son rectas proyectadas.Teorema:Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. (Esta demostración esadjudicada a Tales de Mileto)H) α y β opuestos por el vérticeT) α=βD) Considerando un ángulo adyacente a α y β: α+γ=180º por ser adyacentes. β+γ=180º por ser adyacentes.por consecuencia del corolario de la propiedad transitiva, los primerostérminos deben ser iguales entre sí: α+γ=β+γY dado que γ es igual a sí mismo, restándolo en ambos miembros de laigualdad: Profesora Cruz Teresa Alicia 7 Año 2.011
  8. 8. (α+γ)-γ=(β+γ)-γ α=βCorolario:Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice, son semirrectasopuestas.Ángulos AdyacentesDos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados nocomunes son semirrectas opuestas. α y β son adyacentesLos ángulos adyacentes son suplementarios.Líneas NotablesMediatriz de un SegmentoSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular que lo divide endos segmentos iguales. Por lo tanto, la mediatriz de un segmento es el lugargeométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Profesora Cruz Teresa Alicia 8 Año 2.011
  9. 9. En la figura, la recta m es la mediatriz del segmento AB , pues: m A B o m ⊥ AB en o.Y o es el punto medio de AB , es decir: AO = OBTeorema: todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremosdel mismo y todo punto que equidista de los extremos de un segmentopertenece a su mediatriz.H) m, mediatriz del ABT) 1º Todo punto de m equidista de A y de B. 2º Todo punto que equidista de A y de B pertenece a m.Demostración: Profesora Cruz Teresa Alicia 9 Año 2.011
  10. 10. 1º se considera un punto cualquiera de la mediatriz: por ejemplo, el P. uniendo ∆ ∆P con A y B, quedan formados los triángulos POA y POB , rectángulos en o,por ser m ⊥ AB , y tales que: P m A B o t i en y tienen t i n e  t i  n e  1 r uLuego estos dos triángulos tienen sus dos catetos iguales, por lo tanto, envirtud del primer criterio de igualdad de triángulos rectángulos, son iguales, y ,en consecuencia, las hipotenusas también son guíales, es decir: PA = PBLuego, P equidista de A y de B; y como P es un punto cualquiera de lamediatriz, queda demostrada la primera parte de la tesis.2º Se considera un punto R tal que equidista de A y de B, es decir: RA = RB Profesora Cruz Teresa Alicia 10 Año 2.011
  11. 11. Se une R con el punto medio o del AB , y resultan los triángulos:     . RO R O  2 1    R O 2 . 01  r uz e r e s aA  1  2 . 01 1 AO = OB  R  RA = RB  R   2 . 0 1   r  Por lo tanto estos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales;luego, en virtud del tercer criterio de igualdad de triángulos, son iguales, esdecir: ∆ ∆ AOR = ROBEn consecuencia, todos sus elementos homólogos son iguales; entre ellos: ˆ ˆ ROA = ROBComo estos ángulos son adyacentes, al ser iguales las rectas que losdeterminan son perpendiculares, es decir: RO ⊥ ABy como o es el punto medio de AB es RO la perpendicular al AB en su puntomedio. Luego:RO es mediatriz del ABo sea: Profesora Cruz Teresa Alicia 11 Año 2.011
  12. 12. R pertenece a la mediatriz del ABIgual razonamiento podría hacerse con cualquier otro punto que equidistara delos extremos del segmento, luego queda demostrada la segunda parte de latesis.Bisectriz de un ÁnguloSe llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a un ángulo endos ángulos iguales. por lo tanto, la bisectriz de un ángulo es el lugargeométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.Teorema: todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados delmismo, y todo punto interior de un ángulo que equidista de los lados del mismopertenece a la bisectriz. 1      H) ˆ BN bisectriz de ABC Profesora Cruz Teresa Alicia 12 Año 2.011
  13. 13. T) 1º todo punto de BN equidista de BA y de BC 2º Todo punto que equidista de BA y de BC pertenece a labisectriz BN .Demostración:1º se considera un punto cualquiera de la bisectriz, el M , por ejemplo.Trazando las distancias de M a los lados BA y BC , que son respectivamente ∆ ∆MP y MQ , resultan los triángulos BPM y BQM rectángulos en P y en Q porser MP ⊥ BA y MQ ⊥ BC , y tales que: 3   BM  ˆ M 2  3 2.  ˆ M 2 . 01 Cr uz Te e s  ˆ ˆ  PBM = MBQ Estos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo agudorespectivamente iguales; luego, por el tercer criterio de igualdad de triángulosrectángulos, son iguales y, en consecuencia son iguales los catetos que seoponen a ángulos iguales entre ellos: MP y MQ , es decir: MP = MQLuego, M equidista de BA y BC , y como M es un punto cualquiera de labisectriz, queda demostrada la primera parte de la tesis. ˆ2º sea R un punto tal que equidista de BA y BC del ángulo ABC , es decir: RS = RT Profesora Cruz Teresa Alicia 13 Año 2.011
  14. 14. Uniendo R con B resultan los triángulos: ∆ ∆RSB y RTB rectángulos en S y en T    4o 2 . 01 1 u z Te rrespectivamente, que tienen:   4o 2 .  o 2 .  1  o . 1 A S B R R T CEstos triángulos rectángulos tienen entonces la hipotenusa y un catetorespectivamente iguales; luego, por el cuarto criterio de igualdad detriángulos rectángulos, son iguales, y por lo tanto, todos sus elementos ˆ ˆhomólogos son iguales; entre ellos los ángulos SBR y RBT , que se oponenrespectivamente a los catetos SR y RT , o sea: ˆ ˆ SBR = RBTen consecuencia: ˆ BR es la bisectriz del ángulo ABC ,Es decir: R pertenece a la bisectriz del ángulo.Como igual razonamiento puede hacerse para cualquier punto que equidistade los dos lados del ángulo, queda demostrada la segunda parte de la tesis. Profesora Cruz Teresa Alicia 14 Año 2.011
  15. 15. Profesora Cruz Teresa Alicia 15 Año 2.011

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