Didactica geometria tema 1

Didáctica de la geometría
TEMA 1
Enseñanza y aprendizaje de la geometría
Ignacio Carlos Maestro Cano

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 2
Índice
► Contextualización del tema en la asignatura
► Esquema de contenidos
► Guía de estudio
► Introducción
► Ubicación cultural de la geometría

Contextualización
Tema 1. Enseñanza y aprendizaje de la geometría
La geometría en la vida/en el mundo/en la realidad. Su importancia.
Consideraciones acerca de su enseñanza y aprendizaje (peculiaridades).
Tema 2. Desarrollo de la Geometría en el marco curricular
Currículo de infantil. Currículo de primaria. Estructura de los contenidos. Recomendaciones del NCTM.
Tema 3. Las aportaciones de Piaget al campo de la geometría
Aplicación del conocimiento de la psicología de la infancia a la didáctica de la geometría. Geometrías topológica, proyectiva y euclídea o
métrica.
Tema 4. Las aportaciones del matrimonio Van Hiele al campo de la geometría
Teoría de los niveles de razonamiento (visualización o reconocimiento, análisis, ordenación o clasificación, deducción formal y rigor).
Independientes de la edad, ¿cómo aplicar a infantil y primaria?
Tema 5. Teoría cognitiva de Duval para la enseñanza de la Geometría
Relación con la interpretación y utilización de dibujos, figuras y esquemas (visualización y razonamiento). Formas de aprehensión
(perceptiva, discursiva y operativa). Tipos de actividades geométricas (botanista, agrimensor geómetra, constructor e inventor).
Tema 6. Conocimientos espaciales y conocimientos geométricos
Consideraciones psicopedagógicas en la representación del espacio. Percepción del espacio. Tipos de espacio (micro, meso y macro).
Tema 7. Dificultades y obstáculos en enseñanza de la geometría
Importancia del uso de términos y expresiones precisas (vocabulario geométrico). Utilidad de la representación (para facilitar el acceso a
otro tipo de conocimientos no geométricos: simbolización, p. ej.).
Tema 8. Recursos y materiales
Recursos manipulativos y diseño de actividades. Uso de las TIC.

Esquema de contenidos

Guía de estudio
Bibliografía
• Alsina, C., Burgues, C. y Fortuny, J. (1987). Invitación a la didáctica de la geometría. Matemáticas, cultura y
aprendizaje 12. Madrid: Síntesis.
• Alsina, C., Fortuny, J. y Pérez, R. (1997). ¿Por qué Geometría? Propuestas didácticas para la ESO. Madrid:
Síntesis.
• Canals, A. (1997). La Geometría en las primeras edades escolares. Suma, 25, 31-44.
• Fortuny, J. M. (1994), La educación geométrica. Sistemática para su implementación, en La Geometría: de
las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula. Barcelona: Graó.
• García, S. y López, O. (2008). La enseñanza de la Geometría. Materiales para apoyar la práctica educativa.
México: INEE.
• Godino, J. D. (2010). Perspectiva de la Didáctica de las Matemáticas como disciplina tecnocientífica.
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.
• NCTM. (2000). Principles and Standars for Scholl Mathematics. National Council of Teachers of
Mathematics.

Introducción
Concepción habitual:
Matemáticas = Hacer operaciones (sumas, restas, etc.).
Matemáticas ~ aritmética y/o álgebra.
Se descuida la vertiente espacial (que es precisamente aquella en la que se
originó la matemática: medidas para el comercio, la agricultura, etc.).
La geometría permitía/facilitaba ejercer un control sobre el entorno, el
espacio y sus recursos.
Con las primeras civilizaciones (Sumeria, Antiguo Egipto…), surgen los
primeros conocimientos matemáticos (geométricos).
Debate: ¿o pudo suceder justo al contrario?
Al estilo de esas teorías que ven en el desarrollo de la mitología, la filosofía
o la cultura las características de la civilización, uno puede verse tentado a
decir:
“Si hay geometría, hay civilización”.
(planteamiento absolutista “geometricéntrico” o incluso “topocéntrico”).

Introducción
Papiro de Rhind (fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos
proporcionales, regla de tres, ecuaciones lineales y trigonometría).
Antiguo Egipto (papiros): no se trata sólo de construir pirámides, era necesario
recalcular las lindes de los campos tras la inundación anual del Nilo.
Babilonia (tablillas): aproximación de con cinco decimales.
Perímetro círculo = tres veces el diámetro
Área círculo = un doceavo del cuadrado de la circunferencia (π = 3, en
ocasiones 3 y 1/8).
Conocían el teorema de Pitágoras.
2

Introducción
Cualquier persona, ya desde la infancia, precisa conocer su entorno, el espacio
en que se desarrolla su vida (y del cual ésta depende).
Desde qué juguete está más cerca, si alcanzo al biberón o debo llorar…hasta
cómo interpretar un mapa o montar un mueble.

Ubicación cultural de la geometría
El mundo es geometría (previa acomodación/simplificación).
“Nos comemos la geometría” (Torra, 2014: 62).
Si nos interesa el mundo, nos interesa la geometría.
La geometría constituye la infraestructura conceptual o “fenomenológica” del mundo.
Vivimos en el mundo (no aislados en un laboratorio). Somos en el mundo.
El entorno como algo esencial/constitutivo de la existencia humana. El da-sein de
Heidegger: no somos sin más, somos ahí (y no en otro sitio). O el “yo soy yo y mi
circunstancia. Si no la salvo a ella no me salvo yo” de Ortega y Gasset.
Lo que nos rodea (circunstancias sociales y ambientales) nos condiciona y es por ello
que consideramos nuestra tarea el controlarlo.
Casi está de más extenderse en la justificación de la conveniencia de su estudio, de su
aproximación desde la más tierna edad.

En nuestro contexto (educación infantil y primaria)…
Sin geometría Con geometría
Para empezar la geometría (como mero saber) suple en parte la carencia de
creatividad o dotes artísticas.
Si se prescinde de figuras (de geometría) la dificultad se ve notablemente
incrementada.
He aquí una primera manifestación del interés de la geometría: modelizar la
realidad (recordemos que un modelo no es sino una simplificación de la
realidad con fines para algo, esto es, útil).
Pero tampoco la geometría se agota aquí: es matemáticas (saber,
conocimiento útil), pero también puede ser arte (posee una dimensión afectiva,
capaz de generar emociones). Ahí están Klimt, Klee, Miró, Escher…

Paul Klee. Architecture (1923)
Gustav Klimt. Retrato de Adele Bloch-Bauer I (1907) Joan Miró. Personaje delante del sol (1968)
M. C. Escher. Convex and Concave (1955)

Otra utilidad añadida de la geometría es la de posibilitar/facilitar la comprensión
(la “visualización”) de determinados fenómenos más abstractos (no espaciales).
Ejemplo de ello son las funciones, gráficas estadísticas, los grafos, etc.
Se accede, a través de la geometría, a “formas superiores de pensamiento
matemático”.
Relations between countries based on weapons trade.
Source: SIPRI

La geometría (su visualización) en apoyo de la lógica.
Un ejemplo: el teorema de Pitágoras

Podría decirse que existen:
• Geometría “cotidiana”, la que se precisa y utiliza para nuestro quehacer
cotidiano, nuestra interacción con los demás y nuestro entorno.
• Geometría “formal”, la que debemos aplicar cuando surgen problemas de
mayor complejidad.
Esta geometría formal, como su nombre indica, trabaja con relaciones que no
son todavía volcadas a ninguna realidad concreta.
Como cuando la lógica “formal” define el silogismo:
Si a b
Si b c
Entonces, si a c
Ejemplo:
Todos los hombres son mortales.
Sócrates es un hombre.
Sócrates es mortal.
Se trata de un planteamiento meramente formal, cuya verdad no atiende al
contenido de las proposiciones. El ejemplo propuesto no es más que eso, un
ejemplo entre otros, pero su validez (debido a su carácter formal) es universal.

Se aprecia el alcance de la geometría en nuestras vidas y cómo en el caso de
los niños, se trabaja todavía en esa geometría más propiamente espacial
(menos abstracta o simbólica) y menos “formal”.
Por ello, se aprecia cierta tendencia a lo “ostensivo” (tomar los ejemplos por
una descripción válida).
Ej: Un triángulo isósceles es…

En resumen:
La geometría es, pues, en un sentido muy amplio, conocimiento útil para la vida. Y
puesto que hay que vivir, es necesaria la geometría.
Los objetos que nos encontramos pueden descomponerse/simplificarse a través de
figuras geométricas.
Debate: ¿dónde encontrar geometría en una escuela?
Es preciso pues enseñarle al niño tales conceptos desde temprana edad. (línea
recta/curva, triángulo, cuadrado, esfera, arriba/abajo, mayor/menor, etc.).

Conceptualización y características propias de la
geometría (Canal, 1997: 32-35)
¿Qué aspectos (nociones) aborda la geometría?
Fundamentalmente estos (en orden grosso modo de aparición en el niño):
1. Posición (propia y del entorno). De esta derivan una serie de relaciones
(de orden, proximidad, contigüidad, etc.). En su grado de máxima precisión, a
través de medidas (euclídea: distancias, ángulos y coordenadas, básicamente.
2. Forma (2D y 3D).
3. Transformaciones. Esto es. Cambios de posición y/o de forma.
Estos aspectos no actúan de manera independiente. Una forma, por ejemplo,
viene definida por la posición de sus distintos elementos.
Traslación Rotación o giro Escala u homotecia

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano
Pero…el conocimiento geométrico no se limita al reconocimiento de determinadas
figuras (algo así como una “memorística espacial”). Ha de plasmarse en aprehensión de
la realidad, algo mucho más complejo y que pasará por:
• Explorar (el entorno/el espacio).
• Comparar (los elementos observados en él).
• Establecer relaciones (entre ellos).
• Expresar verbalmente propiedades y acciones.
• Interiorizar.
No habrá pleno (verdadero) conocimiento geométrico si falta alguno de estos aspectos o
etapas. ¡Y a menudo falta el primero! Enseñamos qué es un cuadrado, pero no lo
situamos en la realidad que nos rodea.
Si no es vivido, no es aprendido.
Esto es un cilindro… Si. Un cilindro aburrido. ¿Qué tal esto?

Etimológicamente:
Geometría = medida de la Tierra (nuestro entorno, el espacio en que vivimos).
Por tanto:
Si no mide (sirve para) el mundo, esto es, la realidad, no es geometría.
En las edades en que nos centramos en el máster, en las que poco más
hay fuera/más allá de lo que nos rodea (no hay todavía grandes abstracciones
ni cuestiones trascendentales como creencias, sentimientos complejos, etc.), ni
complicaciones como puedan la preocupación por nuestro futuro, sino que
todo se reduce en la práctica a aquello que podemos ver y tocar (lo
espacial), resulta evidente la importancia del conocimiento geométrico.
Canals (1997: 35): en esas etapas del desarrollo del niño (infantil y primaria),
“la geometría no sólo no es ajena al desarrollo normal de la infancia, sino que
le es consustancial”.

Consideraciones en su enseñanza y aprendizaje
(García y López, 2008: 32-47)
Se ha descrito la tendencia a reducir el estudio de las matemáticas a su
vertiente de cálculo (mecánico; aplicación de fórmulas/técnicas memorizadas).
En geometría, ello lleva al cálculo de áreas, perímetros y volúmenes.
Para evitar esta perniciosa reducción, y lograr un aprendizaje significativo, es
necesario abordar la enseñanza y aprendizaje de la geometría desde una
triple vertiente:
A. Conceptualización.
B. Investigación.
C. Demostración.
Tales tareas no necesariamente tendrán lugar de manera aislada. A menudo
una implicará la participación de otra/otras.
En la medida de lo posible ha de tratarse que participen todas ellas sin faltar
ninguna.

A. Conceptualización
Enseñar determinado objeto pasa por enseñar su concepto.
A edades tempranas esto resulta insuficiente o incluso absurdo. Por ello se
opta por “concretizar” o “ejemplarizar” (enseñanza ostensiva). Ello pervierte el
orden lógico de cualquier aprendizaje y es, además, una burda simplificación
(Wittgenstein, Investigaciones filosóficas: §30). Se pone “el carro delante del
caballo” (Godino, 2010: 32).
Es cierto que las definiciones ostensivas tienen a su favor la fuerza de la
evidencia, pero vician el proceso de enseñanza puesto que:
- El uso de un objeto concreto vicia las pretensiones de generalidad del
concepto.
- Se pasa por alto que el ejemplo se trata de la consecuencia y no del
antecedente que sirva de definición.
- Requiere para su entendimiento un proceso racional (consciente o no).

Me pueden mostrar un triángulo isósceles, dos, tres…, ¡mil! Pero, si no me
dicen en qué consiste, sigo sin saber qué cosa es un triángulo isósceles.
Así, el niño casi sabe lo que es un triángulo isósceles… (“casi” significa “no”).
En definitiva, una “materialización” no es un concepto (obvio).
El valor del concepto reside en lo abarcador que resulta. Comprender la
geometría de verdad (de un modo plenamente abarcador) pasa por los
conceptos.
En resumen: esta vertiente de conceptualización trata de enseñar buscando
modelos no sólo con el “ojo visual” sino también con el “ojo de la mente”
(Fortuny, 1994: 12-16).

B. Investigación (exploración)
Todo problema requiere, por así decir, una estrategia de resolución (una
“heurística”). Si su solución fuera inmediata, no estaríamos ante un problema.
Uno puede meramente practicar un conocimiento o construirlo, esto último
requerirá inevitablemente cierta labor de investigación.
¿Cómo trabajar esta vertiente con los niños? A través de la realización de
preguntas: ¿cuántas rectas pueden pasar por dos puntos determinados?, ¿qué
diferencias veis entre un cuadrado y un círculo?, etc.
Debate: ¿qué otras preguntas podríamos hacer?
Siempre teniendo presente la motivación (con material manipulativo, por
ejemplo) y tratando situaciones próximas a la realidad.
Ver la lección magistral de la plataforma.

C. Demostración
Posee una importancia transcendental a la hora de desarrollar lo que podría
denominarse la “intuición” científica (capacidad para elaborar conjeturas y
diseñar argumentos convincentes).
Se trata de que intuición (creatividad) y lógica (atenerse a lo cierto/seguro)
vayan de la mano.
Un alumno tratando de poner en acción su capacidad “creativa” (intuitiva) y
transmitirla adecuadamente (con una lógica evidente y compartida por todos) a
sus compañeros.
Se aprecia la importante contribución que ello supone a la socialización (aquí
del conocimiento geométrico, aunque no exclusivamente).

Al hablar aquí de “demostración”, nos referimos a tres tipos de demostración:
• Explicación. Discurso que trata de hacer inteligible algo (su verdad). Busca
“convencer” y, en este sentido, puede discutirse o aceptarse.
• Prueba. Explicación aceptada por la comunidad (por consenso). Se trata de
que exista un consenso acerca de cómo validar dicha prueba.
• Demostración propiamente dicha. Lógicamente, en el ámbito de infantil y
primaria no puede tratarse de demostraciones rigurosas (sujeta a reglas: un
sistema de axiomas previo y resultado de enunciados que se deducen unos de
otros) sino de meras pruebas, eso sí, de validez universal. Debemos recordar
que disponer de muchas pruebas no es lo mismo que demostrar y que la
potencia (utilidad) y valor de las matemáticas reside precisamente en su
condición de plena fiabilidad (difícil de encontrar en otras disciplinas).
Ejemplo: En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes

Las demostraciones buscan ir más allá de lo en apariencia evidente. Parten de
la duda cartesiana para así garantizar la total certeza que permita un progreso
seguro.
Son complejas para esas edades (infantil y primaria), pero tampoco debe
subestimarse la creatividad y el ingenio de los niños. Como diría el maestro
Yoda: “Sin duda, maravillosa la mente de un niño es…”.
Ejemplos: la relativa sencillez del razonamiento de Eratóstenes para estimar el radio de la Tierra o
aquel que se dice que empleó Gauss (a los siete años) para el cálculo de la fórmula general de la
suma de los n primeros números enteros:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
50 + 51 = 101
Como hemos repetido el proceso 50 (n/2) veces, la fórmula general está clara: (n + 1) · n/2
2
1)·n(n 


La interiorización de cualquier conocimiento geométrico pasa por las siguientes etapas:
1. Movimiento. Supone la participación activa (dinámica) de los alumnos: formando
figuras geométricas cogiéndose de las manos, proyectando diferentes sombras o
realizando desplazamientos que sigan el patrón de la figura estudiada.
2. Manipulación. En clase se debe “llegar a las manos” (en el buen sentido de la
expresión). Tocar/manipular aquello que se estudia, ya sea a través de objetos cotidianos
y atractivos (cuerdas, pajitas/pitillos/sorbetes, chuches, plastilina, etc.) o de material
didáctico específico (GeomagTM, geoplano, etc.).
https://www.mathlearningcenter.org/web-apps/geoboard/
3. Representación. Constituye un aspecto importante y nada trivial puesto que supone
la participación coordinada de razonamiento y visualización.

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