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Turbolenza: l'ultimo problema irrisolto della meccanica classica

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Gianni Pagnini (Borsista Ras)
@CRS4 Seminar series

La comune esperienza dell’odore della pizza che cuoce nel forno, delle volute del fumo di sigaretta, così come della dispersione degli inquinanti o del calore che sale dall’asfalto ci mostra il fenomeno della turbolenza: l’ultimo problema irrisolto della meccanica classica, un problema fisico descritto da un’equazione di cui ancora non è stata provata l’esistenza della soluzione. Turbolenti sono i vortici che osserviamo in tutti questi processi caratterizzati da una grande efficacia di dispersione ed un moto irregolare ed impredicibile.
Lo studio della turbolenza parte dalle intuizioni fenomenologiche di Leonardo da Vinci e dalla derivazione, più di centocinquanta anni fa, delle equazioni che ne descrivono il moto: le equazioni di Navier-Stokes. L’aver scritto queste equazioni però non toglie al flusso turbolento il suo fascino, il suo mistero o il suo potere di sorprenderci. Tra i tanti che si sono confrontati con questo affascinate fenomeno troviamo Heisenberg, Landau e Kolmogorov, ma resta ancora valida la provocazione di Sir Horace Lamb: “Ormai sono diventato vecchio e quando morirò e sarò in paradiso ci saranno due cose sulle quali spero in un chiarimento. Una è l’elettrodinamica quantistica e l’altra la turbolenza. Sulla prima sono piuttosto ottimista.”

  • <br /><object type="application/x-shockwave-flash" data="http://www.youtube.com/v/KKPGuA51LNs?version=3&amp;hl=it_IT" width="350" height="288"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/KKPGuA51LNs?version=3&amp;hl=it_IT"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/KKPGuA51LNs?version=3&amp;hl=it_IT" width="350" height="288" type="application/x-shockwave-flash"></embed></object>
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Turbolenza: l'ultimo problema irrisolto della meccanica classica

  1. 1. TURBOLENZA: l’ultimo problema irrisolto della meccanica classica La comune esperienza della dispersione degli inquinanti, cos` come del fumo di sigaretta o del calore che sale ı dall’asfalto, ci mostra il fenomeno della turbolenza: l’ultimo problema irrisolto della meccanica classica. Gianni PAGNINI Borsista RAS PO Sardegna FSE 2007-2013 sulla L.R. 7/2007“Promozione della ricerca scientifica e dell’innovazione tecnologica in Sardegna” Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  2. 2. `Cos’e la turbolenza? “What is turbulence? Turbulence is like pornography. It is hard to define, but if you see it, you recognize it immediately.” G. K. Vallis (Princeton University), 1999 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  3. 3. La turbolenza in natura Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  4. 4. La turbolenza in natura ... ma anche Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  5. 5. La turbolenza nelle esperienze personali Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  6. 6. La turbolenza nei processi industriali Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  7. 7. La turbolenza nell’arte Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  8. 8. La turbolenza il sabato sera a cena Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  9. 9. La turbolenza la domenica mattina “Dentro un raggio di sole che entra dalla finestra, talvolta vediamo la vita nell’aria. E la chiamiamo polvere.” Stefano Benni (Margherita Dolcevita) Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  10. 10. Turbolenza I flussi che osserviamo in tutti questi processi sono flussi turbolenti, caratterizzati da una grande efficacia di dispersione ed un moto irregolare ed impredicibile, ma anche dalla presenza di strutture organizzate in vortici. Fluttuazioni casuali con correlazione spaziale e temporale sovrapposte ad un moto medio. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  11. 11. Leonardo da Vinci (1452– 1519) Prima osservazione, descrizione e denominazione della turbolenza “Observe the motion of the surface of the water, which resembles that of hair, which has two motions, of which one is caused by the weight of the hair, the other by the direction of the curls; thus the water has eddying motions, one part of which is due to the principal current, the other to the random and reverse motion.” Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  12. 12. Turbolenza ` Turbolento e il flusso di un fluido. ` Un fluido e un mezzo continuo: sebbene esso sia composto da molecole, le sue proprieta ` intensive (quelle indipendenti dalle dimensioni del sistema ` ` come la densita, la temperatura, la pressione e la velocita) sono definite per volumetti infinitamente piccoli e quindi si ` assume che esse varino con continuita da un punto ad un altro. La natura molecolare del fluido non viene considerata ed il ` fluido e visto come un mezzo continuo. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  13. 13. Turbolenza Lo studio dei fluidi (acqua, aria) attiene al dominio della fisica classica; ´ ` non a quella relativistica, perche le velocita sono molto minori di quella della luce, ´ e non alla quantistica perche non riguarda processi alla scala dei costituenti della materia. E’ un fenomeno percepibile con i nostri sensi nel nostro vivere quotidiano. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  14. 14. F = ma ` La dinamica dei mezzi continui e descritta della seconda legge di Newton: F = ma. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  15. 15. F = m a: Moto inerziale F = 0, quindi a = 0 , moto rettilineo uniforme d 2x = a = 0, dt 2 dx = v = v0 , dt x = x0 + v0 t . Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  16. 16. F = m a: Caduta dei gravi ` forza di gravita mM F =G , R2 F M a= =G 2 =g 9, 8 m/s2 , m R F = mg. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  17. 17. F = m a: Caduta dei gravi moto uniformemente accelerato d 2z =a=g, dt 2 dz = v = v0 + gt , dt 1 z = z0 + v0 t + gt 2 . 2 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  18. 18. F = m a: Forza elastica F = −mω x , moto armonico d 2x F 2 =a= = −ω 2 x , dt m x = A cos(ωt + θ0 ) , dx = v = −A ω sin(ωt + θ0 ) , dt d 2x = a = −A ω 2 cos(ωt + θ0 ) = −ω 2 x . dt 2 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  19. 19. Dinamica di un volumetto di fluido Approccio Euleriano: le caratteristiche del flusso sono determinate in un punto stabilito, es. anemometro. “Facile‘” sperimentalmente ed utilizzato, in genere, nelle applicazioni ingegneristiche. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  20. 20. Dinamica di un volumetto di fluido Approccio Lagrangiano: le caratteristiche del flusso sono determinate seguendo una particella di fluido lungo la sua traiettoria. Molto difficile sperimentalmente ed utilizzato, ad esempio, per la dispersione degli inquinanti. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  21. 21. Dinamica di un volumetto di fluido ` v(t): velocita lagrangiana ` u[x(t), t]: velocita euleriana dxi = vi (t) = ui [x(t), t] , dt d 2 xi du ∂ui ∂u = ai = i = + uj i . dt 2 dt ∂t ∂xj Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  22. 22. Dinamica di un volumetto di fluido Leonhard Euler, 1757 ∂ui ∂u 1 ∂p + uj i = − , ∂t ∂xj ρ ∂xi ` ` ` dove ρ e la densita e p(x, t) e la pressione. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  23. 23. Dinamica di un volumetto di fluido Le forze di superficie che agiscono su una qualsiasi porzione di fluido sono la forza di pressione e la forza viscosa, dovute all’interazione tra molecole contigue. ` ` A causa del carattere dissipativo della viscosita, e necessario ´ fornire continuamente energia affinche il fluido rimanga in moto. ` Le forze esterne possono essere la gravita oppure un qualunque meccanismo di agitazione meccanica, come per esempio un ventilatore. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  24. 24. Equazioni di Navier–Stokes Claude-Louis M. H. Navier, ´ Memoire sur les lois du mouvement des fluides, ´ Mem. Acad. Roy. Sci. 6, 389–440 (1823) George G. Stokes, On some cases of fluid motion, Trans. Camb. Phil.Soc. 8, 287–319 (1843) Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  25. 25. Equazioni di Navier–Stokes ... ma anche Cauchy nel 1823, Poisson nel 1829 e Saint-Venant nel 1837. Olivier Darrigol, Between Hydrodynamics and Elasticity Theory: The First Five Births of the Navier–Stokes Equation. Arch. Hist. Exact Sci. 56, 95–150 (2002). Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  26. 26. Equazioni di Navier–Stokes Equazioni di Navier–Stokes per un fluido incomprimibile: ∂ui ∂u 1 ∂p ∂ 2 ui + uj i = − +ν , ∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj ∂ui = 0, ∂xi ` ` dove ν e la viscosita cinematica. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  27. 27. ´ `Perche e un problema irrisolto? A questo punto, definita l’equazione che governa il moto dei fluidi, anche il problema della turbolenza risulta formalmente risolto. Tuttavia, ad eccezione di pochi casi particolari, ogni tentativo di ottenere la soluzione delle equazioni di Navier–Stokes e ` risultato vano. “L’aver scritto un’equazione non toglie al flusso dei fluidi il suo fascino, il suo mistero o il suo potere di sorprenderci.” R. Feynman (Nobel 1965) Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  28. 28. ´ `Perche e un problema irrisolto? La fisica ha seguito un percorso riduzionista: ` Lo studio di un fenomeno e riconducibile allo studio dei suoi costituenti MOLECOLE → ATOMI → NUCLEI → QUARK → ? Turbolenza e riduzionismo: Attualmente conosciamo meglio il nucleo atomico che il moto turbolento dell’aria attorno a noi. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  29. 29. ´ `Perche e un problema irrisolto? Alcune date di confronto: 1872 Teoria cinetica dei gas di Boltzmann 1873 Equazioni di Maxwell del campo elettro-magnetico ` 1905 Teoria della relativita ristretta di Einstein ` 1916 Teoria della relativita generale di Einstein ¨ 1926 Equazione di Schrodinger per la meccanica quantistica 1927 Principio di indeterminazione di Heisenberg Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  30. 30. ´ `Perche e un problema irrisolto? “The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations much to complicated to be soluble.” P.A.M. Dirac (Nobel 1933) Proc. Roy. Soc. London 123 (1929), 714 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  31. 31. Un problema da $ 1 000 000 The Millennium Prize Problems Il 24 maggio 2000 sono stati banditi dall’Istituto di Matematica Clay, Cambridge (Massachusetts), 7 premi da 1 milione di dollari ciascuno relativo alla soluzione dei piu importanti ` problemi matematici ancora irrisolti. Tra questi, la prova dell’esistenza della soluzione delle equazioni di Navier–Stokes in 3 dimensioni. http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes Equations/ http://claymath.msri.org/navierstokes.mov Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  32. 32. Un problema da $ 1 000 000 EXISTENCE AND SMOOTHNESS OF THE NAVIER–STOKES EQUATION CHARLES L. FEFFERMAN The Euler and Navier–Stokes equations describe the motion of a fluid in Rn (n = 2 or 3). These equations are to be solved for an unknown velocity vector u(x, t) = (ui (x, t))1≤i≤n ∈ Rn and pressure p(x, t) ∈ R, defined for position x ∈ Rn and time t ≥ 0. We restrict attention here to incompressible fluids filling all of Rn . The Navier–Stokes equations are then given by n ∂ui ∂ ∂p (1) ui + uj = ν∆ui − + fi (x, t) (x ∈ Rn , t ≥ 0), ∂t j=1 ∂xj ∂xi n ∂ui (2) div u = =0 (x ∈ Rn , t ≥ 0) i=1 ∂xi with initial conditions (3) u(x, 0) = u◦ (x) (x ∈ Rn ). Here, u◦ (x) is a given, C ∞ divergence-free vector field on Rn , fi (x, t) are the com- ponents of a given, externally applied force (e.g. gravity), ν is a positive coefficient n ∂2 (the viscosity), and ∆ = is the Laplacian in the space variables. The Euler i=1 ∂x2 i equations are equations (1), (2), (3) with ν set equal to zero. Equation (1) is just Newton’s law f = ma for a fluid element subject to the ex- ternal force f = (fi (x, t))1≤i≤n and to the forces arising from pressure and friction. Equation (2) just says that the fluid is incompressible. For physically reasonable solutions, we want to make sure u(x, t) does not grow large as |x| → ∞. Hence, we will restrict attention to forces f and initial conditions u◦ that satisfy (4) |∂x u◦ (x)| ≤ CαK (1 + |x|)−K α on Rn , for any α and K and (5) |∂x ∂t f (x, t)| ≤ CαmK (1 + |x| + t)−K α m on Rn × [0, ∞), for any α, m, K. We accept a solution of (1), (2), (3) as physically reasonable only if it satisfies (6) Collana di Seminari p, u ∈ CValorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011 per la ∞ (Rn × [0, ∞)) and
  33. 33. Quando si verifica la turbolenza? Phil. Trans. R. Soc. Lond. 174, 935–982 (1883) Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  34. 34. Quando si verifica la turbolenza? Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  35. 35. Quando si verifica la turbolenza? Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 186, 123–161 (1894) The Royal Society is collaborating with JSTOR to digitize, preserve, and extend access to Proceedings of the Royal Society of London. ® www.jstor.org Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  36. 36. Quando si verifica la turbolenza? ∂ui ∂u 1 ∂p ∂ 2 ui + uj i = − +ν . ∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj L x → x L, u → uU, t →t , U ∂ui ∂u 1 ∂p ν ∂ 2 ui + uj i = − + . ∂t ∂xj ρ ∂xi UL ∂xj ∂xj UL Re = , numero di Reynolds. ν Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  37. 37. Quando si verifica la turbolenza? Re 1 (ν grande): moto laminare Re 1 (ν piccolo): moto turbolento Re → ∞ (ν → 0): turbolenza pienamente sviluppata Re = 1.54 Re = 9.6 Re = 13.1 Re = 26 Re = 2000 Re = 100000 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  38. 38. Quando arriva la turbolenza? Deformazione ed allungamento di una linea materiale Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  39. 39. Quando arriva la turbolenza? In atmosfera: ν = 10−5 m2 /s, U 1m/s, L 103 m UL Re = 108 , ν nei mari: ν = 10−6 m2 /s, U 10−2 m/s, L 104 m UL Re = 108 , ν in un tubo: ν = 10−6 m2 /s, U 1m/s, L 10−2 m UL Re = 104 , ν Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  40. 40. Teoria statistica delle turbolenza ` ` Sebbene le proprieta dettagliate della velocita appaiono non predicibili, le sue caratteristiche statistiche sono riproducibili. Descrizione probabilistica della turbolenza (Taylor 1935, 1938). ` Le equazioni di Navier–Stokes sono pero deterministiche: sebbene senza ancora una prova rigorosa, assegnate le condizioni iniziali esiste una ed una sola soluzione per tutti i tempi. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  41. 41. Teoria statistica delle turbolenza ` Accontentandosi di un livello di conoscenza inferiore, e possibile ricorrere ad una descrizione statistica del moto turbolento, basata sulla soluzione di equazioni mediate, che risulta utile per la comprensione di alcune applicazioni specifiche, ma con un alto prezzo da pagare in termini di ` attendibilita dei risultati. Infatti mediando le equazioni del moto si introducono nuove incognite che richiedono l’assunzione di modelli euristici per chiudere il problema. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  42. 42. Il problema della chiusura Scomposizione di Reynolds (1895) ui = Ui + ui , ui = Ui , ui = 0 , ∂ui ∂u 1 ∂p ∂ 2 ui ∂ui + uj i = − +ν , = 0, ∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂Ui ∂Ui ∂ ui uj 1 ∂P ∂ 2 Ui ∂Ui + Uj + =− +ν , = 0, ∂t ∂xj ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ui uj =? , tensore degli sforzi di Reynolds . Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  43. 43. Il problema della chiusura ∂ ui uj ∂ ui uj uk + ··· + = ... , ∂t ∂xk ui uj uk =? Keller L.V. Fridman A.A., Differentialgleichung fur die ¨ turbulente bewegung einer kompressiblen flussigkeit. Proc. 1st ¨ Intern. Congr. Appl. Mech., Delft, 1924, 395–405. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  44. 44. Il problema della chiusura Approssimazione di Boussinesq (1877, 1897) ∂Ui ∂Uj 2 ∂Uk − ui uj = νt + − K + νt δij . ∂xj ∂xi 3 ∂xk ` ` νt e la viscosita turbolenza e 1 ` K = ui ui e l’energia cinetica turbolenta. 2 Turbolenza da parete ∂U1 − u1 u3 = νt . ∂x3 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  45. 45. Fenomenologia della turbolenza Lewis Fry Richardson (1922) Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  46. 46. Fenomenologia della turbolenza (K41) K41: teoria fenomenologica di A.N. Kolmogorov del 1941 Nel flusso turbolento si generano perturbazioni caratterizzate dalla dimensione del vortice; ogni perturbazione prende energia dal vortice di poco piu grande e la cede a quello di ` poco piu piccolo fino ad arrivare ai vortici cos` piccoli per cui si ` ı attiva la dissipazione dell’energia in calore. ` ´ ` Questo intervallo e detto inerziale perche non dipende ne dalle ` forzanti ne dalla dissipazione ν. In questo processo il moto dei vortici piu grandi non influenza ` direttamente le fluttuazioni nei vortici piccoli, ma solo indirettamente attraverso il flusso di energia che definisce il tasso medio di energia cinetica dissipata. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  47. 47. Fenomenologia della turbolenza (K41) Tasso medio di enegia cinetica dissipata 2 1 ∂ui ∂uj U3 ε= ν + = . 2 ∂xj ∂xi L i,j Scale della dissipazione (scale di Kolmogorov): ` grandezza e velocita dei vortici piu piccoli ` 1/4 ν3 η= , vη = (νε)1/4 , ε vη η Re = = 1. ν Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  48. 48. Fenomenologia della turbolenza (K41) ` Analisi dimensionale: le uniche quantita significative sono la dimensione del vortice e l’energia cinetica dissipata ε. Leggi di scala delle funzioni di struttura δu = u(x + ) − u(x) , Sp ( ) = (δu ( ))p = Cp (ε )p/3 , Cp costanti universali. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  49. 49. Fenomenologia della turbolenza (K41) ` Osservazione di Landau (1944) sulla non universalita di Cp . Supponiamo che siano svolti N esperimenti e ciascuno sia ´ indicizzato con i. Se le costanti Cp sono universali, cioe non dipendono dal singolo esperimento i, allora Sp ( ) = Cp (εi )p/3 i p/3 . Eseguiamo la sovrapposizione dei risultati degli esperimenti N N 1 i 1 Sp ( ) = Sp ( ) , ε= εi , N N i=1 i=1 otteniamo N N p/3 1 p/3 p/3 1 p/3 Sp ( ) = Cp (εi ) = Cp εi . N N i=1 i=1 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  50. 50. Fenomenologia della turbolenza (K41) Quindi le costanti Cp sono universali, ´ cioe non dipendono dal singolo esperimento i, se e solo se N p/3 N 1 1 εi = (εi )p/3 , N N i=1 i=1 ` che e verificata solamente quando p = 3. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  51. 51. Fenomenologia della turbolenza (K41) Ma K41 e le equazioni di Navier–Stokes sono legate? L’unico risultato esatto derivato dalle equazioni di Navier–Stokes e ` 4 S3 ( ) = δu 3 ( ) = − ε , 5 che in parte conferma K41. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  52. 52. Oltre K41 Intermittenza: Sp ( ) = δu p ( ) ∝ ζp . Modello multifrattale (Parisi Frisch, 1985) h δu ∼ , u0 0 Sp ( ) δu p ( ) ph+3−D(h) p = p ∼ dµ(h) , u0 u0 0 µ(h) e il peso dei differenti esponenti h, ( / 0 )ph e il contributo ` ` di δu p ( ) mentre ( / 0 )3−D(h) e la probabilita che ci sia una ` ` distanza in uno spazio di dimensione D(h). Nello spazio cartesiano tridimensionale D = 3 e h = 1/3 si ottiene la teoria di Kolmogorov del 1941. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  53. 53. Finalmente i computer! Il grande sviluppo dei mezzi di calcolo, verificatosi nell’ultimo decennio, ha reso possibile l’integrazione numerica delle equazioni di Navier–Stokes anche nel caso di flussi turbolenti. Inoltre, grazie alla potenza dei moderni computer ed alle attuali tecnologie di acquisizione di immagini, sono disponibili nuovi possibili approcci sperimentali basati sulla visualizzazione quantitativa del moto dei fluidi. I due approcci, quello numerico e quello sperimentale, nonostante alcune severe restrizioni e ` limitazioni, permettono l’acquisizione di una grande quantita di dati, che opportunamente analizzati, anche in termini statistici, consentono di svelare aspetti interessanti della dinamica dei moti turbolenti. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  54. 54. Finalmente i computer! Nel 1949 von Neumann predisse che l’avvento dei computer avrebbe rivoluzionato lo studio della turbolenza rendendo possibile simulare le equazioni di Navier–Stokes nel regime turbolento.5-FL41-18 ARI 12 November 2008 17:46 ` La prima simulazione di turbolenza tridimensionale e stata realizzata da Orszag Patterson nel 1972. a SF6 b 10-1 He 1000 Air H2O 10-2 τη (s) Rλ 10-3 100 10-4 10-5 10 0 1000 2000 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Rλ Year √ Figure 2 Rλ = 15 Re (a) Kolmogorov time τ η versus microscale Reynolds number Rλ in highly turbulent flows suitable for Lagrangian measurements. The water data are from the experiment by La Porta et al. (2001) and Voth et al. (2002) (energy-injection scale L = 0.07 m, Rλ 1000), air Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della data are from the experiment by Mydlarski Warhaft (1998) (L = 0.5 m, Rλ 1200), low-temperature helium data are from Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011 experiments by Tabeling et al. (1996) (L = 0.02 m, Rλ 3000), and room-temperature compressed SF6 is estimated (L = 0.07 m,
  55. 55. Finalmente i computer!365-FL41-18 ARI 12 November 2008 17:46V365-FL41-18 ARI 12 November 2008 17:46 Filamenti vorticosi 100 10–2 a b 0.020 1.0 10–3 0.016 a 0.8 b 10–4 ã 4P(ã) ã 4P(ã) 10–2 0.012 0.6 10–5 z 0.008 0.4 10–6 0.004 P(ã) P(ã) 0.2 10−4 0 10–7 –80 –40 0 40 80 −60 −40 −20 0 20 40 60 a/σa ã 10–8 10−6 10–9 10–10 10−8 10–11 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 mm ã = a/a21/2 a/σa Experimental data Multifractal, µ = 0.25 DNS data and n = 17.1 Beck-X2, q = 3/2 Multifractal prediction y Beck-log, s2 = 3.0 Reynolds (2003) x Kolmogorov prediction Figure 4 0 16,000 (a) Lin-log plot, comparing the experimental acceleration probability distribution function (PDF) with different models (Mordant et al. 2004a). Blue circles represent experimental data; the purple (m s–2) line denotes Beck-χ 2 , q = 3/2 (Beck 2001); the orange dashed line Acceleration dashed is the Beck-log, s2 = 3.0 (Beck 2003); the lightSeminari represents the multifractalRisultatiµ = 0.25 and n = 17.1 (Arimitsu 2011 Collana di blue line per la Valorizzazione dei model, della Ricerca al CRS4, 30 novembre Arimitsu 2004); and the red line is from Reynolds (2003). (Inset) Linear plot of a 4 P (a) versus a = a/arms . Panel a courtesy of Haitao ˜ ˜ ˜ Figure 3
  56. 56. temperature differences and, in the inset, probability density converge to so-called chordal SLE (i.e., jo functions for r ˆ 0:02, 0.04, 0.06 compared to a Gaussian on the real axis). Second, we extract the density (solid line). Data have been obtained by direct numericalFinalmente i computer! simulations of (1) by a pseudospectral code in a fully periodic, square domain of size 1 with 40962 lattice points. Gaussian ing function from the trace. To this aim, white-noise-in-time forcing f has correlation length lf 1=200. 1 10 The system is kept in a statistically stationary state by supple- 10-1 (a) (b Dall’invarianza di scala all’invarianza conforme: le lunghezze menting (1) with a linear damping term ÿT= that models bottom friction and extracts energy at very large scales l / , 10 -2 10 0 10-3 10-1 M L (l ˆ 1=20–1=10 depending on ). sono riscalate in modo non uniforme ma gli angoli sono R 10-4 15/8 10 -2 10-5 conservati. that such a loop ensemble has a conformal invariant scaling 10 -6 10 -3 limit, it should belong to the same universality class as 10 -4 -3 10 -2 10 10 -1 0 10 10 -4 10 loops in the O(2) model in the dense phase. By exploiting R the Coulomb gas representation of the latter system (with 104 In turbolenza bidimensionale, l’invarianza conforme viene (c) g ˆ 1, [17]) and general scaling arguments [16], it is 104 n(M,λM) possible to derive analytically a set of scaling exponents n(L,λL) 3 10 103 ` verificata lungo la cascata inversa per le isolinee di vorticita e di associated to cluster and loop statistics. These include the M -16/15 L -4 fractal dimensions of clusters and loops, the power-law 102 10 2 temperatura nulla. exponents for the number of clusters of given mass, and the 101 101 -6 -4 -2 0 -2 10 10 10 10 10 M 4 4 10 10 (e) 103 n(R,λR) n(A,λA) 3 10 R-2 10 2 2 10 101 1 10 -3 -2 -1 0 -4 10 10 10 10 10 R FIG. 3 (color online). Cluster and loop s turbulence. (a) The average area M versus the R. (b) The length of a loop (blue symbols) accessible perimeter which is obtained by sub with necks smaller than lf (green symbols) ver of clusters of area between M and M. (d) N length between L and L. (e) Number of loops Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al(f) Number of loops of area betwee R and R. CRS4, 30 novembre 2011 FIG. 2 (color online). Temperature clusters in the inverse cascade of SQG turbulence. These are connected domains with figures ’ 1:1. The solid lines are the theore
  57. 57. Turbolenza al CRS4 Combustione premiscelata turbolenta: ´ Rilevante nel contesto socio-economico perche legata al settore industriale della produzione energetica. Importante nella progettazione delle nuove tecnologie ad uso ´ ` industriale perche e un processo di combustione caratterizzato da una bassa produzione di NOx e per questo fondamentale per ridurre l’impatto ambientale. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  58. 58. Turbolenza al CRS4 Diversamente dalla ben nota combustione non premiscelata, dove il combustibile ed il comburente devono essere mescolati ´ affinche la combustione inizi, nella combustione premiscelata i reagenti sono mescolati a ` livello molecolare ed il processo di combustione puo essere inteso come la seguente reazione Gas Fresco → Gas Combusto + Calore Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  59. 59. Turbolenza al CRS4 ` La combustione premiscelata e descritta da una sola variabile adimensionale detta variabile di progresso. Essa rappresenta la frazione di massa bruciata e vale 1 per i volumi occupati solamente dai prodotti e 0 per i volumi occupati solamente dai reagenti ρu /ρ − 1 T − Tu c(x, t) = , c(x, t) = . ρu /ρb − 1 Tb − Tu Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  60. 60. Turbolenza al CRS4 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  61. 61. Turbolenza al CRS4 Il fronte della fiamma corrisponde all’interfaccia tra le frazioni di reagente e di prodotto. La fiamma viene deformata in volute dalla turbolenza che ne accresce la superficie. ` ` La velocita di avanzamento della fiamma e proporzionale alla sua superficie. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  62. 62. Turbolenza al CRS4 Computational Fluid Dynamics (CFD) Risoluzione numerica delle equazioni di Reynolds con applicazioni in campo industriale Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  63. 63. Turbolenza al CRS4 Vladimir Zimont ∂c ∂2c ∂c (1977) = Deq 2 + Ueq , ∂t ∂x ∂x τt (1979) Ueq u2 1/2 Da1/4 , Da = . τc ` Il modello di Zimont e implementato in FLUENT/ANSYS. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  64. 64. Turbolenza al CRS4 week endingPRL 107, 044503 (2011) PHYSICAL REVIEW LETTERS 22 JULY 2011 Lagrangian Formulation of Turbulent Premixed Combustion Gianni Pagnini and Ernesto Bonomi CRS4, Polaris Building 1, 09010 Pula, Italy (Received 4 November 2010; published 21 July 2011) The Lagrangian point of view is adopted to study turbulent premixed combustion. The evolution of the volume fraction of combustion products is established by the Reynolds transport theorem. It emerges that the burned-mass fraction is led by the turbulent particle motion, by the flame front velocity, and by the mean curvature of the flame front. A physical requirement connecting particle turbulent dispersion and flame front velocity is obtained from equating the expansion rates of the flame front progression and of the unburned particles spread. The resulting description compares favorably with experimental data. In the case of a zero- curvature flame, with a non-Markovian parabolic model for turbulent dispersion, the formulation yields the Zimont equation extended to all elapsed times and fully determined by turbulence characteristics. The exact solution of the extended Zimont equation is calculated and analyzed to bring out different regimes. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.044503 PACS numbers: 47.70.Pq, 05.20.Jj, 47.27.Ài Turbulent premixed combustion is a challengingper la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca alis intendednovembrepopu- Collana di Seminari scien- In this Letter, the fresh mixture CRS4, 30 to be a 2011tific field involving nonequilibrium phenomena and play- lation of particles in turbulent motion that, in a statistical
  65. 65. Turbolenza al CRS4 Definizione Lagrangiana della variabile di progresso (a parole) Una particella di reagente viene mutata in prodotto se la sua ` posizione media si trova all’interno del dominio il cui contorno e costituito dalla superficie della fiamma. ´ La variabile di progresso, cioe la frazione di massa combusta ` presente in un punto ad un certo istante, e determinata dall’insime delle particelle prodotto che statisticamente possono trovarsi il quel punto a quell’istante. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  66. 66. Turbolenza al CRS4 Definizione Lagrangiana della variabile di progresso (in formule) ` ` p(x; t|x0 ) densita di probabilita delle particelle di reagenti, ` ` x0 posizione iniziale, se la velocita media e nulla x0 = x , Ω(t) dominio racchiuso dalla superficie della fiamma c(x, t) = p(x; t|x0 ) dx0 . Ω(t) Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  67. 67. Turbolenza al CRS4 Teorema del trasporto di Reynolds d ∂Ψ Ψ(x, t) dV = dV + ˆ Ψ u · nS dS , dt V V ∂t S Teorema della divergenza ˆ Ψ u · nS dS = · (u Ψ) dV . S V Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  68. 68. Turbolenza al CRS4 Equazione per la variabile di progresso (1) ∂c ∂p = dx0 + · (u p) dx0 . ∂t Ω(t) ∂t Ω(t) Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  69. 69. Turbolenza al CRS4 Modello non markoviano per la dispersione turbolenta ∂p 2 = D(t) p, p(x; 0|x0 ) = δ(x − x0 ) , ∂t dove 1 dσ 2 1 D(t) = , σ 2 (t) = (x − x0 )2 , 2 dt 3 e D(t) =⇒ Deq = u 2 TL , t TL . Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  70. 70. Turbolenza al CRS4 ` Definizione della velocita di combustione t Lf (t) = L0 + u(Lf , τ ) dτ , 0 ˆ u(x, t) = U(κ, t) n , U(κ, 0) = 0 , ˆ dove n = − c/|| c|| e la normale uscenta da Ω ` ˆ κ(x) = · n/2 indica la curvatura media della superficie di Ω. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  71. 71. Turbolenza al CRS4 ` Determinazione della velocita di combustione ` L’espansione del volume racchiuso dalla fiamma e guidata dalla ´ dispersione delle particelle di reagente poiche determina l’incontro tra la fiamma e le particelle stesse. ` Siccome il moto delle particelle e di andata e ritorno rispetto alla posizione media mentre l’avanzamento della fiamma e ` ` unidirezionale, un tempo doppio e necessario alla dispersione delle particelle per raggiungere lo stesso tasso di espansione del fronte di fiamma. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  72. 72. Turbolenza al CRS4 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  73. 73. Turbolenza al CRS4 Relazione tra dispersione delle particelle ed avanzamento del fronte di fiamma nella direzione normale al fronte 1 dσ 1 1 dLf = , σ dt 2 Lf − L0 dt oppure D(t) U(t) t = t . 0 D(ξ) dξ 0 U(ξ) dξ Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  74. 74. Turbolenza al CRS4 D(t) U(t) t = t , 0 D(ξ) dξ 0 U(ξ) dξ t [U(t)D(ξ) − D(t)U(ξ)] dξ = 0 , 0 U(t) U(ξ) = , 0≤ξ≤t, D(t) D(ξ) U(t) Ueq 1 → = . D(t) Deq λ Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  75. 75. Turbolenza al CRS4 t Lf (t) = L0 + U(τ ) dτ , 0 1 t U(t) 1 = L0 + D(τ ) dτ , = , λ 0 D(t) λ σ2 = L0 + . 2λ Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  76. 76. Turbolenza al CRS4 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  77. 77. Turbolenza al CRS4 Equazione per la variabile di progresso (2) ∂c 2 = D(t) c+ u· x0 p dx0 ∂t Ω(t) ∂U + p x0 κ ˆ · n + 2 U(κ, t)κ(x0 ) dx0 . Ω(t) ∂κ ` L’evoluzione della variabile di progresso e determinata da: la dispersione turbolenta, l’avanzamento della reazione chimica, la curvatura media del fronte. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  78. 78. Turbolenza al CRS4 Limite non diffusivo Se la diffusione trascurabile, le particelle risultano congelate ed il loro moto non dipende dal tempo p → δ(x − x0 ), l’equazione di evoluzione di c(x, t) diventa ∂c = U(κ, t) || c|| , ∂t che corrisponde all’equazione di Hamilton–Jacobi che definisce il cosiddetto Level Set Method. J.A. Sethian P. Smereka, Level Set Methods for fluid interfaces. Ann. Rev. Fluid Mech. 35, 341–372 (2003). Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  79. 79. Turbolenza al CRS4 Limite di fronte piano ˆ ` Quando la normale al fronte della fiamma n e assunta costante, ` allora la curvatura κ e nulla, il fronte risulta piano e si ottiene ∂c 2 = D(t) c + U(t) || c|| , ∂t che nel caso asintotico t TL , poiche D(t) → Deq , ´ corrisponde all’equazione di Zimont. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  80. 80. Turbolenza al CRS4 Soluzione esatta del modello di Zimont 1 x − LR (t) x + L (t) c(x, t) = Erfc √ − Erfc √ L , 2 2 σ(t) 2 σ(t) ` dove Erfc e la funzione complementare degli errori, LR e LL sono le posizioni del fronte di fiamma rispettivamente a destra e a sinistra del punto di ignizione dLR dL = − L = U(t) , Ω(t) = [−LL (t); +LR (t)] . dt dt Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  81. 81. Turbolenza al CRS4 Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  82. 82. In buona compagnia Einstein (Nobel 1921): “Dopo aver risolto altri problemi della ` fisica risolvero quello della turbolenza”. Heisenberg (Nobel 1932): “When I meet God, I am going to ask him two questions: Why relativity? And why turbulence? I really believe he will have an answer for the first.” Kapitza (Nobel 1947) Landau (Nobel 1962) Subrahmanyan Chandrasekhar (Nobel 1983) B. Mandelbrot Ya. B. Zel’dovich Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  83. 83. In buona compagnia ` “Ormai sono diventato vecchio e quando moriro e saro in ` paradiso ci saranno due cose sulle quali spero in un ` chiarimento. Una e l’elettrodinamica quantistica e l’altra la turbolenza. Sulla prima sono piuttosto ottimista.” Sir Horace Lamb Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  84. 84. Bibliografia A.S. Monin A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics, vol. 1. MIT Press (1971). A.S. Monin A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics, vol. 2. MIT Press (1975). U. Frisch, The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge University Press (1996). Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
  85. 85. Ringraziamenti Regione Autonoma della Sardegna PO Sardegna FSE 2007-2013 sulla L.R. 7/2007 “Promozione della ricerca scientifica e dell’innovazione tecnologica in Sardegna”. Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011

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