2. Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos denotado por (𝑎, 𝑏) donde importa
el orden.
1era 2da
componente componente
Ejemplos: Ojo
1 1
2; 5 −1; 3 ; 𝜋 𝜋; Son diferentes
2 2
Teorema (Igualdad de pares ordenados)
𝑎, 𝑏 = 𝑐, 𝑑 ↔ 𝑎= 𝑐 ∧ 𝑏= 𝑑
Ejemplo:
Si 𝑥 − 2; 6 = 3; 2𝑦 → 𝑥 − 2 = 3 ∧ 6 = 2𝑦 → 𝑥=5 ∧ 𝑦=3
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3. Plano cartesiano
Un sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), se forma
con dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el punto
correspondiente al número 0 en cada línea.
𝒀
Segundo Primer Nombrado en honor del
cuadrante cuadrante matemático y filosofo
francés René Descartes.
𝑦
(𝑥; 𝑦)
𝟎 𝑥 𝑿
Tercer Cuarto
cuadrante cuadrante
1596 - 1650
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5. Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵. El producto cartesiano de 𝐴
con 𝐵 se denota por 𝐴 × 𝐵 y se define como:
𝐴× 𝐵 = 𝑎, 𝑏 / 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵
Ejemplo:
Dados los conjuntos 𝐴 = 1; 3 y 𝐵 = 2; 4; 5
Entonces
𝐴× 𝐵 = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5
Propiedades: Del ejemplo anterior
𝟏. 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 𝐵 × 𝐴 = 2; 1 , 2; 3 , 4; 1 , 4; 3 , 5; 1 , (5; 3)
𝟐. 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴 ↔ 𝐴= 𝐵
𝟑. 𝑛(𝐴×𝐵) = 𝑛 𝐴 ⋅ 𝑛 𝐵 En el ejemplo: 𝑛(𝐴×𝐵) = 2 ⋅ 3 = 6
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6. Relación binaria
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos no vacíos. Se llama relación de 𝐴 en 𝐵 a
todo subconjunto del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵. Es decir,
𝑅 es una relación de 𝐴 en 𝐵 ↔ 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐵
Ejemplo:
Dados los conjuntos 𝐴 = 1; 3 y 𝐵 = 2; 4; 5
Entonces
𝐴× 𝐵 = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5
Algunas relaciones de 𝐴 en 𝐵 seran:
𝑓= 1; 2 ⊂ 𝐴× 𝐵
𝑔= 1; 4 , (3; 2) ⊂ 𝐴 × 𝐵
= 1; 2 , 1; 5 , 3; 5 ⊂ 𝐴× 𝐵
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7. Función
Diremos que la relación 𝑓 de 𝐴 en 𝐵 es una función si y solo si:
a cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde un único elemento 𝑦 ∈ 𝐵, tal
que 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓.
𝑓
Notación funcional: 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 o 𝐴 𝐵
Ejemplo:
Dada la relación 𝑓 = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Lo representamos con un diagrama sagital:
𝑓 Vemos que a cada elemento del
𝐴 𝐵
conjunto 𝐴 , le corresponde un único
⋅3 ⋅1 elemento del conjunto 𝐵.
⋅5 ⋅2
Por lo tanto, 𝑓 es una función.
⋅8 ⋅5
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9. Condición de unicidad
Sea 𝑓 una función.
Si 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥; 𝑧 ∈ 𝑓, entonces, 𝑦 = 𝑧
Ejemplo:
Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función,
halle el valor de 𝑎 + 𝑏.
𝑓= 2; 𝑎 − 5 , 5; 9 , 𝑏 + 2; 1 , 2; 6 , 5; 𝑏 2
De la función vemos que:
𝑎−5=6 → 𝑎 = 11
9 = 𝑏2 → 𝑏 = 3 ∨ 𝑏 = −3
Analicemos para cada caso:
Si 𝒃 = 𝟑: 𝑓= 2; 6 , 5; 9 , 5; 1 (no es función)
Si 𝒃 = −𝟑: 𝑓= 2; 6 , 5; 9 , −1; 1 (si es función)
Es decir, 𝑎 = 11 y 𝑏 = −3. Por lo tanto, 𝑎 + 𝑏 = 8
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10. Dominio y rango de
una función
Dominio de una función:
Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Dom(𝑓)
Rango de una función:
Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Ran(𝑓)
Ejemplo:
Dada la función 𝑓 = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Dom 𝑓 = 3; 5; 8 (Conjunto de pre imágenes)
Ran 𝑓 = 5; 1; 2 (Conjunto de imágenes)
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11. Regla de correspondencia
Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del
rango.
Sea 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 una función, entonces
𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓 ↔ 𝑓 𝑥 = 𝑦
denota la dependencia entre 𝑥 e 𝑦.
Además, 𝑥 es la variable independiente.
𝑦 es la variable dependiente.
Ejemplo.
Dada la función 𝑓 = 1; 1 , 2; 4 , 3; 9 , (4; 16)
Se obtiene que:
𝑓 1 = 1 = 12
𝑓2 = 4 = 22 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥 ∈ 1; 2; 3; 4
𝑓3 = 9 = 32
o 𝑦 = 𝑥2 𝑥 ∈ 1; 2; 3; 4
𝑓4 = 16 = 42
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12. Funciones reales
Diremos que la función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es una función real de variable
real, si 𝐴 y 𝐵 son subconjuntos de los reales.
Es decir: 𝐴 ⊂ ℝ ∧ 𝐵 ⊂ ℝ.
Ejemplo: 𝐴 𝐵
𝑓: −1; 3 ⟶ 1; 10
𝑥 ⟼ 𝑥2 + 1
𝑓 𝑥
Como 𝐴 = −1; 3 ⊂ ℝ y 𝐵 = 1; 10 ⊂ ℝ, entonces 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1 es
una función real de variable real.
Observaciones:
1. Dom 𝑓 = 𝐴 En el ejemplo, Dom 𝑓 = −1; 3
2. Ran 𝑓 ⊆ 𝐵
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13. Cálculo del
dominio y rango
Sea 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 una función tal que 𝐴 ⊂ ℝ y 𝐵 ⊂ ℝ.
Dominio de 𝒇: Rango de 𝒇:
Esta formado por todos los Esta formado por todos los
valores reales de 𝑥 ∈ 𝐴 , que valores reales de 𝑦 ∈ 𝐵 (conjunto
garantizan la existencia de de imágenes) y se calcula a
𝑦= 𝑓𝑥. partir de su dominio.
Ejemplo: Halle el dominio y rango de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥−2+1
𝑓 𝑥 existe en ℝ si y solo si: Se tiene la función 𝑦 = 𝑥−2+1
𝑥−2 ≥0 Como 𝑥 ≥ 2 (Dominio)
→ 𝑥≥2 → 𝑥−2≥0
→ 𝑥 ∈ 2; +∞ → 𝑥−2≥0
→ Dom 𝑓 = 2; +∞ → 𝑥−2+1≥1
𝑦
∴ Ran 𝑓 = 1; +∞
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14. Cálculo del
dominio y rango
APLICACIÓN
Halle el rango de la función 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥, si se sabe que su
dominio es igual al conjunto de los números reales.
Se sugiere completar el cuadrado:
𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥 = − 𝑥 2 − 2𝑥 +1 − 1 = −(𝑥 − 1)2 +1
(𝑥 − 1)2
Como Dom 𝑓 = ℝ, entonces, 𝑥 ∈ ℝ
→ (𝑥 − 1) ∈ ℝ
→ (𝑥 − 1)2 ≥ 0
→ −(𝑥 − 1)2 ≤ 0
→ −(𝑥 − 1)2 + 1 ≤ 1
𝑓 𝑥
∴ Ran 𝑓 = −∞; 1
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