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Objeto

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Objeto

  1. 1. DETERMINANTES <ul><li>Regra de Chiò </li></ul><ul><li>Matriz de Vandermonde </li></ul><ul><li>Cálculo de Matriz Inversa por meio de </li></ul><ul><li>Determinantes </li></ul>
  2. 2. Relembrando o que já sabemos... <ul><li>Já vimos que podemos calcular o determinante de qualquer matriz de ordem n > 1 utilizando o Teorema de Laplace, mas percebemos que para facilitar nossos cálculos precisamos obter uma fila com o maior número de elementos nulos e para conseguirmos uma fila desse tipo utilizamos o Teorema de Jacobi. </li></ul>
  3. 3. Contudo, o que podemos observar se a matriz em questão for de ordem n > 4 ? Como por exemplo: Calcule o determinante da matriz D: D = 2 4 6 7 8 0 0 0 1 0 9 1 5 7 4 2 8 6 3 1 0 7 9 0 6
  4. 4. Abaixamento da ordem de um determinante: REGRA DE CHIÒ 1º) Deve-se ter a 11 = 1 ; suprimi-se a 1ª linha e a 1ª coluna. 2º) De cada elemento restante em A, subtraímos o produto daqueles elementos que se encontram nas “extremidades das perpendiculares” traçadas, do elemento considerado, sobre a 1ª linha e sobre a 1ª coluna. Exemplo:
  5. 5. Se na matriz A não existir elemento igual a 1 ?
  6. 6. Obs. 1: Se na matriz A, a 11 é diferente de 1, e se existir algum elemento igual a 1, podemos através de trocas de filas transformar A em uma outra matriz A” para a qual a” 11 =1. -
  7. 7. Obs.2: Se na matriz A não existir elemento igual a 1, usando o Teorema de JACOBI podemos obter a matriz onde a” 11 =1.
  8. 8. Também podemos: Obs.: P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. R = R = 2 . det (R)  R/2 = det (R)
  9. 9. Matriz de Vandermonde (ou das potências) Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n ≥ 2, do tipo: Isto é, as filas de M são formadas por potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 até n – 1. Obs.: 1) Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz. 2) Indicamos o det. de uma matriz de Vandermonde por V ( 2, 1, -3, 5). = 8 . 4 . 3 . (-4) . (-5) . (-1) = -1920 2 1 -3 5 ? <ul><li>1 1 1 </li></ul><ul><li>1 -3 5 </li></ul><ul><li>1 9 25 </li></ul><ul><li>8 1 -27 125 </li></ul>
  10. 10. Calcule o determinante:
  11. 11. Cálculo da Matriz Inversa por meio de Determinantes <ul><li>Antes precisamos saber: </li></ul><ul><li>1) Matriz dos cofatores – Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos cofatores de A, e indicamos por A’, a matriz que se obtém de A, substituindo cada elemento de A por seu cofator. </li></ul>
  12. 12. <ul><li>2) Matriz adjunta – Seja A uma matriz quadrada de ordem n e A’ a matriz dos cofatores de A. Chamamos de matriz adjunta de A, e indicamos por A , a transposta da matriz A’, isto é, </li></ul><ul><li>A = ( A’ ) t </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Relação para o Cálculo da inversa de uma matriz quadrada K </li></ul><ul><li>Se K é uma matriz quadrada de ordem n e det ( K ) ≠ 0, então a inversa de K é: </li></ul><ul><li>K -1 = 1 . K </li></ul><ul><li>det (K) </li></ul><ul><li>Teorema : K . K = K . K = det (K) . I n </li></ul>

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