# Bab 8 kombinatorial

Cliquerz JavanezeLecturer Assistant at Politeknik Telkom Bandung
1 of 67

## Recommended

Matematika Diskrit kombinatorial by
Matematika Diskrit kombinatorialSiti Khotijah
62.6K views17 slides
Modul 4 kongruensi linier by
Modul 4 kongruensi linierAcika Karunila
57.1K views40 slides
Metode dan Strategi Pembuktian by
Metode dan Strategi PembuktianHeni Widayani
22.8K views18 slides
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03 by
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03KuliahKita
73K views30 slides
Geometri analitik ruang by
112.5K views59 slides
Analisis real-lengkap-a1c by
Analisis real-lengkap-a1criyana fairuz kholisa
122.1K views49 slides

## What's hot

Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 04 by
Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 04KuliahKita
22.1K views20 slides
Analisis bab1 bab2 by
Analisis bab1 bab2Charro NieZz
125.1K views46 slides
Pembuktian dalil 9-18 by
Pembuktian dalil 9-18Fitria Maghfiroh
32.7K views23 slides
Defenisi dan sifat kekongruenan Teobil by
Defenisi dan sifat kekongruenan TeobilNailul Hasibuan
20.9K views7 slides
Rangkuman materi Isometri by
Rangkuman materi IsometriNia Matus
166.6K views27 slides
Teori bilangan by
Teori bilanganDia Cahyawati
71.3K views58 slides

### What's hot(20)

Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 04 by KuliahKita
Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 04
KuliahKita22.1K views
Analisis bab1 bab2 by Charro NieZz
Analisis bab1 bab2
Charro NieZz125.1K views
Defenisi dan sifat kekongruenan Teobil by Nailul Hasibuan
Defenisi dan sifat kekongruenan Teobil
Nailul Hasibuan20.9K views
Rangkuman materi Isometri by Nia Matus
Rangkuman materi Isometri
Nia Matus166.6K views
Matematika diskrit (dual graf, lintasan dan sirkuit euler, lintasan dan sirku... by Fatma Qolbi
Matematika diskrit (dual graf, lintasan dan sirkuit euler, lintasan dan sirku...
Fatma Qolbi112.9K views
Teori bilangan bab ii by Septian Amri
Teori bilangan bab ii
Septian Amri38.8K views
Matematika Diskrit Relasi Rekursif by Ayuk Wulandari
Matematika Diskrit Relasi Rekursif
Ayuk Wulandari70K views
Jenis dan operasi matriks by Safran Nasoha
Jenis dan operasi matriks
Safran Nasoha13.2K views
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang) by Dyas Arientiyya
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Dyas Arientiyya190.9K views
Aljabar 3-struktur-aljabar by maman wijaya
Aljabar 3-struktur-aljabar
maman wijaya115.8K views
Makalah setengah putaran by Nia Matus
Makalah setengah putaran
Nia Matus148.3K views

## Viewers also liked

Makalah matematika diskrit 1 by
Makalah matematika diskrit 1Muh Ikmal
7.1K views14 slides
Matematika diskret kombinatorika by
Matematika diskret kombinatorika unesa
14.8K views27 slides
Il2008: Crafting The User-Centered Library by
Il2008: Crafting The User-Centered LibraryCliff Landis
2K views52 slides
Global System for Mobile Communication (GSM) by
Global System for Mobile Communication (GSM)Siti Khotijah
902 views6 slides
Modul teknik-digital by
Modul teknik-digitalecko gmc
19.8K views90 slides
Kombinatorial by
KombinatorialTenia Wahyuningrum
4.6K views20 slides

### Viewers also liked(20)

Makalah matematika diskrit 1 by Muh Ikmal
Makalah matematika diskrit 1
Muh Ikmal7.1K views
Matematika diskret kombinatorika by unesa
Matematika diskret kombinatorika
unesa14.8K views
Il2008: Crafting The User-Centered Library by Cliff Landis
Il2008: Crafting The User-Centered Library
Cliff Landis2K views
Global System for Mobile Communication (GSM) by Siti Khotijah
Global System for Mobile Communication (GSM)
Siti Khotijah902 views
Modul teknik-digital by ecko gmc
Modul teknik-digital
ecko gmc19.8K views
Tugas matdisk by Tommy Bink
Tugas matdisk
Tommy Bink4.3K views
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 01 by KuliahKita
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 01
KuliahKita4.3K views
Permutasi dan Kombinasi by Fahrul Usman
Permutasi dan Kombinasi
Fahrul Usman19.2K views
Discrete Mathematics Presentation by Salman Elahi
Discrete Mathematics Presentation
Salman Elahi7.8K views
Matematika diskrit by Pawit Ngafani
Matematika diskrit
Pawit Ngafani23.5K views
Pohon(tree) matematika diskrit by said zulhelmi
Pohon(tree) matematika diskrit
said zulhelmi30.8K views
Math Solution - Permutasi dan Kombinasi (Peluang) by Nouvel Raka
Math Solution - Permutasi dan Kombinasi (Peluang)
Nouvel Raka36.3K views
Relasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi Rekursi by Onggo Wiryawan
Relasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi Rekursi
Onggo Wiryawan28K views
Rumus matik
Matematika Diskrit - 03 himpunan - 05 by KuliahKita
Matematika Diskrit - 03 himpunan - 05
KuliahKita87.6K views

## Similar to Bab 8 kombinatorial

KOMBINATORIAL - Permutasi (2015).pptx by
12 views21 slides
Kaidah pencacahan oleh Kelompok 1 by
Kaidah pencacahan oleh Kelompok 1Alzena Vashti
5.4K views28 slides
03.Kombinatorial_.ppt by
03.Kombinatorial_.pptCiciciiii
11 views87 slides
Bab 12 peluang 32 38 by
Bab 12 peluang 32 38naufal rilanda
7.4K views7 slides
PELUANG - X SMA Kurikulum 2013 by
PELUANG - X SMA Kurikulum 2013Yunica Murti Nastiti
17K views16 slides
Peluang by
4.9K views15 slides

### Similar to Bab 8 kombinatorial(20)

Kaidah pencacahan oleh Kelompok 1 by Alzena Vashti
Kaidah pencacahan oleh Kelompok 1
Alzena Vashti5.4K views
03.Kombinatorial_.ppt by Ciciciiii
03.Kombinatorial_.ppt
Ciciciiii11 views
buat temen2 yang butuh bahan ajar Matematika SMA_07.3 permutasi by Puji Astuti Hendro
buat temen2 yang butuh bahan ajar Matematika SMA_07.3 permutasi
Puji Astuti Hendro2.9K views
BAB 3 KAIDAH PENCACAHAN.ppt by zulfy485
BAB 3 KAIDAH PENCACAHAN.ppt
zulfy48558 views
Kombinatorik by Ryu Hideki
Kombinatorik
Ryu Hideki221 views
Matematika Diskrit - Kombinatorik 01 by Herbert Abdillah
Matematika Diskrit - Kombinatorik 01
Herbert Abdillah609 views
Statistika dasar by antiantika
Statistika dasar
antiantika733 views
Peluang x by litaap
Peluang x
litaap7.3K views
Slide week 2b teori peluang by Beny Nugraha
Slide week 2b teori peluang
Beny Nugraha2K views
8. permutasi&kombinasi by Mira Agustina
8. permutasi&kombinasi
Mira Agustina1.7K views
PERT 2-MATEMATIKA_KOMBINASI.pptx by esilraja
PERT 2-MATEMATIKA_KOMBINASI.pptx
esilraja8 views

## More from Cliquerz Javaneze

Perbedaan orang pemarah & humoris by
Perbedaan orang pemarah & humorisCliquerz Javaneze
7.4K views12 slides
Resep masakan by
Resep masakanCliquerz Javaneze
4.8K views181 slides
10 cara hidup bahagia by
10 cara hidup bahagiaCliquerz Javaneze
1.7K views8 slides
Bab 6 relasi by
Bab 6 relasiCliquerz Javaneze
31.6K views39 slides
Bab 5 penyederhanaan fungsi boolean by
Bab 5 penyederhanaan fungsi booleanCliquerz Javaneze
72.6K views40 slides
Bab 4 graf-2 by
Bab 4 graf-2Cliquerz Javaneze
5.6K views25 slides

### More from Cliquerz Javaneze(20)

Bab 5 penyederhanaan fungsi boolean by Cliquerz Javaneze
Bab 5 penyederhanaan fungsi boolean
Cliquerz Javaneze72.6K views
Bab 3(2) determinan dan i nvers matriks by Cliquerz Javaneze
Bab 3(2) determinan dan i nvers matriks
Cliquerz Javaneze6.8K views

Salinan_UU_Nomor_12_Tahun_2022 TPKS.pdf by
Salinan_UU_Nomor_12_Tahun_2022 TPKS.pdfIrawan Setyabudi
38 views84 slides
Royyan A. Dzakiy - Be an Inspiring Student Leader in The Digital Era [22 Aug ... by
Royyan A. Dzakiy - Be an Inspiring Student Leader in The Digital Era [22 Aug ...razakroy
22 views86 slides
MATERI LHO X AYU.pptx by
MATERI LHO X AYU.pptxDelviaAndrini1
28 views33 slides
Permendikbudristek Nomor 30 Tahun 2021.pdf by
Permendikbudristek Nomor 30 Tahun 2021.pdfIrawan Setyabudi
34 views35 slides
SK Satgas PPKS.pdf by
SK Satgas PPKS.pdfIrawan Setyabudi
39 views3 slides
Panduan Praktikum Administrasi Sistem Jaringan Edisi 2 by
23 views243 slides

Salinan_UU_Nomor_12_Tahun_2022 TPKS.pdf by Irawan Setyabudi
Salinan_UU_Nomor_12_Tahun_2022 TPKS.pdf
Irawan Setyabudi38 views
Royyan A. Dzakiy - Be an Inspiring Student Leader in The Digital Era [22 Aug ... by razakroy
Royyan A. Dzakiy - Be an Inspiring Student Leader in The Digital Era [22 Aug ...
razakroy22 views
Permendikbudristek Nomor 30 Tahun 2021.pdf by Irawan Setyabudi
Permendikbudristek Nomor 30 Tahun 2021.pdf
Irawan Setyabudi34 views
Panduan Praktikum Administrasi Sistem Jaringan Edisi 2
SISTEM KOMPUTER_DELVIA ANDRINI.pptx by DelviaAndrini1
SISTEM KOMPUTER_DELVIA ANDRINI.pptx
DelviaAndrini128 views
TUGAS PPT 6_NATALIA APRICA ANWAR_E1G022075.pptx by NataliaApricaAnwar
TUGAS PPT 6_NATALIA APRICA ANWAR_E1G022075.pptx
Capacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdf by Irawan Setyabudi
Capacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdf
Irawan Setyabudi28 views
RENCANA & Link2 MATERI Workshop _"Implementasi Ide Pembangunan SDM_INDONESIA... by Kanaidi ken
RENCANA & Link2 MATERI Workshop _"Implementasi Ide Pembangunan SDM_INDONESIA...
Kanaidi ken12 views
Link2 MATERI & RENCANA Training _"Effective LEADERSHIP"di OMAZAKI BSD City - ... by Kanaidi ken
Link2 MATERI & RENCANA Training _"Effective LEADERSHIP"di OMAZAKI BSD City - ...
Kanaidi ken26 views
Tugas PPT 6_Fahmi Muzakkii_E1G022105.pptx by FahmiMuzakkii
Tugas PPT 6_Fahmi Muzakkii_E1G022105.pptx
FahmiMuzakkii9 views
PPT PENKOM ALVIN.pptx by Alfin61471
PPT PENKOM ALVIN.pptx
Alfin6147112 views
Latihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptx by rdsnfgzhgj
Latihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptx
rdsnfgzhgj9 views
MEDIA INTERAKTIF.pptx
LATIHAN6_WINDA NISPIANI_E1G022037.pptx by winda25112022
LATIHAN6_WINDA NISPIANI_E1G022037.pptx
winda2511202214 views

### Bab 8 kombinatorial

• 2. • Kombinatorial adalah cabang matematika yang berguna untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. • Contoh : Sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat? - Abcdef - aaaade - a123f - erhtgahn - Yutresik - … - ????
• 3. Prinsip Penjumlahan (rule of sum) • Jika suatu himpunan A terbagi kedalam himpunan bagian A1, A2, …, An, maka jumlah unsur pada himpunan A akan sama dengan jumlah semua unsur yang ada pada setiap himpunan bagian A1, A2, …, An. • Secara tidak langsung, pada prinsip penjumlahan, setiap himpunan bagian A1, A2, …, An tidak saling tumpang tindih (saling lepas).
• 4. • Untuk himpunan yang saling tumpang tindih tidak berlaku lagi prinsip penjumlahan, dan ini harus diselesaikan dengan prinsip inklusi-eksklusi yang akan dibahas kemudian. • Misalkan, Percobaan 1 : p hasil Percobaan 2 : q hasil maka, Percobaan 1 atau percobaan 2: p + q hasil
• 5. • Seorang Dosen Politekni Telkom mengajar mahasiswa PIS-09-10, PIS-09-11 dan PCA-09-01. • Jika jumlah mahasiswa PIS-10 35 orang, jumlah mahasiswa PIS-11 adalah 33 orang, dan jumlah mahasiswa PCA-01 adalah 30 orang • Maka jumlah cara memilih satu mahasiswa dari ketiga kelas tersebut adalah 35 + 33 + 30 = 98 orang.
• 6. • Seorang mahasiswa Politeknik Telkom ingin membeli sebuah motor. • Ia dihadapkan untuk memilih pada satu jenis dari tiga merk motor, Honda 3 pilihan, Suzuki 2 pilihan, dan Yamaha 2 pilihan. • Dengan demikian, mahasiswa tersebut mempunyai mempunyai pilihan sebanyak • 3 + 2 + 2 = 7 pilihan.
• 7. • Jika Ketua kelas hanya 1 orang (pria atau wanita). • Jumlah pria di kelas PIS-09-01 adalah 25 orang dan jumlah wanita adalah 15 orang. • Berapa banyak cara memilih ketua kelas? Penyelesaian: 25 + 15 = 40 cara.
• 8. Prinsip Perkalian (rule of product) • Misalkan sebuah prosedur dapat dipecah dalam dua penugasan. • Penugasan pertama dapat dilakukan dalam n1 cara, dan tugas kedua dapat dilakukan dalam n2 cara setelah tugas pertama dilakukan. • Dengan demikian, dalam mengerjakan prosedur tersebut ada (n1 x n2) cara. • Secara tidak langsung, pada prinsip perkalian, bisa terjadi saling tumpang tindih (tidak saling lepas).
• 9. Misalkan, Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil maka, Percobaan 1 dan percobaan 2: p  q hasil
• 10. • Dosen dengan kode HNP, mengajar mahasiswa kelas PCA-09-01, PCA-09-02, dan PCA-09-03. • Misalkan, jumlah mahasiswa PCA-09-01 adalah 25 orang, jumlah mahasiswa PCA-09-02 adalah 27 orang, dan jumlah mahasiswa PCA-09-03 orang. • Jika HNP ingin memilih 3 mahasiswa dimana setiap kelas dipilih masing-masing 1 orang. Banyaknya susunan yang dapat dipilih oleh HNP? • Penyelesaian:25 x 27 x 20 = 13.500 cara dalam memilih susunan tiga murid tersebut.
• 11. • Jumlah mahasiswa laki-laki kelas PCE-09-02 adalah 32 orang sedangkan jumlah wanitanya hanya 6 orang. • Dua orang perwakilan kelas tersebut mendatangai HRO untuk protes nilai kuis matdis. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita. • Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tersebut? • Penyelesaian: 32 6 = 192 cara.
• 12. • Misalkan ada n percobaan, masing-masing denga pi hasil 1. Kaidah perkalian (rule of product) p1  p2  …  pn hasil 2. Kaidah penjumlahan (rule of sum) p1 + p2 + … + pn hasil
• 13. • Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika: a. panjang string 5 bit b. panjang string 8 bit (= 1 byte) Penyelesaian: a. 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah b. 28 = 256 buah
• 14. • Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang semua angkanya berbeda • Penyelesaian: a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9) b. posisi ribuan : 8 kemungkinan angka c. posisi ratusan : 8 kemungkinan angka d. posisi puluhan : 7 kemungkinan angka Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah.
• 15. • Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang boleh ada angka yang berulang. Penyelesaian: a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9); b. posisi ribuan : 9 kemungkinan angka (1 sampai 9) c. posisi ratusan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9) d. posisi puluhan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9) Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500
• 16. • Ketika dua proses dikerjakan dalam waktu yang sama, kita tidak bisa menggunakan prinsip penjumlahan untuk menghitung jumlah cara untuk memilih salah satu dari dua proses tersebut. • Untuk menghitung proses tersebut, kita harus mengenal prinsip inklusi-eksklusi.
• 17. Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’? Penyelesaian: Misalkan A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’, B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’ A  B = himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan ‘11’ A  B = himpunan byte yang berawal dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’
• 18. • |A| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 26 = 64 • |B| = (2)(2)(2)(2)(2)(2) (1)(1) = 26 = 64, • |A  B| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(1) = 24 = 16. maka A  B = A + B – A  B = 26 + 26 – 16 = 64 + 64 – 16 = 112.
• 19. 1. Sebuah restoran menyediakan 10 jenis makanan dan 8 jenis minuman. Jika setiap orang boleh memesan 1 makanan dan 1 minuman, berapa banyak makanan dan minuman yang dapat dipesan! 2. Jabatan presiden mahasiswa dapat diduduki oleh mahasiswa politeknik angkatan 2007 atau 2008. Jika jumlah mahasiswa politeknik telkom angkatan 2007 dan 2008 masing masing 400 dan 1100 mahasiswa, berapa cara memilih presiden mahasiswa!
• 20. 3. Sekelompok mahasiswa yang menyukai Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang pria dan satu orang wanita yang menyukai Batagor tersebut? 4. Sekelompok mahasiswa yang menyukai Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang yang menyukai Batagor tersebut?
• 21. 5. Pelat nomor memuat 2 huruf (boleh sama)diikuti 3 angka dengan digit pertama tidak sama dengan 0(boleh ada angka yang sama). Ada berapa pelat nomor berbeda? 6. Pelat nomor memuat 2 huruf berbeda diikuti 3 angka berbeda. Ada berapa pelat nomor berbeda?
• 22. 7. Pelat nomor memuat 2 huruf berbeda diikuti 3 angka berbeda dengan digit pertama tidak sama dengan 0. Ada berapa pelat nomor berbeda? 8.Tentukan n cara agar sebuah organisasi yang terdiri dari 26 anggota dapat memilih ketua,sekretaris dan bendahara dgn catatan tidak ada jabatan rangkap)
• 23. 9. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar seseorang dapat bepergian dengan bus dari A ke C melewati B? 10. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari A ke C melewati B
• 24. 11. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari A ke C melewati B dan tidak ingin melewati satu jalur lebih dari sekali? 13. Jika terdapat 15 pertanyaan yang masing- masing jawabannya Benar (B) atau Salah (S), berapakah kemungkinan jawaban yang dapat dibuat?
• 25. 13. Perpustakan Politeknik Telkom memiliki 6 buah buku Sistem Informasi, 10 buku Algoritma dan Pemrograman, serta 15 buku Sistem Komputer. Berapa jumlah cara memilih: a. 3 buah buku, masing-masing dari jenis yang berbeda b. Sebuah buku
• 26. 14. Berapa banyak jumlah kata 4-huruf yang dapat dibentuk dari huruf- huruf : h, e, r, dan u, jika tidak boleh ada huruf yang berulang di dalam kata. 15. Berapa banyak jumlah kata 4-huruf yang dapat dibentuk dari huruf- huruf : h, e, r, dan u, jika boleh ada huruf yang berulang di dalam kata
• 27. 16. Berapa banyak jumlah kata pada soal no 14 yang diawali huruf r dan tidak diawali huruf r 17. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400 banyaknya adalah … 18. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dibentuk bilangan yang terdiri atas 4 angka yang berlainan. Tentukan banyaknya bilangan yang lebih dari 2000
• 28. 19. Tentukan banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7, dan tidak ada angka yang sama! 20. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah ….
• 29. • Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek. • Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola merah, biru, putih ke dalam kotak 1,2,3 ? BOLA m b p KOTAK 1 2 3
• 30. KOTAK 1 KOTAK 2 KOTAK 3 URUTAN m b p mbp p b mpb b m p bmp p m bpm p m b pmb b m pbm • Jumlah kemungkinan urutan berbeda dari penempatan bola ke dalam kotak adalah (3)(2)(1) = 3! = 6.
• 31. • Permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan. • Dengan kata lain, permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian. • Misalkan diberikan suatu himpunan A dengan jumlah anggota adalah n • Susunan terurut yang terdiri dari r buah anggota dinamakan permutasi-r dari A, ditulis P(n, r)
• 32. • Permutasi r objek dari n buah objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n • Pada setiap kemungkinan penyusunan r buah objek tidak ada urutan objek yang sama, yaitu P(n, r)  n(n  1)(n  2)...(n  (r  1)) n!  (n  r )!
• 33. • Misalkan S = {p, q, r}. Berapa cara yang mungkin dalam penyusunan 2 huruf pada S sehingga tidak ada urutan yang sama ? • Penyelesaian:
• 34. • Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”? • Penyelesaian: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata • Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? • Penyelesaian: P(25, 25) = 25! = 15.511.210.043.330.985.984.000.000
• 35. • Diketahui enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak. • Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. • Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut? BOLA m b p h k j KOTAK 1 2 3
• 36. Cara 1: a. kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 pilihan); b. kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan); c. kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan). • Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120 Cara 2: P(6,3)=6!/(6-3)!=6!/3!=120
• 37. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika: (a) tidak boleh ada pengulangan angka, dan (b) boleh ada pengulangan angka. Penyelesaian: (a) Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 60 (b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. Dengan kiadah perkalian: (5)(5)(5) = 53 = 125.
• 38. • Diketahui Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula. • Tentukan banyak kode yang dapat dibuat! • Penyelesaian: P(26, 4)  P(10,3) = 258.336.000
• 39. • Banyaknya permutasi dari n objek dari n1 yang sama, n2 yang sama,……, nr yang sama adalah n! n1!n2 !...nr !
• 40. Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata “DISKRIT” Penyelesaian: n=7 n1 = 2 (huruf I yang sama, jumlahnya = 2) Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata “DISKRIT” = n!/n1! = 7!/2! = 2520 Kata
• 41. Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata “MATEMATIKA” Penyelesaian: n = 10 n1 = 2 (huruf M) n2 = 3 (huruf A) n3 = 2 (huruf T) Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata “MATEMATIKA” = 10!/2!3!2! = 151.200 kata
• 42. 1. Berapa banyak bilangan berdigit 3 yang bisa dibentuk dari 6 angka 2,3,4,5,7,9 dan pengulangan tidak diperbolehkan? 2. Tiga ujian dilakukan dalam suatu periode enam hari (senin-sabtu). Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada 2 ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama?
• 43. 3. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun perbaris. Tiap baris terdiri dari 6 kursi. Jika dua orang akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris? 4. Tentukan banyaknya sandi yang dapat dibentuk dari 5 huruf yang berbeda dan diikuti pula dengan 2 angka yang berbeda pula!
• 44. 5. Sebuah mobil mempunyai 4 tempat duduk. Berapa banyak cara 3 orang didudukkan jika diandaikan satu orang harus duduk di kursi sopir?
• 45. • Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. • Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.
• 46. • Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama dan ada 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola. • Jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak 3! P(3,2) 1! (3)(2)    3 2! 2! 2
• 47. a b b a sama a b Hanya sama 3 cara b a a b a sama b
• 48. • Bila sekarang jumlah bola yang sama adalah 3 dan jumlah kotak 10 • Maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah 10! P(10,3) 7! (10)(9)(8)   3! 3! 3! karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya sama.
• 49. • Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah n(n  1)(n  2)...(n  (r  1))  n  Cn, r     n!  r r! r!(n  r )!  
• 50. • C(n, r) sering dibaca "n diambil r", artinya r objek diambil dari n buah objek. • Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. 50
• 51. 1. C(n, r) adalah banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Contoh Misalkan A = {1, 2, 3} Jumlah Himpunan bagian dengan 2 elemen: {1, 2} = {2, 1}  3 3! 3! {1, 3} = {3, 1} 3 buah atau  2   (3  2)!2!  1!2!  3     {2, 3} = {3, 2}
• 52. 2. C(n, r) adalah cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting. Contoh: Berapa banyak cara membentuk panitia (komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orang dari sebuah fraksi di DPR yang beranggotakan 25 orang?
• 53. Penyelesaian: • Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama. • Misalkan lima orang yang dipilih adalah A, B, C, D, dan E • Maka urutan penempatan masing-masingnya di dalam panitia tidak penting (ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB, dan seterusnya). • Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah C(25,5) = 53130 cara.
• 54. • Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Komputer Angkatan 2009, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga: 1. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; 2. Mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; 3. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak; 4. Mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak; 5. Mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; 6. Setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya.
• 55. 1. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di dalamnya adalah: C(9, 4) = 126 2. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A tidak termasuk di dalamnya adalah: C(9, 5) = 126 3. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A termasuk di dalamnya, tetapi B tidak adalah: C(8, 4) = 70
• 56. 4. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga B termasuk di dalamnya, tetapi A tidak adalah: C(8, 4) = 70 5. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A dan B selalu termasuk di dalamnya adalah: C(8, 3) = 56
• 57. 6. Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari A atau B termasuk di dalamnya adalah: Jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di dalamnya, B tidak + jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di dalamnya, A tidak + jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B termasuk di dalamnya = 70 + 70 + 56 = 196
• 58. Misalkan: X = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan B X  Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A dan B, maka X = C(9, 4) = 126; Y = C(9, 4) = 126;  X  Y = C(8, 3) = 56; X  Y = X + Y - X  Y = 126 + 126 – 56 = 196
• 59. 1. Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah .... 2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas 11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.
• 60. 3. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segaris adalah .... 4. Tentukan banyaknya cara memilih 5 orang dari 15 orang siswa untuk menjadi pelaksana upacara bendera Senin pagi! 5. Menentukan lima orang pemain cadangan dari 16 orang anggota kesebelasan sepakbola.
• 61. 6. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7 orang mahasiswa jurusan Informatika. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika: (a) tidak ada batasan jurusan (b) semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika (c) semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika (d) semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama (e) 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili. 61
• 62. 7. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita, jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita? 62
• 64. Jabarkan (3x - 2)3! Penyelesaian: Misalkan a = 3x dan b = -2, (a + b)3 = C(3, 0) a3 + C(3, 1) a2b1 + C(3, 2) a1b2 + C(3, 3) b3 = 1 (3x)3 + 3 (3x)2 (-2) + 3 (3x) (-2)2 + 1 (-2)3 = 27 x3 – 54x2 + 36x – 8
• 65. Tentukan suku keempat dari penjabaran perpangkatan (x - y)5. Penyelesaian: (x - y)5 = (x + (-y))5. Suku keempat adalah: C(5, 3) x5-3 (-y)3 = -10x2y3.
• 66. 1. (2x-3)3=… 2. (3x-2y)4 = … 3. Tentukan suku ke empat dari penjabaran perpangkatan (x +y)5 4. Tentukan suku ke lima dari penjabaran perpangkatan (2x +3y)6
• 67. 5. Dengan menggunakan teorema binomial, tentukan : a. koefisien x5y8 dalam (x + y)13 b. koefisien x7 dalam (1 + x)11 c. koefisien x9 dalam (1 – x)19
Current LanguageEnglish
Español
Portugues
Français
Deutsche