5 Planteamiento de Hipotesis en mas de 2 Poblaciones (ji cuadrada)

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5 Planteamiento de Hipotesis en mas de 2 Poblaciones (ji cuadrada)

  1. 1. -528320-261620UNIVERSIDAD VERACRUZANA<br />Facultad de Administración y Empresas Turísticas.<br />Carrera: Lic. Administración Turística.<br />Semestre: 4º<br />Turno: Matutino<br />Experiencia educativa: Estadística Inferencial<br />Tema: PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS EN MAS DE DOS POBLACIONES (Ji-Cuadrada)<br />Integrantes: Jessica Jiménez Flores<br />Anahi Reyes Ovalles<br />Claribel Muñoz Pérez <br />Lilian Torres Utrera<br />Anabel Canales Hernández<br />Ana Karen Fernández Zapata<br />Ana Karen González López<br />Marisol Escobar Martínez<br />Nombre del profesor: Elsa Retureta<br />Fecha de entrega: 11 Abril 201<br />INDICE<br />TEMA………………………………………………………….....…………………………3<br />APLICACIÓN……………………………………………………………………………....4<br />GLOSARIO…………………………………………………………………………………7<br />FORMULARIO………………………………………..……………………………………9<br />INTRODUCCION……………………………………...…………………………………10<br />TEORIA…………………………………………...………………………………………10<br />SUPUESTOS Y RESTRICCIONES………………………………………………….……………………11<br />GRÁFICOS……………………………………………………………………….………13<br />FORMULAS………………………………………………………………………………16<br />TABLAS………………………………………………………………………………...…18<br />UTILIDAD…………………………………………………………………………………21<br />EJEMPLOS(5)……………………………………………………………………………22<br />EJERCICIOS –RESOLUCIÓN (20)……………………………………………………45<br />FUENTE BIBLIOGRÁFICA……………………………………………………….………………..57<br />GLOSARIO<br />CONCEPTODEFFINICIONTRADUCCIONGRADOS DE LIBERTADEs un estimador del número de categorías independientes en una prueba particular o experimento estadístico. Se encuentran mediante la fórmula n − r, donde n=número de sujetos en la muestra (también pueden ser representados por k − r, donde k=número de grupos, cuando se realizan operaciones con grupos y no con sujetos individuales) y r es el número de sujetos o grupos estadísticamente dependientes.Is a function that assigns to each event on the probability that the random variable event will occur. The probability distribution is defined on the set of all values of the random variable range events.DISTRIBUCION NORMALDistribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.A continuous variable appearing more frequently in real phenomena probability distributions.VARIABLESUna variable aleatoria es una medida de su dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.Is a measure of its dispersion defined as the square of the diversion of that variable to your average expectancy.HIPOTESIS ESTADISTICOEnunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblacionesStatements about populations probability distributions.HIPOTESIS NULAAnalógicamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea. Que cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por Ho.Analógicamente, if we want to decide if a procedure is better than another, we formulated the hypothesis of no difference between them (i.e..) (That any observed differences are simply due to fluctuations in the same population sampling). Such assumptions are often called null hypothesis and are denoted by Ho.HIPÒTESIS ALTERNATIVAToda hipótesis que difiere de una dada se llamará una hipótesis alternativa. Por ejemplo: Si una hipótesis es p = 0,5, hipótesis alternativa podrían ser p = 0,7, p " 0,5 ó p > 0,5.Una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por H1.All that differs from a given hypothesis is called an alternative hypothesis. For example: If a hypothesis is p = 0.5, alternative hypothesis could be p = 0.7, p " 0.5 or p > 0.5." An alternative to the null hypothesis hypothesis includes launch by H1.<br />FORMULARIO<br />PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS EN MAS DE DOS POBLACIONES (Ji-Cuadrada)CASOESTADISTICODonde:X2 = valor estadístico de ji cuadrada.fo = frecuencia observada.fe = frecuencia esperada. <br />APLICACIONES<br />La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística, por ejemplo en la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. También está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student, y participa en todos los problemas de análisis de varianza, por su papel en la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².<br />PRUEBAS DE 2 <br />BONDAD DE AJUSTE <br />Se utiliza para la comparación de la distribución de una muestra con alguna distribución teórica que se supone describe a la población de la cual se extrajo. <br />INDEPENDENCIA <br />La Ho indica que 2 variables o criterios de clasificación son independientes cuando se aplican a un conjunto de individuos (unidades de observación) <br />Totales Marginales Aleatorios <br />HOMOGENEIDAD <br />Se extraen Muestras Independientes de varias poblaciones y se prueban para ver si son homogéneas con respecto a algún criterio de clasificación. <br />Un conjunto de Totales Marginales Son Fijos mientras que los otros marginales son Aleatorios. <br />Bondad de Ajuste (para una multinominal)<br />Esta es una prueba para comparar las probabilidades de (πi) de una distribución multinominal (lo esperado), con las obtenidas en una muestra (lo observado) para determinar si son iguales o no. <br />Distribución Multinominal<br />La Distribución Multinominaal es una extensión de la distribución Binominal. En vez de haber solo dos posibles resultados (éxitos y fracasos) tenemos k posibles resultados.<br />Al igual que en la Binominal: <br />Los experimentos son Independientes<br />Hay un número fijo de experimentos <br />La probabilidad de que ocurra cada uno de los resultados en un experimento π1,.. π2… πk..es constante.<br />La prueba de Ji Cuadrado es un método útil para comparar resultados experimentales con aquellos que se esperan teóricamente en virtud de una hipótesis.<br />La distribución ji_cuadrada nos permite probar, si dos o más proporciones de población pueden ser consideradas iguales.<br />Si clasificamos a una población en diferentes categorías con respecto a dos atributos (edad, y desempeño en el trabajo), podemos utilizar una prueba ji_cuadrada, para comprobar si los dos atributos son independientes entre sí. la distribución Ji cuadrada, se denota por la letra griega X(Ji), elevada al cuadrado: X2.<br />A medida que aumentan los grados de libertad la curva se va haciendo más simétrica y su cola derecha se va extendiendo.<br />Características de la distribución<br />Todos los valores de x2 son positivos.<br />Es una curva sesgada hacia la derecha.<br />La media de la distribución son sus grados de libertad<br />INTRODUCCION<br />En estadística, la distribución χ² (de Pearson) es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria:<br />donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria X tenga esta distribución se representa habitualmente así: .<br />Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe al latín como chi[1] y se pronuncia en castellano como ji.[2] [3]<br />TEORIA<br />Distribución de Ji- cuadrado (²)<br /> Distribución de datos discretos, que es función de la densidad<br />poblacional y cuyos valores varían desde cero hasta +(infinito<br />positivo).<br /> A diferencia de la distribución Normal o la de t (Test de Student o de t),<br />la función se aproxima asintóticamente al eje horizontal sólo en la cola<br />derecha de la curva y NO en ambas colas.<br /> Como en la distribución de t, no hay solo una distribución de ji- cuadrado<br />(²) sino que existe una distribución para cada número de grados<br />de libertad (). Por tanto, es función .<br /> Las curvas son en forma de (jota invertida) al principio, pero más o<br />menos acercándose a la simetría para los grados de libertad superiores.<br />análisis de frecuencias.<br />Pruebas de Bondad de Ajuste.<br /> Para evaluar el ajuste entre frecuencias observadas y esperadas existen<br />estadísticos que prueban en qué medida difieren las mismas y si esa<br />diferencia es significativa o no.<br /> Hay dos métodos que son los más utilizados:<br /> Método de Ji- cuadrado o Chi- cuadrado (²)<br /> Método G o prueba del logaritmo de la razón de Verosimilitudes<br />Método de Ji- cuadrado o Chi- cuadrado (²)<br />Donde fo = frecuencia observada<br />fe = frecuencia esperada X²= ∑ (fo- fe)² /fe <br /> La razón por la que la que esta prueba se ha denominado Ji- cuadrado y<br />por la que muchos han llamado así también al estadístico obtenido X²,<br />es que la distribución de muestreo de esta sumatoria se aproxima a la<br />de una distribución de ² con = 1 grados de libertad.<br /> La prueba es siempre a una cola ya que las desviaciones están<br />elevadas al cuadrado y conducen siempre a valores positivos<br />PROPIEDADES DE LAS DISTRIBUCIONES JI_CUADRADAS<br />l.-Los valores de x2 son mayores o iguales que O<br />2.-La forma de una distribución x2 depende del g I =n-l. En consecuencia hay un número infinito de distribuciones x2.<br />3.-EI área bajo una curva ji_cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.<br />4.-Las distribuciones x2 no son simétricas, tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; están sesgadas a la derecha.<br />5.-cuando n>2 la media de una distribución x2 es n-l y la varianza es 2(n-l). 6.-EI valor modal de una distribución x2 se da en el valor (n-3).<br />SUPUESTOS Y RESTRICCIONES<br />SUPUESTOS PARA LA PRUEBA DE 2 <br />Experimento multinomial. Lo que se satisface tomando una muestra aleatoria de la población de interés. <br />El tamaño de muestra es lo suficientemente grande para que el número esperado en las categorías sea 5, para  asegurar que 2 se aproxime a la distribución real (multinomial). <br />Se puede recurrir a colapsar categorías contiguas (celdas) con valores esperados menores de 5. <br /> <br />La prueba estadística es: <br />Donde pio representa  la proporción deseada en la i-ésima categoría, Obsi la frecuencia observada en la categoría  i  y  n es el tamaño de la muestra.  <br />La prueba estadística se distribuye como una Ji-Cuadrado con k-1 grados de libertad donde, k es el número de categorías. <br />Si el valor de la prueba estadística (2 calculado) es mayor que el valor crítico (2 de la tabla) se rechaza la hipótesis nula <br />Ei: frec. Esperada de la i-ésima clase<br />Oi: frec. Observada de la i-ésima clase<br />N: número de clases<br />k: número de parámetros estimados a partir de  la muestra<br />La chi cuadrada permite al investigador comprobar una hipótesis acerca de una relación entre dos medidas nominales. La lógica x2 es la siguiente: el número total de observaciones en cada columna en cada columna y el número total de observaciones en cada renglón (positivo o negativo) son considerados o fijados y se conoce como frecuencia marginal.<br />Existen abusos de esta prueba estadística como su empleo en grupos independientes cuyas variables son numéricas, para lo cual debería usarse la t y no convertir los valores ordinales o nominales. Un ejemplo frecuente es usar puntos de corte arbitrariamente como la edad de 45 o 60 años cuando los datos numéricos con la estadística correspondiente nos brindan más información.<br />Desventajas del método:<br />1) Deben agruparse aquellas clases con una frecuencia esperada menor o igual a 5 (fe≤5), hasta que su suma alcance un valor mayor o igual a 5 (∑fe≥5).<br />Por esta restricción, el agrupamiento produce una reducción en el número de clases y es frecuente entonces que el número de grados de libertad no sea suficiente para evaluar estadísticamente el ajuste.<br />Por ello, Cochran (1954; Snedecor & Cochran, 1967) ha considerado que tal restricción debilita la sensibilidad del test y ha sugerido que los valores esperados no deben ser menores a 1 (∑fe≥1) y no a 5.<br />El número de grados de libertad es entonces:<br /> µ=n° de clase luego de la agrupación –a-1<br />Teniendo a la interpretación mencionada más abajo.<br />2) El número de grados de libertad es µ= n-a-1, donde a es el número de parámetros estimados para ajustar el modelo elegido; de manera que el número mínimo de clases que se pueden comparar es:<br />3, para el modelo de Poisson. El parámetro de este modelo es λ<br /> (Lambda) y como los grados de libertad de cualquier distribución no pueden <br /> ser menores a la unidad (µ ≥1):<br /> µ= n-a-1<br />Siendo a=λ=1 parámetro<br />µ= n-2<br />Por tanto n debe ser ≥ 3<br />GRAFICOS<br />GRAFICA DISTRIBUCION JI CUADRADA PARA V= 2, 5, Y 10 GRADOS DE LIBERTAD<br />Distribución Ji cuadrada para v=2,5 y 10.<br />La estadística de Ji cuadrada se calcula de la manera siguiente:<br />Esta fórmula establece que ji_cuadrada, o x2, es la suma que obtendremos si:<br />1.- Restamos Fe de Fo para cada una de las celdas de la tabla<br />2.-Elevamos al cuadrado cada una de las diferencias<br />3.- Dividimos cada diferencia al cuadrado entre Fe, y<br />4.-Sumamos los resultados<br />La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).<br />1110615-528320<br />La función de densidad de la distribución X2 está dada por:<br />para x>0<br />la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla. <br />La Distribución chi-cuadrado<br />La Distribución de probabilidad<br />FORMULA<br />La fórmula es:<br /> Donde:<br />X2 = valor estadístico de ji cuadrada.<br />fo = frecuencia observada.<br />fe = frecuencia esperada. <br />Pasos:<br />Arreglar las observaciones en una tabla de contingencias. <br />Determinar el valor teórico de las frecuencias para cada casilla. <br />Calcular las diferencias entre los valores observados con respecto a los teóricos de cada casilla. <br />Elevar al cuadrado las diferencias y dividirlas entre el valor teórico de la casilla correspondiente. <br />Obtener la sumatoria de los valores anteriores, que es el estadístico X2. <br />Calcular los grados de libertad (gl): gl = (K columnas -1) [H hileras -1]. <br />El valor de X2 se compara con los valores críticos de ji cuadrada de la tabla de valores críticos de X2 y de acuerdo con los grados de libertad, y se determina la probabilidad. <br />Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis X2c ³ X2t se rechaza Ho.<br />TABLA DE CONTINGENCIA JI CUADRADA<br />La tabla ji- cuadrada ()  se utiliza principalmente: <br />Para probar si una serie de datos observada, concuerda con el modelo (serie esperada) de la información. <br />Para probar las diferencias entre las proporciones de varios grupos (tabla de contingencia). <br /> Para todos los casos,<br />Ho: No hay diferencia o no hay dependencia entre variables<br />H1: Hay diferencia o si hay dependencia entre variables<br />Pasos para realizar la tabla de contingencias <br /> <br />Plantear las hipótesis: <br /> <br />       H1: al menos dos proporciones son diferentes.<br />Construir una tabla que contenga los valores observados. <br />Sumar los totales de los renglones y columnas de los valores observados. <br />Debajo de cada valor observado poner el valor esperado utilizando la fórmula: <br />  <br />       5.  Calcular el valor del estadístico de prueba usando la fórmula: <br />      donde:  <br />      Oij = Valor observado de la celda i,j.<br />      Eij = Valor esperado de la celda i,j<br />Determinar los grados de libertad mediante: <br />                donde  <br />               r = número de renglones<br />               c = número de columnas<br />Calcular el valor crítico en la tabla  <br />Criterio de decisión: si el valor crítico < valor del estadístico de prueba rechazamos Ho <br /> <br />Ejemplo:  Al final de un semestre, las calificaciones de matemáticas fueron tabuladas en la siguiente tabla de contingencia de para estudiar la relación entre la asistencia a clase y la calificación obtenida. <br />AusenciasAprobadoNo aprobado0 - 31351104 - 63647 - 4596<br />Con , ¿indican los datos que son distintas las proporciones de estudiantes que pasaron en las tres categorías de ausencias? <br />H0 : p1 = p2 = p3<br />H1 : al menos dos proporciones son diferentes. Los valores Oij = 135, 110... corresponden a los valores observados, los valores esperados se colocan en las celdas con paréntesis, para calcular los  utilizamos la fórmula: Calculamos el valor del estadístico de prueba usando la fórmula:  <br />La tabla siguiente nos ayuda a organizar los cálculos para el estadístico. <br />Tabla.    Cálculos para el estadístico Chi cuadrada <br />Para determinar el valor crítico del estadístico de prueba procedemos de la siguiente manera:<br />Determinar los grados de libertad usando la fórmula: , gl = (3-1)(2-1) = 2<br />El valor critico del estadístico ji-cuadrada para y g.l. = 2 se denota , En la <br />tabla ji- cuadrada encontramos que vale 5.991, el valor del estadístico de prueba es =17.44.  <br />Conclusión: Como este estadístico está localizado en la región de rechazo (a la derecha del valor crítico) , rechazamos Ho por lo cual aceptamos la hipótesis alternativa H1: al menos dos proporciones son diferentes. La tasa de aprobación si depende de las asistencias. <br />UTILIDAD EJEMPLOS<br />Se utiliza en el campo de la medicina, en hospitales, para realizar estudios en pacientes que padecen de cierta enfermedad o trastorno.<br /> Por ejemplo:<br />La asociación entre reflujo gastroesofagico diurno y nocturno con la exposición esofágica al acido en 24h fue evaluada en 59 pacientes con pirosis 4 veces a la semana ene los últimos 6 meses.<br />Ele ejemplo trata de relacionar la asociación entre estas dos variables nominales y cualitativas categóricas: 1. Presencia de reflujo gastroesofàgico nocturno o diurno y 2. Acidez esofágica en 24 h.<br />La X cuadrada es una estadística frecuentemente usada para comparar proporciones en la literatura médica. Los datos nominales (categóricos) obtenidos de una muestra con n observaciones independientes son ordenados en una tabla de renglones y columnas.<br />En la agronomía, se utiliza para estudiar el comportamiento de los cultivos.<br />Por ejemplo:<br />Si una mazorca de maíz, resultado de una cruza dihíbrida para estos caracteres, tiene un total de 381 granos, incluyendo 216 púrpuras y lisos, 79 púrpuras y rugosos, 65 amarillos y lisos, y 21 amarillas y rugosos. Indique realizando una prueba de Ji cuadrada si estos resultados concuerdan con su hipótesis. <br />En la economía, para realizar estudios acerca de los ingresos de la población.<br />Por ejemplo:<br />Se toma una muestra aleatoria de 2200 familias y se les clasifica en una tabla de doble entrada según su nivel de ingresos (alto, medio o bajo) y el tipo de colegio a la que envían sus hijos. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos: ¿A un nivel de significancia del 1% hay razón para creer que el ingreso y el tipo de colegio no son variables independientes?<br />20 EJERCICIOS<br />Pruebas de Bondad del AjustE<br />La hipótesis nula en una prueba de bondad del ajuste en una afirmación sobre el patrón esperado de las frecuencias en un conjunto de categorías. El patrón esperado puede ajustarse a su suposición de igualdad de probabilidades y puede, por ello, ser uniforme. O por otro lado, el patrón esperado puede ajustarse a distribuciones de probabilidad como la binomial, la Poisson y la normal.<br />Ejemplo 1.- Un distribuidor regional de sistemas de aire acondicionado a subdividido su reglón en cuatro territorios. A un posible comprador de una distribuidora se le dice que las instalaciones de equipo se distribuyen de manera aproximadamente igual en los cuatro territorios. El prospecto de comprador toma una muestra aleatoria de 40 instalaciones colocadas el año anterior de los archivos de la compañía, y encuentra que el numero de las instalaciones en cada uno de los cuatro territorios son los que se enlistan en el primer reglón de la tabla 12.1, (en donde o significa “frecuencia observada”) con base en la hipótesis de que las instalaciones están distribuidas en forma equitativa, en el segundo reglón de la tabla 12.1 se presenta la distribución uniforme esperada de las instalaciones (en donde fe significa “frecuencia esperada”).<br />Tabla 12.1 Número de Instalaciones de Sistema de Aire por Territorio<br />TerritorioTotalABCDNúmero Instalado en la Muestra f061214840Número Esperado de Instalaciones, fe1010101040<br />Para aceptar la hipótesis nula, debe ser posible atribuir las diferencias entre las frecuencias observadas y la esperada a la variabilidad del muestreo y al nivel especificado de significancia. Así la estadística de prueba ji-cuadrada se basa en la magnitud de esta diferencia para cada una de las categorías de la distribución de frecuencia. El valor de ji-cuadrada que se utiliza para probar la diferencia entre un patrón de frecuencia observado y otro esperado es:<br />Se observa que, si las frecuencias observadas son muy cercanas a las frecuencias esperadas, entonces el valor calculado de la ji-cuadrada estará cercano a 0. Conforme las frecuencias observadas se alejan de las frecuencias esperadas el valor de ji-cuadrada se vuelve mayor. Por ello, se concluye que las pruebas de ji-cuadrada implican el uso de solamente el extremo superior, con el objeto de determinar si un patrón observado de frecuencias es diferente de un patrón esperado.<br />Ejemplo 2.- El cálculo de la estadística de prueba ji-cuadrada para el patrón de frecuencias observadas y esperadas de la tabla 12.1 es:<br />El valor que se requiere de la estadística de prueba ji - cuadrada para rechazar la hipótesis nula depende del nivel de significancia que se especifique y de los grados de libertad. En pruebas de bondad del ajuste, los grados de libertad gl son iguales al número de categorías menos el número de estimadores de parámetros y menos 1. Los grados de libertad par una prueba e bondad del ajuste con ji . cuadrada son (en donde k = a número de categorías de datos y m = números de parámetros estimados con base en la muestra):<br />gl = k - m - 1<br />Ejemplo 3.- En seguida se presenta un ejemplo completo del procedimiento de prueba de hipótesis para los datos de la tabla 12.1, probando la hipótesis nula a un nivel de significancia del 5% .<br />H0: El número de instalaciones están distribuidas de manera uniforme en los cuatro territorios.<br />H1: El número de instalaciones no está distribuida de manera uniforme en los cuatro territorios.<br />gl = k - m - 1 = 4-0-1 = 3 <br />x2 Crítica (gl = 3, = 0.05) = 7.81 (del apéndice 7).<br />x2 Calculada = 4.00 (del ejemplo 2).<br />Cómo el valor calculado de ji - cuadrada de 4.00 no es mayor que el valor crítico de 7.81 no puede rechazarse la hipótesis nula de que las instalaciones están distribuidas de forma equitativas entre los cuatro territorios, a un nivel de significancia del 5%.<br />Pruebas de Bondad de Ajuste<br />Alguien afirma que los clientes de una tienda de pantalones vaqueros son hombres y mujeres, en proporciones iguales. Se observa una muestra aleatoria de 40 clientes y 25 resultan ser hombres y 15 mujeres. Pruebe la hipótesis nula de que el número global de hombres y mujeres que son clientes en esa tienda es igual, aplicando la prueba de ji - cuadrada, y utilizando el nivel de significancia del 5%.<br />Tabla 12.10. Frecuencias Observadas y Esperadas para el Problema 12.1.<br />ClientesTotalHombresMujeresNúmero en la Muestra (f0)251540Número esperado (fe)202040<br />De la tabla 12.10 <br />H0: El número de clientes hombres y mujeres es igual.<br />H1: El número de clientes hombres y mujeres no es igual.<br />gl = k -m-1 = 2-0-1 =1<br />x2 Crítica (gl = 1, = 0.05) = 3.84<br />La estadística de prueba calculada, 2.50 no es mayor que el valor crítico de 3.84. Por lo tanto, no es posible rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancia de un 5%.<br />Ejemplo 4.- Durante mucho tiempo, un fabricante de aparatos de televisión a tenido 40% de sus ventas en aparatos de pantallas pequeñas (de menos de 1 pulgadas), 40% de tamaño mediano (de 14 a 19 pulgadas) y el 20% en la categoría de pantalla grande (de 21 pulgadas y más). Para fijar los programas adecuados de producción para el mes siguiente, se torna una muestra aleatoria de 100 ventas durante el periodo y se encuentra que 55 de los aparatos eran pequeños, 35 medianos y 10 grandes. En seguida, se prueba la hipótesis nula de que el patrón histórico de ventas sigue siendo igual, utilizando el nivel de significancia de 1%.<br />H0 : Los porcentajes de compras de aparatos de televisión de pantalla pequeña, mediana y grande son 40%, 40% y 20% respectivamente.<br />H1: el patrón actual de ventas de televisores es diferente del patrón histórico planteado en H0.<br />gl 0 k - m - 1 = 3-0-1 = 2<br />X2 Crítica (gl = 2, = 0.01) = 9.21<br />La X2 calculada (en la tabla 12.2 se encuentran las frecuencias observadas y esperadas) es:<br />La estadística ji - cuadrada calculada de 11.25 es mayor que el valor crítico de 9.21. Por ello, se rechaza la hipótesis nula a un nivel de significancia de 1%. Comparando las frecuencias observadas y esperadas de la tabla 12.2, se encuentra que el cambio principal consiste en que se venden más aparatos pequeños y menos grandes, con cierta reducción en las ventas de los aparatos de tamaño mediano.<br />Tabla 12.2 Compras Observadas y esperadas de aparatos de televisión, de acuerdo con el tamaño de la pantalla.<br />Tamaño de la PantallaTotalPequeñaMedianaGrandeFrecuencia Observada, f0Patrón Histórico, fe554035401020100100<br />Tablas de Contingencia.<br />Ejemplo 5.- La tabla 12.3 es una reproducción de la sección 5.8 y es un ejemplo del formato más simple posible de una tabla de contingencia, ya que las dos variables (Sexo y Edad) tiene solo dos niveles de clasificación, o categorías. Por ello, se trata de una tabla de contingencia de 2 x2.<br />Tabla 12.3 Tabla de contingencia para los clientes de la tienda de aparatos de sonidos.<br />EdadSexoTotalHombreMujerMenor de 30605011030 y más801090Total14060200<br />Si se rechaza la hipótesis nula de independencia para datos clasificados como los de la Tabla 12.3, es señal de que las dos variables son dependientes y que existen una relación entre ellas. Por ejemplo, para la tabla 12.3, esto indicara que existe una relación entre la edad y el sexo para los clientes de la tienda de aparatos de sonido.<br />Dada la hipótesis de independencia las dos variables, la frecuencia esperada correspondiente a cada una de las celdas de la tabla de contingencia debe ser proporcional al total de frecuencias observadas de columnas y de reglón. Si fr es la frecuencia total de un reglón determinado fx es la frecuencia total de una columna determinada, entonces una formula conveniente para determinar la frecuencia esperada para la celda de la tabla de contingencia que se encuentra en ese renglón y columna es:<br />La formula general para los grados de libertad correspondiente a una prueba de independencia es:<br />gl = (r - 1) (k - 1).<br />Ejemplo 6.- En la tabla 12.4 se presentan las frecuencias esperadas para los datos de la tabla 12.3. Por ejemplo para la celda de renglón 1 y columna 1, el cálculo de la frecuencia esperada es:<br />En este caso, las tres frecuencias esperadas restantes pueden obtenerse mediante substracción de los totales de renglón y de columnas, como alternativas al uso de las formulas (12.3). Esta es una indicación directa de que existe un grado de libertad para una tabla de contingencia de 2x2 y que solo la frecuencia de una celad “tiene libertad” para variar.<br />Tabla 12.4 Tabla de frecuencia esperadas para las frecuencias observadas que se reportan en la tabla 12.3.<br />EdadSexoTotalHombresMujerMenor de 30773311030 y más632790Total14060200<br />La estadística de pruebas y cuadradas para tablas de contingencia se calcula exactamente de la misma manera que para las pruebas de bondad del ajuste (sección 12.2).<br />Ejemplo 7.- Enseguida se realiza la prueba de la hipótesis nula de independencia para los datos de la tabla 12.3, utilizando un nivel de significancia del 1%.<br />H0: El sexo y la edad de los clientes de la tienda es independiente.<br />H1: El sexo y la edad son variables dependientes (existe una relación entre las variables sexo y edad).<br />La estadística de prueba calculada de 27.8 excede el valor crítico de 6.63. Por ello, se rechaza la hipótesis nula de independencia a un nivel de significancia del 1%. Con referencia a la tabla 12.3, se observa que es más probable que los clientes de sexo masculino tengan más de 30 años de edad, al tiempo que es más probable que las mujeres tengan menos de 30 años. El resultado de la prueba de ji - cuadrada arroja que no puede pensarse que esa relación observada en la muestra se debe al azar, a un nivel de significancia de 1%.<br />Ejemplo 8.- El gerente de un apartamento de personal estima que una proporción de = 0.40 de los empleados de una empresa grande participara en un nuevo programa de inversión en acciones. Se entrevista a una muestra aleatoria de n = 50 empleados y 10 de ellos manifiestan su intención de participar. Se podría probar el valor hipotético de la proporción poblacional utilizando la distribución normal de probabilidad tal como se describe en la sección 11.5. En seguida, se ilustra el uso de la prueba de ji - cuadrada para lograr ese mismo objetivo utilizando un nivel de significancia de 5%.<br />H0 : = 0.40 H1 " 0.40<br />gl = k - m - 1 = 2-0-1 = 1<br />(Existen 2 categorías de frecuencias observadas, tal como se muestra en la tabla 12.5).<br />X2 Crítica (gl = 1 = 0.05) = 3.84<br />La x2 calculada (en la tabla 12.5 se muestran las frecuencias observadas y las esperadas) es:<br />Tabla 12.5 frecuencia observadas y esperadas para el ejemplo 8.<br />Participación en los programasTotalSiNoNúmero Observado en la muestra, f0104050Número esperado en la muestra fe203050<br />La estadística de prueba calculada de 8.33 excede el valor crítico de 3.84. Por ello se rechaza la hipótesis nula a un nivel de significancia de 5% y se concluye que la proporción de participantes en el programa en toda la empresa no es de 0.40.<br />Ejemplo 9.- Suponga que se muestren los hogares de cuatro comunidades y se investiga el número en los que se estaba viendo el programa especial de televisión. En la tabla 12.8 se presentan los datos muéstrales observados, y en la tabla 12.9 se presentan las frecuencias esperadas, calculadas con la fórmula (12.3). Enseguida se realiza la prueba de la hipótesis nula de que no existen diferencias entre las proposiciones poblacionales.<br />H0 : 1 = 2 = 3 = 4 H0 : No todas 1 = 2 = 3 = 4<br />(Nota: El rechazo de la hipótesis nula no indica que todas las igualdades son falsas si no que cuando menos una es falsa).<br />Tabla 12.8 audiencia del programa de televisión en cuatro comunidades.<br />ComunidadesTotal1234Número de Televidentes101551848Número de no Televidentes40354532152Total50505050200<br />Tabla 12.9 Frecuencias esperadas para los datos de la tabla 12.8.<br />ComunidadesTotal1234Número de Televidentes12.012.012.012.048Número de no Televidentes38.038.038.038.0152Total50505050200<br />El valor calculado de la estadística ji - cuadrada 10.75,no es mayor que el valor crítico de 11.35.Por ello, las diferencias en las proporciones de televidentes en las cuatro comunidades muestreadas no son lo suficientemente grande para rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancia del 5%.<br />Pruebas de Bondad del ajuste.<br />Alguien afirma que los clientes de una tienda de pantalones vaqueros son hombres y mujeres en proporciones iguales. Se observa una muestra aleatoria de 40 clientes y 25 resultan ser hombres y 15 mujeres. Pruebe la hipótesis nula de que el número global de hombres y mujeres que son clientes en esa tienda es igual aplicando la prueba de ji - cuadrada y utilizando el nivel de significancia del 5%.<br />Tabla 12.10 Frecuencias observadas y esperadas para el problema 12.1.<br />ClientesTotalHombresMujeresNúmero en la Muestra (f0)251540Número Esperado (fe)202040<br />De la tabla 12.10.<br />H0 : El número de clientes hombres y mujeres el igual.<br />H1: El número de clientes hombres y mujeres no es igual.<br />gl = k - m - 1 = 2 - 0 - 1 = 1<br />X2 crítica (gl = 1, = 0.05) = 3.84<br />La estadística de prueba calculada, 2.50, no es mayor que el valor crítico de 3.84. Por lo tanto, no es posible rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancia del 5%.<br />F<br />Y<br />F F 0.99 <br />0.95<br />V<br />10..<br />PROBLEMA 10<br />Comparar si el factor género influyes en la cantidad de cigarros fumados por causa del estrés en personas que trabajan.<br />Elección de la prueba estadística.<br />El modelo experimental tiene dos muestras independientes. <br />Planteamiento de la hipótesis. <br />Hipótesis alterna (Ha). Habrá diferencia significativa entre la cantidad de cigarros fumados por causa del estrés en hombres y mujeres que trabajan. <br />Hipótesis nula (Ho). No Habrá diferencia significativa entre la cantidad de cigarros fumados por causa del estrés en hombres y mujeres que trabajan.<br />Nivel de significación.<br />Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.<br />Zona de rechazo.<br />Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.<br />Aplicación de la prueba estadística.<br />Calculamos los valores teóricos para cada casilla.<br /> <br />Una vez obtenidos los valores teóricos, aplicamos la fórmula.<br />= 0.05 + 1.49 + 0.18 + 0.04 + 1.23 + 0.16 = 3.15<br />Cálculo de los grados de libertad (gl).<br />gl = (K - 1) (H - 1) = (3 - 1) (2 - 1) = 2<br />El valor 3.15 con 2 grados de libertad se compara con los valores críticos de ji cuadrada; así, se puede observar que a la cifra 5.99 corresponde la probabilidad de 0.05, lo cual significa que el estadístico calculado tiene una probabilidad mayor que 0.05.<br />Decisión.<br />En razón de que el valor de ji cuadrada de 3.15 tiene una probabilidad mayor que 0.05, cae en la zona de rechazo. Por tanto se acepta Ho y se rechaza Ha. X2c < X2t se rechaza Ho <br />3.15 > 5.99 se rechaza Ho Si hay diferencias significativas entre el consumo de cigarros por causa del estrés entre hombres y mujeres que trabajan.<br />Interpretación.<br />El consumo de cigarros por causa del estrés entre hombres y mujeres que trabajan, se debe a factores del azar.<br />PROBLEMA 11<br />En una investigación transversal de enfermedad diarreica en niños menores de seis años, un médico tuvo el interés de conocer si existían diferencias respecto a condición socioeconómica de una población a la que estudio.<br />Elección de la prueba estadística.<br />El modelo experimental tiene 3 o más muestras independientes. Véase: Flujograma 4<br />Planteamiento de la hipótesis.<br />Hipótesis alterna (Ha). La mayor frecuencia de la enfermedad diarreica se observa en la condición socioeconómica baja; a su vez, la mayor frecuencia observada en niños sanos es la condición alta. Estas diferencias son significativas. <br />Hipótesis nula (Ho). Las diferencias que se observan en las frecuencias de enfermedad diarreica en las tres clases socioeconómicas se deben al azar.<br />Nivel de significación.<br />Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.<br />Zona de rechazo.<br />Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.<br />Contingencia de la diarrea.<br />Aplicación de la prueba estadística.<br />Calculamos los valores teóricos para cada casilla.<br />Una vez obtenidos los valores teóricos, aplicamos la fórmula.<br />Cálculo de los grados de libertad (gl).<br />gl = (K - 1) (H - 1) = (2 - 1) (3 - 1) = 2<br />a = 0.05<br />El valor crítico de ji cuadrada con 2 grados de libertad más cercano al calculado es de 10.83, con una probabilidad igual a 0.001.<br />Decisión.<br />El estadístico calculado de 29.64 con 2 grados de libertad tiene una probabilidad inferior a 0.001 y menor que 0.05, cayendo en el nivel de significancia. Por lo tanto, se acepta Ha y se rechaza Ho.<br />Interpretación.<br />Existen diferencias significativas entre las frecuencias observadas de enfermedad diarreica en los tres grupos de condición socioeconómica. La población de niños de condición socioeconómica baja muestra la frecuencia más alta de diarrea, con respecto a los otros grupos sociales. Estas diferencias son significativas al nivel de confianza de p menor que 0.001, según la gráfica siguiente.<br />Entre las clases socioeconómicas media y alta parece no existir diferencia alguna, lo cual se puede comprobar al construir las tablas de contingencias y al ejecutar la prueba X2 como ejercicio e interpretarla.<br />Contingencia 2 X 2; clase media y alta en oposición a clase baja.<br />X2(1gl) = 29.66 p menor que 0.001<br />Contingencia 2 X 2; clase media y alta en oposición a clase baja.<br />X2(1gl) = 0.008 p menor que 0.05<br />12Ejemplo: Suponga que en 4 regiones de la Republica Mexicana, la compañía mundial de cuidado de la salud, muestra actitudes de los empleados de sus hospitales con respecto al examen de desempeño en el trabajo. A los trabajadores se les da a escoger entre el método actual (2 exámenes al año) y un nuevo método propuesto (exámenes cada trimestre).<br />Se trabajara con la siguiente tabla de contingencia:<br />PN Proporción de empleados en el noreste que prefieren el presente plan.<br />PS Proporción de empleados en el sudeste que prefiere el actual método.<br />PC Proporción de empleados en la región centro que prefiere el actual método.<br />PW Proporción de empleados que en la región de la costa del occidente prefieren el método actual<br />Ho:PN=PS=PC=PW Hipótesis nula<br />Hi:PN,PS,PC,PW Hipótesis alternativa<br />TABLA 1<br />Si la hipótesis nula es verdadera podemos combinar los datos de los trabajadores que prefieren el método actual.<br />.6643 estima la proporción de población esperada que prefiere el método presente de evaluación entonces 0.3357 (=1_0.6643) es la estimación de la proporción esperada de la población que prefiere el método propuesto.<br />TABLA 2 Proporción de empleados muestreados en cada una de las regiones que se espera prefieran los dos métodos.<br />NoresteSuresteCentralCosta OccidentalNúmero total muestreado10012090110Proporción estimada que prefiérale método actualx.6643x.6643x.6643x.6643Numero que se espera prefiera el método actual66.4379.7259.7973.03<br />TABLA 3 Comparación de frecuencias observadas y esperadas de trabajadores muestrados.<br />Frecuencia observada(real)Frecuencia esperada(teórica)Frecuencia observada(real)Frecuencia esperada(teórica)<br />So los conjuntos de frecuencias observadas y esperadas son casi iguales, podemos razonar de manera intuitiva que aceptaremos de manera intuitiva que aceptaremos la hipótesis nula. Si existe una diferencia grande entre estas frecuencias podemos intuitivamente rechazar la hipótesis nula y llegar a la conclusión de que existen diferencias significativas en las proporciones de empleados de las cuatro regiones que prefieren el nuevo metodo. Las frecuencias observadas y esperadas se les da uso en la estadística ji_cuadrada, se calcula:<br />TABLA 4 Calculo de la estadística (ji_cuadrada)<br />PASO 1PASO 2PASO 3FoFeFe-Fe(Fo-Fe)<br />La respuesta obtenida de 2.764 es el valor de ji_cuadrada n nuestro problema de comparación. Si el valor fuera muy grande indicaría una diferencia sustantiva entre nuestros valores.<br />Para utilizar la prueba ji_cuadrada debemos calcular el número de grados de libertad en la tabla de contingencia mediante la aplicación de la ecuación.<br />Numero de grados de libertad= (numero de renglones-1) (numero de columnas -1)<br />= (3-1) (4-1)<br />= (1) (3)<br />=3 grados de libertad<br />Si la compañía desea probar la hipótesis nula a un nivel de significancia de 0.10, se localiza el valor de la estadística ji_cuadrada con 3 grados de libertad.<br />Grados de libertad0.200.100.050.250.0111.0422.7053.8415.0246.63523.2194.6055.9917.3789.21034.6426.2517.8159.34811.34545.9897.7799.48811.14313.27757.2899.23611.07012.83315.086<br />El valor es de ______________ podemos interpretar que con tres grados de libertad la región que se allá a la derecha del valor ji_cuadrada, 6.251 contiene 0.10 del área bajo la curva. En consecuencia la región de aceptación de la hipótesis nula, va del extremo izquierdo de la curva al valor jia_cuadrada de 6.251. el valor de la muestra 2.764 que calculamos cae dentro de la región de aceptación. Aceptamos la hipótesis nula de que no existe diferencia entre las actitudes con respecto a la evaluación del trabajo en las 4 regiones geográficas.<br />0<br />6<br />1<br />2<br />3<br />4<br />5<br />0.1<br />0.2<br />0.3<br />P(x)<br />x<br />F=<br />Varianza dentro de columnas<br />Varianza entre columnas<br />F=<br />Primera estimación de la varianza de la población basada en la varianza entre las medias de las muestras<br />Segunda estimación de la varianza de la población basada en las varianzas dentro de las muestras<br />2.7<br />Desviación<br />Ejemplos: 13<br />Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. <br />Solución:<br />Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:<br />El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)<br />Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza <br />, tenga una varianza muestral: <br />Mayor que 9.1 <br />Entre 3.462 y 10.745 <br />Solución.<br />Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada: <br />Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05<br />Se calcularán dos valores de ji-cuadrada: <br />y <br />Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.<br />Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94<br />EJEMPLO 14 Estimación de la Varianza<br />Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.<br />Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda:<br />Los valores de X2 dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la gráfica se tiene:<br />EJEMPLO 15<br />Un investigador realizó un estudio para mostrar que los niveles de ansiedad de las personas obsesas que asisten de manera constante a tratamiento para control de peso corporal son mayores que el de los obesos que no asisten a tratamiento. Él desea saber si las varianzas de los grupos son homogéneas o no.<br />Especificaciones: Participaron 28 personas obesas (hombres y mujeres). 14 personas obesas que no asistían a tratamiento y 14 que asistían de manera regular a algún tipo de tratamiento. A los 28 participantes se les solicitó que dieran respuesta a la escala de estado de ansiedad (IDARE), la cual está diseñada para evaluar el grado de ansiedad ante situaciones cotidianas. Los puntajes de la escala varían en un rango de 20 a 80 puntos, siendo los puntajes más altos los indicativos de un mayor nivel de ansiedad.<br />Elección de la prueba estadística.El modelo experimental tiene dos muestras independientes. Véase: Estadística/Flujogramas/Flujograma 4<br />Planteamiento de Hipótesis.<br />Hipótesis alterna (Ha). El investigador, al observar los valores de las varianzas de los dos grupos, percibe que son diferentes entre sí, pero ignora si las fuentes de error son las mismas. La hipótesis se refiere a que las varianzas, de acuerdo con lo observado, son diferentes.. <br />Hipótesis nula (Ho). Las diferencias observadas entre las varianzas se debe al azar; por lo tanto, son iguales y la fuente de error probablemente es la misma.<br /> <br /> <br />Nivel de significación.Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.<br />Zona de rechazo.Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.<br />EJEMPLO 16<br />Aplicación de la prueba estadística.Primeramente se determina el tamaño de la muestra y las varianzas de cada grupo, con lo cual creamos una tabla de apoyo.<br />s21 = 558.9286 / (14 - 1) = 42.99s22 = 837.5 / (14 - 1) = 64.42<br />Cálculo de ln.Para este cálculo utilizamos una tabla logarítmica de base 10 (logaritmos comunes)log(10)s21 = 42.99 = 0.6325 + 1 = 1.6325log(10)s22 = 64.42 = 0.8089 + 1 = 1.8089<br /> <br />El logaritmo de base (10) del número neperiano es 0.4343. Al dividir un logaritmo de base (10) de un número entero entre 0.4343, se obtiene el logaritmo natural de ese número, entonces:<br />N = 28K = 2(n - 1) = 26s2 (n - 1) = 1396.33lns2 (n - 1) = 103<br /> <br />Entonces tenemos ya los cálculos requeridos para poder aplicar la prueba X2 Bartlett.<br />*Hacemos un paréntesis para calcular el (ln) de:<br />Continuamos con el cálculo de la X2 de Bartlett.<br />Calculamos los grados de libertad (gl):gl = K - 1 = 2 -1 = 1<br />El valor de ji cuadrada de Bartlett calculado se compara con los valores críticos de la distribución de ji cuadrada de Pearson, y resulta que el valor 3.48 con 1 grado de libertad corresponde a una probabilidad de 0.05.<br />Decisión.Como el valor de ji cuadrada de Bartlett es notoriamente menor que el crítico, el cual equivale a 0.05, la probabilidad de ji cuadrada de 0.46 con 1 grado de libertad mayor que 0.05. Por lo tanto, se acepta Ho y se rechaza Ha.<br />Interpretación.Existe homogeneidad de las varianzas, es decir, aún cuando los valores de error estadístico difieren entre sí, el procedimiento señala que es un efecto aleatorio y existe gran probabilidad de que la fuente o fuentes de variación sean las mismas.<br />EJEMPLO 17<br />Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.<br />Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda:<br />Los valores de X2 dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos. Si nos ubicamos en la gráfica se tiene:<br />EJEMPLOS 18, 19 Y 20 <br />Referencia Bibliográfica<br />http://www.aray1.com/docupdf/ji2.pdf<br />Http://members.fortunecity.co/bucker4/estadística/pruebaji2mi.htm<br />Introducción a la Bioestadística. Robert R. Sokal & F. James Rohlf.<br />http://www.fcv.unlp.edu.ar/sitios- cátedras/2/material/Distribucion%20de%20Ji.pdf<br />http://www.scribd.com/doc/6703611/Ji-Cuadrado<br />http://www.naumkreiman.com.ar/test_ji_cuadrado.html<br />http://www.monografias.com/trabajos27/hipotesis/hipotesis.shtml<br />http://www.unmsm.edu.pe/educacion/postgrado/est_inf_aplicada.pdf<br />http://www.gastrocancerprev.com.mx/Documentos/MetodoINV/1%20_6_.pdf<br />http://www.fcv.unlp.edu.ar/sitios-catedras/2/material/Distribucion%20de%20Ji.pdf<br />http://www.eumed.net/libros/2006c/203/2r.htm<br />http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:KZxJxxMrsfYJ:www.fvet.edu.uy/fvestadis/teorico-chi2_08.ppt+supuestos+de+chi-+cuadrada&cd=1&hl=es&ct=clnk&gl=mx<br />http://www.raydesign.com.mx/psicoparaest/index.php?option=com_content&view=article&id=235:ji-bartlett&catid=52:pruebaspara&Itemid=6<br />

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