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Exercícios de matrizes e determinantes

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Exercícios de matrizes e determinantes

  1. 1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS – MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS 1) Construa a matriz A= (aij)2x3 de modo que aij = 3i2 – j − 2 se i > j  2 ) Determine a matriz B = (bij)3x3 tal que bij=  1 se i = j  3 se i < j  3) Encontre a transposta da matriz A= (aij)3x2 tal que aij = j-2i  i + j se i = j 4) Determine a matriz C= (cij)3x3 tal que: cij =  − i − j se i ≠ j 5) Escreva a matriz A = (aij) nos seguintes casos: a) A e uma matriz do tipo 3 x 4 com: aij = -1 para i = 2j aij = a para i ≠ 2j b) A é uma matriz quadrada de 4a ordem com: aij = 0 para i+j = 4 aij -1 para i+j ≠ 4 c) A é uma matriz quadrada de 3a ordem com aij = 2i +3j – 1 1 −2 1 2 −36) Dadas as matrizes A = e B= 3 0 determine A + 2Bt 4 5 0 4 −37) Determinar x e y sabendo que:  x 2 − 1  9 − 1   x + y 2  4 x − y   0 x + 3y   0 8   = a)    2x − y 0  b)  3 1  =  3 1  c)  2 5  =  2 y 2 + 1         4 0             − 1 2 5 0 − 2 38) Considere as matrizes: A = 0 1 − 4  B = 1 4 − 5  , determine:     3 − 2 7    − 3 2 0   a) At + Bt b) (A+B)t c) Compare os resultados a) e b)  2x − 5 0 0   9) Determine x e y sabendo que A é uma matriz identidade  0 1 0   0 y+x 1   1 3  − 2 1  − 1 − 210) Dadas as matrizes A=   0 2  B =  0 − 3  e C=  − 3 0  encontre a matriz X tal que X + 2C = A +3B            1 −1 1 4 011) Dadas as matrizes: A= e B= − 1 1 , calcule: 1 −3 1 5 0 a) A . B b) B . A c) Compare os resultados a) e b) e justifique a resposta. 0 1  − 1 112) Se A =  3  e B=    0 1  , verifique que (A .B) = B . A  t t t  2   1 113) Se A=  −1  2 , calcule A -2A +3I 2  1
  2. 2. 1 2  1 0   1 − 114) Dadas as matrizes: A=   3 4  , B =  2 3  e C =  0 1  , teste as propriedades:            a) A . (B+C) = AB + AC b) A.(B.C) = (A.B).C  1 3 0  − 5 8  15) Determine a inversa da matriz A =   2 − 3  e da matriz B =  − 4 − 2 1     3 − 1 2  16) Resolva e classifique os sistemas:  3x + 2 y + 3z = 0  − 2 x + y − 3z = 0  x + 2y − z = 1 3x − y = 5 − 2 z     a)  x+ y+z = 1 b)  x − y − 5 z = 2 c) 2 x − 3 y + 4 z = 2 d)  2 x + 3 y − 4 z = 2 − 2 x − 3 y + 3 z = − 5   3x − y + 3 z = 3   3x − 2 y − 2 z = − 3   y− z = x 3x − 4 y + kz = − 1 17) Determine o valor de k para que o sistema seja possível determinado  2 x − y − z = − 5  x − 3y − z = − 6   x + 2 y − mz = − 1 18) Determine os valores de m e k, de modo que seja possível e indeterminado o sistema:  3 x − y + z = 4 − 2 x + 4 y − 2 z = k   px + y − z = 4 19) Qual o valor de p para que o sistema  x + py + z = 0 admita uma única solução.  x− y = 2  x+ y−z = b 20) Determine os valores de a e b, de modo que o sistema seja impossível  x − y = 4 ax + y − z = 6 RESPOSTAS:  1 3 3   2 − 3 − 4 a a a a  2 1 0    t  −1 − 3 − 5    1) A=  11 10 9  2) B=  − 2 1 3  3) A =  0 − 2 − 4  4) C=  − 3 4 − 5  5) a) A=  − 1 a a a        − 2 − 2 1    − 4 − 5 6 a a a a        −1 −1 0 −1     4 7 10   −1 0 −1 −1     3 8 5 b) A=   c) A=  6 9 12  6)  0 5 − 6  7) a) (x,y) = (3,2) ou (-3,-10) b) x=3 e y=1  0 −1 −1 −1  8 11 14         − 1 − 1 − 1 − 1   −1 1 0  − 3 10   − 3 3c) (2,2) ou (14,-2) 8) A +B = 0 5 0  = (A+B)t 9) x=3 e y=-3 10) X=  t t   6 − 7  11) A.B=  9 − 4           8 − 9 7     0 7 − 1    0 − 3 1 0 B.A=  0 − 7 1 A.B ≠ B.A (produto de matrizes não é comutativo) 12) (A .B)t=Bt.At=   1 5  13)  0 1     5 20 0         6 7   5 1 -1  3 8  − 3 − 6 3 14) a) A.(B+C)=AB+BC=   b) A.(B.C)=(AB).C   11 1 15) A =  2 5  e B =  11 2 − 1 /30    -1   14 13       10  10 10  16) a) Possível determinado b) Impossível c) Possível indeterminado d)Possível determinado17) k ≠ -2 18) m=3/5 e k= -6 19) p ≠ -1 20) a=1 e b ≠ 6

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