9 precipitazioni ci

3,035 views

Published on

Le slides per il corso di Costruzioni Idrauliche (una selezione di quelle del corso di Idrologia)

Published in: Education
1 Comment
1 Like
Statistics
Notes
  • blessing_11111@yahoo.com

    My name is Blessing
    i am a young lady with a kind and open heart,
    I enjoy my life,but life can't be complete if you don't have a person to share it
    with. blessing_11111@yahoo.com

    Hoping To Hear From You
    Yours Blessing
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total views
3,035
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
324
Comments
1
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

9 precipitazioni ci

  1. 1. Un po’ di Fisica dell’atmosfera Riccardo Rigon Giorgione - La tempesta, 1507-1508Tuesday, March 6, 12
  2. 2. “La pioggia cade, la foglia trema” Robindronath TagoreTuesday, March 6, 12
  3. 3. Le Precipitazioni Obbiettivi: • Introdurre i fenomeni di circolazione generale e una descrizione dei fenomeni atmosferici correlati alla produzione delle precipitazioni •Parlare delle precipitazioni, della loro formazione in atmosfera e della loro caratterizzazione al suolo 3 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  4. 4. Le Precipitazioni La radiazione • Il motore di tutto è la radiazione solareWikipedia - Sun Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  5. 5. Le Precipitazioni I meccanismi di formazione delle precipitazione: - Frontizio - Orografico - Convettivo 5 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  6. 6. Un pò di Fisica dell’Atmosfera TheEsiste un complesso general circulation sistema di circolazione in a rotating atmosphere globale Foufula-Georgiou, 2008 6 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  7. 7. Le Precipitazioni Deja Vu 7 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  8. 8. Le Precipitazioni Il meccanismo frontizio 8 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  9. 9. Le Precipitazioni Il meccanismo frontizio 9 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  10. 10. Le Precipitazioni Il meccanismo convettivo 10 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  11. 11. Le Precipitazioni Il meccanismo convettivo 11 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  12. 12. Le Precipitazioni Il meccanismo orografico 12 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  13. 13. Le Precipitazioni Il meccanismo orografico Passage of low pressure center over mountains Whiteman (2000) 13 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  14. 14. Le Precipitazioni Il meccanismo orografico 14 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  15. 15. Le Precipitazioni Rainfall evolution over topography T=318 min Foufula-Georgiou, 2008 15 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  16. 16. Le Precipitazioni Rainfall evolution over topography T=516 min Foufula-Georgiou, 2008 16 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  17. 17. Le Precipitazioni Rainfall evolution over topography T=672 min Foufula-Georgiou, 2008 17 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  18. 18. Le precipitazioni A. Adams - Pioggia Tenaya, Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  19. 19. Le Precipitazioni Perchè piova Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  20. 20. Le Precipitazioni Perchè piova •I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla superficie della Terra, a causa della sua forma sferica. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  21. 21. Le Precipitazioni Perchè piova •I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla superficie della Terra, a causa della sua forma sferica. •Poichè la Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in movimento, subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di Coriolis. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  22. 22. Le Precipitazioni Perchè piova •I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla superficie della Terra, a causa della sua forma sferica. •Poichè la Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in movimento, subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di Coriolis. •Questa situazione: •genera delle moti tra aree di posizione “quasi stabile” di alta e bassa pressione •discontinuità nel campo di moto dell’aria a grande scala e discontinuità nelle proprietà termodinamiche di masse d’aria a contatto •genera quindi le condizioni per cui alcune masse d’aria più leggere “scivolano” sopra altre, innalzandosi. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  23. 23. Le Precipitazioni Perchè piova Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  24. 24. Le Precipitazioni Perchè piova •La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra) diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  25. 25. Le Precipitazioni Perchè piova •La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra) diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta. •Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento locale delle masse d’aria. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  26. 26. Le Precipitazioni Perchè piova •La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra) diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta. •Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento locale delle masse d’aria. •Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  27. 27. Le Precipitazioni Perchè piova •La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra) diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta. •Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento locale delle masse d’aria. •Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia. •L’aria si innalza anche per effetto di riscaldamento della superficie terrestre in misura diversa dell’aria circostante, che causa di condizioni di instabilità atmosferica Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  28. 28. Le Precipitazioni Perchè piova Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  29. 29. Le Precipitazioni Perchè piova •Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica (isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo possibile (ma non sempre probabile) la condensazione del vapore acqueo. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  30. 30. Le Precipitazioni Perchè piova •Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica (isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo possibile (ma non sempre probabile) la condensazione del vapore acqueo. •Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua liquida o solida, sospese in aria. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  31. 31. Le Precipitazioni Perchè piova •Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica (isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo possibile (ma non sempre probabile) la condensazione del vapore acqueo. •Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua liquida o solida, sospese in aria. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  32. 32. Le Precipitazioni Perchè piova •Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica (isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo possibile (ma non sempre probabile) la condensazione del vapore acqueo. •Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua liquida o solida, sospese in aria. Storm building near Arvada, Colorado . U.S. © Brian Boyle. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  33. 33. Le Precipitazioni Perchè piova •Se le goccie d’acqua riescono ad accrescersi al punto da raggiungere un peso sufficiente, precipitano a terra. Piove, nevica o grandina. Precipitation, Thriplow in Cambridgeshire. U.K © John Deed. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  34. 34. Over Berwick-upon-Tweed, Northumberland, UK. © Antonio FeciTuesday, March 6, 12 Riccardo Rigon Le Precipitazioni - Stratiforme I tipi di evento Stratocumulus stratiformis 23
  35. 35. Le Precipitazioni I tipi di evento - Convettivo Over Austin, Texas, US Cumulonimbus capillatus incus © Ginnie Powell 24 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  36. 36. Le Precipitazioni Nubi stratiformi 25 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  37. 37. Le Precipitazioni Nubi stratiformi 26 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  38. 38. Le Precipitazioni Ciclone extratropicale Houze, 1994 27 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  39. 39. Le Precipitazioni NubifragiHouze, 1994 28 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  40. 40. Le Precipitazioni Nubifragi Houze, 1994 29 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  41. 41. Le Precipitazioni Fattori che influenzano la natura e la quantità delle precipitazioni al suolo •La latitudine: la precipitazione è distribuita sulla superficie terrestre in funzione dei sistemi di circolazione generale •L’altitudine: la precipitazione (media annuale) tende a crescere con la quota, fino ad una quota limite (le alte quote sono mediamente aride). •La posizione rispetto alle masse oceaniche, ai venti prevalenti, la posizione generale dell’orografia Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  42. 42. Le Precipitazioni a large range of scales pixel = 4 km pixel = 125 m km 2 512 km km 4 Foufula-Georgiou, 2008 (mm/hr) 0 4 9 13 17 21 26 30 R (mm/hr) 31 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  43. 43. Le Precipitazioni Spatial Rainfall Foufula-Georgiou, 2008 32 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  44. 44. Le Precipitazioni Caratteristiche delle precipitazioni al suolo •Lo stato fisico (pioggia, neve grandine, rugiada) •L’altezza: ovvero la quantità di precipitazione per unità di area (proiettata), spesso espressa in mm o cm. •La durata: ovvero l’intervallo temporale durante il quale si registra con continuità precipitazione, o, a seconda dei contesti, la durata di registrazione di un certo ammontare di precipitazione (a prescindere dalla continuità della stessa) •L’altezza cumulata, l’altezza di precipitazione misurata in un intervallo di tempo prefissato, anche se dovuta a più eventi. Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  45. 45. Le Precipitazioni Caratteristiche delle precipitazioni al suolo •L’ intervallo medio tra due precipitazioni successive (storm inter-arrival time) •La distribuzione spaziale dei volumi di pioggia •La frequenza o il tempo di ritorno di una certa precipitazione con altezza e durata assegnate •La qualità, ovvero la composizione chimica della precipitazione Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  46. 46. Le precipitazioni Estreme Eventi 5 6 2 3 1 4 35Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  47. 47. Le Precipitazioni Temporal Rainfall Foufula-Georgiou, 2008 36 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  48. 48. Le Precipitazioni Istogramma delle precipitazioni mensili 37 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  49. 49. Le Precipitazioni Statistiche 38 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  50. 50. Le precipitazioni Estreme a lognormal distribution Durate 39Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  51. 51. Le precipitazioni Estreme Intensità lognormal ? 40Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  52. 52. Le Precipitazioni Precipitazioni Estreme 41 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  53. 53. Le precipitazioni estreme Kandinski -Composition VI (Il diluvio)- 1913 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  54. 54. Le precipitazioni Estreme Obbiettivi: •Descrivere le precipitazioni estreme e delle loro caratteristiche •Calcolare le precipitazioni estreme con assegnato tempo di ritorno con R 43Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  55. 55. Le precipitazioni Estreme Consideriamo le precipitazioni massime annuali Queste si trovano negli annali idrologici registrate per certe durate caratteristiche: 1h, 3h, 6h,12h 24 h e rappresentano il massimo di precipitazione cumulato sulla prefissata durata. anno 1h 3h 6h 12h 24h 1 1925 50.0 NA NA NA NA 2 1928 35.0 47.0 50.0 50.4 67.6 ...................................... ...................................... 46 1979 38.6 52.8 54.8 70.2 84.2 47 1980 28.2 42.4 71.4 97.4 107.4 51 1987 32.6 40.6 64.6 77.2 81.2 52 1988 89.2 102.0 102.0 102.0 104.2 44Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  56. 56. Le precipitazioni Estreme Consideriamo le precipitazioni massime annuali Precipitazioni Massime a Paperopoli 150 Precipitazione (mm) 100 50 1 3 6 12 24 durata Per ogni durata si ha una distribuzione di precipitazioni 45Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  57. 57. Le precipitazioni Estreme Precipitazioni Massime a Paperopoli 150 Precipitazione (mm) 100 50 1 3 6 12 24 Mediana durata >boxplot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione (mm)",main="Precipitazioni Massime a Paperopoli") 46Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  58. 58. Le precipitazioni Estreme Precipitazioni Massime a Paperopoli 150 Precipitazione (mm) 100 50 1 3 6 12 24 upper quantile durata 47Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  59. 59. Le precipitazioni Estreme Precipitazioni Massime a Paperopoli 150 Precipitazione (mm) 100 50 1 3 6 12 24 durata lower quantile 48Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  60. 60. Le precipitazioni Estreme 1 ora 3 ore 6 ore 25 15 15 20 10 15 10 Frequenza Frequenza Frequenza 10 5 5 5 0 0 0 20 40 60 80 20 40 60 80 100 40 60 80 100 Precipitazion in mm Precipitazion in mm Precipitazion in mm 49Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  61. 61. Le precipitazioni Estreme 12 ore 24 ore 12 8 10 6 8 Frequenza Frequenza 6 4 4 2 2 0 0 40 60 80 100 120 40 80 120 160 Precipitazion in mm Precipitazion in mm 50Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  62. 62. Le precipitazioni Estreme Tempo di ritorno E’ l’intervallo di tempo medio in cui una certa intensità di precipitazione si ripete (o è superata). Sia: T l’intervallo temporale in cui si dispone di una certa misura Siano n le misurazioni fatte in T e m=T/n il tempo di campionamento di una singola misura (la durata dell’evento considerato). 51Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  63. 63. Le precipitazioni Estreme Tempo di ritorno Allora il tempo di ritorno della misura h* è T m m m T r := =n = = l l ECDF (h⇥) 1 F r(H < h ) dove Fr= l/n è la frequenza di successi (misure superiori od uguali ad h*). Se l’intervallo di campionamento è unitario (m=1), allora il tempo di ritorno è l’inverso della frequenza di superamento del valore h*. Si osservi, che in base a quanto sopra, esiste una relazione biunivoca tra quantili e tempo di ritorno 52Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  64. 64. Le precipitazioni Estreme Precipitazioni Massime a Paperopoli 150 Precipitazione (mm) 100 q(0.75) -> Tr = 4 anni 50 1 3 6 12 24 durata q(0.25) -> Tr = 1.33 anni Mediana -> q(0.5) -> Tr = 2 anni 53Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  65. 65. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp 54Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  66. 66. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp altezza di precipitazione legge di potenza 55Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  67. 67. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp altezza di precipitazione coefficiente dipendente dal tempo di ritorno 56Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  68. 68. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp altezza di precipitazione d u r a t a considerata 57Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  69. 69. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica esponente (non dipendente dal h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp tempo ritorno) di altezza di precipitazione 58Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  70. 70. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp Poichè l’altezza di precipitazione cumulata è una funzione non decrescente della durata, allora n >0 E’ noto però che l’intensità media della precipitazione: h(tp , Tr ) J(tp , Tr ) := = a(Tr ) tn p 1 tp decresce all’aumentare della durata. Allora è anche n < 1Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  71. 71. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica Tr = 50 anni a = 36.46 n = 0.472 Tr = 100 anni a = 40.31 Tr = 200 anni a = 44.14 log(prec) [mm] curve di possibilità pluviometrica 2.4 tr=50 anni tr=100 anni 2.3 tr=200 anni a 50 2.2 a 100 a 200 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1 10 tp[h] 100 60Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  72. 72. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele tra loro nel piano bilogaritmico log(prec) [mm] curve di possibilità pluviometrica 2.4 tr=50 anni tr=100 anni 2.3 tr=200 anni a 50 2.2 a 100 a 200 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1 10 tp[h] 100 61Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  73. 73. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele tra loro nel piano bilogaritmico log(prec) [mm] curve di possibilità pluviometrica 2.4 tr=50 anni tr=100 anni 2.3 tr=200 anni a 50 2.2 a 100 a 200 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 tr = 500 anni 1.5 h(,500) > h(200) tr = 200 anni 1.4 1 10 tp[h] 100 62Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  74. 74. Le precipitazioni Estreme Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele tra loro nel piano bilogaritmico log(prec) [mm] curve di possibilità pluviometrica 2.4 tr=50 anni tr=100 anni 2.3 tr=200 anni a 50 2.2 a 100 a 200 2.1 2 1.9 1.8 tr = 500 anni 1.7 tr = 200 anni 1.6 1.5 Invece h(,500) < h(200) !!!! 1.4 1 10 tp[h] 100 63Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  75. 75. Le precipitazioni Estreme Il problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle probabilità e dell’analisi statistica E’ dunque quello di determinare, per ogni durata, la corrispondenza tra quantili (assegnati tempi di ritorno) e altezza di precipitazione. Per ogni durata si cercherà dunque di interpolare i dati ad una distribuzione di probabilità. La famiglia di curve candidata per questo scopo è la Curva dei valori estremi di tipo I, o curva di Gumbel h a P [H < h; a, b] = e e b ⇥<h<⇥ b è un parametro di forma, a un parametro di posizione (in effetti la moda)Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  76. 76. Le precipitazioni Estreme Distribuzione di GumbelRiccardo RigonTuesday, March 6, 12
  77. 77. Le precipitazioni Estreme Distribuzione di GumbelRiccardo RigonTuesday, March 6, 12
  78. 78. Le precipitazioni Estreme Distribuzione di Gumbel La media della distribuzione e data da: E[X] = b + a dove: 0.57721566490153228606 è la costante di Eulero-Mascheroni:Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  79. 79. Le precipitazioni Estreme Distribuzione di Gumbel La mediana: a b log(log(2)) La varianza : 2 V ar(X) = b 2 6Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  80. 80. Le precipitazioni Estreme Distribuzione di Gumbel La forma standard della distribuzione (rispetto alla quale si trovano tabulate le grandezze significative) è y P [Y < y] = e eRiccardo RigonTuesday, March 6, 12
  81. 81. Le precipitazioni Estreme Distribuzione di Gumbel 70Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  82. 82. Le precipitazioni Estreme Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Per adattare la famiglia di curve di Gumbel ai dati si usano dei metodi di adattamento dei parametri. Ne useremo nel seguito 3: - Il metodo dei minimi quadrati - Il metodo dei momenti - Il metodo della massima verosimiglianza (o maximum likelihood) Si consideri allora una serie di n misure, h = {h1, ....., hn} 71Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  83. 83. Le precipitazioni Estreme Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Il metodo dei momenti consiste nell’uguagliare i momenti del campione con i momenti della popolazione. Siano, ad esempio µH 2 H La media e la varianza e (t) MH il momento t-esimo del CAMPIONE 72Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  84. 84. Le precipitazioni Estreme Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Se il modello probabilistico contiene t parametri, allora il metodo dei momenti consiste nell’ugugliare i t momenti campionari con i t momenti della popolazione, che risultano definiti da: ⇥ MH [1; ] = EH [h] = h pdfH (h; ) dh ⇥ ⇥ MH [t; ] = (h EH [h]) pdfH (h; ) dh t > 1 t ⇥ Per ottenere un numero sufficiente di equazioni bisogna considerare tanti momenti quanti sono i parametri. Benchè in linea di principio la funzione dei parametri che ne risulta possa essere calcolate numericamente per punti, il metodo risulta efficace quando l’integrale a secondo membro ammette una soluzione analitica. 73Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  85. 85. Le precipitazioni Estreme Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel porre: MH [1; a, b] = µH MH [2; a, b] = ⇥H 2 o: b + a = µH 2 2 b 6 = ⇤H 2Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  86. 86. Le precipitazioni Estreme Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la serie temporale registrata: P [{h1 , · · ·, hN }; a, b] Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene: N P [{h1 , · · ·, hN }; a, b] = P [hi ; a, b] i=1Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  87. 87. Le precipitazioni Estreme Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale N P [{h1 , · · ·, hN }; a, b] = P [hi ; a, b] i=1 La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza rappresenta ed è evidentemente una funzione dei parametri. 76Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  88. 88. Le precipitazioni Estreme Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Meglio: rappresenta la distribuzione dei parametri condizionata alle misure (in figura una sezione della distribuzione per un assegnato valore di b)Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  89. 89. Le precipitazioni Estreme Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Se la serie osservata è sufficientemente lunga, si ritiene che i parametri più affidabili (veri!) siano i più probabili. Nel caso della figura, a*.Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  90. 90. Le precipitazioni Estreme Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Per semplificare i calcoli si definisce anche la funzione detta di log- verosimiglianza: N log(P [{h1 , · · ·, hN }; a, b]) = log(P [hi ; a, b]) i=1 79Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  91. 91. Le precipitazioni Estreme Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Allora, i parametri della curva, che ne descrive la popolazione si possono ottenere da: ⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b]) ⇥a =0 ⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b]) ⇥b =0 Che produce un sistema di due equazioni non-lineari in due incognite. 80Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  92. 92. Le precipitazioni Estreme 81Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  93. 93. Le precipitazioni Estreme Metodo dei minimi quadrati Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità di non superamento: n 2 2 (⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥]) i=1 e nel minimizzarlo 82Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  94. 94. Le precipitazioni Estreme Metodo dei minimi quadrati Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità di non superamento: n 2 2 (⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥]) i=1 scarto quadratico e nel minimizzarlo 82Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  95. 95. Le precipitazioni Estreme Metodo dei minimi quadrati Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità di non superamento: n 2 2 (⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥]) i=1 scarto ECDF quadratico e nel minimizzarlo 82Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  96. 96. Le precipitazioni Estreme Metodo dei minimi quadrati Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità di non superamento: n 2 2 (⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥]) i=1 scarto ECDF Probabilità quadratico e nel minimizzarlo 82Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  97. 97. Le precipitazioni Estreme Tale minimizzazione si ottiene derivando l’espressione dello scarto rispetto agli m parametri ⇤ (⇥j ) 2 =0 j =1···m ⇤⇥j Ottenendo così le m equazioni in m incognite necessarie. 83Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  98. 98. Le precipitazioni Estreme Dopo l’applicazione dei vari metodi di adattamento ... Come risultato abbiamo 3 coppie di parametri, tutti in un verto senso ottimi. Per distinguere quali tra questi insiemi di parametri è migliore, dobbiamo usare un criterio di confronto (un test non parametrico). Useremo test di Pearson. 84Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  99. 99. Le precipitazioni Estreme Il Test di Pearson Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste: 1 - Nel suddividere il campo di probabilità in k parti, per esempio uguali 85Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  100. 100. Le precipitazioni Estreme Il Test di PearsonIl test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:2 - derivarne una suddivisione del dominio 86Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  101. 101. Le precipitazioni Estreme Il Test di Pearson Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste: 3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura) 87Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  102. 102. Le precipitazioni Estreme Il Test di PearsonIl test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:6 - Valutare la funzione dove: P [H < h0 ] = P [H < 0] P [H < hn+1 ] = P [H < ] 88Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  103. 103. Le precipitazioni Estreme Il Test di Pearson e nel caso della figura delle slides precedenti (P [H < hj+1 ] P [H < hj ]) = 0.2 Quindi:Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  104. 104. Le precipitazioni Estreme Il Test di Pearson 6 - Scegliere la coppia di parametri per cui X2 è più piccolo Per completare il tutto 7 - Si ripetono tutte le operazioni per ogni durata (ad esempio, 1, 3, 6, 12, 24 ore): visto che tutte le procedure si riferiscono ad una singola durataRiccardo RigonTuesday, March 6, 12
  105. 105. Le precipitazioni Estreme Dopo aver applicato Pearson e ripetuto l’operazione per ognii durata 1.0 0.8 0.6 1h 3h P[h] 6h 12h 0.4 24h 0.2 0.0 0 50 100 150 Precipitazione [mm] 91Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  106. 106. Le precipitazioni Estreme Dopo aver applicato Pearson e ripetuto l’operazione per ogni durata 1.0 Tr = 10 anni 0.8 0.6 1h 3h P[h] 6h 12h 0.4 24h 0.2 h1 h3 h6 h12 h24 0.0 0 50 100 150 Precipitazione [mm] 92Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  107. 107. Le precipitazioni Estreme Si ottengono infine per interpolazione le Linee Segnalitrici di Possibilita Pluviometrica 180 160 140 120 t [ore] 100 80 60 40 0 5 10 15 20 25 30 35 h [mm] 93Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  108. 108. Le precipitazioni Estreme Si ottengono infine per interpolazione le Linee Segnalitrici di Possibilita Pluviometrica 160 140 120 100 h [mm] 80 60 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 t [ore] 94Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  109. 109. Le precipitazioni Estreme - Addendum 2 Il Se una variabile X è distribuita secondo un curva normale a media nulla e varianza unitaria, allora la variabile e’ distribuita secondo la distribuzione del “Chi quadrato” (come fu provato da Ernst Abbe, 1840-1905) e si indica con che è una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribuzione Gamma. L’unico parametro è chiamato “gradi di libertà” 95Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  110. 110. Le precipitazioni Estreme - Addendum 2 Il from Wikipedia La distribuzione, in effetti, è: E la sua cumulata: dove () è la funzione “gamma” incompleta 96Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  111. 111. Le precipitazioni Estreme - Addendum La funzione gamma incompleta La funzione GammaRiccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  112. 112. Le precipitazioni Estreme - Addendum 2 Il from Wikipedia 98Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  113. 113. Le precipitazioni Estreme - Addendum 2 Il from Wikipedia Il valore atteso della distribuzione è pari al numero di gradi di libertà E( k) =k La varianza è pari a due volte il numero di gradi di libertà V ar( k) = 2k La moda è pari a 99Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  114. 114. Le precipitazioni Estreme - Addendum 2 Il from Wikipedia 2 In generale il è usato in statistica (dopo il lavoro di Pearson e Fisher) per stimare la bontà di una inferenza, ed in particolare l’uguguglianza di una distribuzione di dati con una distribuzione di riferimento (ipotesi zero). Il test ha la forma generale 100Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  115. 115. Le precipitazioni Estreme - Addendum 2 Il from Wikipedia Assumendo che la radice della variabile rappresentata nella sommatoria sia distribuita gaussianamente, allora ci si aspetta che la variabile somma dei 2 quadrati sia distribuita secondo il con un grado di libertà pari al numero di addendi diminuito di 1. In altre parole, nell’ipotesi di ripetere un numero illimitato di volte l’esperimento che ha prodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione degli X2 , ottenuta dalla ripetizione dell’esperimento, sia un con k-1 gradi di libertà. 101Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  116. 116. Le precipitazioni Estreme - Addendum Ovvero Se i dati riproducono perfettamente l’ipotesi, Il valore atteso dell’errore però pari al numero di gradi di libertà, k. Un certo numero di campioni “sfortunati” avrà un elevatoRiccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  117. 117. Le precipitazioni Estreme - Addendum Se Ci sono due modi per ottenere un valore elevato di X2: •dalla distribuzione ipotizzata, ma ottenendo un campione relativamente raro •da un’altra distribuzioneRiccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  118. 118. Le precipitazioni Estreme - Addendum 2 Il from Wikipedia 2 Il ha importanza perchè possiamo fare due ipotesi mutuamente esclusive. L’ipotesi zero: che campione e popolazione abbiano la medesima distribuzione E il suo contrario, l’ ipotesi alternativa: che campione e popolazione NON abbiano la medesima distribuzione 104Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  119. 119. Le precipitazioni Estreme - Addendum Non c’è possibilità di distinguere un caso dall’altro L’analisi statistica NON è in grado di distinguere il falso dal vero con certezza Però ci si può accordare che, per esempio, il nostro campione ha una differenza dal campione di riferimento (misurata secondo Pearson), ovvero un X2, che si rivela più di una volta su venti su possibili ripetizioni dell’esperimento probabilistico (un periodo di ritorno di venti tentativi) non possiamo rigettare (falsificare statisticamente) l’ipotesi che i nostri dati provengano dalla distribuzione ipotizzata. Dunque l’ipotesi zero si accetta e si rigetta l’ipotesi alternativa, con una confidenza, nel caso descritto, di 1/20=0.05Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  120. 120. Le precipitazioni Estreme - Addendum L’accettazione dell’ipotesi zero E’ dunque legata ad una scelta soggettiva (il margine di confidenza), assegnato secondo un criterio assunto come “ragionevole”. Per questo si usa tradizionalmente la dizione: “non si può rigettare”, invece di “si accetta”. A ben vedere però, la questione di come si dice, non è veramente sostanziale. Il criterio per quanto soggettivo è organizzato quantitativamente, e da risultati ripetibili.Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  121. 121. Le precipitazioni Estreme - Addendum In pratica Si assegna il grado di confidenza, c e si inverte la probabilità ovvero:Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  122. 122. Le precipitazioni Estreme - Addendum Se Si rigetta l’ipotesi zero Viceversa si accetta (nel gergo statistico: non si può rigettare)Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  123. 123. Le precipitazioni Estreme - Addendum Corollario Avendo a disposizione più ipotesi zero valide Si accetta Quella con più piccolo Che corrisponde ad eventi non rigettati (accettati!) con maggior grado di confidenza.Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di TrentoTuesday, March 6, 12
  124. 124. Le precipitazioni estreme - GEV Michelangelo, Il diluvio, 1508-1509 Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  125. 125. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni: I) Distribuzione di Gumbel z b G(z) = e e a ⇥<z<⇥ a>0 111Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  126. 126. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni: II) Distribuzione di Frechèt 0 z b G(z) = ( za b ) e z>b a>0 >0 112Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  127. 127. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal II) Distribuzione di Frechèt from Wikipedia P [X < x] = e x Media Moda Mediana Varianza 113Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  128. 128. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal R: dfrechet(x, loc=0, scale=1, shape=1, log = FALSE) pfrechet(q, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE) qfrechet(p, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE) rfrechet(n, loc=0, scale=1, shape=1) 114Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  129. 129. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni: III) Distribuzione di Weibull e [ ( z a b )] z<b G(z) = 1 z b >0 a>0 115Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  130. 130. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal from Wikipedia III) Distribuzione di Weibull (P. Rosin and E. Rammler, 1933) 116Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  131. 131. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal from Wikipedia Quando k = 1, la distribuzione di Weibull III) Distribuzione di Weibull si riduce alla distribuzione esponenziale. (P. Rosin and E. Rammler, 1933) Quando k = 3.4, la distribuzione Weibull diventa molto simile alla distribuzione normale. Media Moda Mediana Varianza 117Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  132. 132. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal R: dweibull(x, shape, scale = 1, log = FALSE) pweibull(q, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qweibull(p, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rweibull(n, shape, scale = 1) 118Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  133. 133. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV G(z) = e [1+ ( z ⇤ µ )] 1/⇥ z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0 ⇥<µ<⇥ ⇤>0 ⇥<⇥<⇥ Per =0 la distribuzione degenera nella distribuzione di Gumbel Per >0 la distribuzione diviene una distribuzione di Frechèt Per <0 la distribuzione diviene una Weibull 119Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  134. 134. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV G(z) = e [1+ ( z ⇤ µ )] 1/⇥ z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0 ⇥<µ<⇥ ⇤>0 ⇥<⇥<⇥ 120Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  135. 135. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV gk = (1 k ) 121Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  136. 136. Le precipitazioni Estreme - GEV A little more formal R dgev(x, loc=0, scale=1, shape=0, log = FALSE) pgev(q, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE) qgev(p, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE) rgev(n, loc=0, scale=1, shape=0) 122Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  137. 137. Distribuzioni Autosimilari Grazie per l’attenzione! G.Ulrici, 2000 ?Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  138. 138. Bibliografia e Approfondimenti Bibliografia e Approfondimenti •Albertson, J., and M. Parlange, Surface Length Scales and Shear Stress: Implications for Land-Atmosphere Interaction Over Complex Terrain, Water Resour. Res., vol. 35, n. 7, p. 2121-2132, 1999 •Burlando, P. and R. Rosso, (1992) Extreme storm rainfall and climatic change, Atmospheric Res., 27 (1-3), 169-189. •Burlando, P. and R. Rosso, (1993) Stochastic Models of Temporal Rainfall: Reproducibility, Estimation and Prediction of Extreme Events, in: Salas, J.D., R. Harboe, e J. Marco-Segura (eds.), Stochastic Hydrology in its Use in Water Resources Systems Simulation and Optimization, Proc. of NATO-ASI Workshop, Peniscola, Spain, September 18-29, 1989, Kluwer, pp. 137-173.Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  139. 139. Bibliografia e Approfondimenti •Burlando, P. e R. Rosso, (1996) Scaling and multiscaling Depth-Duration-Frequency curves of storm precipitation, J. Hydrol., vol. 187/1-2, pp. 45-64. •Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin hydrology. 1. Precipitation scenarios for the Arno River, central Italy, Hydrol. Process., 16, 1151-1175. •Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin hydrology. 2. Impacts on runoff variability of the Arno River, central Italy, Hydrol. Process., 16, 1177-1199. • Coles S., An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer, ‘‘ 2001 • Coles, S., and Davinson E., Statistical Modelling of Extreme Values, 2008Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  140. 140. Bibliografia e Approfondimenti •Foufula-Georgiou, Lectures at 2008 Summer School on Environmental Dynamics, 2008 •Fréchet M., Sur la loi de probabilité de lécart maximum, Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Crocovie, vol. 6, p. 93-116, 1927 •Gumbel, On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling, Phil. Mag. vol. 6, p. 157-175, 1900 • Houze, Clouds Dynamics, Academic Press, 1994Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  141. 141. Bibliografia e Approfondimenti • Kleissl J., V. Kumar, C. Meneveau, M. B. Parlange, Numerical study of dynamic Smagorinsky models in large-eddy simulation of the atmospheric boundary layer: Validation in stable and unstable conditions, Water Resour. Res., 42, W06D10, doi: 10.1029/2005WR004685, 2006 •Kottegoda and R. Rosso, Applied statistics for civil and environmental engineers, Blackwell, 2008 •Kumar V., J. Kleissl, C. Meneveau, M. B. Parlange, Large-eddy simulation of a diurnal cycle of the atmospheric boundary layer: Atmospheric stability and scaling issues, Water Resour. Res., 42, W06D09, doi:10.1029/2005WR004651, 2006 •Lettenmaier D., Stochastic modeling of precipitation with applications to climate model downscaling, in von Storch and, Navarra A., Analysis of Climate Variability: Applications and Statistical Techniques,1995Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  142. 142. Bibliografia e Approfondimenti •Salzman, William R. (2001-08-21). "Clapeyron and Clausius–Clapeyron Equations" (in English). Chemical Thermodynamics. University of Arizona. Archived from the original on 2007-07-07. http://web.archive.org/web/20070607143600/ http://www.chem.arizona.edu/~salzmanr/480a/480ants/clapeyro/clapeyro.html. Retrieved 2007-10-11. •von Storch H, and Zwiers F. W, Statistical Analysis in climate Research, Cambridge University Press, 2001 •Whiteman, Mountain Meteorology, Oxford University Press, p. 355, 2000Riccardo RigonTuesday, March 6, 12
  143. 143. Distribuzioni Autosimilari •Equazione del moto della parcella (equazione di Eulero) In un ambiente in equilibrio (velocita’ media nulla) Dalle slides di DinoRiccardo RigonTuesday, March 6, 12
  144. 144. Distribuzioni Autosimilari Assumendo l’equilibrio idrostatico si ottiene Dalle slides di DinoRiccardo RigonTuesday, March 6, 12
  145. 145. Distribuzioni Autosimilari da cui: o: con: Dalle slides di DinoRiccardo RigonTuesday, March 6, 12
  146. 146. Distribuzioni Autosimilari usando ora l’assunzione che la parcella si muova di moto adiabatico: e l’equazione di stato dei gas ideali si ottiene: Dalle slides di DinoRiccardo RigonTuesday, March 6, 12
  147. 147. Distribuzioni Autosimilari da cui: ed infine l’equazione differenziale ordinaria: Dalle slides di DinoRiccardo RigonTuesday, March 6, 12
  148. 148. Distribuzioni Autosimilari per : si ha equilibrio neutrale equilibrio instabile (la soluzione diverge esponenzialmente) per : equilibrio stabile (la soluzione oscilla con frequenza detta di Brunt - Vaisala Dalle slides di DinoRiccardo RigonTuesday, March 6, 12

×