2. • Kombinatorial adalah cabang matematika yang
berguna untuk menghitung jumlah penyusunan
objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua
kemungkinan susunannya.
• Contoh : Sebuah password panjangnya 6 sampai 8
karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka.
Berapa banyak kemungkinan password yang dapat
dibuat?
- Abcdef - aaaade - a123f - erhtgahn
- Yutresik - … - ????

3. Prinsip Penjumlahan (rule of sum)
• Jika suatu himpunan A terbagi kedalam himpunan
bagian A1, A2, …, An, maka jumlah unsur pada
himpunan A akan sama dengan jumlah semua
unsur yang ada pada setiap himpunan bagian A1,
A2, …, An.
• Secara tidak langsung, pada prinsip penjumlahan,
setiap himpunan bagian A1, A2, …, An tidak saling
tumpang tindih (saling lepas).

4. • Untuk himpunan yang saling tumpang tindih tidak
berlaku lagi prinsip penjumlahan, dan ini harus
diselesaikan dengan prinsip inklusi-eksklusi yang
akan dibahas kemudian.
• Misalkan,
Percobaan 1 : p hasil
Percobaan 2 : q hasil
maka, Percobaan 1 atau percobaan 2:
p + q hasil

5. • Seorang Dosen Politekni Telkom mengajar
mahasiswa PIS-09-10, PIS-09-11 dan PCA-09-01.
• Jika jumlah mahasiswa PIS-10 35 orang, jumlah
mahasiswa PIS-11 adalah 33 orang, dan jumlah
mahasiswa PCA-01 adalah 30 orang
• Maka jumlah cara memilih satu mahasiswa dari
ketiga kelas tersebut adalah 35 + 33 + 30 = 98
orang.

6. • Seorang mahasiswa Politeknik Telkom ingin
membeli sebuah motor.
• Ia dihadapkan untuk memilih pada satu jenis
dari tiga merk motor, Honda 3 pilihan, Suzuki
2 pilihan, dan Yamaha 2 pilihan.
• Dengan demikian, mahasiswa tersebut
mempunyai mempunyai pilihan sebanyak
• 3 + 2 + 2 = 7 pilihan.

7. • Jika Ketua kelas hanya 1 orang (pria atau
wanita).
• Jumlah pria di kelas PIS-09-01 adalah 25 orang
dan jumlah wanita adalah 15 orang.
• Berapa banyak cara memilih ketua kelas?
Penyelesaian:
25 + 15 = 40 cara.

8. Prinsip Perkalian (rule of product)
• Misalkan sebuah prosedur dapat dipecah dalam dua
penugasan.
• Penugasan pertama dapat dilakukan dalam n1 cara,
dan tugas kedua dapat dilakukan dalam n2 cara
setelah tugas pertama dilakukan.
• Dengan demikian, dalam mengerjakan prosedur
tersebut ada (n1 x n2) cara.
• Secara tidak langsung, pada prinsip perkalian, bisa
terjadi saling tumpang tindih (tidak saling lepas).

9. Misalkan,
Percobaan 1: p hasil
Percobaan 2: q hasil
maka,
Percobaan 1 dan percobaan 2:
p  q hasil

10. • Dosen dengan kode HNP, mengajar mahasiswa kelas
PCA-09-01, PCA-09-02, dan PCA-09-03.
• Misalkan, jumlah mahasiswa PCA-09-01 adalah 25
orang, jumlah mahasiswa PCA-09-02 adalah 27
orang, dan jumlah mahasiswa PCA-09-03 orang.
• Jika HNP ingin memilih 3 mahasiswa dimana setiap
kelas dipilih masing-masing 1 orang. Banyaknya
susunan yang dapat dipilih oleh HNP?
• Penyelesaian:25 x 27 x 20 = 13.500 cara dalam
memilih susunan tiga murid tersebut.

11. • Jumlah mahasiswa laki-laki kelas PCE-09-02 adalah
32 orang sedangkan jumlah wanitanya hanya 6
orang.
• Dua orang perwakilan kelas tersebut mendatangai
HRO untuk protes nilai kuis matdis. Wakil yang
dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita.
• Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil
tersebut?
• Penyelesaian:
32 6 = 192 cara.

12. • Misalkan ada n percobaan, masing-masing
denga pi hasil
1. Kaidah perkalian (rule of product)
p1  p2  …  pn hasil
2. Kaidah penjumlahan (rule of sum)
p1 + p2 + … + pn hasil

13. • Berapa banyak string biner yang dapat
dibentuk jika:
a. panjang string 5 bit
b. panjang string 8 bit (= 1 byte)
Penyelesaian:
a. 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah
b. 28 = 256 buah

14. • Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999
(termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang semua
angkanya berbeda
• Penyelesaian:
a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9)
b. posisi ribuan : 8 kemungkinan angka
c. posisi ratusan : 8 kemungkinan angka
d. posisi puluhan : 7 kemungkinan angka
Banyak bilangan ganjil seluruhnya
= (5)(8)(8)(7) = 2240 buah.

15. • Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000
dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu
sendiri) yang boleh ada angka yang berulang.
Penyelesaian:
a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9);
b. posisi ribuan : 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)
c. posisi ratusan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)
d. posisi puluhan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)
Banyak bilangan ganjil seluruhnya =
(5)(9)(10)(10) = 4500

16. • Ketika dua proses dikerjakan dalam waktu
yang sama, kita tidak bisa menggunakan
prinsip penjumlahan untuk menghitung
jumlah cara untuk memilih salah satu dari dua
proses tersebut.
• Untuk menghitung proses tersebut, kita harus
mengenal prinsip inklusi-eksklusi.

17. Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak
jumlah byte yang dimulai dengan ‘11’ atau
berakhir dengan ‘11’?
Penyelesaian:
Misalkan
A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’,
B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’
A  B = himpunan byte yang berawal dan
berakhir dengan ‘11’
A  B = himpunan byte yang berawal dengan ‘11’ atau
berakhir dengan ‘11’

18. • |A| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 26 = 64
• |B| = (2)(2)(2)(2)(2)(2) (1)(1) = 26 = 64,
• |A  B| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(1) = 24 = 16.
maka
A  B = A + B – A  B
= 26 + 26 – 16
= 64 + 64 – 16
= 112.

19. 1. Sebuah restoran menyediakan 10 jenis makanan
dan 8 jenis minuman. Jika setiap orang boleh
memesan 1 makanan dan 1 minuman, berapa
banyak makanan dan minuman yang dapat dipesan!
2. Jabatan presiden mahasiswa dapat diduduki oleh
mahasiswa politeknik angkatan 2007 atau 2008. Jika
jumlah mahasiswa politeknik telkom angkatan 2007
dan 2008 masing masing 400 dan 1100 mahasiswa,
berapa cara memilih presiden mahasiswa!

20. 3. Sekelompok mahasiswa yang menyukai
Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita.
Berapa jumlah cara memilih satu orang pria
dan satu orang wanita yang menyukai Batagor
tersebut?
4. Sekelompok mahasiswa yang menyukai
Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita.
Berapa jumlah cara memilih satu orang yang
menyukai Batagor tersebut?

21. 5. Pelat nomor memuat 2 huruf (boleh
sama)diikuti 3 angka dengan digit pertama
tidak sama dengan 0(boleh ada angka yang
sama). Ada berapa pelat nomor berbeda?
6. Pelat nomor memuat 2 huruf berbeda diikuti
3 angka berbeda. Ada berapa pelat nomor
berbeda?

22. 7. Pelat nomor memuat 2 huruf berbeda diikuti
3 angka berbeda dengan digit pertama tidak
sama dengan 0. Ada berapa pelat nomor
berbeda?
8.Tentukan n cara agar sebuah organisasi yang
terdiri dari 26 anggota dapat memilih
ketua,sekretaris dan bendahara dgn catatan
tidak ada jabatan rangkap)

23. 9. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur
bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar
seseorang dapat bepergian dengan bus dari A
ke C melewati B?
10. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3
jalur bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara
agar seseorang dapat pulang pergi dengan
bus dari A ke C melewati B

24. 11. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3
jalur bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara
agar seseorang dapat pulang pergi dengan
bus dari A ke C melewati B dan tidak ingin
melewati satu jalur lebih dari sekali?
13. Jika terdapat 15 pertanyaan yang masing-
masing jawabannya Benar (B) atau Salah (S),
berapakah kemungkinan jawaban yang dapat
dibuat?

25. 13. Perpustakan Politeknik Telkom memiliki 6
buah buku Sistem Informasi, 10 buku
Algoritma dan Pemrograman, serta 15 buku
Sistem Komputer. Berapa jumlah cara
memilih:
a. 3 buah buku, masing-masing dari jenis yang
berbeda
b. Sebuah buku

26. 14. Berapa banyak jumlah kata 4-huruf yang
dapat dibentuk dari huruf- huruf : h, e, r, dan
u, jika tidak boleh ada huruf yang berulang di
dalam kata.
15. Berapa banyak jumlah kata 4-huruf yang
dapat dibentuk dari huruf- huruf : h, e, r, dan
u, jika boleh ada huruf yang berulang di dalam
kata

27. 16. Berapa banyak jumlah kata pada soal no 14 yang
diawali huruf r dan tidak diawali huruf r
17. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang
terdiri atas tiga angka yang berbeda. Diantara
bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400
banyaknya adalah …
18. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dibentuk bilangan yang
terdiri atas 4 angka yang berlainan. Tentukan
banyaknya bilangan yang lebih dari 2000

28. 19. Tentukan banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000
yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7, dan
tidak ada angka yang sama!
20. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B
ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke
kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga
melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau
menggunakan bus yang sama, maka banyak cara
perjalanan orang tersebut adalah ….

29. • Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari
pengaturan objek-objek.
• Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat
dari penempatan bola merah, biru, putih ke dalam
kotak 1,2,3 ? BOLA
m b p
KOTAK
1 2 3

30. KOTAK 1 KOTAK 2 KOTAK 3 URUTAN
m b p mbp
p b mpb
b m p bmp
p m bpm
p m b pmb
b m pbm
• Jumlah kemungkinan urutan berbeda dari
penempatan bola ke dalam kotak adalah
(3)(2)(1) = 3! = 6.

31. • Permutasi merupakan susunan yang mungkin
dibuat dengan memperhatikan urutan.
• Dengan kata lain, permutasi merupakan
bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian.
• Misalkan diberikan suatu himpunan A dengan
jumlah anggota adalah n
• Susunan terurut yang terdiri dari r buah
anggota dinamakan permutasi-r dari A, ditulis
P(n, r)

32. • Permutasi r objek dari n buah objek adalah
jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang
dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n
• Pada setiap kemungkinan penyusunan r buah
objek tidak ada urutan objek yang sama, yaitu
P(n, r)  n(n  1)(n  2)...(n  (r  1))
n!

(n  r )!

33. • Misalkan S = {p, q, r}. Berapa cara yang
mungkin dalam penyusunan 2 huruf pada S
sehingga tidak ada urutan yang sama ?
• Penyelesaian:

34. • Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata
“HAPUS”?
• Penyelesaian:
P(5, 5) = 5! = 120 buah kata
• Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang
mahasiswa?
• Penyelesaian:
P(25, 25) = 25! =
15.511.210.043.330.985.984.000.000

35. • Diketahui enam buah bola yang berbeda warnanya
dan 3 buah kotak.
• Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola.
• Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat
dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak
tersebut? BOLA
m b p h k j
KOTAK
1 2 3

36. Cara 1:
a. kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6
pilihan);
b. kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5
pilihan);
c. kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4
pilihan).
• Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola =
(6)(5)(4) = 120
Cara 2:
P(6,3)=6!/(6-3)!=6!/3!=120

37. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka
dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika:
(a) tidak boleh ada pengulangan angka, dan
(b) boleh ada pengulangan angka.
Penyelesaian:
(a) Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah
Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 60
(b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi.
Dengan kiadah perkalian: (5)(5)(5) = 53 = 125.

38. • Diketahui Kode buku di sebuah perpustakaan
panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf
berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang
berbeda pula.
• Tentukan banyak kode yang dapat dibuat!
• Penyelesaian:
P(26, 4)  P(10,3) = 258.336.000

39. • Banyaknya permutasi dari n objek dari n1 yang
sama, n2 yang sama,……, nr yang sama adalah
n!
n1!n2 !...nr !

40. Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk
dari kata “DISKRIT”
Penyelesaian:
n=7
n1 = 2 (huruf I yang sama, jumlahnya = 2)
Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata
“DISKRIT” = n!/n1! = 7!/2! = 2520 Kata

41. Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari
kata “MATEMATIKA”
Penyelesaian:
n = 10
n1 = 2 (huruf M)
n2 = 3 (huruf A)
n3 = 2 (huruf T)
Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata
“MATEMATIKA” = 10!/2!3!2! = 151.200 kata

42. 1. Berapa banyak bilangan berdigit 3 yang bisa
dibentuk dari 6 angka 2,3,4,5,7,9 dan
pengulangan tidak diperbolehkan?
2. Tiga ujian dilakukan dalam suatu periode
enam hari (senin-sabtu). Berapa banyak
pengaturan jadwal yang dapat dilakukan
sehingga tidak ada 2 ujian atau lebih yang
dilakukan pada hari yang sama?

43. 3. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang
disusun perbaris. Tiap baris terdiri dari 6 kursi.
Jika dua orang akan duduk, berapa banyak
pengaturan tempat duduk yang mungkin pada
suatu baris?
4. Tentukan banyaknya sandi yang dapat
dibentuk dari 5 huruf yang berbeda dan diikuti
pula dengan 2 angka yang berbeda pula!

44. 5. Sebuah mobil mempunyai 4 tempat duduk.
Berapa banyak cara 3 orang didudukkan jika
diandaikan satu orang harus duduk di kursi
sopir?

45. • Bentuk khusus dari permutasi adalah
kombinasi.
• Jika pada permutasi urutan kemunculan
diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan
kemunculan diabaikan.

46. • Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama dan
ada 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi
paling banyak 1 bola.
• Jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak
3!
P(3,2) 1! (3)(2)
   3
2! 2! 2

47. a b
b a sama
a b
Hanya
sama 3 cara
b a
a b
a sama
b

48. • Bila sekarang jumlah bola yang sama adalah 3
dan jumlah kotak 10
• Maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam
kotak adalah
10!
P(10,3) 7! (10)(9)(8)
 
3! 3! 3!
karena ada 3! cara memasukkan bola yang
warnanya sama.

49. • Secara umum, jumlah cara memasukkan r
buah bola yang berwarna sama ke dalam n
buah kotak adalah
n(n  1)(n  2)...(n  (r  1))  n
 Cn, r    
n!
 r
r! r!(n  r )!  

50. • C(n, r) sering dibaca "n diambil r", artinya
r objek diambil dari n buah objek.
• Kombinasi r elemen dari n elemen, atau
C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang
tidak terurut r elemen yang diambil dari
n buah elemen.
50

51. 1. C(n, r) adalah banyaknya himpunan bagian
yang terdiri dari r elemen yang dapat
dibentuk dari himpunan dengan n elemen.
Contoh
Misalkan A = {1, 2, 3}
Jumlah Himpunan bagian dengan 2 elemen:
{1, 2} = {2, 1}
 3 3! 3!
{1, 3} = {3, 1} 3 buah atau  2   (3  2)!2!  1!2!  3
 
 
{2, 3} = {3, 2}

52. 2. C(n, r) adalah cara memilih r buah elemen
dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan
elemen di dalam susunan hasil pemilihan
tidak penting.
Contoh:
Berapa banyak cara membentuk panitia
(komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5
orang dari sebuah fraksi di DPR yang
beranggotakan 25 orang?

53. Penyelesaian:
• Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak
terurut, artinya setiap anggota di dalam panitia
kedudukannya sama.
• Misalkan lima orang yang dipilih adalah A, B, C, D,
dan E
• Maka urutan penempatan masing-masingnya di
dalam panitia tidak penting (ABCDE sama saja
dengan BACED, ADCEB, dan seterusnya).
• Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri
dari 5 orang anggota adalah C(25,5) = 53130 cara.

54. • Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Komputer
Angkatan 2009, berapa banyak cara membentuk
sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang
sedemikian sehingga:
1. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;
2. Mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;
3. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi
B tidak;
4. Mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi
A tidak;
5. Mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;
6. Setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A
atau B termasuk di dalamnya.

55. 1. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A
selalu termasuk di dalamnya adalah:
C(9, 4) = 126
2. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A tidak
termasuk di dalamnya adalah:
C(9, 5) = 126
3. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A
termasuk di dalamnya, tetapi B tidak adalah:
C(8, 4) = 70

56. 4. Banyak cara untuk membentuk perwakilan
yang beranggotakan 5 orang sedemikian
sehingga B termasuk di dalamnya, tetapi A
tidak adalah:
C(8, 4) = 70
5. Banyak cara untuk membentuk perwakilan
yang beranggotakan 5 orang sedemikian
sehingga A dan B selalu termasuk di
dalamnya adalah:
C(8, 3) = 56

57. 6. Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikian
sehingga setidaknya salah satu dari A atau B
termasuk di dalamnya adalah:
Jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di
dalamnya, B tidak
+
jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di
dalamnya, A tidak
+
jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B
termasuk di dalamnya
=
70 + 70 + 56 = 196

58. Misalkan:
X = jumlah cara membentuk perwakilan yang
menyertakan A
Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang
menyertakan B
X  Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang
menyertakan A dan B, maka
X = C(9, 4) = 126; Y = C(9, 4) = 126;
 X  Y = C(8, 3) = 56;
X  Y = X + Y - X  Y = 126 + 126 – 56 = 196

59. 1. Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang
undangan. Jika mereka saling berjabat
tangan, banyak jabat tangan yang terjadi
dalam pertemuan itu adalah ....
2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim
sepakbola yang terdiri atas 11 orang.
Tentukan banyak cara dalam pemilihan
tersebut.

60. 3. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7
titik tanpa ada tiga titik yang terletak
segaris adalah ....
4. Tentukan banyaknya cara memilih 5 orang
dari 15 orang siswa untuk menjadi pelaksana
upacara bendera Senin pagi!
5. Menentukan lima orang pemain cadangan
dari 16 orang anggota kesebelasan sepakbola.

61. 6. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7
orang mahasiswa jurusan Informatika. Berapa
banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4
orang jika:
(a) tidak ada batasan jurusan
(b) semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika
(c) semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika
(d) semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama
(e) 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili.
61

62. 7. Berapa banyak cara membentuk sebuah
panitia yang beranggotakan 5 orang yang
dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita,
jika di dalam panitia tersebut paling sedikit
beranggotakan 2 orang wanita?
62

64. Jabarkan (3x - 2)3!
Penyelesaian:
Misalkan a = 3x dan b = -2,
(a + b)3 = C(3, 0) a3 + C(3, 1) a2b1 + C(3, 2) a1b2 + C(3, 3) b3
= 1 (3x)3 + 3 (3x)2 (-2) + 3 (3x) (-2)2 + 1 (-2)3
= 27 x3 – 54x2 + 36x – 8

65. Tentukan suku keempat dari penjabaran
perpangkatan (x - y)5.
Penyelesaian:
(x - y)5 = (x + (-y))5.
Suku keempat adalah: C(5, 3) x5-3 (-y)3 =
-10x2y3.

66. 1. (2x-3)3=…
2. (3x-2y)4 = …
3. Tentukan suku ke empat dari penjabaran
perpangkatan (x +y)5
4. Tentukan suku ke lima dari penjabaran
perpangkatan (2x +3y)6

67. 5. Dengan menggunakan teorema binomial,
tentukan :
a. koefisien x5y8 dalam (x + y)13
b. koefisien x7 dalam (1 + x)11
c. koefisien x9 dalam (1 – x)19