Matematica 1 a

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  1. 1. MATEMÁTICA ISesión 01: OPERACIONES COMBINADAS IProfesor: Christiam Huertas Conjuntos numéricos 2.2 Conjunto de números enteros negativosLa noción de número es tan antigua como el hombre Se denota por y está formado por los númerosmismo, ya que son necesarios para resolver situacio- enteros negativos.nes de la vida diaria. Por ejemplo, usamos númerospara contar una determinada cantidad de elementos * +(existen siete notas musicales, 8 planetas, etc.), paraestablecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mesdel año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas(1,7 metros, 64 kg, C, etc.), etc.Los conjuntos numéricos son conjuntos infinitos quetienen características específicas. Los más importantes Representación de los números enteros en la recta numéricason: 3 Conjunto de los números racionales 1 Conjunto de los números naturales Está constituido por todas las fracciones de enteros,Surgieron de la necesidad del ser humano de contar con denominador distinto de 0. Se le representaobjetos. Se denota mediante el símbolo y está mediante el símbolo y se define como:formado por: * + { }Los tres puntos al final, llamados puntos suspensivos,indican que el conjunto continúa de la misma manera. Todo número racional se puede representar como un número decimal finito o infinito periódico. Ello seEs claro que la suma y el producto de dos números logra simplemente efectuando la división entre y .naturales es un número natural. En símbolos: Si entonces y Ejemplo 01 Ejemplos de números racionales  es racional, pues 7 y 5 son números enteros.Sin embargo, no siempre la diferencia de dos númerosnaturales es un número natural. Por ejemplo:  es racional, pues y son enteros. y , pero  es racional, pues y y son enteros.Para solucionar el problema de la resta, se crean los  es la expresion decimal de un númeronúmeros negativos , , , entre otros, como racional porque y y son númerosopuestos de los números naturales. Además se enteros.incorpora el cero para dar solución a la resta de un  ̂ es la expresión decimal de unnúmero consigo mismo. número racional, porque ̂ y y son números enteros. 2 Conjunto de los números enterosSe denota mediante el símbolo y está formado por: * + 3.1 Número mixto Es un número que tiene una parte entera y una parteEste conjunto se subdivide a la vez: fraccionaria. Se expresa como y su fracción equivalente es: 2.1 Conjunto de números enteros positivosSe denota por y está formado por los númerosenteros positivos. * +www.uchmate1.blogspot.com 1
  2. 2. Ejemplo 02 Ejemplos de números mixtos ( ) ( ) √ ̂ 4 Conjunto de los números irracionalesEstá constituido por todos los números decimales √infinitos y no periódicos. Se le representa mediante elsímbolo y se define como { } Sumas notables 1. Suma de primeros naturales ( ) Ejemplo 03 Ejemplos de números irracionales √ 2. Suma de primeros pares √ ( ) 3. Suma de primeros impares ( ) 4. Suma de primeros cuadrados ( )( ) 5 Conjunto de los números realesSe le representa mediante el símbolo y está formadopor la unión de los números racionales y los números 5. Suma de primeros cubosirracionales. Por consiguiente, cualquier número real ( )debe ser un número racional o un número irracional. ( ) Ejemplo 05 Cálculo de sumas notables Calcule el valor de las siguientes sumas. a. Diagrama de Venn - Euler de los b. conjuntos numéricos c. d. Solución ( ) ( ) ⏟ ( ) ( ) ⏟ObservaciónVemos que y . ( )( )Ejemplo 04 ( )( )Coloque en los recuadros ( ) si el número pertenece alos respectivos conjuntos.www.uchmate1.blogspot.com 2
  3. 3. MATEMÁTICA ISesión 02: OPERACIONES COMBINADAS IIProfesor: Christiam Huertas Operaciones básicas en los conjuntos Ejemplo 03 Suma de números enteros numéricos a. (se conserva el signo) b. (se conserva el signo) 1 Números naturales c. (queda el signo del mayor número) d. (queda el signo del mayor número) * + e. (queda el signo del mayor número) f. (queda el signo del mayor número)Es claro que la suma y el producto de dos númerosnaturales es un número natural. En símbolos: Ejemplo 04 Resta de números enteros Si entonces y Al comprar un televisor plasma de S/. 2809 a crédito, se da un adelanto de S/. 748 y el resto se pagará a 6 meses, ¿cuánto es lo que falta para terminar de pagar la TV?Ejemplo 01 Suma y producto de números naturales Solucióna. ( ) ( ) Se realiza una resta del costo del aparato y el adelantob. para saber cuánto falta por pagar:c. ( )d. ( )e. ya que: Por lo tanto, falta pagar S/. 2061. Regla de los signos para el producto La regla de los signos para el producto se puede resumir en el siguiente cuadro.Ejemplo 02 Operaciones en los naturales ( )( )María se ha preparado durante toda su vida, ( )( )invirtiendo 2 años en el nivel preescolar, 6 en ( )( )primaria, 5 en secundaria, 1 en la pre, 5 más en la ( )( )universidad (estudiando Educación) y finalmente 2 enun posgrado (Gestión de la Educación). ¿Durantecuantos años ha estado estudiando María? Ejemplo 05 Producto de números enteros Solución a. ( )( )Para determinar cuántos años ha estado estudiando b. ( ) ( )( )María se realiza la suma de los años estudiados: c. ( ) ( )( ) d. ( )( )Por consiguiente, María ha estudiado 21 años. Ejemplo 06 Multiplicación de números enterosSin embargo, no siempre la diferencia de dos números El tren eléctrico de una cierta ciudad se conforma de 9naturales es un número natural. Por ejemplo: vagones, cada uno tiene 8 puertas y cada una de estas, 2 hojas corredizas. Si se desean cambiar las hojas de y , pero los 120 trenes existentes en la ciudad, ¿cuántas hojas se cambiaran? 2 Números enteros Solución * + Para obtener el número de hojas en total, se multiplica el número de trenes, el número de vagones, el número de puertas y el número de hojas:Regla de los signos para la suma ( )( )( )( )1. Signos iguales se suman y se conserva el signo. Entonces, el número de hojas a cambiar es 17280.2. Signos diferentes se restan y se conserva el signo del número mayor.www.uchmate1.blogspot.com 1
  4. 4. Regla de los signos para la división Ejemplo 09 Suma y resta de fracciones (heterogéneas)La regla de los signos para la división se puederesumir en el siguiente cuadro. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ejemplo 07 División de números enteros Ejemplo 10 Multiplicación de fracciones Ejemplo 11 División de fracciones 3 Números racionales { }Operaciones con fracciones Propiedad Descripción Cuando se suman fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores. Cuando se suman fracciones con denominado- res diferentes, se busca un denominador co- mún. Luego, se suman todos los denominadores Cuando se multiplican fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores. Ejemplo 12 Cuando se dividen fracciones, se invierte el divisor y se multiplica. Cuando se dividen fracciones, se multiplican los Solución extremos y este, se divide entre el producto de Aplicamos la propiedad 6 (productos cruzados): los medios. ( ) ( ) Asegúrese de usar paréntesis Propiedad distributiva Multiplicación cruzada. Sumar 6 Restar 5m Dividir entre -2Ejemplo 08 Suma y resta de fracciones (homogéneas) 4 Números irracionales {√ √ √ √ } 5 Números realeswww.uchmate1.blogspot.com 2
  5. 5. MATEMÁTICA ISesión 03: OPERACIONES COMBINADAS IIIProfesor: Christiam Huertas Operaciones básicas en los conjuntos Ejemplo 4 Orden de las operaciones numéricos Orden de las operacionesDebes tener presente que existe una prioridad en el Solucióndesarrollo de las operaciones, es decir; hay operacio-nes que deben realizarse antes que otras para obtenerel resultado correcto. Este orden es el siguiente:Orden de las operaciones1. Se realizan las potencias o raíces.2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.3. Se realizan las adiciones y sustracciones de Por lo tanto, . izquierda a derecha.4. Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse en la parte interna en primera instancia, siguiendo las reglas anteriores. Ejemplo 5 Orden de las operaciones Ejemplo 1 Orden de las operacionesSimplifique Solución ( ) ⏟ ⏟ Solución Primero operamos dentro del paréntesis Ejemplo 2 Orden de las operacionesSimplifique Solución ( ) ⏟ ( ) ( ) Ejemplo 3 Orden de las operacionesHalle el valor de ( ) ( ) SoluciónPrimero debemos realizar el paréntesis (la potencia, luego la ( )multiplicación y después la resta). Luego la multiplicación por 4 y ladivisión 26 2. Posteriormente terminamos con las sumas y restas: ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo tantowww.uchmate1.blogspot.com 1
  6. 6. Interpretación de las fracciones  Lo que se gasta en total es de lo que seUna fracción puede describir una parte de un conjunto tiene, por lo tanto, lo que queda es de lo que sede cosas, por ejemplo: tenía inicialmente.  Si lo que se tiene es , lo que se gasta en total es de lo que se tiene, por lo tanto, lo que queda es 3 de basquetbol 2 de futbolEn la figura anterior hay cinco balones.Tres balones son de basquetbol, por lo que: Ejemplo 9 Interpretación de las fracciones Se tiene cierta cantidad, se gasta la tercera parte en víveres y los del resto en pasajes, ¿cuánto queda? SoluciónAsí que de los balones son de basquetbol.  Lo que se gasta en víveres es , lo que queda sonTambién de los balones son de futbol. los de lo que se tiene. Luego se gasta los delSumando las partes se obtiene: resto, entonces, lo que queda son los ( ) de ( ) lo que se tiene.  Si lo que se tiene es , lo que se gasta en víveres es Interpretación de textos , entonces, lo que queda esAl enfrentarse a problemas de tipo aritmético o Se gasta luego ( ) , entonces, lo que quedaalgebraico, es cuando cobra importancia el saber esinterpretar y expresar tales problemas.Ejemplo 6 Interpretación de las fracciones Ejemplo 10Si se ha gastado la mitad de lo que se tiene, ¿cuánto De un saco de azúcar de 50 kilogramos se venden 15queda? kilogramos. ¿Qué parte de la cantidad inicial falta Solución vender? Si se gasta la mitad, lo que queda es la otra mitad. Solución Si lo que se tiene es , al gastar , lo que queda es Falta vender: En fracción sería:Ejemplo 7 Interpretación de las fraccionesSi se gana un tercio de lo que se tiene, ¿cuánto se Ejemplo 11tiene ahora? Miguel perdió de su dinero y presto ¿Qué parte Solución de su dinero le queda? Si se gana de lo que se tiene, lo que se tiene Solución ahora es de lo que se tenía. Se suma la porción que perdió con la que presto y el Si lo que se tiene es , al ganar , lo que se tiene resultado se resta a la unidad que representa lo que tenía. ahora es ( )Ejemplo 8 Interpretación de las fracciones ( )Si se tiene cierta cantidad, se gasta la tercera parte en Por lo tanto, a Miguel le sobran de su dinero.víveres y los en pasajes, ¿cuánto queda? Soluciónwww.uchmate1.blogspot.com 2
  7. 7. MATEMÁTICA ISesión 04: PLANTEO DE ECUACIONES IProfesor: Christiam Huertas Planteo de ecuaciones Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:En la descripción verbal de un problema, por logeneral, existen palabras y frases que son clave para donde y son números reales ( ) y es latraducirlo a expresiones matemáticas que involucran variable.suma, resta, multiplicación y división. Para hallar la solución de una ecuación lineal, solo se 1.1 Ecuación despeja la variable.Una ecuación es una igualdad entre dos expresionesmatemáticas donde hay al menos una variable Ejemplo 04(incógnita). Resuelva la ecuación . SoluciónEjemplo 01 Ejemplos de ecuaciones Resto 9 Multiplico por 1/2Los números que hacen de una ecuación unaproposición verdadera se llaman soluciones de la Luego, es la solución de la ecuación ;yecuación. El conjunto solución de una ecuación es el por tanto, su conjunto solución es { }.conjunto formado por todas las soluciones de laecuación. Ejemplo 05Ejemplo 02 Solución y conjunto solución de una ecuación. Resuelva la ecuación ( ) . Solución Conjunto Ecuación Solución(es) Operamos en la ecuación solución * + * + * + * + * +Dos o más ecuaciones con las mismas soluciones son Si en las ecuaciones aparecen fracciones o decimalesllamadas ecuaciones equivalentes. Por lo general las como coeficientes, se recomienda multiplicar ambosecuaciones se resuelven comenzando con la ecuación lados por el mínimo común múltiplo de losdada y produciendo una serie de ecuaciones denominadores de todas las fracciones. Esto produceequivalentes más simples. una ecuación equivalente con coeficientes enteros.Ejemplo 03 Ejemplo de ecuaciones equivalentes Ejemplo 06 Ecuaciones Conjunto solución * + * + Solución * + Multiplicamos en ambos lados por ( ) . ( ) ( ) 1.2 Ecuaciones lineales Operamos en la ecuaciónEl tipo más sencillo de ecuación es la ecuación lineal, ( )o ecuación de primer grado.www.uchmate1.blogspot.com 1
  8. 8. A continuación, resolvemos a modo de ejercicio la traducción de ciertos enunciados dados en forma verbal a su forma simbólica (matemática). * + Traducción de palabras a expresiones matemáticas Expresión Expresión verbal matemática 1.3 Planteo de ecuaciones Suma La suma de un número con 7 Sugerencias para plantear una ecuación 24 sumado a un número1. Leer cuidadosamente el texto del problema hasta Un número incrementado en 5 comprender de que se trata. La suma de dos números2. Ubicar los datos y la pregunta.3. Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a trabajar. Resta4. Relacionar los datos con las variables para 12 menos un número plantear una o más ecuaciones que al resolver nos Un número disminuido en 12 den la solución del problema. La diferencia de dos números El exceso de un número sobre 3 Plantear una ecuación Multiplicación  Lenguaje matemático Lenguaje  Leer 16 veces un número (ecuación) común  Interpretar Un número multiplicado por 5  Resolución de la (enunciado)  Simbolizar ecuación de un número El doble de un número El producto de dos números Traduciendo a expresiones matemáticas Operación Palabras claves Observación Suma Para el planteo de una ecuación es importante tener en Adición Añadir cuenta “la coma: , ”. ( ) Aumentado por Más que Ejemplo 07 Resta  ⏟ ⏟ Diferencia Sustracción Menos  ⏟ ⏟ ( ) Menor que ( ) Disminuido por Quitado de División Multiplicar El cociente de 8 y un número ( ) Multiplicación Producto ( ) Veces Un número dividido entre 13 De La razón de dos números ( ) Dividir (o el cociente de dos números) División Dividido por ( ) Cociente Razónwww.uchmate1.blogspot.com 2
  9. 9. MATEMÁTICA ISesión 05: PLANTEO DE ECUACIONES IIProfesor: Christiam Huertas Planteo de ecuaciones Solución Sea el número: . Entonces, Sugerencias para plantear una ecuación Su mitad: Su cuarta: Su octava:1. Leer cuidadosamente el texto del problema hasta Por dato: comprender de que se trata.2. Ubicar los datos y la pregunta.3. Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a Multiplicamos por 8 ( ) trabajar.4. Relacionar los datos con las variables para plantear una o más ecuaciones que al resolver nos den la solución del problema. Por lo tanto, el número es 8. Plantear una ecuación Ejemplo 04  Lenguaje matemático Iris tiene S/. 20 más que Ana, y entre ambas tienen S/. Lenguaje  Leer (ecuación) 40. ¿Cuánto dinero tiene Ana? común  Interpretar  Resolución de la (enunciado)  Simbolizar Solución ecuación Supongamos que Ana tenga soles, entonces Iris debe tener ( ) soles. Pero ambas tienen S/. 40. es decir, Ejercicios de aplicación ⏟ ⏟ ( )Ejemplo 01Halle un número tal que aumentado en 10 resulta 23. Solución Por lo tanto, Ana tiene S/. 10Sea el número. Por dato: Ejemplo 05 En una reunión hay 40 personas, cuando se retiran 8Por lo tanto, el número es . varones y 6 damas, la diferencia entre ellos y ellas es 10. ¿Cuántos varones quedaron? SoluciónEjemplo 02 Nos ayudamos de una tabla para plantear el problema:El triple de un número disminuido en 12 da 15. ¿Cuáles el número? Varones Mujeres Dato Solución InicioSea el número. Por dato: Después Además, por dato: ( )Por lo tanto, el número es 9. También SumamosEjemplo 03 (Inicio)Halle un número, donde la suma de su mitad, cuarta y Quedaron: varones.octava parte, resulta dicho número disminuido en unaunidad.www.uchmate1.blogspot.com 1
  10. 10. Ejemplo 06 Ejemplo 09Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia Para ganar S/. 180 en la rifa de un televisor, sede cuadrados sea igual a 9. hicieron 120 boletos, vendiéndose únicamente 75 Solución boletos y originándose así una pérdida de S/. 45. ¿Cuál es el valor del televisor?Sean y ( ) los números consecutivos. Por datose sabe que: Solución ( ) Sea el precio de cada boleto: soles.Operamos para hallar el valor de : Sea el precio del televisor: soles. Se sabe que: Se hizo 120 boletos para ganar 180 soles, entonces:Por lo tanto, los números son 4 y 5. () Pero solo se vendió 75 boletos y se perdió 45 soles,Ejemplo 07 entonces:La edad de Jorge es el triple de la edad de su hijo ( )Gerardo. La edad que tenía Jorge hace cinco años era Despejamos :el doble de la edad de Gerardo dentro de 10 años. ( )¿Cuáles son las edades actuales de Jorge y Gerardo? Reemplazamos en (I) SoluciónSupongamos que es la edad de Gerardo. La primeracondición indica que Jorge tiene una edad que es eltriple de Gerardo; es decir, la edad de Jorge es . Reemplazamos en (III)Luego, hace 5 años la edad de Jorge es ( ) y la ( )edad de Gerardo dentro de 10 años es ( ). La Por lo tanto, el costo de la TV es de S/. 420segunda condición del problema se puede escribircomo: ( ) Ejemplo 10 En una fiesta hay tantos caballeros bailando como damas sin bailar y ningún caballero sin bailar; una vez que se retiran 70 damas y 20 caballeros y todos salenPor tanto, Gerardo tiene 25 años y Jorge 75. a bailar, nadie se quedaría sin bailar. ¿Cuántas personas había inicialmente? SoluciónEjemplo 08 Nos ayudamos de una tabla para plantear el problema:Gladis, José y Alex ganan entre los tres S/. 1200. Joséganó S/. 200 menos que Gladis y Alex ganó el doble Varones Mujeresque José. Halle lo que ganó cada uno de ellos. Bailan Solución No bailanSea S/. lo que gano Gladis, entonces por dato: TotalLo que gana José es: S/. ( )Lo que gana Alex es: S/. ( ) Luego, se retiran 20 varones y 70 mujeres, entonces quedanTambién, entre los tres ganan S/. 1200. Es decir: Varones Mujeres ( ) ( ) Pero, por dato nadie se queda sin bailar, entonces Por lo tanto, el número de personas que habíaPor lo tanto, Gladis gana S/. 450, José gana S/. 250 y inicialmente es ( ) .Alex gana S/. 500.www.uchmate1.blogspot.com 2

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