Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

практ.заняття 4 теорія поля

215 views

Published on

1

Published in: Technology
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

практ.заняття 4 теорія поля

  1. 1. Практичне заняття 4 Потік та дивергенція векторного поля Завдання № 4.1. Знайти дивергенцію векторних полів: а) в точці2 2 3 F xy i x y j z k       (1; 1;3);A  б) в)2 3F xi y j z       ;k 33 3 ;F x yzi xy z j xyz k       г) 23 ; ( ) i j k F x y z          д) ( ).xy F e xi y j xyk        Розв’язання. а) Дивергенцію обчислюємо за формулою (3.9). В даному випадку 2 2 3 2 2 ; ; ; ; ; 3 P Q R P xy Q x y R z y x z x y z 2 .             Маємо 2 2 3 ; P Q R divF y x z x y z 2             2 2 2 ( ) ( 1) 1 3 3 29.divF A        ( ) 0divF A    довільна точка (1; 1;3)A  являється джерелом. б) Маємо 2 ; 3 ; ;P x Q y R z   (2 ) (2 ) ( ) 2 3 1 6.x y zdivF x y z          6 0divF     довільна точка ( ; ; )M x y z даного поля являється джерелом сталої потужності. в) 3 3 ; ;P x yz Q xy z R xyz   3 ; 2  ) 3 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 3 3x y zdivF x yz xy z xyz x yz xy z xyz         3 ( ) (zxy x y z f M    Точка ( ; ; )M x y z поля ,F  в залежності від її координат, може бути або джерелом, або стоком. Наприклад, точка для якої1(1;1;1),M 1( ) 9 0divF M ,   являються джерелом; а точка 2( 1;M 1;1),  для якої 2( ) 3 0divF M ,    являється стоком.
  2. 2. г) 2 3 53 2 ( ) ; 3 ( ) P Q R P Q R x y z x y z ; x y z                   5 3 ( ) 2( ) ( )divF M x y z f M       . д) ( ) (1 ); ( ) (1 ); ( ) 0.xy xy xy xy xy x y P Q R xe e xy ye e xy xye x y z                  z Маємо (1 ) (1 ) 0 0.xy xy divF e xy e xy        Отже, в полі вектора F  немає ні джерел ні стоків. Потік даного поля через довільну замкнену поверхню дорівнює нулю. Завдання № 4.2. Обчислити дивергенцію градієнта функції 3 2 2.u xy z  Розв’язання. Знайдемо градієнт скалярного поля ( )u M : .3 2 2 2 3 3 2x y zgrad u u i u j u k y z i xy z j xy zk              Маємо      3 2 2 2 3 x y div grad u y z xy z     3 2 3 2 2 0 6 2 2 (3  2 ) ( z ).xy z M    xyz xy xy z y f    Завдання № 4.3. Знайти дивергенцію векторних полів: а) в точці2 3 2 2F xz i x y j yz k       ( 1;1;2);A  б) в)4 2 3 ;F xi y j zk       2 2 2 2 2 ;F x yz i xy z j x yz k       г) ; i j k F x y z          д) ( )F e zyi y j zk    .zy     Відповідь. а) ( ) 13;divF A   б) 5;divF   в) 2 ( 1 )divF xyz z x   ;  г) 3 2 3 ( ) 2 divF x y z       ; д) 0divF   .z ). Завдання № 4.4. Знайти дивергенцію градієнта скалярних полів, заданих функціями: а) б)3 3 1;u x y z  3 2 2 3u x y xy   Відповідь. а) б) .2 2 ( ) 2 (3div grad u xz y x  ); ( ) 6(2 )div grad u xy x 
  3. 3. Завдання № 4.5. Вектор-функція ( )yi x j       визначає векторне поле лінійних швидкостей при обертанні твердого тіла із сталою кутовою швидкістю   навколо осі (рис. П4.1). Обчислити дивергенцію даного поля. Oz Розв’язання. В даному випадку ; ; P Q P y Q x div x y      0.         Нехай вектор-функція   являється полем лінійних швидкостей рідини, яка обертається із сталою кутовою швидкістю   , тоді в такому потоці немає ні джерел, ні стоків. Рис. П4.1. Завдання № 4.6. Нехай вздовж прямолінійного нескінченного провідника, розміщеного по осі проходить постійний струм,Oz I у напрямі знизу догори (рис. П4.2). Вектор напруженості H  магнітного поля, яке створюється цим струмом, визначається формулою 2 2 2 2 ( )( ). I H yi x j x y          Обчислити дивергенцію даного поля. Розв’язання. Маємо 2 2 2 2 2 2 ; ; Iy I P Q x x y x y     
  4. 4. Рис. П4.2.     2 2 2 2 2 2 4 4 0. P Q Ixy Ixy div H x y x y x y             0div H    в полі вектора H  k немає джерел та немає стоків. Завдання № 4.7. Знайти потік векторного поля 2F xi y j xz       через замкнену поверхню :2 2; 0; 0; 0x y z x y z       (рис. П4.3.). Рис. П4.3 Розв’язання. Потік обчислюємо за формулою Остоградського (3.11). Маємо 2 1 ;divF x   
  5. 5. 2(1 )1 0 0 0 2( 1) (1 ) (1 ) x G y x x dxdydz x dx dy dz              2(1 )0 1 0 (1 ) ( 2( 1)) x x dx y x dy         2(1 ) 21 0 0 (1 ) 2(1 ) 2 x y x x y dx              1 2 2 0 (1 ) 2(1 ) 4(1 )x x x        dx  141 3 0 0 2(1 ) 1 2(1 ) . 4 2 x x dx       Завдання № 4.8. Знайти потік векторного поля через замкнену поверхню 3 2 ( ) 2F x z i x      k 02 2 : 1 ;y x z y     (рис. П4.4). Рис. П4.4. Розв’язання. 2 (3 0) G G div Fdxdydz x dxdydz         2 2 2 2 1 0 2 2 2 0 0 1 : 1 1, 3 cos 1 0 xzD x z d d dy y                        d 2 1 2 1 3 2 2 5 3 2 0 0 0 0 3 ( 1)cos 3 ( )cosd d d                     
  6. 6. 1 26 42 0 00 1 cos2 3 1 1 3 s 2 6 4 2 12 2 d  in2 . 4                                    Завдання № 4.9. Знайти потік поля 2 2 2 ( ) (F y x i z j y x     )k    ; 0; 0.  через замкнену поверхню :6 6 6; 0x y z x y z       Відповідь. Завдання № 4.10. Знайти потік поля 21 2 ( 2 F xi y j z y    3 )k     через замкнену поверхню 2 2 2 :( 3) ; 0.z x y z     Відповідь. 32 3 0 0 0 (1 sin ) 9d d dz               . Завдання № 4.11. Знайти потік поля 3 ( )F y z j xy   2 k    . через замкнену поверхню 2 2 : 1 ; 2z x y z     Відповідь. 2 2 1 2 2 3 0 0 1 3 sin 4 d d dz              . Завдання № 4.12. Знайти потік поля 3 ( 2) ( 1) ( )F x i y j z x      k    4.  через замкнену поверхню 2 2 : ;x y z z    Відповідь. Завдання № 4.13. Знайти потік поля 2 ( ) 2 ( 2F x y i y j z     )k    .  через замкнену поверхню 2 2 : 1 ; 2z x y z     Відповідь. 2 2 1 2 0 0 1 2 d d dz               . Завдання № 4.14. Знайти потік поля (2 ) ( )F x z i y j z x     k    2.  через замкнену поверхню 2 2 2 : ;0x y z x     Відповідь. 2 2 2 0 0 16 2 2 3G dxdydz d d dx             .
  7. 7. Завдання № 4.15. Знайти потік поля ( ) 2F x y i y j zk       0.  через замкнену поверхню 2 2 : 4; ,x y x z z     Відповідь. cos22 0 0 2 32 2 2 3G dxdydz d d dz                . Завдання № 4.16. Знайти потік поля 2 2F xi y j yzk       1. через замкнену поверхню 2 2 : ;0x y z x     Відповідь. 2 2 1 1 2 0 0 (2 1) (2 sin ) 2G y dxdydz d d dx                  . ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ: Практичне завдання №4 Номери:4.9, 4.12. РОЗВЯЗАННЯ СЛІД НАДСИЛАТИ У ВИГЛЯДІ ДОКУМЕНТУ З РОЗШИРЕННЯМ "doc" (версії 90-2003)

×