100429 pres1 count

1,016 views

Published on

Published in: Education, Technology
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,016
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
71
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

100429 pres1 count

  1. 1. COUNT STUDY PROJECT   
  2. 2. COUNT STUDY PROJECT If we do not want to believe that ideas are innate  or God­given, but the result of subjective thinkers  conceptual activity, we have to devise a model of  how elementary mathematical ideas could be  constructed – and such a model will be plausible  only if the raw material it uses is itself not  mathematical. (Glasersfeld, 64)   
  3. 3. COUNT STUDY PROJECT “mathematics deals with ideas. Not pencil marks or  chalk marks, not physical tirangles or physical sets,  but ideas (which may be represented or suggested  by physical objects” (Hersh, in Glasersfeld, 64) Ideen gründen auf Erfahrung/Erleben → Wie entstehen Ideen aus Erfahrung ?   
  4. 4. COUNT STUDY PROJECT prä­ numerisch   
  5. 5.        Zahlkonzept COUNT STUDY PROJECT prä­ numerisch   
  6. 6.        Zahlkonzept COUNT STUDY PROJECT Ausgangssituation early arithmetic  (relation/subit.) Vielheitsubitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS prä­ numerisch   
  7. 7.        Zahlkonzept COUNT STUDY PROJECT Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung distributing one­one correspondence turn­taking tagging alignment prä­ numerisch   
  8. 8.        Zahlkonzept COUNT STUDY PROJECT Operationale Linking Verknüpfung metaphors Conceptual Symbolizing Blending Reflektierende Abtraktion Operationen (abstrahierende) psychologische und mathematische Ideen prä­ numerisch   
  9. 9. Anschauung        Zahlkonzept COUNT Verfahren STUDY PROJECT Produktivität Systematitzität Kompositionalität Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst” prä­ numerisch   
  10. 10. Anschauung        Zahlkonzept COUNT Verfahren STUDY PROJECT Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing one­one Abtraktion correspondence early arithmetic  turn­taking (relation/subit.) Vielheitsubitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä­ numerisch   
  11. 11. COUNT STUDY PROJECT Diese (erste) Übersicht ist  einerseits chronologisch motiviert, was ● aber der Diskussion bedarf ● Stichwort “Horizontale Decalage” ● was entsteht nacheinander / oder auch zeitgleich?  nicht erschöpfend ●   
  12. 12. COUNT STUDY PROJECT  Leitfragen ● ● Wie wird Zahl kognitiv benutzt (über die ganze Spanne der verschiedenen Stadien)? ● Welche Vorgänge legen Umgang mit und Erlernen von Zahlen nahe? ● Spielwelten / “echte” Welten ● Was wird gezählt ? (konkrete Objekte; Akte; Repräsentationen) ● Verbindung “early numerosity” und “ voll entwickelter Zahlbegriff” ● diese scheint nicht kontinuierlich zu sein ● Was ist “Verstehen” ?  ● Kulturbedingte Unterschiede ?  
  13. 13. COUNT STUDY PROJECT  Ansatz ● ● Primat der Ordinalität ● (wie Brainerd, Dedekind) ● Kardinaliät folgt erst aus Ordinalität ● Schema­Begriff als Grundkonstrukt der Handlung und Repräsentation   
  14. 14. early arithmetic  Ausgangssituation (relation/subit.) Vielheitsubitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS GLASERSFELD, STEFFE prä­ Einheit numerisch   
  15. 15. “The first task, then, is the distinction of individually discrete “things” in our  experiential field. To normal adult humans, who are experienced managers of a more  or less familiar environment, it may seem  absurd to suggest that the segmentation  of their experiential world into discrete  things should not be an ontological given.” (Glasersfeld p.64) early arithmetic  Ausgangssituation (relation/subit.) Vielheitsubitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS GLASERSFELD, STEFFE prä­ Einheit numerisch   
  16. 16.        “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily objects of various kinds. Out of the multitude of our sense experiences we take, mentally and arbitrarily, certain repeatedly occurring complexes of sense impressions (partly in conjunction with sense impressions which are interpreted as signs for sense experiences of others), and we correlate to them a concept – the concept of the bodily object. Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions referred to; but it is a free creation of the early arithmetic  human (or animal) mind.” (relation/subit.) (A. Einstein in Glasersfeld, p64) Vielheitsubitzing Objektidentität Objektpermanenz Objektidentität Einheit SNWS PIAGET, GLASERSFELD prä­ numerisch   
  17. 17.        “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring who are experienced managers of a more complexes of sense impressions (partly in  or less familiar environment, it may seem conjunction with sense impressions which  absurd to suggest that the segmentation are interpreted as signs for sense experiences  of their experiential world into discrete of others), and we correlate to them a  things should not bean ontological given.” concept – the concept of the bodily object. Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions “Husserl referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.” proposed that the mental operation that unites different sense impressions into the concept of a “thing” is similar to the operation that unites abstract units into the concept of a number.” (Glasersfeld, p.65) early arithmetic  (relation/subit.) Vielheit Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS GLASERSFELD, STEFFE prä­ numerisch    
  18. 18.        “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring who are experienced managers of a more Husserl complexes of sense impressions (partly in  or less familiar environment, it may seem proposed that the mental operation that conjunction with sense impressions which  absurd to suggest that the segmentation unites different sense impressions into the are interpreted as signs for sense experiences  of their experiential world into discrete concept of a “thing” is similar to the operation of others), and we correlate to them a  things should not bean ontological given.” that unites abstract units into the concept of a concept – the concept of the bodily object. number Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions Brouwer (1949) proposed that the referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.”  perceiving subject’s self­directed  attention “performs identifications of different sensations and of different complexes of sensations, and in this way,  in a dawning atmosphere of forethought,  creates iterative complexes of sensations” (in Glasersfeld, p. 65) early arithmetic  (relation/subit.) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Objektpermanenz Einheit SNWS PIAGET, GLASERSFELD prä­ numerisch    
  19. 19.        “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily Brouwer (1949) proposed that the “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude  perceiving subject’s self­directed individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally  attention “performs identifications experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring of different sensations and of different who are experienced managers of a more Husserl complexes of sense impressions (partly in complexes of sensations, and in this way,  or less familiar environment, it may seemproposed that the mental operation that conjunction with sense impressions which  in a dawning atmosphere of forethought,   absurd to suggest that the segmentation unites different sense impressions into the creates are interpreted as signs for sense experiences  of their experiential world into discrete concept of a “thing” is similar to the operation iterative complexes of sensations” of others), and we correlate to them a  things should not bean ontological given.” that unites abstract units into the concept of a concept – the concept of the bodily object. number Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.” early arithmetic  (relation/subit.) Vielheit subitzing subitzing Objektidentität Objektpermanenz ULLER, WYNN, MARAMSSE, STARKEY,  prä­ Einheit SNWS ANSARI, GEARY, STRAUSS/CURTIS numerisch    
  20. 20.        “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily Brouwer (1949) proposed that the “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude  perceiving subject’s self­directed individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally  attention “performs identifications experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring of different sensations and of different who are experienced managers of a more Husserl complexes of sensations, and in this way, complexes of sense impressions (partly in  or less familiar environment, it may seemproposed that the mental operation that conjunction with sense impressions which  in a dawning atmosphere of forethought,   absurd to suggest that the segmentation unites different sense impressions into the creates are interpreted as signs for sense experiences  of their experiential world into discrete concept of a “thing” is similar to the operation iterative complexes of sensations” of others), and we correlate to them a  things should not bean ontological given.” that unites abstract units into the concept of a concept – the concept of the bodily object. number Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.” early arithmetic  early arithmetic  (relation/subit.) (relation/subit.) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz ULLER, WYNN, MARAMSSE, STARKEY,  prä­ Einheit SNWS ANSARI, GEARY, STRAUSS/CURTIS numerisch    
  21. 21.        “I believe that the first step in the setting of a ‘real external world’ is the formation of the concept of bodily objects and of bodily Brouwer (1949) proposed that the “The first task, then, is the distinction of objects of various kinds. Out of the multitude  perceiving subject’s self­directed individually discrete “things” in our of our sense experiences we take, mentally  attention “performs identifications experiential field. To normal adult humans, and arbitrarily, certain repeatedly occurring of different sensations and of different who are experienced managers of a more Husserl complexes of sensations, and in this way, complexes of sense impressions (partly in  or less familiar environment, it may seemproposed that the mental operation that conjunction with sense impressions which  in a dawning atmosphere of forethought,   absurd to suggest that the segmentation unites different sense impressions into the creates are interpreted as signs for sense experiences  of their experiential world into discrete concept of a “thing” is similar to the operation iterative complexes of sensations” of others), and we correlate to them a  things should not bean ontological given.” that unites abstract units into the concept of a concept – the concept of the bodily object. number Considered logically this concept is not identical with the totality of sense impressions referred to; but it is a free creation of the human (or animal) mind.” early arithmetic  (relation/subit.) Vielheit subitzing Objektidentität Objektpermanenz Einheit SNWS STEFFE/GLASERSFELD, MARMASSE prä­ SNWS numerisch    
  22. 22. Anschauung        Zahlkonzept Verfahren Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing one­one Abtraktion correspondence early arithmetic  turn­taking (relation/subit.) Vielheitsubitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä­ numerisch   
  23. 23. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung distributing one­one correspondence turn­taking tagging alignment   
  24. 24. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata sensomotor­Schemata (zB. Kelly Mix) ­ werden in direkter Interaktion mit der Umwelt gebildet ­ können nicht eigenständig von dieser ablaufen Erhaltung ­ sind das Grundmaterial für Abstraktionen distributing one­one distributing correspondence turn­taking turn­taking tagging tagging alignment alignment MIX  „The construction of number concepts“   
  25. 25. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata "From action to abstraction" ● Was ist die Erfahrungsgrundlage mathematischer  Konzepte? ● nicht Dinge ● sondern Handlungen Erhaltung ● Warum? one­one ● Dinge entsprechen mathematischen Definitionen  correspondence nicht. ● Punkt und Linie haben keine Ausdehnung ● Eine Linie wird aufs Papier gezeichnet. Was ist die  Linie? ● der Strich auf dem Papier ? ● das Ziehen der Hand ? GLASERSFELD   
  26. 26. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata "From action to abstraction" ● "I propose to think of "point" as the very center of the  area in the focus of attention."(66) ● "What you have to focus on, of course, is not the  Erhaltung wire, nor the space it leaves, but the movements,  beause in movement we feel direction but no lateral  one­one extension."(66) correspondence ● "To my mind, both these approaches are more  adequate than merely saying that a point has no  extension. They come closer to describing what one  can do to arrive at the concept that has no sensory  instantionation."(67) ● "The line, then, is a reflective abstraction from a  GLASERSFELD uniform movement we make."(67)   
  27. 27. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung distributing one­one correspondence turn­taking tagging alignment GLASERSFELD   
  28. 28. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung distributing one­one one­one correspondence correspondence turn­taking tagging Objekte gegenüberstellen alignment z.B. SNWS Objekte mit der SNWS SNWS verbinden   
  29. 29. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata Erhaltung verschiedster Art Masse, Volumen, Anzahl Ausgangspunkt für Multiplikation ? Operationale Operationale Verknüpfung Verknüpfung Erhaltung Erhaltung distributing one­one correspondence Park/Nunes untersuchen die Frage, ob Multiplikation auf der  turn­taking Grundlage ● wiederholter Addition tagging oder ● operationaler Verknüpfung entsteht alignment PIAGET PARK / NUNES   
  30. 30. Grounding (Verwurzelung) Die Entstehung erster Schemata ­ a second dimension ? a plane requires movements  in two directions Operationale Operationale Verknüpfung Verknüpfung whats the experiential basis  for the concept “plane” Erhaltung Erhaltung distributing one­one correspondence turn­taking tagging alignment   
  31. 31. Anschauung        Zahlkonzept Verfahren Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing one­one Abtraktion correspondence early arithmetic  turn­taking (relation/subit.) Vielheitsubitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä­ numerisch   
  32. 32. Operationen (abstrahierende) psychologische und mathematische Ideen Operationale Linking Verknüpfung metaphors Conceptual Symbolizing Blending Reflektierende Reflektierende Abtraktion Abtraktion In short, I submit that the three  elementary concepts of arithmetic – unit, set, and number – are abstractions,  not from physical objects or other sensory material,  but from mental operations that  thinking subjects must carry out themselves. DUBINSKY, ARBIB, PIAGET    
  33. 33. Operationale Linking Verknüpfung metaphors Removal from the sensory­motor level Conceptual Symbolizing  requires Blending what Piaget has called "reflective abstraction,"  that is, Reflektierende Reflektierende Abtraktion  in our terms, the focusing of attention not Abtraktion on sensory­motor signals but on the results or  products of prior attentional operations. Something that has been constructed by means  of an attentional pattern is now reprocessed  and used as raw material  for a new sequence of focused and  unfocused pulses. DUBINSKY, ARBIB, PIAGET    
  34. 34. Operationale Linking Verknüpfung metaphors In the case of the unitary items, this creates Removal from the sensory­motor level an abstract, or arithmetic unit, that,  Conceptual Symbolizing  requires in our view, represents Piagets  Blending what Piaget has called "reflective abstraction," "element stripped of its qualities"  that is,  (cf. the above quotation from Piaget, 1970).  Reflektierende Reflektierende Abtraktion  in our terms, the focusing of attention notThe reprocessing of a unitary item does two things: Abtraktion on sensory­motor signals but on the results or   It separates the attentional pattern products of prior attentional operations.  (that created the unity)  Something that has been constructed by means   from whatever sensory­motor material it of an attentional pattern is now reprocessed contained and focuses an attentional pulse on it.  and used as raw material  In doing so, it creates a  for a new sequence of focused and new unit that is again bounded by  unfocused pulses.  unfocused pulses. DUBINSKY, ARBIB, PIAGET    
  35. 35. Operationale Linking Verknüpfung metaphors Conceptual Symbolizing Symbolizing Blending Reflektierende Abtraktion The fact is that number words have become symbols for  us, and as such they symbolize the counting procedure that leads up  to them, without our having to carry out that procedure or even having to think of it. GLASERSFELD   
  36. 36. However, once patterns of mental operations have  been abstracted, they become mathematical conceptsthrough association with symbols that can “point” Operationale Linking to them without invoking their Verknüpfung metaphors actual execution. Conceptual Symbolizing Symbolizing Blending Reflektierende Abtraktion GLASERSFELD    
  37. 37. Operationale Linking Linking Verknüpfung metaphors metaphors Conceptual Symbolizing Blending Reflektierende Abtraktion LAKOFF/NUNEZ   
  38. 38. Operationale Linking Verknüpfung metaphors Conceptual Symbolizing Conceptual Blending Blending Reflektierende Abtraktion GOUGEN, FOUCAUNIER,  GAERDENFOERS, SMAILL   
  39. 39. Anschauung        Zahlkonzept Verfahren Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing one­one Abtraktion correspondence early arithmetic  turn­taking (relation/subit.) Vielheitsubitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä­ numerisch   
  40. 40. Anschauung        Zahlkonzept Verfahren Produktivität Systematitzität Kompositionalität Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”   
  41. 41. Anschauung O. WIENER        Zahlkonzept Verfahren Verfahren Produktivität Systematitzität Ich habe etwas verstanden, Kompositionalität wenn ich weiß wie es sich verhält, und wie ich damit umgehen kann.O.WIENER: kognitive Repräsentation (der Zahl) besteht aus einer Sammlung von Verfahren, mit dieser umzugehen, und einer Parametrisierung (zB einer Lautfolge) Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”    
  42. 42. Anschauung GLASERSFELD        Zahlkonzept Verfahren Verfahren Produktivität Systematitzität“mental operations abstracted from experience” (62) Kompositionalität­ Zählen mit Stellenwertsystem­ intensionaler Zahlbegriff­ Wortfolge wird nun systematisch generiert  ­statt endlicher, auswendig gelernter Folge (SNWS) Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”    
  43. 43. Anschauung FODOR/PYLYSHYN        Zahlkonzept Verfahren Produktivität Produktivität SystematitzitätProduktivität: SystematitzitätEs können unbeschränkt Repräsentationen generiert  Kompositionalität Kompositionalitätwerden→ Zählen ist nicht mehr auf eine endliche Menge von einzelnen “Zahl­Individuen” beschränkt. Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”    
  44. 44. Anschauung FODOR/PYLYSHYN        Zahlkonzept Verfahren Produktivität ProduktivitätSystematizität: SystematitzitätRepräsentationen sind nicht atomar Systematitzität “representations need an articulated internal  structure” (Fodor/Pylyshyn 1988, 24) Kompositionalität Kompositionalität­ bei Zahlen ist dies der Vorgang des Zählens, und viele weitere Eigenschaften / Strukturen, die sich daraus ergeben “3 kommt vor 4” “4 kommt nach 3” “30 kommt vor 40” “40 kommt nach 30” Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”    
  45. 45. Anschauung FODOR/PYLYSHYN        Zahlkonzept Verfahren Produktivität ProduktivitätKompositionalität: Systematitzität Systematitzität­ zwei Zahlen zusammengenommen ergeben wieder eine Zahl Kompositionalität­ setzt Systematizität voraus Kompositionalität­ wenn man es weitertreibt, so kann man etwa Z verstehen als N(positiv) und N(negativ)→ es lassen sich unterschiedlichste Konstrukte mit dem Zählen anfertigen(operationale Verknüpfung? “Fläche” Glasersfelds ?) Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”    
  46. 46. Anschauung Anschauung        Zahlkonzept Verfahren Produktivität aber wie ist eine Zahl im Denken vorhanden? Systematitzität Glasersfeld (1981): “symbolisiert” (siehe Abstraktion) ? Kompositionalität → als Zeichen für einen Prozess, der im Moment nicht ausgeführt wird, aber bei Bedarf  ausgeführt werden kann → es muss Zugriff auf in einem bestimmten Kontext relevante Verfahren ermöglichen Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”   
  47. 47. Anschauung Anschauung        Zahlkonzept Verfahren Produktivität Systematitzität Vorstellen usw. Kompositionalität      Wilhelm Wundt bemerkte in der „Logik“, Band 1: “Wer sich von den Eigenschaften des Dreiecks im Allgemeinen  Rechenschaft geben will, denkt sichein bestimmtes Dreieck." Es war dies ein Argument im philosophischen Streit darum, ob alles Denken bildhafter Natur ist – also sich als Bilder verstandener Vorstellungen bedient. Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”    
  48. 48. Anschauung Anschauung        Zahlkonzept Verfahren Produktivität Systematitzität Kompositionalität Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”   
  49. 49. Anschauung Anschauung        Zahlkonzept Verfahren Produktivität Systematitzität Kompositionalität Zahlkonzept / Repräsentation “völlig losgelöst”   
  50. 50. Anschauung        Zahlkonzept Verfahren Produktivität Operationale Linking Verknüpfung metaphors Systematitzität Conceptual Symbolizing Blending Erhaltung Kompositionalität Reflektierende distributing one­one Abtraktion correspondence early arithmetic  turn­taking (relation/subit.) Vielheitsubitzing tagging Objektidentität Objektpermanenz alignment Einheit SNWS prä­ numerisch   

×