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Lei de Benford

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Lei de Benford

  1. 1. Easymatica.blogspot.com LEI DE BENFORD Digamos que tenhamos que analisar um conjunto de números e analisaremos usando o primeiro dígito de cada número. Por exemplo, analisando o primeiro dígito de cada número da sequência de 1 a 99 quantos números 1 aparecerão, quantos números 2, quantos 3 e assim até o número 9. Com qual probabilidade aparecerá cada número? Com certeza você já concluiu que cada número aparece 11 vezes, portanto com probabilidade igual para cada primeiro dígito. Até 999 por exemplo, teremos a mesma probabilidade com cada dígito aparecendo 111 vezes, até 100 teremos o dígito 1 aparecendo 11,2% o mesmo acontecendo com a sequência até 1000, até 10000 e assim por diante.
  2. 2. Easymatica.blogspot.com Dadas as afirmações acimas, outra pergunta pode ser feita e provavelmente responderá facilmente: se analisarmos outros conjuntos de números pelo primeiro dígito assim como foi feito de 1 a 99, continuaremos com probabilidade igual para cada dígito? Vamos analisar outra sequência, a sequência de Fibonacci. A sequência de Fibonacci é 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... onde o próximo termo é sempre a soma dos dois anteriores, usando o Excel analisei os 400 primeiros números dessa sequência e os resultados são completamente diferentes dos obtidos usando os 99 primeiros números naturais. Dos 400 primeiros números analisados o dígito 1 apareceu mais vezes 29,75% e o dígito 9, menos vezes 4,5%. Primeiro dígito Percentual 1 29,75% 2 17,50% 3 12,75% 4 9,25% 5 8,00% 6 6,75% 7 5,75% 8 5,25% 9 4,50%
  3. 3. Easymatica.blogspot.com Nos dois casos foram analisadas duas sequências, a dos números naturais e a de Fibonacci e se analisarmos uma distribuição qualquer, o que teríamos? Um gráfico parecido com o primeiro, com o segundo ou um terceiro tipo. Para análise escolhi uma lista de valores de contratos firmado entre o governo do Estado e empresas terceirizadas, disponível no portal da transparência. Foram 7000 valores de contratos analisados e o percentual de distribuição do primeiro dígito é muito próximo dos valores encontrados na sequência de Fibonacci.
  4. 4. Easymatica.blogspot.com Essas duas últimas distribuições encontradas tende a manter esse padrão para diversos tipos de distribuição aleatória, como PIB, população, densidade demográfica, área territorial, dados da CVM, (Comissão de Valores Mobiliários) lista de compras de supermercados, taxa de mortalidade, comprimentos de rios, eleições entres outros. Existe uma lei matemática que sustenta essa tese, a Lei de Benford conhecida também como lei do primeiro dígito, definida em escala logarítmica. Frank Benford definiu que a probabilidade de cada dígito aparecer numa distribuição aleatória é: log (1 + 1/d), com d igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
  5. 5. Easymatica.blogspot.com Comparações: Trabalho dos alunos Tabelar e criar gráficos com a probabilidade de distribuição do primeiro dígito referente a população, área territorial, densidade demográfica e PIB dos municípios de vários estados brasileiros. Os dados utilizados foram retirados do site do IBGE Cidades.
  6. 6. Easymatica.blogspot.com Densidade demográfica dos municípios da Bahia Densidade demográfica dos municípios de Goiás
  7. 7. Easymatica.blogspot.com Densidade demográfica dos municípios da Paraíba Áreas territoriais dos municípios do Paraná
  8. 8. Easymatica.blogspot.com Densidade demográfica dos municípios de Minas Gerais Densidade demográfica dos municípios de São Paulo
  9. 9. Easymatica.blogspot.com PIB dos municípios de Santa Catarina PIB dos municípios de Minas Gerais 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Valor Real Valor Esperado
  10. 10. Easymatica.blogspot.com PIB dos municípios da Paraíba População dos municípios do Rio Grande do Sul
  11. 11. Easymatica.blogspot.com Pontos importantes, a lei de Benford não é aplicável a qualquer conjunto numérico, por exemplo, para os números primos, para os números naturais, para jogos de loterias entre outros. É uma lei matemática, não jurídica, ou seja, a constatação de fraude usando a lei de Benford não justifica prisão ou condenação, mas abre procedentes para análise, para investigação. Veja o vídeo com um exemplo de análise nas eleições de 2010 nos municípios de Minas Gerais.

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