Propagación de una enfermedad en poblaciones dinámicas

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Se trata de un estudio simplificado del comportamiento matemático de modelos de poblaciones con crecimiento que sufren una epidemia. Realizado por Carlos Perales para una asignatura del grado de Física de la UCO (Universidad de Córdoba)

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Propagación de una enfermedad en poblaciones dinámicas

  1. 1. Carlos Perales González Métodos Numéricos y Simulación 2º de Grado de Física UCO Curso 2012-2013 PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD EN POBLACIONES DINÁMICAS (14 Y 44)
  2. 2. ÍNDICE 1.- Análisis del problema 1.1.- Modelos de propagacion de enfermedades 1.2.- Modelos depoblaciones 2.- Metodología 2.1.- Metodología del problema del crecimiento poblacional, aplicado a la población mundial 2.2.- Metodología del problema de la propagación de enfermedades 3.- Códigos de Matlab 3.1.- Modelos de poblaciones 3.2.- Modelos de propagación de enfermedades 4.- Resultados numéricos y análisis 4.1.- Crecimiento poblacional 4.2.- Propagación de enfermedades 5.- Bibliografía 3
  3. 3. 1.- Análisis del problema En la teoría de propagación de enfermedades, muchos modelos de los que se utilizan son simplificaciones de comunidades de individuos más o menos grandes, cuyo único aspecto importante es la evolución de la enfermedad a estudiar, sin tener en cuenta otros factores como el crecimiento. En el trabajo se ha incluido un apartado extra en el que se trata distintos modelos de crecimiento de una población, con el fin de elegir uno de ellos para nuestro problema, en función de características que discutiremos en dicho apartado. 1.1.- Modelos de propagación de enfermedades La idea principal de este trabajo es estudiar distintos modelos de propagación de una enfermedad en comunidades estáticas y dinámicas. Usaremos dos en particular. El primero de ellos se representará por dos variables: los individuos infectados de una población, que denominaremos "y(t)", y los que no lo están y por tanto son susceptibles de enfermar, "x(t)". Sabemos entonces que, si todos los individuos tienen la misma probabilidad de infectarse, y existe un límite de usuarios infectados. Este límite es es la población total, a la que designaremos como "m", no siendo una variable que dependa del tiempo en este primer modelo. Podemos usar un modelo de tipo logístico, que explicaremos en el apartado 1.2 con más detalle. dy = k 1 y (m− y ) dt Donde k1 es una constante de infección. Se denota con subíndice, a pesar de ser la única constante del 1er modelo, puesto que se corresponde con la constante de infección de nuestro 2 o modelo. En nuestro problema, dicha constante la tenemos como valor, pero en otro caso podría ser posible hallarla mediante ajuste lineal de datos estadísticos. La cantidad de individuos susceptibles a enfermar en cada momento se daría como x (t )=m−y (t ) El sistema tiende a que todos los individuos se infecten y los individuos sanos desaparezcan cuando el tiempo crece indefinidamente. Dicha ecuación diferencial de primer orden tiene una solución analítica. Desarrollando la ecuación diferencial, dy 2 = k 1 my−k 1 y dt Se trata de una ecuación diferencial de Bernouilli. Para resolverla, realizamos el cambio 1 dy −1 du u(t )= ; = 2 y dt u dt Sustituyendo, nos queda la siguiente ecuación diferencial lineal completa: du =−k 1 mu+ k 1 dt 4
  4. 4. Cuya solución es del tipo: y (t )= 1 Ce−k mt + 1 1 m Siendo C una constante que se ajusta conociendo un valor de y(t); en nuestro problema de valores iniciales, de y(0). En el segundo modelo, añadimos una variable más: z(t). Esta da cuenta de los individuos que, a efectos de la enfermedad, se eliminan de la población total m (m(t) cuando la población dependa del tiempo). Esto quiere decir que hay individuos que ya no se tienen en cuenta para el desarrollo de la enfermedad porque se inmunizan, porque son aislados, porque mueren a causa de esta, etc. En definitiva, que han pertenecido a la población total como parte del grupo y(t) y que ahora pueden encontrarse vivos o muertos, pero no pueden infectar ni ser infectados. En este modelo, suponemos que es la población de individuos saludables x(t) la que decrece a cero exponencialmente, de la forma x (t )= x (0 )e(k1/ k2) z (t ) Siendo x(0) los individuos sanos en t=0, k 1 la constante de infección que aparecía en el modelo anterior y k2 la constante de recuperación, relacionada con la velocidad de crecimiento del grupo de población z(t) y que por tanto aparece en la ecuación diferencial de esta. Aunque llamemos a esta constante de "recuperación", esto no significa que los individuos z(t) están sanados; simplemente, como hemos comentado anteriormente, no se computan como infectados, pero pueden estar aislados en cuarentena o muertos. La variación de z(t) depende de los individuos del grupo y(t) que halla. La ecuación diferencial mediante la cual se determina z(t) parte de considerar que la suma de todos los individuos grupos x(t), y(t), z(t) resultan el conjunto total m. m= x (t )+ y (t )+ z (t ) Además, el crecimiento de la población z(t) depende de la cantidad de infectados y(t) que haya, mediante la constante de recuperación anterior. De esta forma, la ecuación diferencial queda: dz =k 2 y=k 2 (m−z−x)=k 2 ( m−z−x (0) e−(k /k ) z ) dt 1 2 Esta es la ecuación que rige nuestro 2º modelo. A diferencia del primero, este no se puede resolver analíticamente. Por lo que no podemos comprobar los resultados numéricos con los valores reales; pero si la aproximación numérica en el otro modelo resulta bastante acertada con el número de intervalos tomado, podríamos suponer que en este los resultados numéricos obtenidos también son fiables Una vez que y(t) alcance aproximadamente el valor m, el crecimiento de la población z(t) será a ritmo constante. Este modelo sirve para periodos de tiempo cortos, pues vemos que el grupo de población z(t) puede crecer indefinidamente, al no existir una limitación a su crecimiento. 5
  5. 5. Una corrección de este modelo sería convertir la ecuación diferenicial de z(t) en una función logística, imponiendo como límite m(t). La ecuación quedaría: dz =k 2 y ( m− y )=k 2 (m−z− x (0)e−(k / k ) z )( z + x (0)e−(k / k )z ) dt 1 2 1 2 El modelo, obviamente, se complicaría, y esta modificación tampoco admitiría solución analítica. Como el problema tratará de periodos de tiempo de un mes, en el cual z(t) no alcanza un tamaño considerable con respecto a m(t), no realizaremos esta corrección sobre el modelo. Cuando el tamaño de la población varía (m(t) es una función dependiente del tiempo), como los elementos de la población que crecen son los susceptibles a enfermar y no los infectados ni los recuperados, hay que realizar la siguiente modificación: x (t )=(m− y (0)) e(k1/ k2)z (t ) dz =k 2 (m−z−(m− y (0))e−(k / k ) z ) dt 1 2 y=m−z−(m− y (0))e−(k / k ) z 1 2 Estas serán las ecuaciones con las que elaboraremos el tercer modelo para nuestro problema. 1.2.- Modelos de poblaciones A continuación, vamos a estudiar tres tipos de modelos: uno con crecimiento fijo, otro con crecimiento variable siguiendo el coeficiente de crecimiento una ecuación de una recta, y un modelo logístico. En el primero, se trata de un crecimiento exponencial, en el cual la varición de la población es proporcional a esta, mediante una constante de proporcionalidad σ. Expresada en tanto por ciento, la ecuación diferencial de la población queda: dP = σ P dt 100 Sirve para intervalos muy pequeños; para el crecimiento mundial, del orden de 1 decena de años o menos. Examinando datos tabulados obtenidos [1], es fácil observar que la tasa de crecimiento de la población mundial varía considerablemente cuando elegimos más de 5-10 años seguidos. Parece lógico pensar que este modelo no nos servirá para nuestro problema, pero a pesar de ello lo ejecutaremos y graficaremos, con el objetivo de comprobar si esto es cierto o no. 6
  6. 6. Año Población Tasa de crecimiento interanual(%) 1990 5,287,166,778 1.569 1991 5,370,142,696 1.581 1992 5,455,057,523 1.513 1993 5,537,583,721 1.462 1994 5,618,516,091 1.442 1995 5,699,516,291 1.411 1996 5,779,912,412 1.361 1997 5,858,582,659 1.322 1998 5,936,039,484 1.299 1999 6,013,121,531 1.275 2000 6,089,810,661 1.261 2001 6,166,582,980 1.245 2002 6,243,351,444 1.225 2003 6,319,822,330 1.217 2004 6,396,726,866 1.201 2005 6,473,525,274 1.201 2006 6,551,256,997 1.197 2007 6,629,668,134 1.185 2008 6,708,196,774 1.166 2009 6,786,381,274 1.140 En el 2º modelo, se predice que el crecimiento decrecerá linealmente, desde un σ1 hasta un σ2, entre un tiempo t1 y t2. En este caso, la dependencia de σ(t) con el tiempo es directamente proporcional. Su ecuación será: σ(t )=σ 1 + (σ 2−σ 1 ) (t−t 1) (t 2−t 1 ) Aunque se puede extender su uso más allá del área de trabajo del 1 er modelo, la dificultad asociada a este es que hemos propuesto que la tasa de crecimiento varie linealmente sabiendo la tasa de crecimiento entre dos tiempos dados. No es, por tanto, un modelo para usar en periodos muy amplios de tiempo. De hecho, el tiempo idóneo para trabajar con este modelo es en el periodo t 2 - t1. Esto es porque hemos propuesto que el crecimiento sigue esa recta, predicha hasta ese año. Si extendiésemos este modelo a periodos de tiempo mayores, podría ocurrir dos cosas, dependiendo de su pendiente. Si la pendiente es negativa, veremos que, en algún momento, la población alcanzaría su máximo, como demostraremos en los apartados siguientes, para después decrecer cada vez más 7
  7. 7. rápidamente hasta extinguirse, cosa que sabemos que no ocurre con las poblaciones reales. Si la pendiente es positiva, la población crecería más rápidamente cada vez, sin límite ninguno. Además, deberíamos conocer dos puntos de esa recta, por lo que debemos usar datos estadísticos o realizar un estudio más profundo sobre la población y sus características. Por último, recurrimos al modelo de población más conocido: el logístico. Surge como un refinamiento del de crecimiento exponencial. En este, la variación de una población con respecto del tiempo es igual a la población que haya, por una constante positiva si crece hacia el infinito, o negativa si decrece hasta 0. Esto quiere decir que, cuanto más población haya, más rápido crecerá o decrecerá, pues más individuos participarán en el proceso de crecimiento o decrecimiento. El problema del crecimiento exponencial positivo es que no hay ningun impedimento matemático para que se siga desarrollando la población; no existe un "tope". Lo que se quiere señalar es que, para periodos de tiempo muy grandes, según el modelo la población crecerá ininterrumpidamente, tendiendo al infinito cuando el tiempo también lo haga. Esto no tiene ningún sentido real, pues una población no puede crecer indefinidamente al verse limitada por el alimento del que dispone, el espacio y los depredadores que la acechan, entre otros parámetros. No ocurre así si la constante del crecimiento exponencial es negativa; en ese caso, la población cuando el tiempo tiende hacia infinito es 0. Aquí, población no decrece indefinidamente hacia valores negativos, sino que existe un límite con sentido físico: la extinción de esa población. El modelo de tipo exponencial negativo lo hemos utilizado en el caso del x(t) (las personas susceptibles de infectarse) en nuestro segundo modelo de infección, puesto que estamos considerando que no se toman medidas contra la enfermedad antes de que un individuo se infecte y, por tanto, cada individuo finalmente se infectará. Como hemos dicho, cuando se infecta, puede pasar a formar parte del colectivo z(t), dentro del cual se engloban las personas que son aisladas, tratadas, que están inmunizadas o que han muerto a causa de la enfermedad. Sin embargo, existe una forma de modelizar el hecho de que la velocidad de crecimiento de una población dependa de la cantidad de individuos por la que esté compuesta y, al mismo tiempo, que exista un límite máximo al cual pueda tender esa población al existir una cantidad finita de recursos: a esto se le llama el modelo logístico. La ecuación que uitiliza en la que se basa este fue publicada por Pierr François Verhulst en 1838, y tiene gran aplicación no solo en la propagación de enfermedades, sino también en las poblaciones biológicas y difusión de noticias a través de las redes sociales. La ecuación que nosotros utilizaremos será del tipo: dP ' = σ P ( P max−P )=σ P ( P max −P) dt 100 Donde el límite para la población será Pmáx. 2.- Metodología Una vez espuesto los distintos modelos, explicaremos un poco los valores con los que simularemos los distintos modelos y la justificación de estos. Pero para tratar el problema de la difusión de la enfermedad, antes probaremos los distintos modelos poblacionales, con el fin de 8
  8. 8. justificar la elección del modelo logístico. 2.1.- Metodología del problema del crecimiento poblacional, aplicado a la población mundial Se prueban los distintos modelos de poblaciones. Los datos que tenemos son para poblaciones mundiales, así que los parámetros con los que operaremos son: a = 2000, tiempo inicial en años b = 2050, tiempo final en años n = 500, número de intervalos a tomar, siendo el tamaño del paso entre cada punto calculado h = 0.1 P0 = 6000, habitantes en millones de habitantes σ = 1.25, tasa de crecimiento para el 1er modelo σ1 = 1.25, tasa de crecimiento inicial para el 2º modelo σ2 = 0.45, tasa de crecimiento final para el 2º modelo σ' = 5·10-6, tasa de crecimiento para el 3er modelo Pmax = 10000, población máxima en millones de habitantes Para los 3 modelos, utilizaremos el método de Runge-Kutta de orden 4, por ser bastante preciso y tratarse de una sola ecuación diferencial cada vez. Destaca el hecho de que para la resolución de problemas logísticos se necesita ese valor tan pequeño de σ' para que el sistema converja, pues se ha observado que para valores mayores como 0,0004 o 0,004 el método de Runge-Kutta presentaba problemas de estabilidad. También lo hace si, para cualquiera de los modelos usados, el tamaño del paso entre un nodo y otro es menor de 0,1. Por esto, el número de intervalos que hay que tomar es: n≥ b−a h También estudiaremos para qué fecha, con los valores que hemos impuesto, la población según el 2º modelo es máxima y empieza a decrecer. Para el momento en el que esto ocurre, ese es el valor máximo de tiempo máximo hasta al cual podríamos extrapolar nuestro modelo. Una vez que ejecutemos todos estos datos, veremos que el mejor modelo para representar la variación de la población total de nuestro problema de propagación de enfermedades es el logístico, puesto que, además de ser bastante usado en el ámbito de la biología, es eficaz a largo plazo y no es preciso un estudio profundo sobre la población a tratar. 2.2.- Metodología del problema de la propagación de enfermedades Primero, probaremos los dos modelos de propagación para una población estática m, y compararemos en el primero de ellos la solución aproximada con la exacta, pues hemos demostrado en el apartado anterior que su ecuación diferencial corresponde a un a ecuación de Bernouilli cuyo resultado podemos obtener analíticamente. Los parámetros, para los dos modelos, son: a = 0, tiempo inicial en días b = 30, tiempo final en días n = 300, número de intervalos a tomar, siendo el tamaño del paso h = 0.1 9
  9. 9. k1 = 2·10-6, constante de infección k2 = 10-4, constante de desaparición y0 = 103, individuos infectados iniciales x0 = 9,9·104, individuos susceptibles de enfermar iniciales m = 105, individuos totales de la población estática, que son los mismos que los de la población total inicial del 3er modelo mmax = 1.5·105 , población máxima para el 3er modelo σ' = 4·10-7, tasa de crecimiento para el 3er modelo Para el primer caso, la solución exacta del modelo es y (t )= 1 9,9· 10 e −4 −0,2t +10−5 Para una población total variable, usaremos la siguiente ecuación diferencial: dm =4 ·10−6 m(1.5·10 5−m) dt Junto con la ecuación diferencial del 3er modelo: dz −4 3 −0,2 z =10 (m− z−( m−10 ) e ) dt La tasa de crecimiento en la ecuación diferencial de m(t) es un orden de magnitud menor que en el usado para el crecimiento de poblaciones con el fin de que se aprecie el efecto del crecimiento en el posterior análisis de los datos. 3.- Códigos de Matlab 3.1.- Modelos de poblaciones El código a usar es % POBLACIONES DINÁMICAS % -----------------------------------------------------------------------% 1) Si la población sigue una ecuación de crecimiento variable como en una % recta f=inline('(1.25+(0.45-1.25)./(2050-2000).*(t-2000)).*P./100','t','P'); % 2) Si la población tiene un crecimiento fijo de 1.25% g=inline('1.25.*P./100','t','P'); % 3) Si la población sigue un modelo logístico h=inline('P.*(10000-P)*5.e-06','t','P'); % Parámetros de Runge-Kutta a=2000; b=2050; P0=6000; % En millones de habitantes n=500; [t1,P1]=rungekutta(f,a,b,P0,n); [t2,P2]=rungekutta(g,a,b,P0,n); [t3,P3]=rungekutta(h,a,b,P0,n); 10
  10. 10. figure(1); plot(t1,P1,'-',t2,P2,'-',t3,P3,'-'); legend('Crecimiento variable','Crecimiento constante','Modelo logístico'); % % % % Veremos en qué año el valor de la población en el 2º modelo se hace máximo. Para ello, ejecutaremos aquí código de Runge-Kutta de orden 4 un bucle 'if' que compare los dos valores anteriores, y concluya si el valor que se calculó anteriormente es el valor máximo o no % Runge-Kutta para el 2º modelo % Añadimos un valor alto del parámetro b, que nos asegure que el máximo % esté entre 'a' y 'b', y tomamos n de forma que h=0.1 b=2400; n=4000; % Tomamos un tamaño de paso equidistante h=(b-a)/n; % Hallamos el numero de columnas que tendrá nuestra matriz final m=length(P0); % Se crea el vector 't' y la matriz 'y', que se rellenan con ceros t=zeros(n+1,1); y=zeros(n+1,m); % Se añaden a 't' e 'y' los valores iniciales y(1,:)=P0; t(1)=a; % Ejecutamos el bucle, en el que se aplica el método for i=1:n k1=f(t(i),y(i,:)); k2=f(t(i)+h/2,y(i,:)+h/2*k1); k3=f(t(i)+h/2,y(i,:)+h/2*k2); k4=f(t(i)+h,y(i,:)+h*k3); y(i+1,:)=y(i,:)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); t(i+1)=t(i)+h; % Añadimos el bucle, que se ejecutará a partir del tercer punto calculado if i>=2 if y(i-1)<y(i) && y(i)>y(i+1) fprintf('La población máxima para el 2º modelo se alcanza para t = %d, y es de P = %dn',round(t(i)),round(y(i,:))); end end end % Dibujamos la gráfica figure(2); plot(t,y,'-'); legend('Modelo 2, máximo') Como vemos, ya está comentado y no es necesario hacer aclaraciones fuera del código. 3.2.- Modelos de propagación de enfermedades Al igual que ocurre con el de poblaciones, este código aparece ya comentado % % % % % % % % PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD En nuestro programa, contaremos con tres modelos. -----------------------------------------------------------------------1) Calculamos la variación de los individuos sanos "x" y los infectados "y" suponiendo que la población total no varía y los infectados no sanan Población total "m" = 1.e0+5 Población inicial infectada "y0" = 1.e+03 11
  11. 11. % Constante de proporcionalidad de transmisión "k1" = 2.e-06 y0=1.e+03; f=inline('2.e-06*y.*(1.e+05-y)','t','y'); a=0; b=30; n=300; % Para asegurarnos de que h=<0.1 [t1,y1]=rungekutta(f,a,b,y0,n); x1=1.e+05-y1; % Comparamos esta aproximación de orden 4 con la solución real, obtenida a % partir de un cambio de variable yreal=inline('1./(9.9e-04.*exp(-0.2.*t)+1.e-05)'); % Evaluamos en los puntos en los que sabemos la solución aproximada y2=yreal(t1); x2=1.e+05*ones(size(y2),1)-y2; % Podemos ignorar el 'warning' con respecto a la línea 23 sin mayor % problema % Graficamos la solución aproximada figure(1); plot(t1,y1,'-',t1,x1,'-'); legend('Población infectada','Población sana'); title('Modelo 1) Solución aproximada'); % Graficamos la solución real figure(2); plot(t1,y2,'-',t1,x2,'-'); legend('Población infectada','Población sana'); title('Modelo 1) Solución real'); % Mostramos los datos numéricos por pantalla display('Para el primer modelo del trabajo 14:'); fprintf('El número aproximado de contagiados es %i; con la ecuación exacta, son %in',round(y1(300)),round(y2(300))); e=abs((y1(300)-y2(300))/y1(300)); fprintf('El error relativo en tanto por uno sería de %fnn',e); %------------------------------------------------------------------------% 2) Calculamos la variación de los individuos sanos "x", los infectados % "y" y los que estuvieron infectados pero ya no "z" (por inmunización o % muerte) suponiendo que la población total no varía % Población total "m" = 1.e0+5 % Población inicial infectada "y0" = 1.e+03 % Población inicial sana "x0" = 9.9e+04 % Constante de proporcionalidad de transmisión "k1" = 2.e-06 % Constante de proporcionalidad de recuperación "k2" = 1.e-04 y0=1.e+03; k1=2.e-06; k2=1.e-04; g=inline('1.e-04*(1.e05-z-9.9e+04*exp(-2.e-02*z))','t','z'); a=0; b=30; n=300; [t3,z]=rungekutta(g,a,b,0,n); x3=9.9e+04*exp(-(k1/k2).*z); y3=1.e05-z-x3; figure(3); plot(t3,x3,'-',t3,y3,'-'); legend('Población no infectada','Población infectada'); title('Modelo 2) Propagación de la infección'); figure(4); plot(t3,z,'-'); 12
  12. 12. legend('Población inmunizada o muerta'); title('Modelo 2) Población inmunizada o muerta'); display('Para el segundo modelo del trabajo 14:'); fprintf('El número final de contagiados es %i, el sanos es %i, y el de inmunizados o muertos es %inn',round(y3(300)),round(x3(300)),round(z(300))); %------------------------------------------------------------------------% 3) Calculamos la variación de los individuos sanos "x", los infectados % "y" y los que estuvieron infectados pero ya no "z" (por inmunización o % muerte) suponiendo que la población total varía según el modelo logístico % Población total inicial "m0" = 1.e+05 % Población total máxima "mmax" = 1.5e+05 % Población inicial infectada "y0" = 1.e+03 % Población inicial sana "x0" = 9.9e+04 % Constante de proporcionalidad de evolución de población "d" = 4.e-03 % Constante de proporcionalidad de transmisión "k1" = 2.e-06 % Constante de proporcionalidad de recuperación "k2" = 1.e-04 % Definiremos el vector "u" como el vector fila de las derivadas de "m" y "z" h=@(t,u)([4.e-07*u(1).*(15.e+04-u(1)),1.e-04*(u(1)-u(2)-(u(1)-1000)*exp(-2.e02.*u(2)))]); a=0; b=30; n=300; [t4,U]=rungekutta(h,a,b,[1.e+05,0],n); x4=(U(:,1)-1000).*exp(-(k1/k2).*U(:,2)); y4=U(:,1)-U(:,2)-x4; figure(5); plot(t4,x4,'-',t4,y4,'-',t4,U(:,1),'-'); legend('Población no infectada','Población infectada','Población total'); title('Modelo 3) Propagación de la infección'); figure(6); plot(t4,U(:,2),'-'); legend('Población inmunizada o muerta'); title('Modelo 3) Población inmunizada o muerta'); display('Para el tercer modelo del trabajo 14:'); fprintf('Con una población inicial de %i y final de %i, el número final de contagiados es %i, el de sanos es %i,ny el de inmunizados o muertos es %in',round(U(1,1)),round(U(300,1)),round(y4(300)),round(x4(300)),round(U(300,2) )); % Comparación del crecimiento de z(t) en el modelo 2 y 3 figure(7); plot(t3,z,'-',t4,U(:,2),'-'); title('Comparación de la población inmunizada o muerta'); legend('Modelo 2)','Modelo 3)'); 4.- Resultados numéricos y análisis A continuación, expondremos los datos que hemos obtenido y realizaremos un análisis de estos. 4.1.- Crecimiento poblacional Como vemos en la tabla de datos anteriormente expuesta para el 1 er modelo, el valor de 1,25% es adecuado para el rango de fechas de 1998 hasta 2006, pero no más allá. Por tanto, para 13
  13. 13. nuestra predicción a 50 años, no resulta tan correcto como el 2º y 3er modelo. Apoyándonos en la gráfica de los tres modelos para el mismo intervalo de tiempo, podemos explicar por qué hemos usado el logístico en lugar de los otros dos para nuestro problema de propagación de enfermedades El 1er modelo queda descartado, puesto que se trata de un crecimiento exponencial, solo válido para periodos cortos de tiempo, y que crece indefinidamente. Al principio es parecido al del 2º modelo, pero luego vemos que se distanta y crece mucho más rápidamente, llegando al final del año 2050 a sobrepasar en más de 1000 habitantes al 2º y 3er modelo. Entre el 2º y 3er modelo, elegimos el logístico, debido a que el segundo presenta un máximo y posteriormente decrece hasta que la población se extingue, como vemos en la siguiente gráfica. En nuestro problema de propagación de enfermedades, la comunidad total m(t) que estudiamos no tiene por qué desaparecer, sea a causa de la infección o por otras causas. 14
  14. 14. El máximo se alcanza en el año 2078, cuando la población mundial es de 9777 millones de habitantes. Además, para aplicarlo a nuestro problema, necesitaríamos realizar un estudio a fondo de la población sobre la cuál estamos estudiando la difusión de la infección y, por tanto, nuestro modelo no valdría para cualquier población, sino para unas muy específicas. No ocurre así con el modelo logístico que, al tener la pendiente configurada por la cantidad máxima de invididuos que el entorno es capaz de albergar, es más general. En conclusión, elegimos para nuestro modelo de propagación de enfermedades una población que se rija por una ecuación diferencial de tipo logístico. 4.2.- Propagación de enfermedades Para el modelo más simple de población, vemos que la solución aproximada por el método de Runge-Kutta de orden 4 es tan parecida a la exacta, calculada sabiendo que se trata de una ecuación diferencial de Bernouilli, que ha sido necesario graficarlas por separado para compararlas, pues se dibujaban una encima de la otra. 15
  15. 15. Como vemos, de ocupar una misma gráfica, las líneas se superpondrían, y no podríamos discernir si realmente hemos graficado cuatro líneas o solo dos. De hecho, el número de infectados a los 30 días que se logra con la solución aproximada es, redondeado a las unidades, igual que el de 16
  16. 16. la solución exacta. El método de Runge-Kutta de orden 4 es suficientemente exacto a la hora de tratar con diferenciales que derivan en exponenciales, siempre y cuando tomemos como tamaño de paso 0.1 . A la hora de discernir entre el 1er y 2º modelo, la solución no es tan sencilla como graficar los dos resultados y comprar. 17
  17. 17. Como vemos, ni comparando las gráficas ni graficando unos resultados encima de los otros es posible apreciar la diferencia. Esta diferencia no es otra que el número de individuos del grupo z(t), salvo errores de redondeo cometidos al usar distintas ecuaciones diferenciales. Graficando la evolución de este, nos damos cuenta de que los valores que adopta son bajos, en comparación con la población total. Por esto, la aproximación exponencial para z(t) es correcta. Graficamos aparte la evolución del grupo de los z(t) Mientras que el valor de infectados pasados un mes en el modelo 1 es 79977, para el segundo es 79847, y el número de individuos "recuperados" z(t) es 80. Este valor de orden 10, mientras que el del número de infecados es de 10 4, por lo que en la gráfica de los infectados y los susceptibles de enfermar esta variación es imperceptible. El 2º modelo (y por extensión, el tercero) son útiles, por tanto, para predecir la evolución de la gente que se inmuniza de la enfermedad o muere a causa de esta, y no son prácticos para estudiar la población infectada, pues su comportamiento es muy similar al del 1er modelo, que es más simple. Por último, nuestro modelo de difusión de la enfermedad, estimado para una población inicial de 100000 final de 138485, concluye con un total de 129332 infectados y 136 individuos categorizados dentro del grupo z(t). Como vemos en la gráfica, el crecimiento moderado de la población total permite al grupo x(t) predominar en la población más tiempo que en los demás modelos. Sin embargo, a partir del décimo día, el crecimiento se estabiliza, y gana peso la infección, que iguala en número a los individuos susceptibles de enfermar en torno al vigésimo día. 18
  18. 18. En el gráfico de los individuos "recuperados", vemos que sigue un crecimiento exponencial pero que, como supusimos, el valor que alcanza es pequeño comparado con el total de la población, al igual que en el segundo modelo. Esto nos permite usar la aproximación que vimos en el primer apartado de este trabajo. 19
  19. 19. Comparando con el 2º modelo: 20
  20. 20. Evidentemente, el crecimiento de la población z(t) en el 3 er modelo es mayor que en el 2º, puesto que la población de infectados y(t) es mayor que en este. Aparte de esto, no existe ninguna otra diferencia en el desarrollo de este grupo de la población; el crecimiento de este grupo no sufre variaciones en el modo de crecimiento originadas por el crecimiento de la población total. Es decir, que en el inico, cuando el crecimiento de la población total es mayor, no se aprecian diferencias. Una muestra de ello es que, hasta los 10 días, el desarrollo de la población z(t) es el mismo en los dos modelos. Podemos decir que la utilización de un modelo de crecimiento de población variable para el estudio de la propagación de la enfermedad, dentro del plazo que hemos estudiado, no tiene ninguna influencia. Si queremos estudiar la población de infectados, escogeremos el 1 er modelo; si queremos estudiar la población de "recuperados", elegiremos el 2º modelo. 21
  21. 21. 5.- Bibliografía [1] United States Census Bureau, http://www.census.gov/population/international/data/worldpop/table_population.php, visitado el 30/5/2013 [2] Función logística, Wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Función_logística, visitado el 8/6/2013 [2] D.N. Burghes, M.S. Borrie. Modelling with Differential Equations 22

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