Ejercicios
Desarrollados
Ejercicios resueltos
EJERCICIOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1. Tasa de interés.
¿Cuál será la tasa de interés aplicada al prestar $1.000 hoy, para cancelar $1.200 al final de 1 año?
Definiendo la tasa de interés como "i" se tendría:
i = ( 1200 - 1000 ) / 1000
= 0.2 ó 20%
La respuesta se puede dar en forma porcentual o decimal como se prefiera. Se pagarán entonces $200 por intereses, y
el interés será el 20%. Cuando estamos evaluando un proyecto, al tomar la decisión, se debe tener
un punto de comparación (interés mínimo) a partir del cual, el interés de una alternativa será atractivo ó no.

Ejercicios resueltos
2. Interés Simple.
¿Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés simple anual durante dos años?
....|_______________________|_______________|
$1.000...........................$1.000 + $300 ................$1.000 + $300 + $300
Al final del primer año se tiene los $1.000 más los $300 por interés; y al final del segundo año se tendrá los $1.000
iniciales, $300 por interés del primer año y $300 por interés del segundo año ($1.600).
3. Interés Compuesto.
¿Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés compuesto anual durante dos años?
....|_______________________|_______________|
$1.000...........................$1.000 + $300 .....................$1.300 + $390
Al final del primer año se tiene $1.300. Para el segundo año el cálculo será sobre los $1.300 que se poseen al comienzo
del periodo, y no solo sobre los $1.000 iniciales; por tanto los intereses causados en el segundo año son:
Primer año = $1.000 x 0.30 = $300
Segundo año = $1.300 x 0.30 = $390
Suma final = $1.300 + $390 = $1.690
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EJERCICIOS DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Valor del Dinero a través del Tiempo
Ejemplo 1. Se dispone de 1'000.000 de pesos el cual se deposita en una entidad financiera que le pagará un interés
mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial acumulada cada mes. ¿Cuánto se tendrá al final de 1 año?
DATOS :
P=1'000.000
i= 2.5% mensual
n= 12 meses
F= ?
Aplicando la fórmula F = P * ( 1+i )^n
F=1'000.000 (1+0.025)^12
F = 1'344.888,82
Ejemplo 2. ¿Cuánto deberá depositarse hoy en una entidad financiera que paga un interés trimestral del 8.5%, para
tener $4'000.000 dentro de 2 años?
DATOS :
F= $4'000.000
i= 8.5% trimestral
n= 8 trimestres (2 años)
P=?
P = F * (1+i)^(-n)
P= 4'000.000 (1+0.085)^(-8)
P= 2'082.677,79

Ejercicios resueltos
Ejemplo 3. Una entidad financiera ofrece que, por cualquier monto que se le entregue, devolverá el doble al cabo de
30 meses. ¿Qué interés está pagando?
DATOS :
P = Cantidad inicial
F = 2P (Cantidad final)
n = 30 meses
i = ?
Utilizando la fórmula i = (F/P)^(1/n) - 1
2P = P (1+i)^30
2 = (1+i)^30
i= 0.023 (2.3% mensual)
Ejemplo 4. ¿Cada cuánto se duplica el dinero invertido al 2%?
DATOS :
P= Cantidad inicial
F= 2P (cantidad duplicada)
n=?
n = [ log(F/P) ] / ( log(1+i) )
2P = P * (1+0.02)^n
Log 2 = n*Log(1.02)
n = 35 periodos de tiempo
Ejemplo 5 Se invierte $2.000.000 al inicio del año 2006 a una tasa anual del 10%; ¿Cuánto se habrá acumulado al final
del año 2009?
DATOS:
P=2'000.000
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i2= 10% anual
n= 4 Años
F= ?
Aplicando la fórmula F = P * ( 1+i )n
F = 2'928.200
Ejemplo 6 Al inicio de su carrera universitaria su padre decidió regalarle un monto suficiente para que al finalizar
sus estudios (5 años) disponga de 5’000.000 para iniciar estudios de postgrado. Si el dinero es depositado en una
cuenta que paga un interés trimestral del 2%; ¿Cuánto será el valor del monto?
DATOS:
F= $5'000.000
i= 2% trimestral
n= 20 trimestres (5 años)
P=?
P = F * (1+i)^(-n)
P= 3'364.856,66

Ejercicios resueltos
.Ejemplo 7 Un banco promete a sus clientes entregar el doble del dinero depositado en un término de 6 años.
■ ¿Qué tasa de interés mensual está prometiendo el banco?
DATOS:
P=P
F= 2P
n= 72 Meses (6 Años)
i= ?
2P = P(1 + i ) 72
i = 0.009673533 = 0.9673533%
RESPUESTA: El banco está prometiendo un interés mensual del 0.9673533%
■ ¿Qué tasa de interés anual prometiendo el banco?
DATOS:
P=P
F= 2P
n= 6 Años
i= ?
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Ejercicios resueltos
2P = P(1 + i )6
i = 0.122462048 = 12.2462048%
RESPUESTA: El banco está prometiendo un interés anual del 12.2462048%
■ ¿Cuánto tiempo toma en duplicarse una inversión al 1% mensual?
DATOS:
P=P
F= 2P
2i= 1% Mensual
n= ?
2P = P(1 +0.01 ) n
Log 2 = n Log (1.01)
n = 69.66 meses
RESPUESTA: Al cabo de 67 meses, la inversión se duplicará.

Ejercicios resueltos
.Ejemplo 8 Un banco promete una tasa efectiva anual del 8%. ¿Cuál será el valor final de una inversión de
$2’000.000 durante tres meses?
Para la solución de este problema existen varias alternativas de solución:
■
Primera alternativa:
ii= 8% Anual ( Se debe convertir este interés de periodo mayor (años) al interés de periodo menor (meses))
m= 12 Meses
i= ?
imensual = 0.00643403
Con este interés trabajamos el problema inicial:
DATOS:
P= 2’000.000
F= ?
imensual = 0.00643403
n= 3 meses
F = 2’000.000 [( 1.00643403 ) 3]
F = 2’038.853,094
■ Segunda alternativa:
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Ejercicios resueltos
ii= 8% Anual ( Se debe convertir este interés de periodo mayor (años) al interés de periodo menor (trimestre))
m= 4 Trimestre
i=
i trimestral = 0.019426546
Con este interés trabajamos el problema inicial:
DATOS:
P= 2’000.000
F= ?
i trimestral = 0.019426546
n= 1 trimestre
F = 2’000.000 [(1.019426546) ^1]
F= 2’038.853,094
■
Tercera alternativa:
DATOS:
P= 2’000.000
F= ?
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Ejercicios resueltos
i anual = 0.08
n= ¼ (años)
F = 2’000.000 [(1.08)1/4]
F= 2’038.853,094
Relación de Equivalencia entre una Serie Uniforme (A) y un valor Presente (P) situado un Periodo atrás del primer flujo de
la serie.
Ejemplo 9. Usted decide ahorrar mensualmente $10.000 los cuales depositará al final de cada mes en una entidad
financiera que paga un interés del 2.5% mensual. ¿Cuánto habrá acumulado al cabo de 2 años?
A = $10.000
i = 2.5% mensual
n = 24 meses
F = ?

Ejercicios resueltos
F= $323.490,38
Ejemplo 10. Cuánto debe ahorrar mensualmente un estudiante que desea reunir $2'000.000 al final de sus 5 años de
carrera con el fin de montar su propia empresa, si los ahorros le rentan el 3% mensual?
A = ?
F = 2'000.000
n = 60 meses
i = 3% mensual
A= 12.265,92
Ejemplo 11. Usted va a comprar un carro que vale $5'000.000 bajo las siguientes condiciones:
cuota inicial: 40%
Saldo financiado a 5 años al 2% mensual con cuotas mensuales iguales.
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Ejercicios resueltos
¿Cuánto pagará mensualmente?
P = $3'000.000
n = 60 meses
i = 2% mensual
A = ?
A= $86.303,90
Ejemplo 12. Usted asume una hipoteca a 25 años por $75250.000, con una tasa de interés mensual del 2%. Piensa
ser propietario de la casa durante 4 años y luego venderla, liquidando el préstamo con un pago final. ¿Cuál será el monto
de este pago al final de 4 años?. Las cuotas son fijas y deberán ser pagadas mensualmente.

Ejercicios resueltos
Primero hallamos el valor de la mensualidad:
A = P [ ( 1 + i )n i ] / [ ( 1 + i )n - 1 ]
A = 75250.000 [ ( 1 + 0,02 )300 ( 0,02 ) ] / [ ( 1 + 0.02 )300 -1 ]
A = $1508.968,521
Ahora hallamos cuánto se ha pagado durante los primeros 4 años:
F = A [ ( 1 + i )n - 1 ] / i
F = 1508.968,52 [ ( 1 + 0,02 )48 - 1 ] / 0,02
F = $119741.962,6
Al final de los primeros 4 años se han pagado $ 119741.962,6
Si llevamos el valor de la hipoteca al periodo 48, podemos restar estos dos valores
F = P ( 1 + i )n
F = $194677.046,5
El pago que se debe hacer para cancelar la hipoteca es:
$194677.046,5 - $119741.962,5 = $74935.084
Ejemplo 13. Una empresa requiere $2'000.000, los cuales va a recibir como préstamo bancario con las
siguientes condiciones:
Plazo: 1 año

Ejercicios resueltos
interés: 8% trimestral
Forma de pago: cuotas trimestrales iguales vencidas, las cuales incluyen intereses y abonos a capital.
a. Determine el valor de la cuota.
n = 4 trimestres
i = 8% trimestral
P = 2'000.000
A = ?
A= $603.841,61
b. Ilustre mediante un cuadro periodo a periodo los siguientes conceptos:
- Saldo inicial
- Intereses causados
- Cuota a pagar
- Abono a capital
- Saldo final
PERIODO SALDO INICIAL INTERÉS CAUSADO CUOTA A PAGAR ABONO A CAPITAL SALDO FINAL
I 2'000.000 160.000 603.841.61 443.841.61 1'556.158.39
II 1'556.158.39 124.492.67 603.841.61 479.348.94 1'076.809.45
III 1'076.809.45 86.144.76 603.841.61 517.696.85 559.112.60
IV 559.112.60 44.729.01 603.841.61 559.112.60 - 0 -
2'000.000

Ejercicios resueltos
Los intereses son causados por el saldo inicial de cada periodo. Los abonos a capital se calculan como la cuota a pagar
menos los intereses causados.
El saldo final se obtiene restando el abono a capital del saldo inicial. Este saldo final será el saldo inicial para el
próximo periodo.
c. Compruebe que el total de los abonos a capital es exactamente el préstamo recibido, y que el saldo al final del año
es exactamente cero.
El cuadro nos muestra que la suma de abonos a capital nos da exactamente los $2'000.000 recibidos, y que el saldo al
final del año (cuarto periodo) es cero.
d. Analice los saldos periodo a periodo y la relación interés-abono a capital durante los diferentes periodos.
Los saldos van disminuyendo cada periodo más rápidamente, dado que el abono a capital aumenta periodo a
periodo, mientras que los intereses sobre el saldo inicial del periodo correspondiente van disminuyendo.
Ejemplo 14.

Ejercicios resueltos
Para comprar maquinaria usted ha recibido
un préstamo de $65000.000 por dos años, con
un interés semestral del 16%, pagadero en
cuotas semestrales iguales vencidas las
cuales incluyen interés y abonos a capital.
Calcule el valor de la cuota y haga un
cuadro donde se incluyen abono a capital,
interés, saldo inicial y saldo final.
A = P [ ( 1 + i )n i ] / [ ( 1 + i )n - 1]
A = 65000.000 [ ( 1 + 0,16 )4 ( 0,16 ) ] / [ ( 1 + 0,16 ) - 1 ]
A = $ 23229.379,5159
Cuadro:
PERIODO SALDO INICIAL INTERÉS CAUSADO CUOTA A PAGAR ABONO A CAPITAL SALDO FINAL
1 65000.000,00 10400.000,00 23229.379,51 12829.379,51 52170.620,48
2 52170.620,48 8347.299,27 23229.379,51 14882.080,23 37288.540,24
3 37288.540,24 5966.166,43 23229.379.51 17263.213,07 20025.327,16
4 20025.327,16 3204.052,34 23229.379.51 20025.327,16 -0-
65000.000,0
Ejemplo 15.Usted ingresa a trabajar con un salario mensual de $5’000.000 y decide ahorrar el 10% del salario durante
todo el año.
■ ¿ Cuánto habrá acumulado al final del año si los depósitos obtienen un interés mensual del 1%?

Ejercicios resueltos
DATOS:
A = 500.000
i = 1% mensual
F = ?
F =
F = $6’341.251,507
■ ¿ Qué porcentaje del sueldo debería ahorrar si el monto final deseado fuera de $10’000.000
DATOS:
F = 10’000.000
i = 0.01 mensual
n = 12 meses
A =

Ejercicios resueltos
A = $788.487,8868
El porcentaje de sueldo:
5’000.000 ---------------------- 100%
788.487,8868------------------- X
X = 15.77%
Ejemplo 16. Su empresa obtiene un crédito a corto plazo para capital de trabajo. Si el valor del crédito es $5’000.000, la
tasa de interés mensual es del 1.2% y el crédito se pagará en cuotas fijas al final de cada bimestre durante un año,
determine el valor de la cuota a pagar y desarrolle una tabla en la que muestre para cada periodo el saldo inicial, el
monto de intereses causado, la cuota a pagar, el abono a capital y el saldo final.
Primero que todo, se debe convertir la tasa de interés del periodo menor (mensual) a la tasa de interés del período
mayor (bimestral)
ii = = 0.024144
DATOS:
P = 5’000.000
ii bimestral = 0.024144
n = 6 Bimestres
A =
A =

Ejercicios resueltos
A = 905.152,8588
Otra forma de Notación de las Relaciones de Equivalencia
Ejemplo 17. Cuánto deberá invertirse hoy, Julio 1 de 1997 para hacer retiros trimestrales vencidos iguales por
$500.000 cada uno durante 1999, si los depósitos obtienen un interés del 8% trimestral?
Existen dos formas de resolver este problema:
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Ejercicios resueltos
a. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000) y un valor presente situado un periodo atrás
del primer flujo de la serie, en este caso en el periodo 6.
Hasta el momento: P '= A ( P/A , i , n ) [6]
donde:
P ' : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el punto 6.
A : $500.000
P : Es P'
i : 8% trimestral
n : 4 (porque la serie uniforme es de 4 flujos)
Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor presente situado en el periodo 6 (P'), es necesario llevarlo ahora
al periodo cero que es el momento en el cual hacemos el depósito.
Para hacer este traslado consideramos a P' como un valor futuro (F) con respecto a P (en el periodo cero), por lo
tanto tenemos:
P= P' (P/F,i,n) [2]
donde:
P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo cero
P' = A(P/A,i,n)
F = P'
i = 8% trimestral
n = 6 (porque P' está situado exactamente en el periodo 6 y es necesario llevarlo al periodo cero).
En definitiva: P = A ( P/A , i , n ) ( P/F , i , n )
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Ejercicios resueltos
P = $1'043.600,867
b. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000), y un valor futuro situado exactamente al
final de la serie, en este caso en el periodo 10.
Hasta el momento: F = A ( F/A , i , n ) [3]
donde:
F : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10
A : $500.000
i : 8% trimestral
n : 4 (porque la serie es de 4 flujos)
Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor futuro situado en el periodo 10 (F), es necesario llevarlo al
periodo cero, siendo F un valor futuro respecto a P (en el periodo cero).
Entonces : P = F ( P/F , i , n )
donde:
P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 0
F : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10
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Ejercicios resueltos
i : 8% trimestral
n : 10 (porque F está situado en el periodo 10 y es necesario llevarlo a cero)
En definitiva : P = A ( F/A , i , n ) ( P/F , i , n )
P = $1'043.600,867
Ejemplo 18. Usted recibe un préstamo de $2'000.000, el cual deberá pagar de la siguiente forma:
Plazo : 2 años
Interés : 2.5% mensual
Pagos mensuales vencidos por un valor A durante el primer año, y por un valor 2A durante el segundo año.
Determine el valor de la cuota.
a. Primera forma de solución:
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Ejercicios resueltos
* Llevamos la serie A al periodo cero (P1)
P1= A(P/A,i,n) [6]
P1= A(P/A,2.5%,12)
* Llevamos la serie 2A al periodo 12
P2= 2A(P/A,i,n)
P2= 2A(P/A,2.5%,12)
* Llevamos el valor P2 al periodo cero (P2'). P2 es con respecto a P2' un valor futuro, por tanto:
P2'= P2(P2/F,i,n) [2]
P2'= 2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12)
* Hacemos P igual al valor equivalente de la serie A (retiros hechos en el primer año) en el periodo cero (P1), más el
valor equivalente de la serie 2A (retiros hechos en el segundo año) en el periodo cero.
P= P1+P2'
P= A(P/A,2.5%,12)+2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12)
2'000.000 = A(10,2577646)+2A(10,2577646)(0,74355585)
A= $78.393,84695
b. Segunda forma de solución
Tenemos dos series, cada una de valor A, la primera con 24 flujos (del 1 al 24), la cual llamaremos serie I y la segunda
con 12 flujos (del 13 al 24), que llamaremos serie II.
* Llevamos la serie I al periodo 24 (F1)
F1= A(F/A,i,n)
F1= A(F/A,2.5%,24)
* Llevamos la serie II al periodo 24 (F2)
F2= A(F/A,i,n)
F2= A(F/A,2.5%,12)
* Llevamos F1 al periodo cero (P1)
P1=F1(P/F,i,n)
P1=A(F/A,2.5%,24)(P/F,2.5%,24)
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Ejercicios resueltos
* Llevamos F2 al periodo cero (P2)
P2=F2(P/F,i,n)
P2=A(F/A,2.5%,12)(P/F,2,5%,24)
* Hacemos P igual al valor equivalente de la serie I en el periodo cero (P1), más el valor equivalente de la serie II en
el periodo cero (P2)
P=P1+P2
P=(A(F/A,2.5%,24)+A(F/A,2.5%,12))(P/F,2.5%,24)
2'000.000=A(17.885)+A(7.627)
A = $78.394,48
c. Tercera forma de solución
Aplicando el mismo procedimiento, pero esta vez llevando cada una de las series a un valor presente, es decir, llevar la serie
I al punto cero; la serie II al punto 12 y luego a valor presente cero. Debemos obtener el mismo resultado.
* Llevando la serie I al periodo cero (P1)
P1=A(P/A,2.5%,24)
P1=17,885A
* Llevando la serie II al periodo 12 (P2)
P2=A(P/A,2.5%,12)
P2=10,2577
* Llevando P2 (tomándolo como F y llevándolo al periodo cero)
P2=F(P/F,2.5%,12)
P2=7,627A
* Hacemos P igual al periodo equivalente de la serie I en el periodo cero(P1),mas el valor equivalente de la serie II en
el periodo cero (P2)
P=P1+P2
2'000.000=A(17.885)+A(7.627)
A = $78.394,48
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Ejercicios resueltos
Ejemplo 19.
Usted obtiene un préstamo de $6’000.000 con una tasa de interés mensual del
1.5%. El préstamo lo pagará durante dos años con
cuotas bimestrales vencidas que durante el segundo año se incrementan en un 10% respecto a las del
primer
año.
Determine el valor de las cuotas a pagar.
Lo primero que hacemos es convertir la tasa de interés del periodo menor (meses) a la tasa de interés del periodo
mayor (semestres) para aplicar dicho interés a las cuotas semestrales:
Para utilizar la ecuación INGRESOS=EGRESOS; es necesario llevar todos los flujos a un mismo periodo; en este caso
se llevarán al periodo 0:
■ Anualidad mensual al periodo 0:
P= 33.05238804 A
■ Serie 1.1A al periodo 0:
De esta forma se lleva la anualidad al periodo 6, ahora el siguiente paso es llevar ese valor futuro (periodo 6), al periodo
0 que es en el punto donde estoy analizando los flujos.
Así queda la siguiente expresión para la anualidad 1.1ª llevada al periodo 0:
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Ejercicios resueltos
P = 36.35762684 A
Empleando la ecuación INGRESOS= EGRESOS, tenemos:
6’000.000 = 33.05238804 A + 36.35762684 A
A = 86.442,85714
Ejemplo 20.
Usted va a adquirir un carro por un valor de $40’000.000. Actualmente dispone de $5’000.000 y el resto será financiado a
3 años al 1.3% mensual y pagará cuotas mensuales mas cuotas semestrales con sus primas.
Si las cuotas semestrales son por un valor de 1.5 veces las cuotas mensuales; ¿cuál será el valor de las cuotas a pagar?
Lo primero que hacemos es convertir la tasa de interés del periodo menor (meses) a la tasa de interés del periodo
mayor (semestres) para aplicar dicho interés a las cuotas semestrales:
Para utilizar la ecuación INGRESOS=EGRESOS; es necesario llevar todos los flujos a un mismo periodo; en este caso
se llevarán al periodo 0:

Ejercicios resueltos
● Anualidad mensual al periodo 0:
● Anualidad Semestral al periodo 0:
● Aplicando INGRESOS=EGRESOS en el periodo 0 se tiene:
Ejemplo 21. Usted requiere saber de cuánto dinero debe disponer hoy Enero 1 de 1997, generando un interés del
2% mensual para poder hacer retiros mensuales vencidos durante 1998 de $20.000 cada uno, al final del 98
$100.000 adicionales; durante 1999 $30.000 mensuales, y al final del 99 $150.000 adicionales.
P=[100.000+20.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,24)+ [150.000+30.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,36)
P = $ 499.724,79

Ejercicios resueltos
Ejemplo 22. Usted va a comprar un equipo de sonido en un almacén de electrodomésticos, el cual ofrece un
crédito cooperativo al 2.5% mensual. La forma de pago será cuotas mensuales vencidas iguales durante 2 años. Al cabo de
6 meses se podría finalizar la deuda cancelando el saldo, el cual sería de $120.000. Cuál es el valor de compra del equipo
de sonido?
Posibles formas de pago:
* P= A(P/A,2.5%,24)
120.000= A(P/A,2.5%,18)
120.000= A(14,353363)
A= $8.360,41
Reemplazando el valor de A en *:
P= 8.360,41(P/A,2.5%,24)
P = $149.525,81