La medición en el laboratorio

5,267 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
5,267
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1,633
Actions
Shares
0
Downloads
68
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

La medición en el laboratorio

  1. 1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE BOLÍVAR. UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS. AREA DE FÍSICA. Elaborado por: Prof. Ramón H. Martínez Zambrano. Ciudad Bolívar, mayo de 2010Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 1
  2. 2. Introducción. La presente guía corresponde a la práctica introductoria Nº 1, la cual esteórico-práctica, no experiencial, cuyo propósito es de inducción a las prácticasexperienciales siguientes. El objetivo de la misma es describir, explicar y aplicar los principiosmatemáticos y físicos que dan soporte a la Teoría de Errores, base fundamentalen toda investigación científica a nivel de los laboratorios de ciencias naturales, ennuestro caso, a los laboratorios de Física, en sus asignaturas Laboratorios I y II deFísica, basado en el Método Científico Experimental. La guía contempla la diferenciación entre precisión y exactitud, aspectosteóricos básicos para la presentación de las magnitudes, medidas en la prácticaexperiencial, y que justifican la certidumbre en las mediciones. Para laconsecución de esta certidumbre, es necesario aplicar normas relacionadas con elalgebra aplicada a las operaciones entre variables medidas, utilizando laestrategia de las cifras significativas, las cuales se aplican en casos de ejemplosreales. Una reflexión que debemos alcanzar en esta primera parte, es verificar quelas mediciones no son exactas en ningún caso, existen factores que afectan a losresultados de las mediciones. En la segunda parte de la guía se describen los tipos de errores y comoevitarlos, se operacionalizan las mediciones, incluyendo sus errores, para evitarlos errores humanos a la hora de realizar los cálculos; por último, se aplica lateoría de errores a casos reales, incluyendo un ejemplo de aplicación con elmétodo de los mínimos cuadrados. La reflexión de esta segunda parte es verificarque se puede reducir los errores humanos en las mediciones utilizando criteriosmatemáticos. La Física es una Ciencia, y por consiguiente, se rige por el métodocientífico, regla de juego consensuada que tiene la finalidad de utilizar estrategiasde trabajo comunes a la comunidad científica, hacia la búsqueda de la “verdad” delos fenómenos que nos rodean y aún de los no evidentes. La Ciencia, a través dela investigación científica, utilizando el método científico, crea un conocimientoracional, objetivo, verificable, que permite comprobar e interpretar principios yleyes físicas ya establecidas y consolidadas, o de crear nueva ciencia, teórica opráctica, que impulse al desarrollo científico y tecnológico. Aunque en estemomento se plantean alternativas al método utilizado por la ciencia, es importanteLaboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 2
  3. 3. destacar el avance que ha tenido la ciencia y la tecnología en nuestro planeta conla utilización del método científico, sobre todo después de la segunda guerramundial, cuyos resultados, en su mayoría, y con discusión ética, han salido de loslaboratorios de Física y de otras ciencias, naturales o sociales, con los cuales laFísica se relaciona e incluso interacciona de manera interdisciplinar, como porejemplo la Biofísica. La asignatura Laboratorio I de Física se basa en el método experimental,basado en el método científico, cuyo propósito es verificar e interpretar losprincipios y leyes físicas, que logren explicar fenómenos comunes en nuestrasvidas, y que son la base para el desarrollo de la Ingeniería. Precisión y exactitud en la medición. Cuando se realizan una o varias mediciones, los resultados, a partir de lateoría de errores, se presentan de la siguiente forma: X = Xprom ± ΔX donde: X: variable medida. Xprom: Valor más probable de la medición. ΔX: Incertidumbre en la medición. La variable medida, X, puede ser cualquier magnitud. La magnitud es unacantidad física que puede ser medida, como por ejemplo: la temperatura(termómetro), la distancia (odómetro), la rapidez (velocímetro), etc. El valor más probable, Xprom, desde el punto de vista estadístico, es el valorpromedio de una cierta cantidad de mediciones. Si se realiza una sola medición,corresponderá al valor medido o calculado previamente.Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 3
  4. 4. La incertidumbre, ΔX, es el error de precisión de las mediciones, yrepresenta la desviación en la medición de una cierta cantidad de mediciones. Laecuación para calcular esta incertidumbre, desde el punto de vista estadístico,recibe el nombre de desviación estándar, y es: σ = [ Σ (Xi – Xprom)2 / (n – 1) ]1/2 donde: Xi: i-ésimo valor medido. Xprom: Valor más probable (valor promedio) (Xi – Xprom)2: Diferencia, al cuadrado, del i-ésimo valor medido y el valorpromedio de las mediciones. Σ (Xi – Xprom)2: Sumatoria de estas diferencias. n: Número de mediciones. n -1: Esta diferencia se utiliza para un n ≤ 20 mediciones. [ Σ (Xi – Xprom)2 / (n – 1) ]1/2: Raíz cuadrada de la división de Σ (Xi – Xprom)2entre n -1. σ: Desviación estándar de las n mediciones. En el caso de una medición (n = 1), no se utiliza la ecuación de σ, sino elerror apreciado, que consiste en dividir la apreciación del instrumento (en el casode los instrumentos de aguja y escala) entre el número 2. La apreciación, A, de una escala es la diferencia entre dos lecturasseleccionadas por el observador, dividida entre el número total de escalas que sepueden contar entre ambas lecturas. Como ejemplo, tomen una regla graduadacomún como las utilizadas en clase; en ella, la escala está en centímetros. Tomenuna lectura mayor (ejemplo: 3 cm) y una lectura menor (ejemplo: 2 cm). Restenambas lecturas (la mayor de la menor), lo cual resultará de 1 cm. Luego dividaneste valor entre el número de escalas contadas entre 2 cm y 3 cm (10 escalas), locual da como resultado, 1/10 de cm, es decir, 0.1 cm; es decir, cada escala de laregla graduada tiene una valor de 0.1 cm ó 1 mm. Esta apreciación (1 mm) es elmenor valor que puede medir nuestra regla graduada. Asimismo, se aplica estaLaboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 4
  5. 5. ecuación al resto de los medidores a escala que se encuentran en el laboratoriode Física (voltímetros, amperímetros, cilindro graduado, termómetro, entre otros). . La ecuación descrita se resume: A = (Lectura mayor – Lectura menor) / Nº de divisiones entre ambas lecturas La excepción en la utilización de esta ecuación, para la determinación de laapreciación, se da en los siguientes instrumentos: Vernier o pie de rey Palmer o tornillo micrométrico. Esferómetro. Cada uno de estos instrumentos utiliza su propia ecuación para determinarla apreciación, debido a sus características constructivas. Estas ecuaciones sedescribirán más adelante. Es importante aclarar que la incertidumbre, ΔX, calculada con la ecuaciónpara la desviación estándar, σ, corresponde al error de apreciación, lo cual permitediferenciar entre precisión y exactitud, ya que ambas expresiones, en algunasoportunidades se pudieran asumir como semejantes. La precisión es el grado de concordancia entre un número determinado demediciones de una determinada magnitud, medidos con el mismo instrumento. Lasdiferencias que pudieran presentarse entre una medición y la otra dependerán delobservador, los niveles de calidad en la fabricación del instrumento o sistema demedición, las condiciones ambientales que rodean al instrumento o sistema, eincluso, situaciones aleatorias. Como ejemplo, pudiéramos considerar la mediciónde una magnitud como la temperatura. Se hacen 5 mediciones de la temperaturaambiente con el mismo termómetro, resultando valores como 35.45 ªC, 35.46 ºC,35.48 ºC, 35.45 ºC y 35.47 ºC. Como puede notar, el instrumento es preciso apesar de las diferencias. Como veremos más adelante, estas diferencias tienenuna explicación lógica.Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 5
  6. 6. La exactitud es el grado de concordancia entre una medición y laconsiderada como “verdadera”. Ninguna medición es exacta o verdadera. Esta seobtiene del promedio de todas las mediciones realizadas a la misma magnitud,desde el punto de vista estadístico. Si es una medición, se puede considerar elvalor calculado como el verdadero. El valor absoluto de la diferencia entre elpromedio de las mediciones realizadas con el termómetro del ejemplo del párrafoanterior y cada medición da como resultado la exactitud de la misma. Si tomamosuna sexta medición con valor 35.45 ºC y la restamos al promedio de las cincomediciones anteriores (35.46 ºC), da como resultado una exactitud de 0.01 ºC. Para concluir esta diferenciación, un instrumento puede ser preciso más nonecesariamente ser “exacto”; sin embargo, un instrumento “exacto” es preciso. En algunas prácticas de laboratorio se utilizará el criterio de la precisión; enotras, la exactitud. Para utilizar el criterio de la exactitud, se utiliza el cálculo del error relativoporcentual. La ecuación de este error es el siguiente valor absoluto: %Er = | [(valor medido – valor “verdadero”) / valor “verdadero”] | * 100 Cifras significativas. La precisión depende, entre otros aspectos, del criterio del observador almomento de medir. Este criterio depende del valor de la escala que señala laaguja del instrumento, es decir, depende de la apreciación del mismo. Para entender lo que significa cifras significativas veamos el siguienteejemplo:Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 6
  7. 7. La imagen corresponde a la medición realizada por un voltímetro conescala de 24 volts. Para observar la medición, lo primero a hacer es determinar laapreciación del instrumento. Aplicamos la ecuación correspondiente, previamentedescrita, y da un valor por escala de A = (12 – 9) / 5, es decir, de 3/5 volts o 0.6volts, por lo que la medición estaría entre 9 y 12 volts, y específicamente entre10.2 y 10.8 volts, por lo que el decimal de la medición queda a criterio delobservador, es decir, pudiera asumir el valor de la medición en 10.4 volts, porejemplo, de tal manera que la cifras significativas de una medición es el númerode dígitos llamados seguros más un último dígito el cual se asume por elobservador, es decir, esta medición tiene un máximo de 3 cifras significativas. Las cifras significativas tienen algunas propiedades importantes: Los ceros a la izquierda de un dígito cualquiera, no se incluyen como cifras significativas. Ejemplo: los valores 0.0056, 0.3 y 0.01 tienen, respectivamente, 2, 1 y 1 cifras significativas. Los ceros a la derecha de cualquier otro dígito si se incluyen como cifras significativas. Ejemplo: 4000, 34.90 y 1.00, tienen, respetivamente, 4, 4 y 3 cifras significativas. En notación científica, el argumento de la base diez se descarta como cifra significativa. Ejemplo: 2.3 x 104, 3.56 x 10-3 y 3 x 1012, tienen, respectivamente, 2, 3 y 1 cifras significativas. La importancia de las cifras significativas está en que las operaciones desuma, resta, multiplicación y división de las expresiones de medición de la forma X= Xprom ± ΔX, no se realizan como operaciones matemáticas a la que estamosacostumbrados cuando usamos nuestra calculadora; sino que, a nivel de unlaboratorio de Física, estas operaciones tienen una normativa. Esto se explica porla razón de evitar los errores humanos al realizar los cálculos producto de lasmediciones. Estas operaciones se describirán y aplicarán más adelante. MientrasLaboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 7
  8. 8. tanto describiremos como se realizan las operaciones básicas utilizando cifrassignificativas (Física I, Unidad 2). Operaciones con cifras significativas. Suma. Ejemplo: Se desea sumar las dos cifras significativas, 3.245 y 3.2, lo cual dacomo resultado 6.4. Los pasos para alcanzar este resultado son: 1. Se suma como operación matemática. 2. Se observa el número mínimo de decimales de los sumandos. En este es 1 decimal correspondiente a 3.2. Esto implica que el resultado solo tendrá 1 decimal. 3. Para alcanzar 1 decimal debe redondearse el resultado, el cual realmente da 6.445. En este caso, el último número decimal es 5. En la normativa que vamos a considerar para efecto de cifras significativas, cuando se compara un número par con un siguiente número igual a 5, para efectos de redondeo, se mantiene ese número par, en este caso el número 4. Caso contrario, si el decimal a redondear es impar y el siguiente número es igual a 5, se redondea el número impar al siguiente número. Ejemplo: 6.345 se redondea a 1 decimal dando como resultado el mismo 6.4. Recordemos que el redondeo es la comparación de un número a redondear con el siguiente, a su vez comparado con el 5: mayor, menor o igual. Al final, el penúltimo decimal, 4, por ser menor a 5, no afecta al primer decimal, dando por resultado 6.4 Resta. Igual que el proceso para la suma, pero ahora restando. Si restamos lascifras significativas del ejemplo anterior, da como resultado 0, ya que el 0 seconsidera un número par.Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 8
  9. 9. Multiplicación. Para multiplicar cifras significativas, se aplicará el siguiente ejemplo: semultiplicará dos cifras significativas, 1.567 y 0.67. Los pasos para alcanzar este resultado son: 1. Se multiplican las dos cifras como operación matemática. El resultado es 1.04989 (considerar todos los decimales posibles). 2. Se observa el menor número de cifras significativas de los multiplicandos. En este caso es 0.67, el cual tiene 2 cifras significativas. 3. El resultado de la multiplicación, por consiguiente, debe tener 2 cifras significativas. Redondeando el resultado 1.04989 a dos cifras significativas, quedaría 1.0 ya que el cero se compara con cinco (el número siguiente). Recordar: el redondeo es de derecha a izquierda. División. Igual que el proceso para la multiplicación, pero ahora se divide 1.567 entre0.67. El resultado es 2.3. En conclusión, la suma y resta de cifras significativas se basa en el menornúmero de decimales de los sumandos; la multiplicación y división, en el menornúmero de cifras significativas de los números que multiplican y/o dividen. Aplicación de cifras significativas. Si se limita solamente a las operaciones de cifras significativas sin error,aplicaremos, con ejemplos, lo descrito hasta el momento.Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 9
  10. 10. Se realizaron tres mediciones para determinar el largo de una cuerda de unpéndulo simple, incluyendo el radio de la plomada (una esfera). La longitud de lacuerda midió 1.56 m utilizando un metro. El diámetro de la plomada (esfera) semidió con un vernier y dio como resultado 4.652 cm. Utilizando cifras significativas,determinar la longitud citada. El resultado es en cm. Primero se suman la longitud de la cuerda y el diámetro de la plomada.Luego el resultado se resta al radio de la esfera. El resultado es como sigue: L =156 cm + 4.652 cm – 4.652/2 cm = 158 cm. Se puede observar que al obtener elradio, el número 2 es una constante, y por consiguiente, el resultado mantiene elmismo número de decimales; asimismo, el resultado, L, no tiene decimales, yaque el valor 156 cm no los tiene. Otro ejemplo sería: Determinar la densidad de un cilindro que tiene unamasa de 39.45 g, un diámetro de 6.657 cm y un largo de 20.82 cm. Todas lasmagnitudes fueron medidas, utilizando la balanza, un vernier y una reglagraduada. Primero se determina el volumen del cilindro utilizando la ecuación V =πR L = π(D/2)2L = (π/4)D2L. Luego se determina la densidad del cilindro utilizando 2la ecuación ρ = m/V. es decir, se realizará un multiplicación, y luego una división,de cifras significativas. Se procede: V = (π/4)(6.657/2)2(20.82) = (π/4)(3.328)2(20.82). El radio se obtiene aldividir una magnitud entre una constante, por lo que el resultado debe tener 4cifras significativas. Ahora V = (π/4)(11.08)(20.82). El radio se multiplica dosveces, dando un resultado con 4 cifras significativas. Ahora V = (π/4)(230.7). Semultiplica dos resultados obtenidos por magnitudes, cuyo resultado se multiplicapor una constante, lo cual debe mantener las 4 cifras significativas. Ahora V =181.2 cm3. Este resultado corresponde al volumen del cilindro considerando lasoperaciones con cifras significativas. Para obtener la densidad se procede: ρ = 39.45 / 181.2, lo cual da 0.2177 3g/cm . Este resultado de 4 cifras significativas es la densidad del cilindro. Para resolver ejercicios de las operaciones con cifras significativas asumenvalores con decimales, y realice operaciones con ellos. Consulte al profesor antecualquier duda.Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 10
  11. 11. Reflexión parcial. Los resultados operacionales de los cálculos, a raíz de magnitudes, danresultados distintos a las operaciones comunes de la matemática. Puedescomprobarlo realizando los ejemplos anteriores utilizando la calculadora. La razón,ya citada, es reducir el error humano en las mediciones. Operaciones con cifras significativas incluido el error en la medición. En esta segunda parte de la guía, se formularán y aplicarán las operacionescon cifras significativas de suma, resta, multiplicación y división, en las que seincluye el error en las mediciones. Luego se determinará el error de lasmediciones utilizando la técnica de las derivadas parciales, se reflexionará sobrelos distintos tipos de errores, y se culmina con la aplicación en dos ejemplos en losque se utiliza la teoría de errores. Para las operaciones, se tomarán dos magnitudes medidas, presentadas dela siguiente manera: X1 = X1prom. ± ΔX1 y X2 = X2prom. ± ΔX2 Suma. X = X1 + X2 = (X1prom. ± ΔX1) + (X2prom. ± ΔX2) = (X1prom. + X2prom) ± (ΔX1 +ΔX2) = Xprom ± ΔX Se puede observar que los valores promedio y la incertidumbre de la sumade dos magnitudes medidas, es igual a la suma de sus valores promedios y lasuma de sus incertidumbres. Como ejemplo se asume que X1 = 18.675 ± 0.879 y X2 = 6.89 ± 0.06. Sedetermina la suma de ambas medidas. El resultado es X = (18.675 + 6.89) ±(0.879 + 0.06) = 25.565 ± 0.939. Este resultado es producto del uso de lacalculadora; sin embargo, para efectos de la reducción del error humano en lamedición, el número de decimales del resultado debe ser de 2 decimales, debido aLaboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 11
  12. 12. los 2 decimales del valor 6.89. De la misma manera, el número de decimales de laincertidumbre resultante debe ser también de 2. Por lo tanto, al redondear losresultados a 2 decimales, queda: X = 25.56 ± 0.94. Note que en el valor promedio,el valor 6 (número par) no pasó al siguiente dígito debido a su comparación con elsiguiente valor: 5. Resta. X = X1 - X2 = (X1prom. ± ΔX1) - (X2prom. ± ΔX2) = (X1prom. - X2prom) ± (ΔX1 +ΔX2) = Xprom ± ΔX. En el caso de la resta, y a diferencia de la suma, se restan los valorespromedio, pero se suman las incertidumbres, por lo que no se recomienda estetipo de operaciones en el cálculo de errores, a menos que sea necesario. Como ejemplo, tomemos los mismos valores de la suma, pero ahora serestan. Su resultado será: X = (18.675 - 6.89) ± (0.879 + 0.06) = 11.78 ± 0.94. Multiplicación. X = X1 * X2 = (X1prom. ± ΔX1) * (X2prom. ± ΔX2) = (X1prom. * X2prom) ± [(ΔX1/X1prom) + (ΔX2/ X2prom)]* (X1prom. * X2prom) = Xprom ± ΔX. En el caso de la multiplicación, el valor promedio resultante es lamultiplicación de los valores promedios de las magnitudes medidas; laincertidumbre resultante, la suma de sus errores relativos multiplicada por el valorpromedio Como ejemplo, se asumen los mismos valores que la suma, pero sedetermina el producto de ambas magnitudes, por lo que su resultado es: X =(18.675 ± 0.879) * (6.89 ± 0.06) = (18.675 * 6.89) ± [(0.879/18.675) + (0.06/6.89)]*(18.675 * 6.89) = 128.67075 ± (0.04706… + 0.008708…)*128.67075 = 129 ±(0.0471 + 0.009)*129. El resultado 129 es el promedio resultante, con tres cifrassignificativas, debido al valor 6.89; los valores 0.0471 y 0.009, son los resultadosde los errores relativos, los cuales tienen 3 y 1 cifras significativas, debido a losLaboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 12
  13. 13. valores 0.879 y 0.06, respectivamente. Al sumar los errores relativos resultantes ymultiplicarlo por el valor promedio, el resultado parcial queda: X = 129 ±(0.0561*129) = 129 ± 7.24. La incertidumbre resultante, 7.24, debe tener 3 cifrassignificativas, debido al valor 129; sin embargo, el número de decimales de laincertidumbre debe corresponder con los del valor promedio; en este caso, 0decimales, por lo que el resultado definitivo es: X = 129 ± 7. También pudieraajustarse el resultado de la siguiente forma. X = 129.00 ± 7.24 ó X = 129.000 ±7.240. Cualquiera de los tres resultados es correcto, siempre y cuando existacorrespondencia entre el número de decimales del promedio y los de laincertidumbre. División. X = X1 / X2 = (X1prom. ± ΔX1) / (X2prom. ± ΔX2) = (X1prom. / X2prom) ± [(ΔX1/X1prom) + (ΔX2/ X2prom)]* (X1prom. / X2prom) = Xprom ± ΔX. Parecido a la multiplicación, solo que se dividen los valores promedio.Siguiendo los valores del ejemplo anterior, el resultado queda: X = (18.675 / 6.89)± [0.0561*(18.675 / 6.89)] = 2.710449… ± (0.0561*2.710449…) = 2.71 ± 0.152. Elresultado 2.71, valor promedio resultante, tiene 3 cifras significativas, debido alvalor 6.89. El valor 0.152 presenta 3 cifras significativas debido al valor 2.71.Igualando el número de decimales, el resultado quedaría: X = 2.71 ± 0.15 Cálculo de errores utilizando derivadas parciales. Antes de aplicar la teoría de errores a casos reales, se refuerza el cálculode errores utilizando las derivadas parciales. La derivada parcial tiene la misma resolución que una derivada de lascomúnmente resueltas en matemáticas I. La diferencia se ubica en que losteoremas para la resolución de las derivadas parciales se hacen con una solavariable, transformándose las restantes en constantes. Como ejemplo, se tiene la magnitud T = 4X2 + 2t. Se pide la presentaciónde esta magnitud, es decir, T = T prom. ± ΔT. Para obtener el promedio de T sedeterminan los promedios de X y t, de tal manera que T prom. = 4X2prom. + 2tprom. LaLaboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 13
  14. 14. determinación de la incertidumbre de T, ΔT, se puede realizar por elprocedimiento anteriormente descrito (multiplicación de cifras significativas conerror, en la cual X2 es igual a X * X), o aplicando la técnica de las derivadasparciales. De acuerdo a esta última técnica, dicha incertidumbre se obtiene de lasiguiente manera: ΔT = ι(∂T/∂X)ι ΔX + ι(∂T/∂t)ι Δt donde: ι(∂T/∂X)ι: Es el valor absoluto de la derivada parcial de T con respecto a X. En este caso la variable t pasa a ser una constante. El valor absoluto significa que el resultado es siempre positivo. ι(∂T/∂t)ι: Es el valor absoluto de la derivada parcial de T con respecto a t. En este caso la variable X pasa a ser una constante. El valor absoluto significa que el resultado es siempre positivo. ΔX: Es la incertidumbre de las n mediciones de X obtenida por la ecuación de la desviación estándar. Δt: Es la incertidumbre de las n mediciones de t obtenida por la ecuación de la desviación estándar. Los pasos para la resolución de las derivadas parciales son los siguientes: ∂T/∂X = ∂/∂X(4X2 + 2t) = 8X + 0 = 8X ∂T/∂t = ∂/∂t(4X2 + 2t) = 0 + 2 = 2 Ecuación resultante: ΔT = 8Xprom ΔX + 2 Δt. En éste, la X es el valor promedio de las n mediciones de la misma. Resultado: Sustitución de resultados numéricos. Esta técnica de las derivadas parciales se utiliza para magnitudes cuyasecuaciones tienen potenciación, funciones armónicas (seno, coseno), raízcuadrada, entre otros, es decir, ecuaciones no lineales.Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 14
  15. 15. Tipos de errores. Existen tres tipos de errores, de los cuales dos pudieran evitarse, o almenos, reducirse, y uno que no se sabe ni como se origina. Error humano. Son los que comete el observador al hacer las mediciones y al realizar lasoperaciones con las magnitudes medidas. El primer caso se pude evitar teniendocuidado a la hora de medir. Estos cuidados son: Calibrar adecuadamente los instrumentos o sensores. Si el instrumento es de escala, colocar la vista directamente sobre la aguja. Esto se puede notar al no haber sombra entre la aguja y la pantalla con escala. Determinar la apreciación del instrumento. De ello dependerá el número de cifras significativas de la medición. No olvide que el último dígito lo asume el observador; el resto, son seguros. No conformarse con una medición. Realizar la cantidad de mediciones que sea necesaria y/o posible. Realizar el montaje adecuadamente. Observar y neutralizar los factores externos a la medición que la pudieran afectar, como por ejemplo, un aire acondicionado, cuyo ventilación afecta la caída libre de un cuerpo. Realizar las mediciones sin apresuramiento, para evitar registros no adecuados. Cualquier situación irregular, consultar con el Técnico o el Profesor. El segundo caso, lo hemos tratado en esta guía. Consiste en lasoperaciones con cifras significativas. Error sistemático. Son los errores debido a la fabricación del instrumento y/o condicionesambientales. En el primer caso se subdivide en estático y dinámico. El primero deellos se refiere a la calidad de fabricación del instrumento (confiabilidad); elLaboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 15
  16. 16. segundo, a la sensibilidad del instrumento, es decir, a la respuesta del instrumentoal momento de experimentar cambios en la medición. Para reducirlos es necesarioescoger instrumentos en buen estado y de la mayor calidad posible. Las condiciones ambientales se refieren a la ventilación, camposelectromagnéticos, humedad, limpieza, entre otros, del laboratorio. Por ejemplo,debe existir en el laboratorio un clima adecuado, con poca humedad, evitando eluso de los celulares (afectan a los aparatos electrónicos al momento de medir), yevitando lo más posible el polvo (que afectan la confiabilidad de lascomputadoras). De allí, que el laboratorio debe estar limpio y bien ventilado. Errores al azar. Son errores de origen desconocido y, por consiguiente, no se pueden evitar.Son los errores que quedan en una medición que cumpla cabalmente con todoslos requisitos de reducción de los errores anteriores. Ejemplo: Un movimiento desoporte producido por un agente externo como el paso de un camión, cerca dellaboratorio de Física, en el momento de una medición. Aplicación de la teoría de errores. La aplicación de la teoría de errores se explicará con dos ejemplos deaplicaciones reales en el laboratorio. El primero de ellos corresponde a unapráctica sobre el uso del vernier en varias mediciones; el otro ejemplo, una seriede mediciones para obtener una gráfica de F (fuerza) vs x (elongación de unresorte) para determinar manualmente, por el método de mínimos cuadrados, lapendiente de dicha gráfica (una recta), la cual corresponde a la constante derigidez del resorte, K, dato útil para determinar el periodo de oscilación, en elmovimiento armónico simple, de un sistema masa-resorte. Determinación de la densidad de un cuerpo rígido geométricamenteestablecido. En una práctica de laboratorio sobre instrumentos de medición, se utilizaronun vernier y una balanza, para realizar una cierta cantidad de mediciones de lasLaboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 16
  17. 17. magnitudes y propiedades de un material cilíndrico (largo, diámetro y masa). Losresultados de dichas mediciones se registran en la siguiente tabla: Nº Largo (cm) Diámetro (cm) Masa (g) 1 6.565 3.435 19.35 2 6.570 3.440 19.34 3 6.565 3.430 19.35 4 6.560 3.435 19.36 5 6.575 3.440 19.37 Se desea determinar, utilizando la teoría de errores, la densidad delmaterial cilíndrico. La densidad del material cilíndrico se obtiene a través de la ecuación ρ =(mprom ± Δm) / (Vprom ± ΔV) = ρprom ± Δρ, siendo m y V, la masa y el volumen delmaterial cilíndrico. Se espera obtener el valor más probable de la densidad, asícomo su incertidumbre. Un paso previo para obtener la densidad es la determinación del volumen através de la ecuación V = (π/4)D2L. Utilizando las derivadas parciales para obtener la incertidumbre del materialcilíndrico, y considerando que V = Vprom ± ΔV = (π/4)(D2prom)(Lprom) ± ι(∂V/∂D)ι ΔD +ι(∂V/∂L)ι ΔL, es decir: Vprom = (π/4)(D2prom)(Lprom) ΔV = ι(∂V/∂D)ι ΔD + ι(∂V/∂L)ι Para obtener ΔV se determinan las derivadas parciales. ∂V/∂D = ∂/∂D[(π/4)(D2prom)(Lprom)] = (π/2)(Dprom)(Lprom) ∂V/∂L = ∂/∂L[(π/4)(D2prom)(Lprom)] = (π/4)(D2prom)Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 17
  18. 18. Por lo que ΔV = (π/2)(Dprom)(Lprom)(ΔD) + (π/4)(D2prom)(ΔL), y V =(π/4)(D2prom)(Lprom) ± [(π/2)(Dprom)(Lprom)(ΔD) + (π/4)(D2prom)(ΔL)]. Las incognitasDprom, Lprom, mprom, ΔD, ΔL y Δm, se obtienen a partir de las siguientes tablas:Nº Di (cm) Di - Dprom (Di - Dprom)2 21 3.435 3.435 – 3.436 = - 0.001 (- 0.001) = 0.0000012 3.440 3.440 – 3.436 = 0.004 (0.004)2 = 0.000023 3.430 3.430 – 3.436 = - 0.006 (- 0.006)2 = 0.000044 3.435 3.435 – 3.436 = - 0.001 (- 0.001)2 = 0.0000015 3.440 3.440 – 3.436 = 0.004 (0.004)2 = 0.00002 Dprom = 3.436 Σ(Di - Dprom)2 = 0.00008Nº Li (cm) Li - Lprom (Li - Lprom)2 21 6.565 6.565 - 6.567 = - 0.002 (- 0.002) = 0.0000042 6.570 6.570 - 6.567 = 0.003 (0.003)2 = 0.0000093 6.565 6.565 - 6.567 = - 0.002 (- 0.002)2 = 0.0000044 6.560 6.560 - 6.567 = - 0.007 (- 0.007)2 =0.000055 6.575 6.575 - 6.567 = 0.008 (0.008)2 = 0.00006 Lprom = 6.567 Σ(Li - Lprom)2 = 0.0001Nº mi (g) mi - mprom (mi - mprom)21 19.35 19.35 - 19.35 = 0 02 19.34 19.34 - 19.35 = - 0.01 (- 0.01)2 = 0.00013 19.35 19.35 - 19.35 = 0 04 19.36 19.36 - 19.35 = 0.01 (0.01)2 = 0.00015 19.37 19.37 - 19.35 = 0.02 (0.02)2 = 0.0004 mprom = 19.35 Σ(mi - mprom)2 = 0.0006 Todos los resultados obtenidos en las tablas están basadas en lasoperaciones con cifras significativas. A partir de los resultados anteriores se determinan las incertidumbres ΔD,ΔL y Δm: ΔD = √ [Σ(Di - Dprom)2 / 4] = √ (0.00008 / 4) = 0.004472…. cm ΔL = √ [Σ(Li - Lprom)2 / 4] = √ (0.0001 / 4) = 0.005 cm Δm = √ [Σ(mi - mprom)2 / 4] = √ (0.0006 / 4) = 0.012247… gLaboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 18
  19. 19. Los resultados para las incertidumbres presentan una probabilidad del 67%,de que una próxima medición se encuentre en el intervalo que contempla a dichaincertidumbre. Si se quiere una probabilidad del casi 100%, se multiplica losvalores de la desviación estándar por el valor 3. La presentación de las magnitudes de D, L y m queda de la siguientemanera: D = (3.436 ± 0.004) cm L = (6.567 ± 0.005) cm m = (19.35 ± 0.01) g El volumen se determina de la siguiente manera: V = (π/4)(D2prom)(Lprom) ±[(π/2)(Dprom)(Lprom)(ΔD) + (π/4)(D2prom)(ΔL)] = (π/4)(3.436)2(6.567) ± 2[(π/2)(3.436)(6.567)(0.004) + (π/4)(3.436) (0.005)] = 60.89 ± (0.1 + 0.05) = 60.89 ±0.15. El volumen presenta el siguiente resultado: V = (60.89 ± 0.15) cm3 La densidad se obtiene por la ecuación de división de cifras significativascon error: ρ = (mprom ± Δm) / (Vprom ± ΔV) = (19.35 ± 0.01) g / (60.89 ± 0.15) cm 3 =(19.35 / 60.89) ± [(0.01/19.35) + (0.15 / 60.89)]* (19.35 / 60.89) = 0.3178 ± (0.0005+ 0.0025)*0.3178 = 0.3178 ± (0.0030*0.3178) = 0.3178 ± 0.00095. Ajustando losdecimales, la presentación de la densidad quedaría: ρ = (0.3178 ± 0.0010) g/cm3 Es importante que hagas el ejercicio por tu cuenta; cualquier duda, consultacon tu profesor. No olvides: calcular utilizando operaciones con cifrassignificativas. Determinación de la constante de rigidez, K, de un resorte, utilizando elmétodo de los mínimos cuadrados. Para determinar la constante K se utiliza un método manual que consiste enagregar pesas a un sistema masa-resorte vertical, y medir, utilizando una reglagraduada, la elongación del resorte, x, así como el valor de la pesa, en g-f,utilizando un dinamómetro analógico. Los resultados se registran en la siguientetabla:Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 19
  20. 20. N Peso agregado (Fi), en g-f Elongación del resorte (xi), en cm 1 0 0 2 10 3.94 3 20 7.88 4 30 11.83 5 40 15.60 Se pide la gráfica F vs x para identificar los puntos y trazar una gráficaaproximada. Se observa un cierto alejamiento de los puntos al valor de la recta;sin embargo, se acepta que existe una proporcionalidad directa entre la fuerzaaplicada y la elongación alcanzada por el resorte, lo que verifica la Ley de Hookeen este experimento. Para obtener la pendiente de la gráfica F vs x, así como el error de lapendiente, se utiliza la ecuación para mínimos cuadrados. La presentación delresultado para K, es: K = Kpendiente ± ΔK, donde Kpendiente es el valor más probablede la medición, obtenida a través de la ecuación de la pendiente; ΔK, es laincertidumbre, obtenida a partir de la ecuación del error de pendiente. La ecuación para una pendiente es: a = [N*Σ(xi*yi) – Σ(xi)*Σ(yi)] / [N*Σ(xi)2 – 2(Σxi) ], por lo que el valor de K es: Kpendiente = [N*Σ(Fi*xi) – Σ(xi)*Σ(Fi)] / [N*Σ(xi)2 – (Σxi)2], donde N = 5 Para determinar la incógnita se realiza la siguiente tabla:N Fi xi Fi*xi xi2 Fi21 0 0 0 0 02 10 3.94 39 15.5 1.0 x 1023 20 7.88 1.6 x 102 62.1 4.0 x 1024 30 11.83 3.5 x 102 139.9 9.0 x 1025 40 15.60 6.2 * 102 243.4 1.6 x 103 2 ΣFi = 100 Σxi = 39.25 ΣFi*xi = 1,169 Σxi = 460.9 Σ(Fi2) = 3000 (Σxi)2 = 1541Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 20
  21. 21. En la tabla se notan dos aspectos importantes. En la cuarta y sextacolumnas aparecen notaciones científicas, debido a que los resultados de lamultiplicación solo deben tener dos cifras significativas. Ejemplo: 20*7.88 = 157.6.Como el resultado debe tener dos cifras significativas, el valor 157.6 se traslada anotación científica, quedando 1.576 x 102. La base de la notación se ajusta a doscifras significativas, quedando el resultado: 1.6 x 10 2. Otro aspecto: al sumar losvalores de la cuarta y sexta columnas, el resultado queda sin decimales. Con los resultados obtenidos en la tabla anterior, se determina la pendiente,K, considerado como valor más probable. Entonces: Kpendiente = [5*(1,169) – (39.25)*(100)] / [5*(460.9) – 1541] = (5845 – 3.92 x103) / (2304 – 1541) = 1925 / 763 = 2.52. El resultado para la pendiente, con trescifras significativas, es: Kpendiente = 2.52 g-f/cm. Para determinar el error de la pendiente, lo cual equivale a la incertidumbre,ΔK, se utiliza la siguiente ecuación estadística: Sa = √ [a2 / (N – 2)]*(R-2 – 1) donde: R2 = [Cov(x,y)]2 / [Var(x)*Var(y)] Cov(x,y) = [N*Σ(xi*yi) – Σ(xi)*Σ(yi)] / N2 Var(x) = [Σ(xi2) / N] - [Σ(xi) / N]2 Var(y) = [Σ(yi2) / N] - [Σ(yi) / N]2 donde: xi = xi, yi = Fi, Sa = ΔK y a = Kpendiente Sustituyendo los resultados obtenidos en la tabla anterior, se resuelve laincertidumbre: Cov(x,y) = [(5)*(1,169) – (39.25)*(100)] / 52 = (5845 – 3.92 x 103) / 25 =1925 / 25 = 77.00. El 25 no es cifra significativa (no es una medición), por lo tantoel resultado debe tener 4 cifras significativas.Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 21
  22. 22. Var(x) = (460.9 / 5) – (39.25 / 5)2 = 92.18 – (7.850)2 = 92.18 – 61.62 =30.56 Var(y) = (3000 / 5) – (100 / 5)2 = 600.0 – (20)2 = 600.0 – 4.0 x 102 = 200 R2 = (77.00)2 / (30.56 * 200) = 5929 / 6.11 x 103 = 0.970 ΔK = √[(2.52)2 / (5-2)]*[(1 / 0.970) – 1] = √(6.35 / 3)*(1.03 – 1) =√(2.12)*(0.03) = √0.06 = 0.2449…. Por lo tanto, la presentación de K, queda: K = (2.52 ± 0.24) g-f/cm Reflexión final Los ejemplos anteriores demuestran que, a nivel de laboratorios deinvestigación, entre los que se encuentran los laboratorios de Física, losresultados no se obtienen con el uso directo de la calculadora; es necesario unasreglas de juego, llamadas operaciones con cifras significativas, con la finalidad dereducir el error humano, a la hora de realizar las operaciones, con magnitudesmedidas en el laboratorio. Las mediciones no son exactas ni precisas, siempre hay errores; sinembargo, se pueden reducir, de manera tal, de lograr la confiabilidad en lasmediciones, y por consiguiente de la interpretación de la investigación, en labúsqueda del conocimiento científico. Cualquier duda en relación a esta guía consulta con el profesor de laasignatura.Laboratorio I de Física. Prof. Ramón Martínez Página 22

×