Matemática: Unidad I

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Matemática: Unidad I

  1. 1. Las matemáticas son fáciles Unidad I Teoría de conjuntos e intervalos Prof.: Christiam Huertas www.mathesm.blogspot.com 27/02/2012
  2. 2. Prof.: Christiam Huertas 1
  3. 3. UNIDADTeoría de conjuntos,desigualdades e Iintervalos Capítulo 1 Teoría de conjuntosEn la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. Enmatemática a tal colección se le llama conjunto, en tanto que a los objetos quelo componen se les llama elementos. En consecuencia, el concepto de conjuntoes simplemente una generalización de una idea que ya es algo común en lacotidianidad. 1.1 ConjuntosIntuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación, reunión o colección deobjetos reales o ideales, a los cuales se les denomina elementos del conjunto. Ejemplo 1 Ejemplos de conjuntos 1. Los cinco primeros números impares. 2. Las 5 vocales. 3. Los días de la semana. 4. Los alumnos del aula 605.A los conjuntos generalmente se les representa con letras mayúsculas y a suselementos separados por comas ( , ) y encerrados por llaves: { }. Notación Notación de un conjunto { } Nombre del Elementos del conjunto conjuntoProf.: Christiam Huertas 2
  4. 4. Ejemplo 2 Ejemplos de conjuntos y su representación 1. El conjunto de los cinco primeros números impares. { } 2. El conjunto de las vocales. { } 3. El conjunto de los días de la semana. { } 4. El conjunto de los alumnos del aula 605. { } 1.1.1 Relación de pertenenciaSi un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece ( ) a esteconjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece ( ) a dicho conjunto. Notación Notación de la relación de pertenencia Elemento Conjunto { } Ejemplo 3Dado el conjunto { }, afirmamos que:  pertenece el conjunto Notación:  pertenece el conjunto Notación:  no pertenece el conjunto Notación: Ejemplo 4Dado el conjunto { { } { }}. ¿Cuántas de las siguientesproposiciones son verdaderas?   { }  { }    {{ }}Prof.: Christiam Huertas 3
  5. 5. SoluciónComo los elementos del conjunto son: { } { }. Podemos concluir que:  (V)  { } (V)  { } (V)  (F)  (V)  {{ }} (F) 1.2 Determinación de un conjuntoDeterminar un conjunto es especificar o señalar en forma precisa, cuales son loselementos que lo conforman sin que existan ambigüedades. Por extensión o en forma tabular Por comprensión o en forma constructivaEs cuando se señala a cada uno de sus Es cuando se menciona una o máselementos del conjunto. características comunes y exclusivas de los elementos del conjunto. Ejemplo 5 Determinación de un conjunto por extensión y comprensión respectivamenteLos cinco primeros números naturales. { } { }Las estaciones del año. { } { }Los cinco primeros números pares. { } { } 1.3 Número cardinalEl número cardinal de un conjunto nos indica la cantidad de elementosdiferentes que posee el conjunto. Notación Notación de número cardinal oSe lee: cardinal del conjunto .Prof.: Christiam Huertas 4
  6. 6. Ejemplo 6 Ejemplos de conjuntos y su respectivo cardinal. 1. En el conjunto { }, su cardinal es . 2. En el conjunto { }, su cardinal es . 3. { }, su cardinal es . 4. { { } { } { }}, su cardinal es . 1.4 Representación gráfica de conjuntos 1.4.1 Diagramas de Venn – EulerLos diagramas de Venn-Euler representan a los conjuntos mediante regionesplanas limitadas por figuras geométricas cerradas (triángulos, rectángulos,circunferencias, elipses, etc.). Ejemplo 7 Representación de un conjunto por un diagrama de Venn-EulerEl conjunto { } se puede representar mediante la siguientefigura. 𝐴 𝑚 𝑎 Ejemplo 8 Representación de un conjunto por un diagrama de Venn-EulerEl conjunto { } se puede representar mediante lasiguiente figura. 𝐵 𝑎 𝑢 𝑖 𝑒 𝑜 1.4.2 Diagramas de CarrollEs un diagrama que consiste en rectángulos divididos por segmentos. Se usanpara graficar conjuntos disjuntos.Prof.: Christiam Huertas 5
  7. 7. Ejemplo 9 Representación de un conjunto por el diagrama de CarrollEn una reunión asistieron hombres y mujeres, además se observó que un grupode dichos asistentes son casados. Representar a través de un diagrama losconjuntos mencionados. SoluciónDefinimos los conjuntos: Diagrama de Carrol para los subconjuntos definidos: : conjunto de los hombres 𝑆 𝐶 : conjunto de las mujeres : conjunto de los solteros 𝐻 : conjunto de los casados 𝑀Note que los 4 conjuntos son disjuntos. 1.5 Relaciones entre conjuntos 1.5.1 InclusiónSe dice que un conjunto esta incluido en el conjunto , si y solo si loselementos de son también elementos del conjunto . NotaciónSi esta incluido en , se denota por:Se lee: Diagrama  esta incluido en . 𝐵  esta contenido en . 𝐴  es un subconjunto de . ∙ 𝑥  contiene al conjunto .Ejemplo 10Dados los conjuntos Diagrama { } 𝐵 { } 𝐴 ∙Notamos que todos los elementos ∙ ∙ ∙de están incluidos en .Por lo tanto, ∙ ∙Prof.: Christiam Huertas 6
  8. 8. Ejemplo 11Dados los conjuntos Diagrama { } 𝑀 { } 𝑁Se sabe que toda gallina es un ave.Por lo tanto, . 1.5.2 Igualdad de conjuntosDos conjuntos y son iguales cuando tienen los mismos elementos sinimportar el orden. NotaciónEjemplo 12 Conjuntos igualesDados los conjuntos { } y { }Vemos que tanto como tienen los mismos elementos. Entonces el conjunto es igual al conjunto .Ejemplo 13 Conjuntos igualesDados los conjuntos { } y { }Vemos que tanto como tienen los mismos elementos. Entonces el conjunto es igual al conjunto .Ejemplo 14 Conjuntos igualesDados los conjuntos { } y { }Verifique que . SoluciónProf.: Christiam Huertas 7
  9. 9. Un elemento de debe cumplir que ⏟ Diagrama 𝐴 𝐵 ∙ { } ∙Luego, 1.5.3 Conjuntos comparablesSe dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellosestá incluido en el otro.Ejemplo 15 Conjuntos comparablesDados los conjuntos Diagrama { } y { } 𝐴 𝐵Vemos que y son comparables, ∙ya que al menos esta incluido en . ∙ ∙ ∙ ∙ 1.4.4 Conjuntos disjuntosConjuntos disjuntos son conjuntos que no tienen NINGÚN elemento comúnentre ellos.Ejemplo 16 Conjuntos disjuntosDados los conjuntos { } y { } y son disjuntos, porque no tienen ningún elemento en común.Ejemplo 17Dados los conjuntos { } y { } y no son disjuntos, porque tienen el elemento común .Prof.: Christiam Huertas 8
  10. 10. Ejemplo 18Dados los conjuntos { } 𝑃 𝑄 { }Obviamente y son disjuntos. 1.6 Clases de conjuntos 1.6.1 Conjunto finitoUn conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos, por lo tanto,el proceso de contar sus elementos termina en algún momento.Ejemplo 19 Ejemplos de conjuntos finitos  { }  { }  { } { } 1.6.2 Conjunto infinitoUn conjunto es infinito, si posee una cantidad ilimitada de elementos, es decir,el proceso de contar sus elementos nunca termina.Ejemplo 20 Ejemplos de conjuntos infinitos  { }  { }  { } 1.7 Conjuntos especiales 1.7.1 Conjunto vacío o nuloEs aquel conjunto que no posee elementos. Notación { } oProf.: Christiam Huertas 9
  11. 11. Ejemplo 21 Ejemplos de conjuntos vacíos  { }  { }  { } 1.7.2 Conjunto unitario o singletónEs aquel conjunto que solo posee un elemento.Ejemplo 22 Ejemplos de conjuntos unitarios  { } { }  { } { }  { } { } 1.7.3 Conjunto universalEs un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, quecontiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universalabsoluto. NotaciónSe denota generalmente con la letraEjemplo 23 Ejemplo de conjunto universalDados los conjuntos { } 𝕌 { }Los siguientes conjuntos pueden ser 𝐴 𝐵considerados universos que contienea los conjuntos anteriores. { } { }Prof.: Christiam Huertas 10
  12. 12. 1.8 Conjuntos numéricosLa evolución de la humanidad trae por consecuencia la construcción de nuevosconocimientos como también la evolución de estos, entre ellos la evolución delos conjuntos numéricos. El hombre comienza de los conjuntos numéricos másbásicos, y a medida que se presentan nuevos desafíos como también debido anecesidades se van creando nuevos conjuntos.Los conjuntos numéricos son conjuntos infinitos que tienen característicasespecíficas. Los más importantes son: 1.8.1 Conjunto de los números naturalesSurgieron de la necesidad del ser humano de contar objetos. Se denota medianteel símbolo y está formado por los números naturales. { } 1.8.2 Conjunto de los números enterosSe denota mediante el símbolo y está formado por los números enteros. { }Este conjunto se subdivide a la vez: Conjunto de números enteros positivosSe denota por y está formado por los números enteros positivos. { } Conjunto de números enteros negativosSe denota por y está formado por los números enteros negativos. { }ObservaciónEl número 0 es entero, pero no es positivo ni negativo. 1.8.3 Conjunto de los números racionalesEstá constituido por todas las fracciones de enteros, con denominador distintode 0. Se le representa mediante el símbolo y se define comoProf.: Christiam Huertas 11
  13. 13. { }Todo número racional se puede representar como un número decimal finito oinfinito periódico. Ello se logra simplemente efectuando la división entre y . 1.8.4 Conjunto de los números irracionalesEstá constituido por todos los números decimales infinitos y no periódicos. Sele representa mediante el símbolo y se define como { }Ejemplo 22 Ejemplos de números irracionales  √ … es un número irracional.  √ … es un número irracional.  … es un número irracional trascendente.  … es un número irracional trascendente. 1.8.5 Conjunto de los números realesSe le representa mediante el símbolo y está formado tanto por los númerosracionales como por los irracionales. 1.8.6 Diagrama de Venn-Euler de los conjuntos numéricosProf.: Christiam Huertas 12
  14. 14. 1.9 Operaciones entre conjuntosA continuación presentamos las operaciones más comunes entre conjuntos, consu diagrama de Venn correspondientes. 1.9.1 Unión de conjuntosLa unión de dos conjuntos y es el conjunto formado por la agrupación detodos los elementos de con todos los elementos de . Notación Definición { }Ejemplo 24Dados los conjuntos 𝕌 𝐴 𝐵 { } ∙ { } ∙ ∙ ∙La unión de y es: { } 1.9.2 Intersección de conjuntosLa intersección de dos conjuntos y es el conjunto formado por loselementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. Notación Definición { }Ejemplo 25Dados los conjuntos 𝕌 𝐴 𝐵 { } ∙ { } ∙ ∙ ∙La intersección de y es: { } 1.9.3 Diferencia de conjuntosLa diferencia de dos conjuntos y (en ese orden) es el conjunto formado porlos elementos de pero que no pertenecen a .Prof.: Christiam Huertas 13
  15. 15. Notación Definición { }Ejemplo 26Dados los conjuntos 𝕌 𝐴 𝐵 { } ∙ { } ∙ ∙ ∙La diferencia de y es: { } 1.9.4 Complemento de un conjuntoEl complemento de un conjunto es el conjunto formado por los elementosque pertenecen al conjunto universal pero no al conjunto . Notación Definición C o ̅ o o { }Ejemplo 27Dado el conjunto 𝕌 { } ∙𝑖 𝐴𝑐Considerando como universo a 𝐴 { } ∙ 𝑎 ∙ 𝑒 ∙ 𝑢el complemento de es: ∙ 𝑜 { } 1.9.5 Aplicaciones Ejemplo 28En una fiesta donde había 70 personas, 10 eran hombres que no les gusta lacumbia, 20 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número dehombres que gusta de la cumbia es la tercera parte de las mujeres que nogustan de esta música, ¿a cuántos les gusta la cumbia? SoluciónDefinimos los conjuntos:Prof.: Christiam Huertas 14
  16. 16. : conjunto de los hombres : conjunto de las mujeres : conjunto de personas que les gusta la cumbia : conjunto de personas que no les gusta la cumbia.Consideremos el diagrama de Carroll: 𝐶 𝑁𝐶 𝐻 𝒙 𝑀 𝟑𝒙Por dato el total de asistentes es de 70 personas; es decir:Pero la cantidad de personas que les gusta la cumbia es: . Ejemplo 29Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido entre 100atletas en una competición deportiva. Se sabe que 45 atletas reciben medallasde Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60 reciben de Bronce, 15 recibenmedallas de Oro como de Plata, 25 atletas reciben medallas de Plata y Bronce,20 reciben medallas de Oro y de Bronce, 5 reciben de Oro, Plata y Bronce.¿Cuántos atletas no recibieron medallas? SoluciónLlenamos los datos considerando: : atletas que ganaron oro. : atletas que ganaron plata. : atletas que ganaron bronce.Se debe cumplir: 𝒙De donde . Es decir, norecibieron medallas 5 atletas.Prof.: Christiam Huertas 15
  17. 17. Capítulo 2 DesigualdadesEl conjunto de números reales esta ordenado. Esto significa que podemoscomparar cualesquiera dos números reales que no sean iguales mediantedesigualdades y decir que uno “es menor que” o “mayor que” el otro.La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, seaparea y pasea sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico.El peso de la Ballena Franca oscila entre 30 y 35 toneladas. Un macho adultomide unos 12 metros, en tanto que una hembra mide unos 13,5 metros. Desdela playa El Doradillo considerada área natural de reproducción, se puededisfrutar plenamente de un avistaje costero. La temporada de Ballenas seextiende de Junio a Diciembre.La máxima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre,época en que pueden contabilizarse entre 350 y 400 individuos. Esto conviertea las aguas vecinas de la Península Valdés en el área de cría más importantedel Hemisferio Sur.Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede expresarsematemáticamente, como veremos a continuación. 2.1 DesigualdadUna desigualdad es la relación de orden entre dos números reales, en la que unode ellos es menor o mayor que el otro. NotaciónLa relación se denota con el símbolo oAsí tenemos que  se lee: es menor que .  se lee: es mayor que . 2.2 La recta numéricaEn matemáticas es frecuente utilizar representaciones geométricas quepresentan alguna relación significativa con un determinado tema. Dado que larecta está formada por infinitos puntos y existen infinitos números reales, sepuede asociar cada punto de la recta con un número real (relación biunívoca).Se obtiene así la recta numérica.Prof.: Christiam Huertas 16
  18. 18. Donde los símbolos (infinito negativo) y (infinito positivo), no sonnúmeros reales.La correspondencia entre números reales y los puntos de una recta nos permiteapreciar gráficamente una propiedad fundamental de los números reales: existeun ordenamiento entre ellos. De este modo se puede representar la desigualdad en la recta numérica como:Es decir, el número se ubica a la izquierda del número .Notaciones Relación de orden Lectura es mayor que es menor que es mayor o igual que es menor o igual que Ejemplo 1 Ejemplos de comparación de dos númerosEscriba los símbolos , , según corresponda:a) ____ f) ____b) ____ g) ____c) ____ h) ____ √d) ____ i) ____ √e) ____ j) √ ____ √Prof.: Christiam Huertas 17
  19. 19. Capítulo 3 IntervalosLa ordenación existente en el conjunto de los números reales permite definir untipo de conjunto en que van a ser muy útiles: los intervalos. 3.1 IntervaloEs un subconjunto de los números reales definidos mediante la relación deorden dada en el conjunto de los números reales.Un intervalo de extremos y ( ) es el conjunto de todos los númerosreales que estén entre y . Representación gráfica de un intervalo 𝐼Donde y son los extremos del intervalo, que pueden o no pertenecer a él. 3.1.1 Clases de intervalosExisten diferentes clases de intervalos como los finitos (o acotados), los quepueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados e infinitos (o no acotados). Clases de intervalos Intervalo cerrado Representación [ ] { } Intervalo abierto Representación 〈 〉 { } Intervalos semiabiertos Representación [ ⟩ { } ⟨ ] { }Prof.: Christiam Huertas 18
  20. 20. Intervalos infinitos Representación ⟨ ] { } 〈 〉 { } [ ⟩ { } 〈 〉 { } Ejemplo 1Escriba cada desigualdad usando la notación de intervalos.a) b) c) d) Solucióna) describe todos los números entre 1 y 3, inclusive. En la notación de intervalos, se escribe [ ].b) En notación de intervalos, se escribe 〈 〉.c) consiste en todos los números mayores que 5. En la notación de intervalos, se escribe 〈 〉.d) En notación de intervalos, se escribe ⟨ ]. Ejemplo 2Escriba cada intervalo como una desigualdad que involucre .a) [ ⟩ b) 〈 〉 c) [ ] d) ⟨ ] Solucióna) [ ⟩ consiste en todos los números tales que .b) 〈 〉 consiste en todos los números tales que .c) [ ] consiste en todos los números tales que .d) ⟨ ] consiste en todos los números tales que . Ejemplo 3En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece al intervalo de laderecha:Prof.: Christiam Huertas 19
  21. 21. a) ____ 〈 〉b) ____ 〈 〉c) ____ 〈 〉d) ____ 〈 〉e) ____ 〈 〉f) ____ 〈 〉g) √ ____ 〈 〉 3.1.2 Operaciones con intervalosSiendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizartodas las operaciones con conjuntos estudiadas anteriormente.Sean e dos intervalos, entonces: Notación y definición Unión de y { } Intersección de y { } Diferencia de y { } Complemento de C { } Ejemplo 4Dados los intervalos ⟨ ], ⟨ ]y [ ⟩.Determine , , , , , , , , . SoluciónProf.: Christiam Huertas 20
  22. 22. Prof.: Christiam Huertas 21
  23. 23. Capítulo 4 Relación de orden 4.1 Propiedades de las desigualdades1. Propiedad de no negatividad. Para cualquier número real , el valor de es 0 o positivo; es decir, es no negativo.A Ejemplo 1 Ejemplos de la propiedad de no negatividada) Como , entonces .b) Como , entonces .c) Como , entonces .d) Si , entonces .e) Si , entonces .2. Propiedad de la suma para desigualdades. Si se suma el mismo número en ambos lados de una desigualdad, se obtiene una desigualdad equivalente. Si , entonces Si , entoncesA Ejemplo 2 Ejemplos de la suma de desigualdadesa) Si , entonces ; es decir, .b) Si , entonces ; es decir, .c) Si , entonces ; es decir, .3. Propiedad de la multiplicación para desigualdades. Si y si , entonces Si y si , entonces Si y si , entonces Si y si , entoncesAProf.: Christiam Huertas 22
  24. 24. Ejemplo 3 Ejemplos de la multiplicación para desigualdadesa) Si , entonces ; es decir, .b) Si , entonces ; es decir, .c) Si , entonces ; es decir, .d) Si , entonces ; es decir, .4. Propiedad del recíproco para desigualdades. Establece que el recíproco de un número real positivo es positivo y que el recíproco de un número real negativo es negativo.A Ejemplo 4 Ejemplos de la propiedad del recíproco para desigualdadesa) Si , entonces .b) Si , entonces .c) Si , entonces .5. Propiedad del inverso para desigualdades. Establece que podemos invertir una desigualdad siempre y cuando los extremos de la desigualdad tengan el mismo signo. Sean y dos números del mismo signo; es decir, ambos positivos o ambos negativos.A Ejemplo 5 Ejemplos de la propiedad del inverso para desigualdadesa) Si , entonces .b) Si , entonces ; es decir,c) Si , entonces .Prof.: Christiam Huertas 23
  25. 25. 4.1.1 Aplicaciones de las propiedades Ejemplo 6Halle el mínimo valor de la expresión si se sabe que . SoluciónLa expresión lo podemos expresar comoComo , entonces . Por la propiedad 1 se cumple que:Sumamos 3 ⏟Por lo tanto, el menor valor de es 3. Ejemplo 7Determine el máximo valor de la expresión . SoluciónLa expresión lo podemos expresar comoComo , entonces . Por la propiedad 1 se cumple que:Multiplicamos por -1Sumamos 1 ⏟Por lo tanto, el máximo valor de es 1. Ejemplo 8Si ⟨ ]; halle los valores enteros que toma la expresión . SoluciónComo ⟨ ], esto quiere decir que:Sumamos 2 ⏟Prof.: Christiam Huertas 24
  26. 26. Los valores enteros que toma la expresión son: 0; 1; 2 y 3. Ejemplo 9Si , halle la variación de la expresión . SoluciónAplicamos las propiedades de desigualdades para formar la expresión .Por dato se tieneMultiplicamos por 3Sumamos 1 ⏟Luego, ⟨ ]; es decir, varía en el intervalo ⟨ ].Ejemplo 10Si , halle la variación de la expresión . SoluciónAplicamos las propiedades de desigualdades para formar la expresión .Por dato se tieneMultiplicamos por -5Sumamos 4 ⏟Luego, ⟨ ]; es decir, varía en el intervalo ⟨ ].Ejemplo 11Halle la variación de si se sabe que . SoluciónComo , esto es equivalente aSumamos 6Prof.: Christiam Huertas 25
  27. 27. Multiplicamos por 1/3Luego, 〈 〉.Ejemplo 12Halle la variación de la expresión si se sabe que ⟨ ]. SoluciónAplicamos las propiedades de desigualdades para formar la expresión .Por dato se tieneMultiplicamos por 2Restamos 5Invertimos ⏟Por lo tanto, [ ⟩.Prof.: Christiam Huertas 26
  28. 28. Apéndice Simbología y terminología Símbolo Se lee El elemento pertenece al conjunto El elemento no pertenece al conjunto Conjunto vacío El conjunto es igual al conjunto El conjunto está incluido en el conjunto El conjunto no está incluido en el conjunto unión (Reunión de dos conjuntos) intersección (Intersección de dos conjuntos) Tal que Conjunto universal Diferencia simétrica de los conjuntos y Producto cartesiano de los conjuntos y Para todo (Cuantificador universal) Existe (Cuantificador existencial) , Existe, No existe Cardinal del conjunto ó número de elementos del conjunto . Implica que, Entonces si, Es suficiente para, etc. Si y solo si (Doble implicación) y (Conectivo lógico de conjunción) o (Conectivo lógico de disyunción inclusiva) Complemento del conjunto con respecto al , conjunto universal Es menor que Es mayor que Es menor o igual que Es mayor o igual queProf.: Christiam Huertas 27

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