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Fatoração

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Fatoração de polinômios

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Fatoração

  1. 1. Al-Khwarizmi Al-Khwarizmi foi um grande matemático da cultura islâmica. Um matemático tão importante que deriva do seu nome a palavra algarismo. Além de divulgador do sistema de numeração indo-arábico, ele ficou conhecido como um dos principais criadores da Álgebra. Baseado na fonte: http://www.matematicaeduca.com.br/Al-Khwarizmi.html Mesquita Dourada, em Samarra, Iraque Agora é com você!!! Qual a forma simplificada da expressão que representa os seguintes comprimentos de tubos?
  2. 2. Questão 2 O que você já sabe? Em uma gincana de matemática foram sorteadas as questões para duas equipes participantes, equipe verde e equipe amarela. Será considerada a equipe campeã, aquela que possuir o maior resultado. Sabendo que o valor de x = 10, qual a equipe campeã? Y = x8 + x7 + x6 x6 + x5 + x4 Z = x8 + x9 x10 + x11 (A) As equipes empataram. (B) Equipe Verde. (C) Equipe Amarela. (D) Não há solução para as questões apresentadas. Ana Claudia construiu uma tela e deseja calcular o seu perímetro, porém os lados estão representados por incógnitas. Qual deve ser o perímetro desta tela representado pelas incógnitas? Questão 1 (A) x + a + b + c (B) x + 2a + 2b + 2c (C) 2(x + a + b + c) (D) x . a . b . C
  3. 3. Questão 3 O que você já sabe? As idades de quatro irmãs são x, y, z e w, da mais velha para o mais nova. As duas mais velhas têm, juntas, 30 anos. As duas mais novas somam 24 anos. Quanto vale a expressão xz + yz + xw + yw ? (A)560 (B)640 (C)720 (D)840
  4. 4. O que você aprendeu até aqui? Questão 4 Durante uma aula, a professora Débora informou aos seus alunos que o volume de um cubo é o produto das três dimensões: comprimento, largura e altura. Qual das expressões algébricas abaixo representa o volume de 4 cubos idênticos, cujas dimensões medem 5t? (A) 25t3 (B) 125t3 5t (C) 250t3 (D) 500t3 (A) x + a + b + c (B) x + 2a + 2b + 2c (C) 2(x + a + b + c) (D) x . a . b . C A expressão algébrica E = 2 (4x2 + 3x) – 4 (x + 5) está como questão desafio na prova de Andréia e vale 2 pontos extras. Para ela poder ganhar esses pontos extras, ela terá que simplificar a expressão. Qual será o resultado? Questão 5
  5. 5. Questão 6 Antônio ganhou um livro de desafios matemáticos de seu tio e o primeiro deles é o seguinte: “Pensei em um número z, elevei-o ao quadrado, depois somei 3 ao resultado. Em seguida, multipliquei a soma por 5 e acrescentei o dobro do número e obtive o resultado”. Qual deve ser esta expressão simplificada? (A) 5z2 + 2z + 15 (B) z2 + 15z + 2 (C) 10z2 + 2z + 15 (D) 5z2 + 15z + 2 Joana acaba de pintar seu primeiro quadro e deseja comprar a moldura que irá fazer o acabamento de sua obra. A figura abaixo demonstra a situação, com medidas em centímetros, sendo a largura da moldura x. Qual deverá ser a expressão algébrica que representa a área desta moldura? (A) x2 + 1500 (B) 4x2 – 160x (C) 5x2 - 40x (D) 4x2 + 160x Questão 7
  6. 6. Fatoração e Simplificação de Expressões Algébricas Fatoração por fator comum ou evidência A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas. Na fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a ideia de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de produto de expressões mais simples. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/fator-comum.htm Exemplo 1 8x³ - 2x² + 6x (fator comum: 2x) 2x (4x² - x + 3) Exemplo 2 a6 – 4a² (fator comum: a²) a² (a4 – 4) Exemplo 3 4x³ + 2x² + 6x (notamos que o monômio 2x é comum a todos os termos) 2x (2x² + x + 3)
  7. 7. Fatoração e Simplificação de Expressões Algébricas Fatoração por Agrupamento Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum). Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidência. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/agrupamento.htm EXEMPLO: 10 a - 15 + 4ab - 6b (fator comum extraído) 5 ( 2 a – 3 ) + 2b ( 2 a – 3 ) = (5 + 2b ) ( 2 a – 3) Agora é com você!!! Lucas calculou a área de cada cômodo e encontrou a seguinte expressão: ab + ac + 12b + 12c Qual a forma fatorada da expressão que representa a área dessa casa?
  8. 8. Trinômio do Quadrado Perfeito Trinômio do quadrado perfeito é o um dos casos de fatoração de expressão algébrica. Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio (polinômio com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/trinomio-quadrado-perfeito.htm Diferença de dois quadrados A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando: - Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios). - Os dois monômios sejam quadrados. - A operação entre eles for de subtração. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/diferenca-dois-quadrados.htm a² - b² = ( a + b).(a – b)
  9. 9. Educossíntese 1- A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores. 2- A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência. 3- Na fatoração por agrupamento, temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos. 4- O produto da soma pela diferença de dois termos é igual a diferença dos quadrados destes termos. 5- O quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada do trinômio do quadrado perfeito. 6- A fatoração consiste em escrever um número ou expressão algébrica como produto de outras expressões. 7- Os métodos de fatoração de expressão algébrica são: fator comum, agrupamento, trinômio, trinômio do quadrado perfeito, diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e diferença de dois cubos. 8- Expressões algébricas são expressões que indicam operações matemáticas que contêm letras e números ou apenas letras. 9- Para representar um número real em um denominador de uma expressão algébrica, é necessário que ele seja diferente de zero. 10- A simplificação de expressões algébricas é um processo que facilita a resolução de equações algébricas, pois a sua redução torna o processo de resolução mais simples.
  10. 10. O que mais você aprendeu? Questão 1 A figura desenhada na lousa representa um retângulo. Qual deverá ser a expressão simplificada que representa cálculo de perímetro do retângulo? A figura desenhada na lousa representa um retângulo. Qual deverá ser a expressão simplificada que representa cálculo de perímetro do retângulo? (A) a + 3b (B) 2a + 3b (C) 2a + 6b (D) 4a + 9b
  11. 11. Questão 2 O que mais você aprendeu? A professora Helena lançou o seguinte desafio para a turma: “Se x é um número inteiro positivo, qual é o maior fator comum da expressão 4xy + 20x”. Qual das opções responde ao desafio da professora Helena? (A) x (B) x2 (C) 4x (D) 4xy
  12. 12. Questão 3 O que mais você aprendeu? Quatro amigos estão estudando juntos. Eles encontraram o resultado de uma expressão algébrica que é x2 – y2 . Ao simplificá-la, cada um encontrou um resultado: Ângela = (x + y)2 Carla = (x – y)2 Davi = (x – y).(x – y) Lucas = (x + y).(x- y) Qual deles acertou a resposta? (A) Ângela (B) Carla (C) Davi (D) Lucas
  13. 13. Questão 4 O que mais você aprendeu? Veja como a Matemática favorece os cálculos rápidos: 1002 – 902 = (100 + 90). (100 – 90) = 1900 Veja como a Matemática favorece os cálculos rápidos: 1002 – 902 = (100 + 90). (100 – 90) = 1900 Agora é a sua vez! Qual o valor de 31752 – 31742 ? (A) 5436 (B) 6349 (C) 7654 (D) 8760

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