Resumen de todos los contenidos, Calculo Numérico.

1. Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa
para cálculos complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones
directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones
de simplificación o a técnicas lentas. Un especialista en análisis numéricos se
interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan
problemas.
El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan
cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales
de los instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos ayudan
en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar
alguna cantidad o función.
La importancia que esta tiene para la ingeniería en general es comprender la
necesidad de optimizar los cálculos, reducir los márgenes de errores y lo más
importante reducir el costo computacional.
El número de Maquina: Es un sistema que consta de dos dígitos, cero (0) y uno (1)
de base 2. Quiere decir que es una representación pequeña, ejemplo:
Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 k= 6 y –78 £ n £ 76.
Para cada i=2, 3, 4, ..., k";
El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto y su valor calculado,
los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar
observando su exactitud y precisión.
En cuanto a la Cota de Errores Absolutos y Relativos, normalmente no se
conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de
tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas superiores de
esos errores. Cuantas más pequeñas sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una
función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una
aproximación a P. Supongamos |f '(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b].
Entonces:
Esto da una cota del error al tomar una aproximación de la solución exacta,
conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado
de dígitos con que se representan los números en una PC y el error de Truncamiento
se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo.

2. El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de
máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita.
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados
de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases
fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo,
que resultan de representar aproximadamente números exactos.
El error de truncamiento ocurre cuando un proceso que requiere un número
infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos.
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios
en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable
si la incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por el
método numérico
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para
indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios
relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños
cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas.