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Números Reales

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Propiedades de los números reales etc.

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Números Reales

  1. 1. N´meros reales u Ana Cristina Ch´vez C´liz a a 5 de octubre de 2009 1. Propiedades de Campo Consideremos el conjunto X que tiene dos operaciones llamadas suma y pro- ducto, es decir: Dado a, b ∈ X : a + b ∈ X y Dado a, b ∈ X : a × b ∈ X Ejemplo de un conjunto que tenga estas dos operaciones esta el conjunto de los numeros Naturales (denotado como N) Dentro de N las operaciones de suma y producto tiene las siguientes propiedades: 1. Asociatividad: 1a. La suma es asociativa: Pues es lo mismo a + (b + c) que (a + b) + c 1b. El producto es asociativo: Pues a × (b × c) = (a × b) × c 2. Conmutatividad: 2a. La suma es conmutativa: Pues a + b = b + a 2b. El producto es conmutativo: Pues a × b = b × a 3. Distributividad: Significa que la multiplicaci´n reparte sumas: dicho de otra o manera: a × (b + c) = ab + ac Adem´s, tenemos otras propiedades importantes: a 4. Existencia de neutros: 4a. Existencia de neutro aditivo: Un conjunto cumple con esta propiedad si: ∀ a∈X ∃ 0∈X :a+0=0+a=a 4b. Existencia de neutro multiplicativo: Un conjunto cumple con esta propiedad si: ∀ a ∈ X ∃ 1 ∈ X : a × 1 = 1 × a = a 5. Existencia de inversos: 5a. Existencia de inverso aditivo: Un conjunto cumple con esta propiedad si: ∀ a ∈ X ∃ −a ∈ X : a + (−a) = −a + a = 0 5b. Existencia de inverso multipicativo: Un conjunto cumple con esta propiedad 1 1 1 si: ∀ a ∈ X ∃ a ∈ X : a × a = a × a = 1. Este inverso multiplicativo se define para cualquier elemento del conjunto diferente de cero. 1
  2. 2. Es f´cil ver que el conjunto de los numeros enteros ((−∞ . . . , −1, 0, 1, . . . ∞) a (denotado como Z)) cumple con las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5a, pero no cumple con 5b, ya que no existen inversos multiplicativos en el conjunto. Por otra parte el conjunto de los numeros fraccionarios (definido como a : a, b ∈ Z, b = 0 y b denotado como Q) cumple con todas las propiedades mencionadas previamente. ´ DEFINICION: Entonces, un conjunto que cumple con todas las propiedades (asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia de neutros e inver- sos tanto en la suma como en el producto) es llamado CAMPO. Por lo tanto, podemos decir que Q es un campo. Adem´s, un campo cumple con las siguientes propiedades, las cuales, se de- a ducen de las primeras propiedades mencionadas: 1. 0 × a = 0 2. (−1) × a = −a 3. (−1) × −a = a 4. −(a + b) = (−a) + (−b) 5. (−a)(−b) = ab 6. (−a)b = −ab = a(−b) 7. 1 = a, ∀ a = 0 1 a 1 1 1 8. ab = a × b . . . 2. Propiedades de orden Dados a, b ∈ Z decimos que a < b si b − a ∈ N Y las propiedades de orden son las siguientes: i) Tricotom´ Dados a, b ∈ Z una y s´lo una posibilidad ocurre: a < b ´ a = b ıa: o o ´a>b o ii) Transitividad: Si a < b y b < c ⇔ a < c iii) a < b ⇒ a + c < b + c ∀ c ∈ Z iv) a < b y c > 0 ⇔ ac < bc ´ DEFINICION: Un campo que adem´s cumple con estas ultimas propiedades a ´ es un CAMPO ORDENADO. Q tamb´ cumple con las propiedades de orden, por lo que es un campo orde- ıen nado. 3. Cotas Superiores Dados X ⊂ Q decimos que a ∈ Q es COTA SUPERIOR de X si ∀ x ∈ X se tiene que x ≤ a 2
  3. 3. Dados X ⊂ Q decimos que si a es cota superior, decimos que α es M´ INIMA COTA SUPERIOR si α es cota, y ademas ∀ a α ≤ a y se denota como SupX o Suprema de X 4. Sobre los numeros reales R (Conjunto de los numeros reales): 1.Tiene las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5; adem´s de i), ii), iii) y iv) a 2. Cumple con la propiedad de completitud: Todo cunjunto superiormente aco- tado tiene una m´ınima cota superior. 3. Tambi´n es EL campo ordenado completo. e 5. Intervalos a < b a, b ∈ R 1. Abiertos (a, b) = x ∈ R : a < x < b 2. Semiabierto (a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b [a, b) = x ∈ R : a ≤ x < b 3. Cerrado [a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b 4. Semi-infinito (a, ∞) = x ∈ R : a < x (−∞, b) = x ∈ R : b > x [a, ∞) = x ∈ R : a ≤ x (−∞, b] = x ∈ R : b ≥ x 6. Proposiones importantes 1. Proposici´n: N ⊂ R no es acotable superiormente. o 2. Proposici´n: R se puede partir como uni´n disjunta de intervalos [k, k + 1) o o k ∈ Z; es decir: R = [k, k + 1) 2.a Corolario: ∀r ∈ R, r > 0 , R = [kr, (k + 1)r), k ∈ R 3. Teorema: Sea p > 1 p ∈ N, ⇒ ∀ n ∈ N ∃! 0 , 1 , . . . n d´ ıgitos o elementos 0, 1, 2, ... p-1 tales que n = 0 + 1 p+. . .+ m pm es la expansion de n = m m−1 . . . 1 0 en base p. Existe una coleccion infinita −1 , −2 . . . de digitos : t = −1 + p2 +. . . p −2 3
  4. 4. es la expansi´n en base p de t que se escribe: t = 0. o −1 −2 . . . por lo tanto r ∈ R, r = n + t, n ∈ N, t ∈ (0, 1) r= m m−1 ... 2 1 . −1 −2 ... 4. Proposici´n: Todo r ∈ Q tiene expansi´n decimal finita o peri´dica y rec´ o o o ıpro- camente: Todo irracional tiene expansi´n decimal infinita y no peri´dica. o o 5. Teorema: Sea a, b ∈ R, a < b ⇒ ∃ r ∈ Q : a < r < b 1 6. Proposici´n: ∀ o >0∃n∈N: n < 7. Proposici´n: Si a ∈ R : a ≥ x ∀ x ∈ R y a ∈ X, entonces a = SupX o 4

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