1. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
31SISTEMA HELICOIDAL
MOTIVACIÓN
Los Árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra.
A fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que pertenecían al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan. A l
Juarismi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia.
Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Algebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII, conocido
por sus poemas escritos en «Rubayat», escribió un tratado de Algebra. «Querer es poder, tú quieres, luego puedes».
Concepto :
Es la operación que consiste en multiplicar un número
llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro
llamado exponente, para obtener un resultado llamado
potencia.
Así tenemos:
Notación:
donde: b base
n exponente
P potencia
Luego:
Ejemplos:
•
Es base : 2
Es exponente : 5
Es potencia : 32
•
Es base : –3
Es exponente : 4
Es potencia : 81
•
•
•
•
Donde:
POTENCIACIÓN
OBJETIVOS
Las leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre
ellos; y la operación que da origen al exponente es la potenciación.
2. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
32 PASCUAL SACO OLIVEROS
Es base :
Es exponente : 4
Es potencia :
•
•
• (a + b)3
= (a + b) (a + b) (a + b)
Recíprocamente de acuerdo a la definición de
potenciación se verifica:
•
•
•
•
Ejemplos Diversos:
• –34
= –3 × 3 × 3 × 3 = –81
• (–3)4
= (–3) (–3) (–3) (–3) = +81
• (3x)4
= (3x) (3x) (3x) (3x)
• 3x4
= 3x x x x
• (– 3x)4
= (–3x) (–3x) (–3x) (–3x)
• – 3x4
= – 3 x x x x
•
•
(*) –bn
≠ (–b)n
(**)
Identificación de una base y su exponente:
• En:
• En:
* En :
En el Exponente anterior: , se tiene:
Exp. = x2
Base = x
LEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN
Ejemplos:
• (+2)4
= + 24
(24
) = 16
• (+x)32
= x32
(x)32
= x32
Ejemplos:
• (+2)5
= + 25
(2)5
= 32
• (+x)17
= + x17
(x)17
= x17
Ejemplo:
• (–2)6
= + 26
(–2)6
= 64
• (–x)18
= + x18
(–x)18
= x18
Ejemplo:
• (–2)5
= – 25
(–2)5
= – 32
• (–x)21
= – x21
(1º) Es conveniente indicar la diferencia entre:
–34
y (–3)4
(*) En: – 34
; el exponente no afecta al signo.
(*) En: (–3)4
; el exponente si afecta al signo.
(–3)4
= + 34
Por ello: –34
(–3)4
(2º) Debes tener presente lo siguiente:
(i) con
3. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
33SISTEMA HELICOIDAL
Ejemplos:
• 123
= 1
• 1128
= 1
• 1–25
= 1
(ii)
Ejemplos:
• (–1)16
= 1
• (–1)328
= 1
(iii)
Ejemplos:
• (–1)17
= –1
• (–1)5
= –1
(iv) con
Ejemplos:
• 017
= 0
• 0120
= 0
• 01256
= 0
Para realizar diversas operaciones a través de la po-
tenciación es necesario recordar las potencias más
usuales:
POTENCIAS MÁS USUALES :
LEYES DE EXPONENTES
Los exponentes se rigen a través de leyes, normas que
estudiaremos a continuación:
Objetivos:
• El objetivoes capacitaral alumno a poder identificar los diferentes tipos deexponentes y las relaciones quese dan entreellos,
luego dar paso a la solución de ejercicios mediante
reglas prácticas de exponentes.
Paraunmayorentendimientoenestecapítulo,lasleyes
de exponentes lo dividimos en 3 partes:
(1º) Leyes de Los Exponentes I
(2º) Leyes de los Exponentes II
(3º) Leyes de los Exponentes III
A continuación pasaremos a desarrollar las respectivas
leyes contenidas en cada grupo.
LEYES DE EXPONENTES I
Aqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su
forma en que se presentan:
1. Ley del exponente Cero
siempre y cuando : b 0
Ejemplos:
• (3)0
= 1 • 30
= 1
• (–3)0
= 1 • –30
= –1
• 3x0
= 3(1) = 3 • (3x)0
= 1
• • 3(a + b)0
= 3(1) = 3
• – 3x0
y = –3(1)y = –3y
0º es indeterminado
2. Ley del exponente Uno
El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende
Ejemplos:
• 51
= 5 •
• • (a + b)1
= (a + b)
• 3x1
= 3x •
3. Ley del exponente de Exponentes: (cadena de expo-
nentes)
Para desarrollar esta expresión se toma los 2 últimos
términos (base y exponente), luego se va transfor-
mando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los
términos.
Ejemplos:
(*) Desarrollar:
Luego:
(*) Desarrollar:
4. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
34 PASCUAL SACO OLIVEROS
Luego:
4. Ley del exponente Negativo
con b 0
*Caso Particular
con: a; b 0
Ejemplos:
•
•
•
•
Tambien:
•
•
•
Recíprocamente:
• •
• •
•
Si la forma del exponente es negativo:
Entonces transformamos a una expresión fraccionaria
I. Problema desarrollado
1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son
correctas:
A) (F)
B) (F)
C) (V)
RESOLUCION
A) La proposición
es falsa
B)
Es falso la proposición
C)
La proposición es verdadera
II. Problema por desarrollar
2. Indicar cuales de las afirmaciones son verdaderas (V)
o falsas (F):
A) ................... ( )
B) ............ ( )
A) ........................... ( )
RESOLUCION
5. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
35SISTEMA HELICOIDAL
1. Hallar el resultado de:
A)
B)
2. Efectuar:
A)
B)
Rpta.: .......................................................
3. Efectuar:
A)
B)
Rpta.: .......................................................
4. Efectuar:
A)
B)
Rpta.: .......................................................
5. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
6. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
7. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
8. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
9. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
10. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
11. Calcular:
Rpta.: .......................................................
12. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
13. Calcular:
Rpta.: .......................................................
14. Calcular:
Rpta.: .......................................................
15. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
16. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
17. Efectuar:
6. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
36 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Calcular:
A) –9 B) 27 C) –27
D) 3 E) 6
2. Calcular:
A) 12 B) 17 C) –15
D) 19 E) –20
3. Calcular:
A) 13 B) 15 C) 16
D) 11 E) 5
4. Efectuar:
A) 10 B) 9 C) 7
D) 6 E) 5
5. Calcular:
A) 5 B) 6 C) 1/6
D) –6 E) 1/5
Rpta.: .......................................................
18. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
19. Calcular:
Rpta.: .......................................................
20. Calcular:
Rpta.: .......................................................
7. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
37SISTEMA HELICOIDAL
LEYES DE EXPONENTES II
AquímencionamoslasLeyesquerigenalosexponentes
de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las
diversas expresiones.
1. Multiplicación de Bases Iguales
;
En forma extensiva:
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
Recíprocamente:
•
•
•
2. División de Bases Iguales
con b 0
Ejemplos:
•
•
•
Si se tiene:
Luego obtendremos:
Regla Práctica :
“La base resultante lleva como exponente una forma
particular; donde el exponente del numerador mantie-
ne su exponente, mientras el exponente denominador
va a pasar con signos opuestos”
Ejemplos:
•
•
•
Ejemplos Diversos:
•
•
•
Se observa:
OBJETIVOS
MOTIVACIÓN
«Cada uno de nosotros en cierta medida ha nacido bueno, mediocre o malo, pero al igual que la inteligencia. El sentido moral
puede ser desarrollado por la educación, la disciplina y la fuerza de voluntad».
Buscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes.
El camino a recorrer con estas leyes nos permitirá desarrollar a través de los ejercicios su capacidad de razonamiento.
8. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
38 PASCUAL SACO OLIVEROS
•
3. Potencia de Potencia
;
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
Recíprocamente:
•
•
•
Si se tiene:
m•n = n•m
Luego se cumple:
Ejemplos:
•
•
•
no confundir:
Pues:
4. Potencia de un Producto
•
•
Ejemplos:
•
•
•
•
Recíprocamente:
(*)
(*)
(*)
Nota:
5. Potencia de un Cociente
; con b 0
Ejemplos:
•
9. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
39SISTEMA HELICOIDAL
1. Efectuar:
a) =
b) =
2. Efectuar:
a) =
b) =
Rpta.: .......................................................
•
•
•
I. Problema desarrollado
1. Indicar de las proposiciones que afirmamos son
correctas:
a) (F)
b) (V)
c) (F)
RESOLUCION
A)
La proposición
es falsa
B)
La proposición
es verdadera
3. Efectuar:
a) =
b) =
Rpta.: .......................................................
4. Efectuar:
C)
La proposición
es falsa
II. Problema por desarrollar
2. Indicar cuales de las proposiciones son verdaderas (V)
o falsas (F):
a) .......................... ( )
b) .......................... ( )
c) .......................... ( )
RESOLUCION
Recíprocamente:
•
•
•
11. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
41SISTEMA HELICOIDAL
1. Simplificar:
A) 3 B) 5 C) 7
D) 4 E) 6
2. Efectuar:
A) B) C)
D) E)
3. Reducir:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
4. Calcular el exponente final de x en:
A) 9 B) –9 C) 18
D) –27 E) 27
=
Rpta.: .......................................................
19. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
20. Efectuar:
Si
Calcular :
=
Rpta.: .......................................................
12. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
42 PASCUAL SACO OLIVEROS
LEYES DE LOS EXPONENTES III
Las siguientes leyes están dadas para la transformación
de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz.
1. Exponente Fraccionario
con n 2
Ejemplos:
• •
•
Si se tiene
(se sobreentiende el índice 2)
Ejemplos:
• •
2. Potencia de una Raíz
; con n 2
Ejemplos:
•
•
•
•
Si se tiene
Luego: Para fines prácticos:
(1º) Si m = 1:
(2º) Si m ≠ 1:
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
•
•
La porque:
La porque:
La porque: S
La porque:
La porque:
La porque:
OBJETIVOS
MOTIVACIÓN
«El tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y los actos de
tu propia vida».
Lograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales, los cuales son muy importantes
dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto será posible a través de la práctica que efectuemos con los diversos
ejercicios.
13. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
43SISTEMA HELICOIDAL
Sabemos que:
Si hacemos: m = n, se tendrá:
Luego:
En forma similar:
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
•
Se cumple; dadas las siguientes formas:
:
⇒
:
⇒
:
⇒
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3. Raíz de una Multiplicación
•
•
Ejemplos:
•
•
•
•
Recíprocamente:
•
•
•
•
4. Raíz de una División
•
Ejemplos:
•
•
•
•
Recíprocamente:
14. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
44 PASCUAL SACO OLIVEROS
•
•
•
•
5. Raíz de Raíz
•
•
Ejemplos:
•
•
•
•
•
PROPIEDADES AUXILIARES
• ......................................................(I)
• .................................................... (II)
• ................................................(III)
• .................................(IV)
• ..................................(V)
• .......(VI)
Propiedad de Raíz de Raíz
:
:
Ejemplos Diversos:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Ejemplos de las formas de Raíz de Raíz:
Efectuar:
•
•
•
Desarrollar:
•
•
15. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
45SISTEMA HELICOIDAL
1. Efectuar:
a)
b)
2. Efectuar:
a)
b)
Rpta.: .......................................................
3. Efectuar:
a)
b)
Rpta.: .......................................................
4. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
5. Simplificar:
I. Problema desarrollado
1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son
correctas:
A) (V)
B) (F)
C) (V)
RESOLUCION
A)
La proposición es verdadera
B)
9 . 3 = 9
27 = 9 La proposición es falsa
C)
La proposición es verdadera
II. Problema por desarrollar
2. Indicar cuales de las proposiciones es verdadera (V) o
falsa (F):
A) ....................... ( )
B) ....................... ( ) C)
....................... ( )
RESOLUCION
17. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
47SISTEMA HELICOIDAL
1. Hallar la expresión equivalente:
A)
B)
2. Reducir:
A) 1 B) 3 C) 9
D) 27 E) 30
3. Reducir:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 8
4. Calcular:
A) B) C)
D) E)
5. Calcular:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 7
Rpta.: .......................................................
20. Simplificar:
Rpta.: .......................................................