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Notas sobre derivadas

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Estas notas tiene como fin orientar al estudiante para resolver derivadas de forma a^(x) asi como derivadas de orden superior.

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Notas sobre derivadas

  1. 1. NOTAS SOBRE DERIVADAS Elaborado por: Camilo Andrรฉs Ortiz Daza Derivadas de Funciones Trascendentales de la forma ๐’š = ๐’‚ ๐’™ . Hasta el momento se ha visto que ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ โŸน ๐‘“ยด(๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ Ec.1. El problema radica entonces en encontrar las derivadas de funciones tales como 2 ๐‘ฅ , 3 ๐‘ฅ ,8 ๐‘ฅ ,10 ๐‘ฅ , entre otras. Asรญ que, con el รกnimo de calcular las derivadas de todas ellas, debemos considerar en representar dichas funciones en forma generalizada, asรญ que debe seguir la misma estructura matemรกtica de cada una de las funciones antes mencionadas o de nada nos servirรก la estrategia. Por esta razรณn, llamaremos de forma generalizada a esta clase de funciones trascendentales de la forma ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘ฅ , con el fin de que encontrar una regla que permita calcular sus derivadas. En ese orden de ideas: ยฟCuรกl serรก la derivada de las funciones 2 ๐‘ฅ , 3 ๐‘ฅ , 8 ๐‘ฅ y 10 ๐‘ฅ ? Para responder a la pregunta iniciaremos con nuestra forma generalizada que se escribe como sigue: ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘ฅ Ec.2. Recuerde que ๐‘Ž = ๐‘’ln ๐‘Ž Ec.3. Reemplazando Ec. 3 en Ec.2 obtenemos ๐‘“(๐‘ฅ) = (๐‘’ln ๐‘Ž ) ๐‘ฅ Aplicando propiedades de los exponentes ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ ln ๐‘Ž Derivando ๐‘“โ€ฒ(๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ ln ๐‘Ž(ln ๐‘Ž)
  2. 2. Finalmente, simplificando ๐‘“โ€ฒ(๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘ฅ (ln ๐‘Ž) Ec.4. Gracias a esta รบltima ecuaciรณn podremos responder fรกcilmente a la pregunta inicial, puesto que si ๐‘Ž = 1,2,3, โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ ๐‘› entonces ๏‚ท ๐ท๐‘ฅ[1 ๐‘ฅ] = 0 ๏‚ท ๐ท๐‘ฅ[2 ๐‘ฅ] = 2 ๐‘ฅ (ln 2) ๏‚ท ๐ท๐‘ฅ[3 ๐‘ฅ] = 3 ๐‘ฅ (ln 3) ๏‚ท ๐ท๐‘ฅ[4 ๐‘ฅ] = 4 ๐‘ฅ(ln 4) ๏‚ท โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ. ๏‚ท ๐ท๐‘ฅ[8 ๐‘ฅ] = 8 ๐‘ฅ(ln 8) ๏‚ท ๐ท๐‘ฅ[10 ๐‘ฅ] = 10 ๐‘ฅ (ln 10) Entre otras1. Con esto concluimos en que Ec.4 puede ser aplicable a cualquier funciรณn exponencial permitiendo encontrar sus derivadas de forma rรกpida y eficaz. Derivadas de Orden Superior Antes de empezar el lector debe recordar la forma de representar derivadas de orden distinto a la unidad, vamos a indicar como representar desde la primera derivada hasta la enรฉsima derivada: ๏‚ท ๐‘‘๐‘“ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘“โ€ฒ representa en tรฉrminos generales la primera derivada. ๏‚ท ๐‘‘2 ๐‘“ ๐‘‘๐‘ฅ2 = ๐‘“โ€ฒโ€ฒ representa la segunda derivada. ๏‚ท ๐‘‘3 ๐‘“ ๐‘‘๐‘ฅ3 = ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ representa la tercera derivada. ๏‚ท ๐‘‘4 ๐‘“ ๐‘‘๐‘ฅ4 = ๐‘“(4) representa la cuarta derivada. ๏‚ท ๐‘‘5 ๐‘“ ๐‘‘๐‘ฅ5 = ๐‘“(5) representa la quinta derivada. โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ. ๏‚ท ๐‘‘ ๐‘˜ ๐‘“ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘˜ = ๐‘“(๐‘˜) representa la k-รฉsima derivada. 1 Hacer los arreglos algebraicos posibles de ser necesario y conveniente.
  3. 3. ๏‚ท ๐‘‘ ๐‘› ๐‘“ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘› = ๐‘“(๐‘›) representa la enรฉsima derivada. Estos sรญmbolos expresan en orden de la derivada segรบn corresponda. El orden en derivadas se refiere a la cantidad de veces que derivo la funciรณn, a continuaciรณn mostraremos un ejemplo: 1) Encontrar la tercera derivada de la funciรณn ๐‘ฅ5 Soluciรณn: Sea ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘ฅ5 , al derivar la primera vez, la derivada se escribe como ๐‘“โ€ฒ(๐‘ฅ) = 5๐‘ฅ4 Derivando otra vez ๐‘“โ€ฒ โ€ฒ(๐‘ฅ) = 20๐‘ฅ3 Nuevamente al derivar ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) = 60๐‘ฅ2 Este proceso da como resultado la tercera derivada de la funciรณn antes indicada. 2) Encontrar la derivada enรฉsima de ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘› Soluciรณn: ๐‘“โ€ฒ(๐‘ฅ) = ๐‘›๐‘ฅ ๐‘›โˆ’1 ๐‘“โ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) = ๐‘› โˆ™ (๐‘› โˆ’ 1)๐‘ฅ ๐‘›โˆ’2 ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) = ๐‘›(๐‘› โˆ’ 1)(๐‘› โˆ’ 2)๐‘ฅ ๐‘›โˆ’3 ๐‘“(4) (๐‘ฅ) = ๐‘›(๐‘› โˆ’ 1)(๐‘› โˆ’ 2)(๐‘› โˆ’ 3)๐‘ฅ ๐‘›โˆ’4 . . .
  4. 4. ๐‘“(๐‘›) (๐‘ฅ) = ๐‘›(๐‘› โˆ’ 1)(๐‘› โˆ’ 2)(๐‘› โˆ’ 3)(๐‘› โˆ’ 4) โ‹ฏ 3 โˆ™ 2 โˆ™ 1 Este resultado corresponde ๐‘›! = โˆ ๐‘˜๐‘› ๐‘˜=1 , que significa una sucesiรณn de productos enรฉsima. De tal madera que la enรฉsima derivada de esta funciรณn se escribe como ๐‘“(๐‘›) (๐‘ฅ) = ๐‘›! 3) Encontrar la derivada k-รฉsima de ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘› Soluciรณn: De acuerdo con el ejercicio anterior ๐‘“(๐‘›) (๐‘ฅ) = ๐‘›! Anรกlogamente ๐‘“(๐‘˜) (๐‘ฅ) = ๐‘›(๐‘› โˆ’ 1)(๐‘› โˆ’ 2)(๐‘› โˆ’ 3) โ‹ฏ (๐‘› โˆ’ ๐‘˜ + 1)๐‘ฅ ๐‘›โˆ’๐‘˜ Ahora ๐‘›! = (๐‘›(๐‘› โˆ’ 1)(๐‘› โˆ’ 2)(๐‘› โˆ’ 3) โ‹ฏ (๐‘› โˆ’ ๐‘˜ + 1))((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) โ‹ฏ 3 โˆ™ 2 โˆ™ 1) El segundo factor corresponde a (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)!, despejando ๐‘›(๐‘› โˆ’ 1)(๐‘› โˆ’ 2)(๐‘› โˆ’ 3) โ‹ฏ (๐‘› โˆ’ ๐‘˜ + 1) = ๐‘›! (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)! De esta manera ๐‘“(๐‘˜) (๐‘ฅ) = ๐‘›! (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)! ๐‘ฅ ๐‘›โˆ’๐‘˜ 4) Encontrar la k-รฉsima derivada de ๐‘ = ๐‘“ โˆ™ ๐‘” Soluciรณn: ๐‘โ€ฒ = ๐‘“โ€ฒ โˆ™ ๐‘” + ๐‘“ โˆ™ ๐‘”โ€ฒ ๐‘โ€ฒโ€ฒ = ๐‘“โ€ฒโ€ฒ โˆ™ ๐‘” + 2๐‘“โ€ฒ โˆ™ ๐‘”โ€ฒ + ๐‘“ โˆ™ ๐‘”โ€ฒโ€ฒ ๐‘โ€ฒโ€ฒโ€ฒ = ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ โˆ™ ๐‘” + 3๐‘“โ€ฒโ€ฒ โˆ™ ๐‘”โ€ฒ + 3๐‘“โ€ฒ โˆ™ ๐‘”โ€ฒโ€ฒ + ๐‘“ โˆ™ ๐‘”โ€ฒโ€ฒโ€ฒ โ‹ฎ En general
  5. 5. ๐‘(๐‘›) = ( ๐‘› 0 ) ๐‘“(๐‘›) โˆ™ ๐‘” + ( ๐‘› 1 ) ๐‘“ ๐‘›โˆ’1 โˆ™ ๐‘”โ€ฒ + โ‹ฏ + ( ๐‘› ๐‘› ) ๐‘“ โˆ™ ๐‘”(๐‘›) El binomial puede ser escrito como sigue: ( ๐‘› ๐‘˜ ) = ๐‘›! ๐‘˜! (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)! Utilizando el binomio de Newton y usando convenientemente las siguientes identidades ๐‘“(0) = ๐‘“, ๐‘”(0) = ๐‘”, ๐‘“(1) = ๐‘“โ€ฒ , ๐‘”(1) = ๐‘”โ€ฒ , ๐‘“(2) = ๐‘“โ€ฒโ€ฒ , ๐‘”(2) = ๐‘”โ€ฒโ€ฒ โ‹ฏ ๐‘“(๐‘›) = ๐‘“(๐‘›) , ๐‘”(๐‘›) = ๐‘”(๐‘›) , entonces ๐‘(๐‘˜) = โˆ‘ ( ๐‘› ๐‘˜ ) ๐‘“(๐‘›โˆ’๐‘˜) โˆ™ ๐‘”(๐‘˜) ๐‘› ๐‘˜=0 Donde (๐‘› โˆ’ ๐‘˜) y (๐‘˜) representan el orden de las derivadas las funciones respectivamente. Ejercicios ยฟCuรกl es la derivada de la funciรณn 23 ๐‘ฅ ? Sugerencia. Use la forma generalizada ๐‘ฆ = ๐‘Ž ๐‘ฅ a. 2 ๐‘ฅ (23 ๐‘ฅ ) โˆ™ ln[2] โˆ™ ln[3] b. 3 ๐‘ฅ (2 ๐‘ฅ ) โˆ™ ln[2] โˆ™ ln[3] c. 3 ๐‘ฅ (23๐‘ฅ ) โˆ™ ln[2] โˆ™ ln[3] d. (23 ๐‘ฅ ) โˆ™ ln[2] โˆ™ ln[3] e. 2 ๐‘ฅ (8 ๐‘ฅ ) โˆ™ ln[2] f. 3 ๐‘ฅ โˆ™ ln[2] โˆ™ ln[3] g. 3 ๐‘ฅ (23 ๐‘ฅ ) โˆ™ ln[2] โˆ™ ln[3] Repuesta โ€œgโ€ Calcular la dรฉcima derivada de ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘ฅ5000 a) ๐‘“(10) (๐‘ฅ) = 9678073481456549436528438162585690000x4990 b) ๐‘“(10) (๐‘ฅ) = 9678073481456849436528438162585600000x4990 c) ๐‘“(10) (๐‘ฅ) = 9678073481456549436528438162585600000x4900 d) ๐‘“(10) (๐‘ฅ) = 9678073481456549536528438162585600000x4990 e) ๐‘“(10) (๐‘ฅ) = 9678073482456549436528438162585600000x4990
  6. 6. f) ๐‘“(10) (๐‘ฅ) = 9678073481456549436528438162585600000x4990 g) ๐‘“(10) (๐‘ฅ) = 9778073481456549436528438162585600000x4990 Respuesta โ€œfโ€ ยฟCuรกl es la tercera derivada de ๐‘“(๐‘ฅ) = (๐‘ฅ3 โˆ’ 1)2 ? a) ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) = 12(10๐‘ฅ3 โˆ’ 1) b) ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ( ๐‘ฅ) = 120๐‘ฅ c) ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) = 12(10๐‘ฅ3 + 1) d) ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) = 12 e) ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) = 10 f) ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) = โˆ’12 g) ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) = 0 Respuesta โ€œaโ€ Encontrar la quinta derivada de ๐‘“(๐‘ฅ) = (๐‘ฅ2+1) 5 (1โˆ’๐‘ฅ2)7 a) 960๐‘ฅ (๐‘ฅ2โˆ’1)12 (7๐‘ฅ14 + 294๐‘ฅ12 + 3153๐‘ฅ10 + 12760๐‘ฅ8 + 22185๐‘ฅ6 + 16350๐‘ฅ4 + 4159๐‘ฅ2 + 228) b) 960๐‘ฅ (๐‘ฅ2โˆ’1)12 (7๐‘ฅ14 + 294๐‘ฅ12 + 3153๐‘ฅ10 + 12760๐‘ฅ8 + 22185๐‘ฅ6 + 16350๐‘ฅ4 + 4159๐‘ฅ2 + 228) c) 960๐‘ฅ (๐‘ฅ2โˆ’1)12 (7๐‘ฅ14 + 294๐‘ฅ12 + 3153๐‘ฅ10 + 12760๐‘ฅ8 + 22185๐‘ฅ6 + 16350๐‘ฅ4 + 4159๐‘ฅ2 + 228) d) 960๐‘ฅ (๐‘ฅ2โˆ’1)12 (7๐‘ฅ14 + 294๐‘ฅ12 + 3153๐‘ฅ10 + 12760๐‘ฅ8 + 22185๐‘ฅ6 + 16350๐‘ฅ4 + 4159๐‘ฅ2 + 228) Respuesta โ€œdโ€

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