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ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
31SISTEMA HELICOIDAL
MOTIVACIÓN
	 Los Árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra.
	 A fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que pertenecían al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan. 	 A l
Juarismi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia.
	 Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Algebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII, conocido
por sus poemas escritos en «Rubayat», escribió un tratado de Algebra. «Querer es poder, tú quieres, luego puedes».
Concepto :
	 Es la operación que consiste en multiplicar un número
llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro
llamado exponente, para obtener un resultado llamado
potencia.
	 Así tenemos:
	 Notación:
			
	 donde: 	 b base
			 n exponente
			 P potencia
	 Luego:
		
Ejemplos:
	 •	
	 
	 Es base		 : 2
	 Es exponente	 : 5
	 Es potencia	 : 32
	 •	
	 
		 Es base		 : –3
		 Es exponente	 : 4
		 Es potencia	: 81
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 
	 Donde:
POTENCIACIÓN
OBJETIVOS
Las leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre
ellos; y la operación que da origen al exponente es la potenciación.
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
32 PASCUAL SACO OLIVEROS
		 Es base	:
		 Es exponente	 : 4
		 Es potencia	 :
	 •	
	 •	
	 •	 (a + b)3
= (a + b) (a + b) (a + b)
	 Recíprocamente de acuerdo a la definición de
potenciación se verifica:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
Ejemplos Diversos:
	 •	 –34
= –3 × 3 × 3 × 3 = –81
	 •	 (–3)4
= (–3) (–3) (–3) (–3) = +81
	 •	 (3x)4
= (3x) (3x) (3x) (3x)
	 •	 3x4
= 3x x x x
	 •	 (– 3x)4
= (–3x) (–3x) (–3x) (–3x)
	 •	 – 3x4
= – 3 x x x x
	 •	
	 •	
	 (*)	 –bn
≠ (–b)n
	 (**)	
Identificación de una base y su exponente:
•	 En:		
•	 En:	
*	 En	 :
En el Exponente anterior: , se tiene:
		 Exp. = x2
		 Base = x
LEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN
Ejemplos:
	 •	 (+2)4
= + 24
			

		 (24
) = 16
	 •	 (+x)32
= x32
		 (x)32
= x32
Ejemplos:
	 •	 (+2)5
= + 25
			

		 (2)5
= 32
	 •	 (+x)17
= + x17
		 (x)17
= x17
Ejemplo:
	 •	 (–2)6
= + 26
			

	 	 (–2)6
= 64
	 •	 (–x)18
= + x18
		 (–x)18
= x18
Ejemplo:
	 •	 (–2)5
= – 25
			

		 (–2)5
= – 32
	 •	 (–x)21
= – x21
(1º)	Es conveniente indicar la diferencia entre:
–34
y (–3)4
	 (*)	 En: – 34
; el exponente no afecta al signo.
		 	
	 (*)	 En: (–3)4
; el exponente si afecta al signo.
			 (–3)4
= + 34
		 	
	 	 Por ello: –34
(–3)4
(2º) Debes tener presente lo siguiente:
	 (i)	 con
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
33SISTEMA HELICOIDAL
		 Ejemplos:
	 	 •	 123
= 1
	 	 •	 1128
= 1
	 	 •	 1–25
= 1
	 (ii)	
		 Ejemplos:
	 	 •	 (–1)16
= 1
	 	 •	 (–1)328
= 1
	 (iii)	
		 Ejemplos:
	 	 •	 (–1)17
= –1
	 	 •	 (–1)5
= –1
	 (iv)	 con
		 Ejemplos:
	 	 •	 017
   = 0
	 	 •	 0120
  = 0
	 	 •	 01256
= 0
Para realizar diversas operaciones a través de la po-
tenciación es necesario recordar las potencias más
usuales:
POTENCIAS MÁS USUALES :
LEYES DE EXPONENTES
	 Los exponentes se rigen a través de leyes, normas que
estudiaremos a continuación:
Objetivos:
•	 El objetivoes capacitaral alumno a poder identificar los diferentes tipos deexponentes y las relaciones quese dan entreellos,
luego dar paso a la solución de ejercicios mediante
reglas prácticas de exponentes.
	 Paraunmayorentendimientoenestecapítulo,lasleyes
de exponentes lo dividimos en 3 partes:
	 (1º)	 Leyes de Los Exponentes I
	 (2º)	 Leyes de los Exponentes	 II
	 (3º)	 Leyes de los Exponentes	 III
	 A continuación pasaremos a desarrollar las respectivas
leyes contenidas en cada grupo.
LEYES DE EXPONENTES I
	 Aqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su
forma en que se presentan:
1.	 Ley del exponente Cero
	 siempre y cuando : b 0
	 Ejemplos:
	 •	 (3)0
= 1	 •	 30
= 1
	 •	 (–3)0
= 1	 •	 –30
= –1
	 •	 3x0
= 3(1) = 3	 •	 (3x)0
= 1
	 •	 	 •	 3(a + b)0
= 3(1) = 3
	 •	 – 3x0
y = –3(1)y = –3y
	 0º es indeterminado
2.	 Ley del exponente Uno
	 El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende
	 Ejemplos:
	 •	 51
= 5	 •	
	 •	 	 •	 (a + b)1
= (a + b)
	 •	 3x1
= 3x	 •
3.	 Ley del exponente de Exponentes: (cadena de expo-
nentes)
	 Para desarrollar esta expresión se toma los 2 últimos
términos (base y exponente), luego se va transfor-
mando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los
términos.
	 Ejemplos:
	 (*)	 Desarrollar:
		 Luego:
	 (*)	 Desarrollar:
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
34 PASCUAL SACO OLIVEROS
		 Luego:
		 	
4.	 Ley del exponente Negativo
con b 0
*Caso Particular
con: a; b 0
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 Tambien:
	 •	
	 •	
	 •	
	 Recíprocamente:
	 •	 	 	 •  
	 •	 	 	 •  
	 •	
Si la forma del exponente es negativo:
Entonces transformamos a una expresión fraccionaria
I.	 Problema desarrollado
1.	 Indicar de las proposiciones que afirmaciones son
correctas:		
	 A)	 	 	 (F)		
	 B)	 		 (F)
	 C)	 	 (V)
	 RESOLUCION
	 A)	 	 	La proposición
					 es falsa
	
B)
	 	Es falso la proposición	
	
C)
	 	La proposición es verdadera
II.	 Problema por desarrollar
2.	 Indicar cuales de las afirmaciones son verdaderas (V)
o falsas (F):
	 A)	 	 ...................	 ( )	
	 B)	 ............	 ( )	
	 A)	 ...........................	 ( )
	 RESOLUCION
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
35SISTEMA HELICOIDAL
1.	 Hallar el resultado de:
	 A)	
	 B)	
2.	 Efectuar:
	 A)	
	 B)	
	 Rpta.: .......................................................
3.	 Efectuar:
	 A)	
	 B)	
	 Rpta.: .......................................................
4.	 Efectuar:
	 A)	
	 B)	
	 Rpta.: .......................................................
5.	 Efectuar:
	
	
	 Rpta.: .......................................................
6.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
7.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
8.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
9.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
10.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
11.	 Calcular:
	
	 Rpta.: .......................................................
12.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
13.	 Calcular:
	
	 Rpta.: .......................................................
14.	 Calcular:
	
	 Rpta.: .......................................................
15.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
16.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
17.	 Efectuar:
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
36 PASCUAL SACO OLIVEROS
1.	 Calcular:
	
	 A)	 –9	 B)	 27	 C)	 –27
	 D)	 3	 E)	 6	
2.	 Calcular:
	
	 A)	 12	 B)	 17	 C)	 –15
	 D)	 19	 E)	 –20	
3.	 Calcular:
	
	 A)	 13	 B)	 15	 C)	 16
	 D)	 11	 E)	 5	
4.	 Efectuar:
	
	 A)	 10	 B)	 9	 C)	 7	
	 D)	 6	 E)	 5
5.	 Calcular:
	
	 A)	 5	 B)	 6	 C)	 1/6
	 D)	 –6	 E)	 1/5	
	
	 Rpta.: .......................................................
18.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
19.	 Calcular:
	
	 Rpta.: .......................................................
20.	 Calcular:
	
	 Rpta.: .......................................................
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
37SISTEMA HELICOIDAL
LEYES DE EXPONENTES II
	 AquímencionamoslasLeyesquerigenalosexponentes
de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las
diversas expresiones.
1.	 Multiplicación de Bases Iguales
;
	 En forma extensiva:
		
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 Recíprocamente:
	 •	
	 •	
	 •	
2.	 División de Bases Iguales
con b 0
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 Si se tiene:
	 	
	 Luego obtendremos:
		
	 Regla Práctica :
	 “La base resultante lleva como exponente una forma
particular; donde el exponente del numerador mantie-
ne su exponente, mientras el exponente denominador
va a pasar con signos opuestos”
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 Ejemplos Diversos:
	 •	
	 •	
	
•
	
	 	 Se observa:
		
OBJETIVOS
MOTIVACIÓN
«Cada uno de nosotros en cierta medida ha nacido bueno, mediocre o malo, pero al igual que la inteligencia. El sentido moral
puede ser desarrollado por la educación, la disciplina y la fuerza de voluntad».
Buscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes.
El camino a recorrer con estas leyes nos permitirá desarrollar a través de los ejercicios su capacidad de razonamiento.
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
38 PASCUAL SACO OLIVEROS
	 •	
3.	 Potencia de Potencia
;
		
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	 	
	 •	
	 •	
	 •	
	 Recíprocamente:
	 •	
	 •	
	 •	
	 Si se tiene:
		
		
	 	
	 m•n = n•m
	 Luego se cumple:
		
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 no confundir:
		
	 Pues:
		
4.	 Potencia de un Producto
	 •	
	 •	
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 Recíprocamente:
	 (*)	
	 (*)	
	 (*)	
	 Nota:
5.	 Potencia de un Cociente
; con b 0
		
	 Ejemplos:
	 •
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
39SISTEMA HELICOIDAL
1.	 Efectuar:
a)	 	 =
b)	 	 =
2.	 Efectuar:
a)	 		 =
b)	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
	 •	
	 •	
	 •	
I.	 Problema desarrollado
1.	 Indicar de las proposiciones que afirmamos son
correctas:
a)	 	 (F)
b)	 	 (V)
c)	 	 (F)			 	
	 RESOLUCION
	 A)	
			
			 	 	La proposición
					 es falsa
	 B)	
			
			
			 	 	La proposición
					 es verdadera
3.	 Efectuar:
a)	 		 =
b)	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
4.	 Efectuar:
	 C)	
			
		 	 	 	La proposición
					 es falsa	
II.	 Problema por desarrollar
2.	 Indicar cuales de las proposiciones son verdaderas (V)
o falsas (F):
a)	 	 ..........................	 ( )
b)	 	 ..........................	 ( )
c)	 	 ..........................	 ( )
	 RESOLUCION
	 Recíprocamente:
	 •	
	 •	
	 •
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
40 PASCUAL SACO OLIVEROS
a)	 	 =
b)	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
5.	 Efectuar:
	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
6.	 Efectuar:
	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
7.	 Efectuar:
	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
8.	 Efectuar:
	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
9.	 Efectuar:
	 	=
	 Rpta.: .......................................................
10.	 Efectuar:
	 	=
	 Rpta.: .......................................................
11.	 Efectuar:
	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
12.	 Efectuar:
	 	=
	 Rpta.: .......................................................
13.	 Efectuar:
	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
14.	 Efectuar:
	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
15.	 Efectuar:
	 	=
	 Rpta.: .......................................................
16.	 Efectuar:
	 	=
	 Rpta.: .......................................................
17.	 Efectuar:
	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
18.	 Efectuar:
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
41SISTEMA HELICOIDAL
1.	 Simplificar:
	
	 A)	 3	 B)	 5	 C)	 7
	 D)	 4	 E)	 6	
2.	 Efectuar:
	
	 A)	 	 B)	 	 C)	
	 D)	 	 E)	 	
3.	 Reducir:
	
	 A)	 1	 B)	 2	 C)	 3
	 D)	 4	 E)	 5	
4.	 Calcular el exponente final de x en:
	
	 A)	 9	 B)	 –9	 C)	 18
	 D)	 –27	 E)	 27
	 	=
	 Rpta.: .......................................................
19.	 Efectuar:
	 	=
	 Rpta.: .......................................................
20.	 Efectuar:
	 Si
	 Calcular :
	 	 =
	 Rpta.: .......................................................
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
42 PASCUAL SACO OLIVEROS
LEYES DE LOS EXPONENTES III
	 Las siguientes leyes están dadas para la transformación
de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz.
1.	 Exponente Fraccionario
con n 2
	 Ejemplos:
	 •	 	 	 •
	 •	
	 Si se tiene
 (se sobreentiende el índice 2)
	 Ejemplos:
	 •	 	 	 •  
2.	 Potencia de una Raíz
; con n 2
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 Si se tiene 
	 Luego: Para fines prácticos:
	 (1º)	Si m = 1: 
	 (2º)	Si m ≠ 1: 
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 La 	 	 porque:
	 La 	 	 porque:
	 La 	 	 porque: S
	 La 	 	 porque:
	 La 		 porque:
	 La 		 porque:
OBJETIVOS
MOTIVACIÓN
«El tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y los actos de
tu propia vida».
Lograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales, los cuales son muy importantes
dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto será posible a través de la práctica que efectuemos con los diversos
ejercicios.
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
43SISTEMA HELICOIDAL
	 Sabemos que:
	 Si hacemos: m = n, se tendrá:
		
	 Luego:
		
	 En forma similar:
		
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
Se cumple; dadas las siguientes formas:
:
	
	 ⇒	
:
	
	 ⇒	
:
	 	
	 ⇒	
Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
3.	 Raíz de una Multiplicación
•	
•	
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 Recíprocamente:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
4.	 Raíz de una División
	 •	
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 Recíprocamente:
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
44 PASCUAL SACO OLIVEROS
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
5.	 Raíz de Raíz
	 •	
	 •	
	 Ejemplos:
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
	 •	
PROPIEDADES AUXILIARES
•	 ......................................................(I)
•	 .................................................... (II)
•	 ................................................(III)
•	 .................................(IV)
•	 ..................................(V)
•	 .......(VI)
Propiedad de Raíz de Raíz
:
:
Ejemplos Diversos:
•	
•	
•	
•	
•	
•	
•	
•	
•	
•	
•	
			
•	
			
Ejemplos de las formas de Raíz de Raíz:
Efectuar:
•
•	
•	
Desarrollar:
•	
				
				
	 •
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
45SISTEMA HELICOIDAL
1.	 Efectuar:
a)	
b)	
2.	 Efectuar:
a)	
b)	
	 Rpta.: .......................................................
3.	 Efectuar:
a)	
b)	
	 Rpta.: .......................................................
4.	 Efectuar:
	
	 Rpta.: .......................................................
5.	 Simplificar:
I.	 Problema desarrollado
1.	 Indicar de las proposiciones que afirmaciones son
correctas:		
	 A)	 	 	 (V)		
	 B)	 		 (F)
	 C)	 		 (V)
	 RESOLUCION
	 A)	 	
			
			 	 La proposición es verdadera
	 B)	
			
			
			 9 . 3 = 9
			 27 = 9	 	La proposición es falsa
	 C)
			
			
			
			 	 	La proposición es verdadera
II.	 Problema por desarrollar
2.	 Indicar cuales de las proposiciones es verdadera (V) o
falsa (F):
	 A)	 	 .......................	 ( )
	 B)	 	 .......................	 ( )	 C)	
	 .......................	 ( )
	 RESOLUCION
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
46 PASCUAL SACO OLIVEROS
	
	 Rpta.: .......................................................
6.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
7.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
8.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
9.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
10.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
11.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
12.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
13.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
14.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
15.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
16.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
17.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
18.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................
19.	 Simplificar:
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
47SISTEMA HELICOIDAL
1.	 Hallar la expresión equivalente:
	 A)	 	
	 B)	 	
2.	 Reducir:
	
	 A)	 1	 B)	 3	 C)	 9
	 D)	 27	 E)	 30
	
3.	 Reducir:
	
	 A)	 1	 B)	 2	 C)	 3
	 D)	 4	 E)	 8	
4.	 Calcular:
	
	 A)	 	 B)	 	 C)	
	 D)	 	 E)	
5.	 Calcular:
	
	 A)	 1	 B)	 2	 C)	 3
	 D)	 5	 E)	 7	
	
	 Rpta.: .......................................................
20.	 Simplificar:
	
	 Rpta.: .......................................................

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  • 1. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 31SISTEMA HELICOIDAL MOTIVACIÓN Los Árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra. A fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que pertenecían al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan. A l Juarismi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia. Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Algebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en «Rubayat», escribió un tratado de Algebra. «Querer es poder, tú quieres, luego puedes». Concepto : Es la operación que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, para obtener un resultado llamado potencia. Así tenemos: Notación: donde: b base n exponente P potencia Luego: Ejemplos: •  Es base : 2 Es exponente : 5 Es potencia : 32 •  Es base : –3 Es exponente : 4 Es potencia : 81 • • • •  Donde: POTENCIACIÓN OBJETIVOS Las leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos; y la operación que da origen al exponente es la potenciación.
  • 2. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 32 PASCUAL SACO OLIVEROS Es base : Es exponente : 4 Es potencia : • • • (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b) Recíprocamente de acuerdo a la definición de potenciación se verifica: • • • • Ejemplos Diversos: • –34 = –3 × 3 × 3 × 3 = –81 • (–3)4 = (–3) (–3) (–3) (–3) = +81 • (3x)4 = (3x) (3x) (3x) (3x) • 3x4 = 3x x x x • (– 3x)4 = (–3x) (–3x) (–3x) (–3x) • – 3x4 = – 3 x x x x • • (*) –bn ≠ (–b)n (**) Identificación de una base y su exponente: • En: • En: * En : En el Exponente anterior: , se tiene: Exp. = x2 Base = x LEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN Ejemplos: • (+2)4 = + 24  (24 ) = 16 • (+x)32 = x32 (x)32 = x32 Ejemplos: • (+2)5 = + 25  (2)5 = 32 • (+x)17 = + x17 (x)17 = x17 Ejemplo: • (–2)6 = + 26  (–2)6 = 64 • (–x)18 = + x18 (–x)18 = x18 Ejemplo: • (–2)5 = – 25  (–2)5 = – 32 • (–x)21 = – x21 (1º) Es conveniente indicar la diferencia entre: –34 y (–3)4 (*) En: – 34 ; el exponente no afecta al signo.  (*) En: (–3)4 ; el exponente si afecta al signo. (–3)4 = + 34  Por ello: –34 (–3)4 (2º) Debes tener presente lo siguiente: (i) con
  • 3. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 33SISTEMA HELICOIDAL Ejemplos: • 123 = 1 • 1128 = 1 • 1–25 = 1 (ii) Ejemplos: • (–1)16 = 1 • (–1)328 = 1 (iii) Ejemplos: • (–1)17 = –1 • (–1)5 = –1 (iv) con Ejemplos: • 017 = 0 • 0120 = 0 • 01256 = 0 Para realizar diversas operaciones a través de la po- tenciación es necesario recordar las potencias más usuales: POTENCIAS MÁS USUALES : LEYES DE EXPONENTES Los exponentes se rigen a través de leyes, normas que estudiaremos a continuación: Objetivos: • El objetivoes capacitaral alumno a poder identificar los diferentes tipos deexponentes y las relaciones quese dan entreellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes. Paraunmayorentendimientoenestecapítulo,lasleyes de exponentes lo dividimos en 3 partes: (1º) Leyes de Los Exponentes I (2º) Leyes de los Exponentes II (3º) Leyes de los Exponentes III A continuación pasaremos a desarrollar las respectivas leyes contenidas en cada grupo. LEYES DE EXPONENTES I Aqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su forma en que se presentan: 1. Ley del exponente Cero siempre y cuando : b 0 Ejemplos: • (3)0 = 1 • 30 = 1 • (–3)0 = 1 • –30 = –1 • 3x0 = 3(1) = 3 • (3x)0 = 1 • • 3(a + b)0 = 3(1) = 3 • – 3x0 y = –3(1)y = –3y 0º es indeterminado 2. Ley del exponente Uno El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende Ejemplos: • 51 = 5 • • • (a + b)1 = (a + b) • 3x1 = 3x • 3. Ley del exponente de Exponentes: (cadena de expo- nentes) Para desarrollar esta expresión se toma los 2 últimos términos (base y exponente), luego se va transfor- mando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los términos. Ejemplos: (*) Desarrollar: Luego: (*) Desarrollar:
  • 4. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 34 PASCUAL SACO OLIVEROS Luego: 4. Ley del exponente Negativo con b 0 *Caso Particular con: a; b 0 Ejemplos: • • • • Tambien: • • • Recíprocamente: • • • • • Si la forma del exponente es negativo: Entonces transformamos a una expresión fraccionaria I. Problema desarrollado 1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas: A) (F) B) (F) C) (V) RESOLUCION A) La proposición es falsa B) Es falso la proposición C) La proposición es verdadera II. Problema por desarrollar 2. Indicar cuales de las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): A) ................... ( ) B) ............ ( ) A) ........................... ( ) RESOLUCION
  • 5. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 35SISTEMA HELICOIDAL 1. Hallar el resultado de: A) B) 2. Efectuar: A) B) Rpta.: ....................................................... 3. Efectuar: A) B) Rpta.: ....................................................... 4. Efectuar: A) B) Rpta.: ....................................................... 5. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 6. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 7. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 8. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 9. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 10. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 11. Calcular: Rpta.: ....................................................... 12. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 13. Calcular: Rpta.: ....................................................... 14. Calcular: Rpta.: ....................................................... 15. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 16. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 17. Efectuar:
  • 6. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 36 PASCUAL SACO OLIVEROS 1. Calcular: A) –9 B) 27 C) –27 D) 3 E) 6 2. Calcular: A) 12 B) 17 C) –15 D) 19 E) –20 3. Calcular: A) 13 B) 15 C) 16 D) 11 E) 5 4. Efectuar: A) 10 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5 5. Calcular: A) 5 B) 6 C) 1/6 D) –6 E) 1/5 Rpta.: ....................................................... 18. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 19. Calcular: Rpta.: ....................................................... 20. Calcular: Rpta.: .......................................................
  • 7. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 37SISTEMA HELICOIDAL LEYES DE EXPONENTES II AquímencionamoslasLeyesquerigenalosexponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones. 1. Multiplicación de Bases Iguales ; En forma extensiva: Ejemplos: • • • • • • Recíprocamente: • • • 2. División de Bases Iguales con b 0 Ejemplos: • • • Si se tiene: Luego obtendremos: Regla Práctica : “La base resultante lleva como exponente una forma particular; donde el exponente del numerador mantie- ne su exponente, mientras el exponente denominador va a pasar con signos opuestos” Ejemplos: • • • Ejemplos Diversos: • • •  Se observa: OBJETIVOS MOTIVACIÓN «Cada uno de nosotros en cierta medida ha nacido bueno, mediocre o malo, pero al igual que la inteligencia. El sentido moral puede ser desarrollado por la educación, la disciplina y la fuerza de voluntad». Buscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes. El camino a recorrer con estas leyes nos permitirá desarrollar a través de los ejercicios su capacidad de razonamiento.
  • 8. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 38 PASCUAL SACO OLIVEROS • 3. Potencia de Potencia ; Ejemplos: • • • • • • Recíprocamente: • • • Si se tiene:  m•n = n•m Luego se cumple: Ejemplos: • • • no confundir: Pues: 4. Potencia de un Producto • • Ejemplos: • • • • Recíprocamente: (*) (*) (*) Nota: 5. Potencia de un Cociente ; con b 0 Ejemplos: •
  • 9. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 39SISTEMA HELICOIDAL 1. Efectuar: a) = b) = 2. Efectuar: a) = b) = Rpta.: ....................................................... • • • I. Problema desarrollado 1. Indicar de las proposiciones que afirmamos son correctas: a) (F) b) (V) c) (F) RESOLUCION A) La proposición es falsa B) La proposición es verdadera 3. Efectuar: a) = b) = Rpta.: ....................................................... 4. Efectuar: C) La proposición es falsa II. Problema por desarrollar 2. Indicar cuales de las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F): a) .......................... ( ) b) .......................... ( ) c) .......................... ( ) RESOLUCION Recíprocamente: • • •
  • 10. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 40 PASCUAL SACO OLIVEROS a) = b) = Rpta.: ....................................................... 5. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 6. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 7. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 8. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 9. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 10. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 11. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 12. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 13. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 14. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 15. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 16. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 17. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 18. Efectuar:
  • 11. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 41SISTEMA HELICOIDAL 1. Simplificar: A) 3 B) 5 C) 7 D) 4 E) 6 2. Efectuar: A) B) C) D) E) 3. Reducir: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Calcular el exponente final de x en: A) 9 B) –9 C) 18 D) –27 E) 27 = Rpta.: ....................................................... 19. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 20. Efectuar: Si Calcular : = Rpta.: .......................................................
  • 12. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 42 PASCUAL SACO OLIVEROS LEYES DE LOS EXPONENTES III Las siguientes leyes están dadas para la transformación de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz. 1. Exponente Fraccionario con n 2 Ejemplos: • • • Si se tiene  (se sobreentiende el índice 2) Ejemplos: • • 2. Potencia de una Raíz ; con n 2 Ejemplos: • • • • Si se tiene  Luego: Para fines prácticos: (1º) Si m = 1:  (2º) Si m ≠ 1:  Ejemplos: • • • • • • • • La  porque: La  porque: La  porque: S La  porque: La  porque: La  porque: OBJETIVOS MOTIVACIÓN «El tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y los actos de tu propia vida». Lograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales, los cuales son muy importantes dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto será posible a través de la práctica que efectuemos con los diversos ejercicios.
  • 13. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 43SISTEMA HELICOIDAL Sabemos que: Si hacemos: m = n, se tendrá: Luego: En forma similar: Ejemplos: • • • • • • • Se cumple; dadas las siguientes formas: : ⇒ : ⇒ : ⇒ Ejemplos: • • • • • • • • • • • • 3. Raíz de una Multiplicación • • Ejemplos: • • • • Recíprocamente: • • • • 4. Raíz de una División • Ejemplos: • • • • Recíprocamente:
  • 14. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 44 PASCUAL SACO OLIVEROS • • • • 5. Raíz de Raíz • • Ejemplos: • • • • • PROPIEDADES AUXILIARES • ......................................................(I) • .................................................... (II) • ................................................(III) • .................................(IV) • ..................................(V) • .......(VI) Propiedad de Raíz de Raíz : : Ejemplos Diversos: • • • • • • • • • • • • Ejemplos de las formas de Raíz de Raíz: Efectuar: • • • Desarrollar: • •
  • 15. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 45SISTEMA HELICOIDAL 1. Efectuar: a) b) 2. Efectuar: a) b) Rpta.: ....................................................... 3. Efectuar: a) b) Rpta.: ....................................................... 4. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 5. Simplificar: I. Problema desarrollado 1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas: A) (V) B) (F) C) (V) RESOLUCION A) La proposición es verdadera B) 9 . 3 = 9 27 = 9 La proposición es falsa C) La proposición es verdadera II. Problema por desarrollar 2. Indicar cuales de las proposiciones es verdadera (V) o falsa (F): A) ....................... ( ) B) ....................... ( ) C) ....................... ( ) RESOLUCION
  • 16. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 46 PASCUAL SACO OLIVEROS Rpta.: ....................................................... 6. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 7. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 8. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 9. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 10. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 11. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 12. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 13. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 14. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 15. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 16. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 17. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 18. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 19. Simplificar:
  • 17. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 47SISTEMA HELICOIDAL 1. Hallar la expresión equivalente: A) B) 2. Reducir: A) 1 B) 3 C) 9 D) 27 E) 30 3. Reducir: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 4. Calcular: A) B) C) D) E) 5. Calcular: A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 Rpta.: ....................................................... 20. Simplificar: Rpta.: .......................................................