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Vectores

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Propiedades de los vectores visto desde geometría analítica vectorial

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Vectores

  1. 1. Repaso para el primer cap´ ıtulo de Geometr´ ıa Anal´ ıtica Vectorial Ana Cristina Ch´vez C´liz a a 13 de octubre de 2009 1. Qu´ es un vector? e Un vector es un conjunto ordenado de n´meros, es decir, coordenadas. u Tambi´n lo podemos ver como cualquier cosa que sea elemento de un espacio e vectorial. Ejemplos de un espacio vectorial tenemos a los polinomios de grado mayor o igual a 2 y las matrices. 1.1. Propiedades 1.1.1. Las Operaciones 1) Hay un proceso, llamado adici´n, por el cual se pueden combinar dos o vectores del conjunto, el resultado de lo cual se denomina suma; tambi´n es un e vector (´nico) del conjunto x + y = z (la ley de la cerradura para la suma). u 2) Hay otro proceso, llamado multiplicaci´n, por el cual un vector x se puede o multiplicar por cualquier n´mero real a llamado escalar, para dar otro vector u y = ax 1.1.2. Los Postulados 1) Se cumple la ley conmutativa para la suma de vectores : x + y = y + x 2) Se cumple la ley asociativa para la suma de vectores : x + (y + z) = (x + y) + z 3) Hay un vector unico, 0, en el conjunto, llamado el elemento cero o vector ´ nulo tal que x + 0 = x para todo elemento x del conjunto (Existencia de neutro aditivo) 4) A cada elemento x le corresponde un unico elemento inverso −x del ´ conjunto, tal que x + (−x) = 0 (Existencia de inverso aditivo) 5) Una ley distributiva : a(x + y) = ax + ay 6) Otra ley distributiva : (a + b)x = ax + bx 7) Se cumple la ley asociativa para el producto de escalares y vectores de la siguiente forma : a(bx) = (ab)x 1
  2. 2. Figura 1: Suma de vectores por m´todo del Paralelogramo e 8) Para todo x del conjunto se cumple que : 1 · x = x 9) Para todo x del conjunto se cumple que : 0 · x = 0 1 10) Para todo x del conjunto existe el escalar |x| tal que el producto de el vector con este escalar da como resultado un vector de norma 1, pero con direcci´n y sentido igual al del vector original. o 2. Cosas a tomar en cuenta 1. Un vector es igual a otro s´ y s´lo s´ ambos vectores tienen la misma ı o ı norma, direcci´n y sentido: por lo tanto podemos concluir que en vectores, no o importa la posici´n en la que se encuentren; pues hablamos de vectores libres. o 2. El tama˜o se denomina norma; para un vector u su norma se escribe como n |u|. Si un vector va de la coordenada (a1 , a2 , a3 ) a (b1 , b2 , b3 ) la norma de dicho vector est´ dado por la siguiente f´rmula: |u| = (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 + (a3 − b3 )2 a o 3. La suma s´lo se da entre vectores, y la suma se puede efectuar mediante o dos m´todos: e e ´ 3a. M´todo del paralelogramo: Este m´todo nos permite sumar solo dos vec- e tores a la vez; consiste en trasladar los vectores (llam´moslos u y v de forma que e ambos tengan el mismo origen, y luego, completar un paralelogramo: copiando el vector u, poniendo su inicio en el final del vector original v; y copiando el vector v, poniendo su inicio en el final del vector original u. El vector u + v tendr´ su inicio en el origen de los vectores, y el final en donde se unen las a flechas de los vectores como podemos ver en la figura 1; tambi´n en esta figura e podemos ver c´mo encontrar el vector u − v o 3b. M´todo del pol´ e ıgono: Este m´todo sirve para sumar m´s de dos vectores e a a la vez,y se construye de la siguiente manera: Llamemos a los vectores a sumar u1 , u2 , . . . un . entonces trasladamos el inicio del vector u2 al final del vector u1 , trasladamos el inicio del vector u3 al final del vector u2 , y as´ sucesivamente, ı como indica la figura 2. El vector resultante tendr´ inicio en donde empieza el a vector u1 y fin en el t´rmino del vector un e 4. Los vectores se pueden multiplicar por escalares: 4a. Cuando el escalar (k) es positivo, obtenemos un vector con la misma direcci´n y sentido, y con magnitud resultante |ku| o 2
  3. 3. Figura 2: Suma de vectores por m´todo del Pol´ e ıgono 4b. Cuando multiplicamos por un escalar (q) negativo, obtenemos un vector con la misma direcci´n, pero sentido opuesto o 5. Sobre los ´ngulos: para calcular el ´ngulo entre dos vectores, se trasladan a a de forma que tengan el mismo origen. 6. Los vectores los podemos pensar basados en el origen, estos son los vectores posici´n, que se escriben como suma de vectores unitarios i (en el sentido del o eje x), j (en el sentido del eje y) y k (en el sentido del eje z), de la siguiente forma: ai + bj + ck, donde a, b y c son las coordenadas que tendr´ el punto final ıa del vector si lo trasladaramos al origen. Para sumar vectores posici´n, basta con o sumar las coordenadas correspondientes. 7. Teorema: Dos vectores u y u son paralelos si y solo si existe un escalar k tal que u = kv o bien que existe un escalar l tal que v = lu 8a. Para pasar de coordenadas cartesianas (a, b) a coordenadas polares (radio r, con ´ngulo α) usamos las siguientes f´rmulas: a o r= a2 + b2 b α = arctan a 8b.Para pasar de coordenadas polares (radio r, con ´ngulo α) a coordenadas a cartesianas (a, b) usamos las siguientes f´rmulas: o a = r cos α b = r sen α 3. ´ Angulos 3.1. Cosenos directores En el espacio, al trasladar un vector al origen, podemos notar que el vector forma ´ngulos con los ejes x, y y z; al ´ngulo formado con el eje x le denominamos a a α, al ´ngulo formado con el eje y le denominamos β y al ´ngulo formado con el a a eje z le denominamos γ, como muestra la figura 3. Llamamos Cosenos directores 3
  4. 4. Figura 3: Vector en el espacio a los cosenos de los ´ngulos α, β y γ, los cuales est´n dados por las siguientes a a f´rmulas: o a cos α = √ a2 + b2 + c2 b cos β = √ a2+ b2 + c2 c cos γ = √ a 2 + b2 + c2 Adem´s tenemos que cos2 a+cos2 b+cos2 c = 1, y afirmamos que dos vectores a tienen el mismo sentido si y solo si sus cosenos directores son iguales. 3.2. ´ Angulo entre vectores Si conocemos dos vectores u = ai + bj + ck y v = pi + qj + rk, y queremos conocer el ´ngulo δ que hay entre estos dos vectores, usamos la f´rmula: cos δ = a o ap+bq+cr √ 2 2 2. √ 2 2 a +b +c 2 p +q +r ap+bq √ En el plano, la f´rmula es similar: cos δ = o √ a2 +b2 p2 +q 2 4
  5. 5. 3.3. Producto punto punto o producto escalar Ya habiamos dicho que el producto entre un vector y un escalar resultaba otro vector; pero, cuando multimplicamos dos vectores, obtenemos un escalar. A este procedimiento, se le conoce como producto punto punto o producto escalar, y en general, para dos vectores u = ai + bj + ck y v = pi + qj + rk, el producto punto entre u y v se escribe como u · v = ap + bq + cr. Si ponemos atenci´n, podremos notar que ´sta ultima parte es precisamente o e ´ la que aparece como numerador en la √ rmula para calcular el ´ngulo entre dos f´ o a vectores, mientras que las expresiones a2 + b2 + c2 y p2 + q 2 + r2 correspon- den a las normas de los vectores u y v, respectivamente, por lo que podemos reducir la f´rmula a la siguiente expresi´n: o o u·v cos δ = ⇒ u · v = |u||v| cos δ |u||v| Este ultimo despeje nos permite ver que si el producto punto entre dos ´ vectores dados es cero, entonces estos vectores son perpendiculares. Como observaci´n, agregamos que el producto punto entre dos vectores es o menor ´ igual al producto de sus normas; dicho de otra forma: o u · v ≤ |u||v| 3.4. Producto cruz Ahora, ya sabemos como comprobar que dos vectores son perpendiculares (simplemente comprobamos que su producto punto sea cero). En esta secci´n o aprenderemos como, dado un vector, encontrar uno perpendicular a ´l. e En el plano (R2 ), dado un vector u = ai+bj, basta con invertir los coeficientes de i y j y cambiar el signo de uno de ellos, en este caso, un vector perpendicular ser´ v = bi − aj o bien v = −bi + aj ıa En el espacio (R3 ), usamos el producto cruz, es decir, dados los vectores u = ai + bj + ck y v = pi + qj + rk, el producto cruz de u y v se escribe como: u × v = (u2 v3 − v2 u3 )i + (u3 v1 − v3 u1 )j + (u1 v2 − v1 u2 )k Debido a que el producto cruz arroja un vector que es perpendicular a otros dos vectores, esta operaci´n solo puede hacerse en el espacio. Sobre el vector o resultante de esta operaci´n, para determinar el sentido correcto, se usa la regla o de la mano derecha: colocamos el pulgar en el sentido del vector u, y el ´ ındice en el vector v; el dedo medio nos indicar´ el sentido del vector u × v. a Otras cosas interesantes sobre el producto cruz, es que, la magnitud que arroja esta operaci´n est´ dada por la expresi´n |u × v| = |u||v| sin δ; y re- o a o sulta ser que este resultado, desde el punto de vista geom´trico, es el ´rea del e a paralelogramo formado por u y u. Tambi´n, como observaci´n, recordemos que si el producto cruz de dos vec- e o tores es 0, entonces esos dos vectores son paralelos (tambi´n se cumple el rec´ e ıpro- co) 5
  6. 6. 4. Triple producto escalar Llamamos triple producto escalar a la expresi´n u · (v × w) o bien (u × v) · w o (son lo mismo); y representan el volumen del paralelep´ ıpedo formado por los vectores u, v y w. 5. Triple producto vectorial Llamamos triple producto vectorial a la expresi´n u × (v × w). o Sin embargo, al contrario que en el triple producto escalar, u×(v×w) = (u× v) × w. Por lo tanto hay dos tipos de producto vectorial: izquierdo (u × (v × w)) y derecho ((u × v) × w). Es f´cil ver que el vector resultante del triple producto vectorial (por ejemplo, a de u × (v × w)) es un vector perpendicular a u y a v × w. Un teorema importante sobre el triple producto vectorial nos dice que ´ste e producto se puede calcular mediante la siguiente f´rmula: o u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w 6

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