Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Características das variáveis aleatórias

1,002 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Características das variáveis aleatórias

  1. 1. Material para os estudantes do 2.º anoCARACTERÍSTICAS DEVARIÁVEIS ALEATÓRIAS Por: E. Seno 1 FE-UAN - 2006
  2. 2. Características (Medidas) das v. a.Valor esperado = Esperança matemática(média)Variância, Desvio-padrão e Coeficiente devariaçãoCovariânciaCoeficiente de Correlação Por: E. Seno 2 FE-UAN - 2006
  3. 3. Valor esperadoDefinição: Centro de gravidade da distribuição de probabilidade da variável aleatória Matematicamente: • Para variável discreta: N E ( X ) = µ x = ∑ xi . f ( xi ) i =1 • Para variável contínua: +∞ E( X ) = µx = ∫ x. f ( x)dx −∞ Por: E. Seno 3 FE-UAN - 2006
  4. 4. Valor esperado Exemplo – v. a. d.: No caso do lançamento de uma moeda três vezes, pode- se calcular o número esperado de faces, da seguinte forma: N 4 E ( x) = ∑ xi . f ( xi ) =∑ xi . f ( xi ) = i =1 i =1 = 0 × 0,125 + 1× 0,375 + 2 × 0,375 + 3 × 0,125 = = 0 + 0,375 + 0,75 + 0,375 = 1,5.Ou, seja: x 0 1 2 3 ∑ f(x) = 0,125 0,375 0,375 0,125 1 x.f(x) 0 0,375 0,75 0,375 1,5 Por: E. Seno 4 FE-UAN - 2006
  5. 5. Valor esperadoExemplo – v. a. c.: : No caso da variável a. contínua, calculamos o valor esperado da variável cuja função de densidade é dada por: ⎧ 0 ⎪x ; x< 0 f ( x) = ⎨ + 1 ; 0≤ x≤3 ⎪ 018 ⎩ 4 ; x >3Da seguinte forma: +∞ ⎛ x 1⎞ 3 E ( x) = − ∫∞ x. f ( x ) dx = ∫ x × ⎜ + ⎟ dx = 0 ⎝ 18 4 ⎠ 3 ⎡1 x 1 x ⎤3 ⎡ 1 33 1 3 2 ⎤ 2 ⎢ × + × ⎥ = ⎢ × + × ⎥ − 0 = 1,625 . ⎣18 3 4 2 ⎦ 0 ⎣18 3 4 2 ⎦ Por: E. Seno 5 FE-UAN - 2006
  6. 6. Valor esperadoPropriedades:1. E(a) = a N N E (a ) = ∑ af ( xi ) = a ∑ f (xi ) = a.1 = a, i =1 i =1 ou , +∞ +∞ E (a ) = ∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx = a.1 = a −∞ −∞ Por: E. Seno 6 FE-UAN - 2006
  7. 7. Valor esperadoPropriedades:2. E(X+Y) = E(X) + E(Y) (Podemos demonstrar para o caso de uma v. a. Discreta) M N M N E ( X + Y ) = ∑∑ ( xi + y j ) f ( xi , y j ) =∑∑ xi f ( xi , y j ) + i= j =1 i= j =1 M N M N N M + ∑∑ y j f ( xi , y j ) = ∑ xi ∑ f ( xi , y j ) + ∑ y j ∑ f ( xi , y j ) = i =1 j =1 i =1 j =1 j =1 i =1 M N = ∑ xi f x ( xi ) + ∑ y j f y ( y j ) = E ( X ) + E (Y ) i =1 j =1 Por: E. Seno 7 FE-UAN - 2006
  8. 8. Valor esperadoPropriedades:3. E(a + bX) = E(a) + bE(X) = a + bE(X)4. Valor esperado conjunto: M N E ( X , Y ) = ∑∑ ( xi , y j ) f ( xi , y j ), para v. a. discreta i= j =1 ou , + ∞+ ∞ E( X ,Y ) = ∫ ∫ xyf ( x, y)dxdy, − ∞− ∞ para v. a. contínua Por: E. Seno 8 FE-UAN - 2006
  9. 9. Valor esperadoPropriedades:5. Valor esperado conjunto de variáveis aleatórias independentes: E(XY) = E(X).E(Y) M N M N E(X,Y) = ∑ ∑ (x i ,y j )f(x i ,y j ) = ∑ ∑ xi .y j f x(x i )f y (y j ) = i= j =1 i= j =1 M N = ∑ xi f x(x i ).∑ y j f y (y j ) = E(X).E(Y) , para v. a. discreta i =1 j =1 ou , + ∞+ ∞ + ∞+ ∞ E ( X ,Y ) = ∫ ∫ xyf ( x , y ) dxdy = ∫ ∫ xyf − ∞− ∞ − ∞− ∞ x ( x ). f y ( y ) dxdy = +∞ +∞ = ∫ xf −∞ x ( x ) dx . ∫ yf y ( y ) dy = E ( X ). E (Y ), para v. a. contínua −∞ Por: E. Seno 9 FE-UAN - 2006
  10. 10. Valor esperadoPropriedades:6. Valor esperado de uma soma de v. a. iid (independentes e identicamente distribuídas), isto é E(X1) = E(X2) = … = E(XN) e V(X1) = V(X2) = … = V(XN)E ( X 1 + X 2 + ... + X N ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + ... + E ( X N ) = 64444vezes 444 N 74 8= E ( X ) + E ( X ) + ... + E ( X ) = N .E ( X ) Por: E. Seno 10 FE-UAN - 2006
  11. 11. Valor esperadoPropriedades:7. Valor esperado condicionado De X dado Y : M M f(x i ,y j ) E(XY) = ∑x i =1 i f(x iy j ) = ∑x i =1 i f y (y j ) , ou +∞ +∞ f(x,y) E(XY) = ∫ −∞ xf(xy)dx = ∫ −∞ x f y (y) dx De Y dado X : N N f(x i ,y j ) E(YX) = ∑ j =1 y j f(y jx i ) = ∑j =1 yj f x (x i ) , ou +∞ +∞ f(x,y) E(YX) = ∫ −∞ yf(yx)dy = ∫ −∞ y f x (x) dy Por: E. Seno 11 FE-UAN - 2006
  12. 12. VariânciaDefinição: Valor esperado do quadrado do desvio entre a variável e o seu valor esperado, ou seja: σ2 = V(X) = E[X – E(X)]2 = E(X2) – E2(X) Onde: N E ( X ) = ∑ x i . f ( xi ) ; 2 2 para variáveis discretas, i =1 ou, +∞ E(X 2 ) = ∫ −∞ x 2 . f ( x)dx ; para variáveis contínuas E, E2(X) = [E(X)]2 Por: E. Seno 12 FE-UAN - 2006
  13. 13. VariânciaExemplo – v. a. d.: No caso do lançamento de uma moeda três vezes, pode- se calcular a variância do número esperado de faces, da seguinte forma: N 4 E (x ) = ∑ xi . f ( xi ) = ∑ xi . f ( xi ) = 2 2 2 i =1 i =1 = 0 2 × 0 ,125 + 1 2 × 0 , 375 + 2 2 × 0 , 375 + 3 2 × 0 ,125 = = 0 + 0 , 375 + 1, 5 + 1,125 = 3 . σ 2 = V ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = 3 − (1, 5 ) 2 = 0 , 75 . σ = σ 2 = 0 , 75 = 0 , 866 . σ 0 , 866 Cv = = = 0 , 57735 = 57 , 7 %. E(X ) 1, 5 Por: E. Seno 13 FE-UAN - 2006
  14. 14. VariânciaExemplo – v. a. c.: Voltando ao exemplo anterior: +∞ ⎛ x 1⎞ 3 E ( x ) = ∫ x . f ( x ) dx = ∫ x × ⎜ + ⎟ dx = 2 2 2 −∞ 0 ⎝ 18 4 ⎠ 3 ⎡ 1 x4 1 x3 ⎤ ⎡ 1 3 4 1 33 ⎤ ⎢ × + × ⎥ = ⎢ × + × ⎥ − 0 = 3,375 . ⎣18 4 4 3 ⎦ 0 ⎣18 4 4 3 ⎦ σ 2 = V ( X ) = E ( x 2 ) − E 2 ( X ) = 3,375 − (1,625 ) 2 = 0,73438 . σ = σ 2 = 0,73438 = 0 .85696 . σ 0,85696 Cv = = = 0,52736 = 52 ,7 % E(X ) 1,625 Por: E. Seno 14 FE-UAN - 2006
  15. 15. VariânciaPropriedades:1. V(X) ≥ 02. V(a) = 0 V(a) = E[a – E(a)]2 = E(a – a)2 = E(0) = 0.3. V(b.X) = E[bX – E(bX)]2 = E[bX – bE(X)]2 = = E{b[X – E(X)]}2 = E{b2.[X – E(X)]2} = = b2.E[X – E(X)]2 = b2.V(X) Por: E. Seno 15 FE-UAN - 2006
  16. 16. VariânciaPropriedades:4. V(X ± Y) = V(X) + V(Y) ± 2.Cov(XY)V ( X ± Y ) = E [( X ± Y ) − E ( X ± Y )] = E [X − E ( X ) ± Y m E (Y )] = 2 2E{[X − E ( X )] ± [Y − E (Y )]} = E [X − E ( X )] + E [Y − E (Y )] ± 2 2 2± 2 E [X − E ( X )][Y − E (Y )] = V ( X ) + V (Y ) ± .± 2[E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) − E ( X ) E (Y ) + E ( X ) E (Y )] == V ( X ) + V (Y ) ± 2[E ( XY ) − E ( X ) E (Y )] 1444 444 2 3 Cov xy Por: E. Seno 16 FE-UAN - 2006
  17. 17. VariânciaPropriedades:5. V(X ± Y) = V(X) + V(Y), se X e Y independentes, porque neste caso: E(XY) = E(X)E(Y).6. V(a + bX) = b2.V(X)7. Variância de uma soma de v. a. iid (independentes e identicamente distribuídas): V ( X 1 + X 2 + ... + X N ) = V ( X 1 ) + V ( X 2 ) + ... + V ( X N ) = 6444 N74444 4vezes 8 = V ( X ) + V ( X ) + ... + V ( X ) = N .V ( X ) Por: E. Seno 17 FE-UAN - 2006
  18. 18. CovariânciaDefinição: Medida de associação entre as variáveis (em termos absolutos) Covxy = E(XY) – E(X)E(Y) Logo, se X e Y são independentes ⇒ Covxy =0. Mas o contrário nem sempre é verdade Se Covxy > 0 ⇒ Relação directa entre as variáveis, evoluem no mesmo sentido; Se Covxy < 0 ⇒ Relação inversa entre as variáveis, evoluem em sentidos opostos. Se uma aumenta, outra diminui e vice-versa. Por: E. Seno 18 FE-UAN - 2006
  19. 19. Coeficiente de correlaçãoDefinição: Medida de associação entre as variáveis (em termos relativos) E [ X − E ( X ) ][Y − E ( Y ) ] Cov r xy = = xy E [ X − E ( X ) ] . E [Y − E ( Y ) ] σ xσ 2 2 y |rxy| ≤ 1; Logo, se X e Y são independentes ⇒ rxy = 0. Mas o contrário nem sempre é verdade Em relação ao sinal, avalia-se o sentido da relação; Em relação à grandeza do valor, avalia-se a força da relação. Por: E. Seno 19 FE-UAN - 2006
  20. 20. Coeficiente de correlaçãoDefinição – cont.: Em relação ao sinal: Se rxy > 0 ⇒ relação directa; Se rxy < 0 ⇒ relação inversa. Em relação à grandeza: Se 0 < |rxy| ≤ 0,5 ⇒ relação fraca; Se 0,5 < |rxy| < 1 ⇒ relação forte; Se |rxy| = 1 ⇒ correlação total. Por: E. Seno 20 FE-UAN - 2006
  21. 21. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos: Calcule os coeficientes de correlação para as v. a. com as funções de probabilidade e de densidade conjuntas que se seguem: Função de probabilidade conjunta de X e Y Y 2 3 4 5 X 0 0,2 0,06 0,05 0 1 0,05 0,1 0,04 0,15 2 0,04 0,06 0,05 0,2 Por: E. Seno 21 FE-UAN - 2006
  22. 22. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos: Função de densidade conjunta de X e Y ⎧ ⎪ 1 , - 1 ≤ x≤ 1 ; - 1 ≤ y≤ 1f ( x, y ) = ⎨2 2 2 2 2 ⎪0 ⎩ caso contrário Por: E. Seno 22 FE-UAN - 2006
  23. 23. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos – resolução (v. a. Discretas): Comecemos por determinar o valor esperado conjunto E(XY) = ΣΣxy.f(x,y) = 4,23 Y 2 3 4 5 Σ X 0 0 0 0 0 0 1 0,1 0,3 0,16 0,75 1,31 2 0,16 0,36 0,4 2 2,92 Σ 0,26 0,66 0,56 2,75 4,23 Por: E. Seno 23 FE-UAN - 2006
  24. 24. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos – resolução (v. a. Discretas): Calculemos de seguida os valores esperados marginais de cada variável: E(X) = Σx.fx(x) = 1,04; E(Y) = Σy.fy(y) = 3,55 Y 2 3 4 5 fx(xi) xi.fx(xi) X 0 0,2 0,06 0,05 0,00 0,31 0 1 0,05 0,1 0,04 0,15 0,34 0,34 2 0,04 0,06 0,05 0,20 0,35 0,7 fy(yj) 0,29 0,22 0,14 0,35 1 1,04 yj.fy(yj) 0,58 0,66 0,56 1,75 3,55 Por: E. Seno 24 FE-UAN - 2006
  25. 25. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos – resolução (v. a. Discretas): Calculemos E(X2) e E(Y2) E(X2) = Σx2.fx(x) = 1,74 ; E(Y2) = Σy2.fy(y) = 14,1 Y 2 3 4 5 fx(xi) xi2.fx(xi) X 0 0,2 0,06 0,05 0,00 0,31 0 1 0,05 0,1 0,04 0,15 0,34 0,34 2 0,04 0,06 0,05 0,20 0,35 1,4 fy(yj) 0,29 0,22 0,14 0,35 1 1,74 yj2.fy(yj) 1,16 1,98 2,24 8,75 14,1 Por: E. Seno 25 FE-UAN - 2006
  26. 26. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos – resolução (v. a. Discretas): Cálculo da covariância: Covxy = E(XY) – E(X).E(Y) = 4,23 – 1,04x3,55 = 0,538. Variâncias: V(X) = E(X2) – E2(X) = 1,74 – (1,04)2 = 0,6584. V(Y) = E(Y2) – E2(Y) = 14,1 – (3,55)2 = 1,5275. Cov xy 0,538 rxy = = = 0,536 = 53,6%. σ xσ y 0,6584 ×1,5275 Covxy = 0,536 > 0 ⇒ X e Y aumentam no mesmo sentido; Covxy = 0,536 > 0,5 ⇒ Э correlação forte entre X e Y. Por: E. Seno 26 FE-UAN - 2006
  27. 27. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos – resolução (v. a. Discretas): Valor esperado condicional de X: 2 2 f ( x;2 ) E ( X Y = 2) = ∑ x=0 xf ( x Y = 2 ) = ∑ x x=0 f y (2) = 0,2 0 ,05 0 ,04 = 0× + 1× + 2× = 0 , 44828 . 0 , 29 0 , 29 0 , 29 X f(xi;2) f(xiY=2) xi.f(xiY=2) 0 0,2 0,6897 0 1 0,05 0,1724 0,17241 2 0,04 0,1379 0,27586 Σ 0,29 1 0,44828 Por: E. Seno 27 FE-UAN - 2006
  28. 28. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos – resolução (v. a. Discretas): Valor esperado condicional de Y: 5 5 f (1; y ) E ( Y X = 1) = ∑ y=2 yf ( y X = 1) = ∑ y y=2 f x (1) = 0 , 05 0 ,1 0 , 04 0 ,15 = 2× + 3× + 4× + 5× = 3 ,85 . 0 ,34 0 ,34 0 ,34 0 ,34 y 2 3 4 5 Σ f(1;yj) 0,05 0,1 0,04 0,15 0,34 f(yjX=1) 0,15 0,29 0,12 0,44 1 yj.f(yjX=1) 0,29 0,88 0,47 2,21 3,85 Por: E. Seno 28 FE-UAN - 2006
  29. 29. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos – resolução (v. a. contínuas): Comecemos por determinar o valor esperado conjunto 1 1 + + + ∞+ ∞ 2 2 1 E ( XY ) = ∫ ∫ xyf ( x , y ) dxdy = ∫ ∫ xydxdy = − ∞− ∞ 2 1 1 − − 2 2 + 1 ⎡ + 12 ⎤ + 1 + 1 1 2 ⎢ ⎥ 1 2 ⎡ x2 ⎤ 2 = 2 ∫ y ⎢ ∫ xdx ⎥.dy = 2 ∫1 y⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦− .dy = 0 ⎢− 1 ⎥ 1 1 − − 2 ⎣ 2 ⎦ 2 2 Por: E. Seno 29 FE-UAN - 2006
  30. 30. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos – resolução (v. a. contínuas): Cálculo dos valores esperados marginais de X e de Y: 1 + +∞ 2 1 E ( X ) = ∫ xf x ( x ) dx = ∫ xdx = 0. −∞ 2 1 − 2 e 1 + +∞ 2 1 E (Y ) = ∫ yf y ( y ) dy = ∫ ydy =0. −∞ 2 1 − 2 Por: E. Seno 30 FE-UAN - 2006
  31. 31. Parâmetros de vectores aleatóriosExemplos – resolução (v. a. contínuas): Cálculo de E(X2) e E(Y2) 1 + +∞ 2 1 E(X ) = ∫ x 2 f x ( x ) dx = ∫ x 2 dx = 2 −∞ 2 1 − 2 1 + 1 ⎡x ⎤ 3 2 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎢ ⎥ = ×⎜ + ⎟= 2 ⎣ 3 ⎦− 1 2×3 ⎝2 2 2 2 ⎠ 6 2 1 E (Y 2 ) = E ( X 2 ) = 6 V(X) = V(Y) = E(X2) – E2(X) = Por: E. Seno 31 FE-UAN - 2006

×