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Expresiones Algebraicas <ul><li>Una  expresión algebraica  es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados...
Tipos de Expresiones Algebraicas <ul><li>Expresiones Algebraicas </li></ul><ul><li>Racionales  Irracionales </li></ul><ul>...
Expresión Algebraica Racional <ul><li>Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación </li></ul><ul>...
Expresión Algebraica Irracional <ul><li>Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación </li></ul><ul...
Expr.Algebraica Racional Entera <ul><li>Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada...
Expresión Algebraica Racional Fraccionaria <ul><li>Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indetermin...
Polinomios <ul><li>Son las expresiones algebraicas más usadas. </li></ul><ul><li>Sean a 0 , a 1 , a 2 , …, a n  números re...
Ejemplos de polinomios <ul><li>A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la i...
Términos <ul><li>Monomio : polinomio con un solo término. </li></ul><ul><li>Binomio  : polinomio con dos términos. </li></...
Ejemplos El polinomio 0 + 0x + 0x 2  + … +0x n  se llama  polinomio nulo . Lo simbolizaremos por  O p (x) . No se le asign...
Ejercicio <ul><li>Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su ...
Polinomios iguales <ul><li>Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son....
Suma de Polinomios <ul><li>Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. ...
Propiedades de la Suma <ul><li>Asociativa </li></ul><ul><li>Conmutativa </li></ul><ul><li>Existencia de elemento neutro </...
Resta de Polinomios <ul><li>Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). </li...
Multiplicación de Polinomios <ul><li>Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada u...
Propiedades del Producto <ul><li>Asociativa </li></ul><ul><li>Conmutativa </li></ul><ul><li>Existencia de elemento neutro....
Algunos productos importantes <ul><li>(x+a) 2  =(x+a)(x+a)= x 2  + 2ax + a 2 </li></ul><ul><li>(x-a) 2  =(x-a)(x-a)= x 2  ...
Ejercicio <ul><li>Escribir los desarrollos de </li></ul>
Ejercicio : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubo...
Ejercicio : La expresión x 2  - a 2  es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de ...
División de polinomios <ul><li>Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enter...
División entre números enteros <ul><li>En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d  0 es el divisor, exis...
División entre números enteros <ul><li>Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: </li></ul><ul><ul><li>29 divid...
División de polinomios <ul><li>Dados los polinomios </li></ul><ul><li>D(x) = 6x 3  – 17x 2 +15x-8 </li></ul><ul><li>d(x) =...
Ejemplo <ul><li>6x 3  – 17x 2  + 15x – 8  3x – 4 </li></ul>-6x 3  +  8x 2 2x 2 - 3x + 1 6x 3 -17x 2 +15x-8 = (3x-4)(2x 2 -...
Ejercicios <ul><li>D(x) = 4x 5  + 2x 3  – 24x 2  + 18x </li></ul><ul><li>d(x) = x 2  – 3x </li></ul><ul><li>D(x) = 16x 8  ...
División de Polinomios <ul><li>Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)  O p (x), diremos que  d(x) divide a D(x)  si y sól...
Ejercicios <ul><li>Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro </li></ul><ul><li>P...
División de un polinomio por otro de la forma (x-a) <ul><li>3x 3  – 2x 2  – 5x – 9  x – 2 </li></ul><ul><li>- 3x 3  + 6x 2...
División de un polinomio por otro de la forma (x-a) <ul><li>División de P(x) = 3x 3  – 2x 2  – 5x – 9 por (x-2) realizada ...
Raíces de un polinomio <ul><li>Un número real a es  raíz de un polinomio  P(x) si y solo si P(a) = 0 </li></ul><ul><li>Eje...
Raíces de un Polinomio <ul><li>Si un polinomio tiene coeficientes enteros y  a  es una raíz entera del polinomio entonces ...
Ejercicio: Calcular las raíces de  P(x) = 2x 3  - 2x 2  - 16x + 24  <ul><li>Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe se...
Ejercicio <ul><li>Calcular las raíces de </li></ul><ul><li>P(x) = x 4  - x 3  - 6x 2  + 4x + 8 </li></ul>P(x) = (x-2) 2  (...
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Polinomios

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Polinomios

  1. 1. Expresiones Algebraicas <ul><li>Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. </li></ul><ul><li>Ejemplos </li></ul>
  2. 2. Tipos de Expresiones Algebraicas <ul><li>Expresiones Algebraicas </li></ul><ul><li>Racionales Irracionales </li></ul><ul><li>Enteras Fraccionarias </li></ul>
  3. 3. Expresión Algebraica Racional <ul><li>Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>
  4. 4. Expresión Algebraica Irracional <ul><li>Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>
  5. 5. Expr.Algebraica Racional Entera <ul><li>Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural. </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>
  6. 6. Expresión Algebraica Racional Fraccionaria <ul><li>Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>
  7. 7. Polinomios <ul><li>Son las expresiones algebraicas más usadas. </li></ul><ul><li>Sean a 0 , a 1 , a 2 , …, a n números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma: </li></ul><ul><li>a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n </li></ul>
  8. 8. Ejemplos de polinomios <ul><li>A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x). </li></ul>
  9. 9. Términos <ul><li>Monomio : polinomio con un solo término. </li></ul><ul><li>Binomio : polinomio con dos términos. </li></ul><ul><li>Trinomio : polinomio con tres términos. </li></ul><ul><li>Cada monomio a i x i se llama término . </li></ul><ul><li>El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es a n x n con a n  0. </li></ul><ul><li>A a 0 se lo llama término independiente . </li></ul><ul><li>A a n se lo llama término principal . </li></ul>
  10. 10. Ejemplos El polinomio 0 + 0x + 0x 2 + … +0x n se llama polinomio nulo . Lo simbolizaremos por O p (x) . No se le asigna grado.
  11. 11. Ejercicio <ul><li>Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado. </li></ul>
  12. 12. Polinomios iguales <ul><li>Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son. </li></ul><ul><li>Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x) </li></ul>
  13. 13. Suma de Polinomios <ul><li>Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios </li></ul><ul><li>P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1 </li></ul><ul><li>Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2 </li></ul>
  14. 14. Propiedades de la Suma <ul><li>Asociativa </li></ul><ul><li>Conmutativa </li></ul><ul><li>Existencia de elemento neutro </li></ul><ul><li>Existencia de elemento opuesto </li></ul>
  15. 15. Resta de Polinomios <ul><li>Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). </li></ul><ul><li>P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ] </li></ul><ul><li>Ejemplo: Restar los siguientes polinomios </li></ul><ul><li>P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1 </li></ul><ul><li>Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2 </li></ul>
  16. 16. Multiplicación de Polinomios <ul><li>Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios </li></ul><ul><li>P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1 </li></ul><ul><li>Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x – 2 </li></ul><ul><li>P(x).Q(x) = P(x) 3x 3 + P(x) (-6x 2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2) </li></ul>
  17. 17. Propiedades del Producto <ul><li>Asociativa </li></ul><ul><li>Conmutativa </li></ul><ul><li>Existencia de elemento neutro. </li></ul>
  18. 18. Algunos productos importantes <ul><li>(x+a) 2 =(x+a)(x+a)= x 2 + 2ax + a 2 </li></ul><ul><li>(x-a) 2 =(x-a)(x-a)= x 2 - 2ax + a 2 </li></ul><ul><li>(x+a) 3 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 </li></ul><ul><li>(x-a) 3 = x 3 - 3ax 2 + 3a 2 x - a 3 </li></ul><ul><li>(x+a)(x-a)= x 2 –ax +ax-a 2 = x 2 -a 2 </li></ul>
  19. 19. Ejercicio <ul><li>Escribir los desarrollos de </li></ul>
  20. 20. Ejercicio : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.
  21. 21. Ejercicio : La expresión x 2 - a 2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.
  22. 22. División de polinomios <ul><li>Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros. </li></ul><ul><li>Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros. </li></ul>
  23. 23. División entre números enteros <ul><li>En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d  0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que </li></ul><ul><li>D = d . C + r 0 ≤ r < |d| </li></ul><ul><li>Si r=0 se dice que D es divisible por d. </li></ul>
  24. 24. División entre números enteros <ul><li>Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: </li></ul><ul><ul><li>29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues </li></ul></ul><ul><ul><li>29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6 </li></ul></ul><ul><ul><li>29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues </li></ul></ul><ul><ul><li>29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6| </li></ul></ul>¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
  25. 25. División de polinomios <ul><li>Dados los polinomios </li></ul><ul><li>D(x) = 6x 3 – 17x 2 +15x-8 </li></ul><ul><li>d(x) = 3x – 4 </li></ul><ul><li>determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que </li></ul><ul><li>D(x) = d(x). C(x) + r(x) </li></ul><ul><li>de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=O p (x) </li></ul>
  26. 26. Ejemplo <ul><li>6x 3 – 17x 2 + 15x – 8 3x – 4 </li></ul>-6x 3 + 8x 2 2x 2 - 3x + 1 6x 3 -17x 2 +15x-8 = (3x-4)(2x 2 -3x+1)-4 0x 3 - 9x 2 + 15x 9x 2 - 12x 0x 2 + 3x - 8 -3x + 4 0x - 4
  27. 27. Ejercicios <ul><li>D(x) = 4x 5 + 2x 3 – 24x 2 + 18x </li></ul><ul><li>d(x) = x 2 – 3x </li></ul><ul><li>D(x) = 16x 8 + 24x 6 + 9x 4 </li></ul><ul><li>d(x) = 4x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 3x 2 </li></ul><ul><li>D(x) = 2x 4 – 6x 3 + 7x 2 – 3x +2 </li></ul><ul><li>d(x) = x-2 </li></ul>
  28. 28. División de Polinomios <ul><li>Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)  O p (x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que </li></ul><ul><li>D(x) = d(x) . c(x) </li></ul>
  29. 29. Ejercicios <ul><li>Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro </li></ul><ul><li>P(x) = x 4 -2x 3 +x 2 -5x + 1 </li></ul><ul><li>Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1 </li></ul><ul><li>P(x) = x 4 +2x 3 +4x 2 + 8x +16 </li></ul><ul><li>Q(x) = x 5 - 32 </li></ul>
  30. 30. División de un polinomio por otro de la forma (x-a) <ul><li>3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 x – 2 </li></ul><ul><li>- 3x 3 + 6x 2 3x 2 + 4x + 3 </li></ul><ul><li>4x 2 – 5x </li></ul><ul><li>- 4x 2 + 8x </li></ul><ul><li>3x – 9 </li></ul><ul><li>-3x + 6 </li></ul><ul><li>-3 </li></ul>3 6 4 8 3 6 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x 2 + 4x + 3) + (-3) Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 -3
  31. 31. División de un polinomio por otro de la forma (x-a) <ul><li>División de P(x) = 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini </li></ul><ul><li>3 -2 -5 -9 </li></ul><ul><li>2 6 8 6 </li></ul><ul><li>3 4 3 -3 </li></ul><ul><li>1º operación : 3.2 -2 = 4 </li></ul><ul><li>2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3 </li></ul><ul><li>3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 </li></ul><ul><li>Por lo tanto 3.(2) 2 -2.(2) 2 -5.2 -9 = -3 </li></ul>
  32. 32. Raíces de un polinomio <ul><li>Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 </li></ul><ul><li>Ejercicio: </li></ul><ul><li>Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x 2 + 2x – 5 </li></ul>
  33. 33. Raíces de un Polinomio <ul><li>Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente. </li></ul><ul><li>Ejercicio: Calcular las raíces de </li></ul><ul><li>P(x) = 2x 3 - 2x 2 - 16x + 24 </li></ul>
  34. 34. Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x 3 - 2x 2 - 16x + 24 <ul><li>Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24. </li></ul><ul><li>Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x) </li></ul>2x 3 – 2x 2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x 2 + 2x -12) Ver x=2 también es raíz de 2x 2 + 2x -12 2x 2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
  35. 35. Ejercicio <ul><li>Calcular las raíces de </li></ul><ul><li>P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 + 4x + 8 </li></ul>P(x) = (x-2) 2 (x+1) (x+2)
  36. 36. Resolver la siguiente ecuación
  37. 37. Soluciones de la Ecuación Fraccionaria

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