Matematica discreta fasciculo_2_vnovo

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Matematica discreta fasciculo_2_vnovo

  1. 1. Universidade Federal Rural de PernambucoReitor: Prof. Valmar Corrêa de AndradeVice-Reitor: Prof. Reginaldo BarrosPró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos CarvalhoPró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti SiepierskiPró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José FreirePró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo FerreiraPró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de SenaCoordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva SantosProdução Gráfica e EditorialCapa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Aline Fidelis, Italo Amorim e Alesanco AndradeRevisão Ortográfica: Ivanda MartinsIlustrações: Allyson Vila Nova e Diego AlmeidaCoordenação de Produção: Marizete Silva Santos
  2. 2. Sumário Plano da Disciplina ........................................................................................ 6 Ementa .................................................................................................... 6 Objetivo Geral.......................................................................................... 6 Objetivos Específicos .............................................................................. 6 Conteúdo Programático........................................................................... 6 Referências ............................................................................................. 7 Apresentação ................................................................................................. 8 Capítulo 1 - Somatório: representando somas ........................................... 9 1.1 Conhecendo o somatório....................................................................... 9 1.2 Propriedades do somatório e algumas somas especiais .................... 12 1.2.1 Propriedades ................................................................................ 12 1.2.2 Demonstrações ............................................................................ 12 1.2.3 Somas Especiais .......................................................................... 12 1.3 Dígito Verificador ................................................................................. 15 Capítulo 2 - Matrizes: armazenando dados ............................................... 27 2.1 Matriz ................................................................................................... 27 2.2 Definição .............................................................................................. 29 2.3 Tipos especiais de matrizes................................................................. 29
  3. 3. 2.4 Operações com matrizes ..................................................................... 32 2.4.1 Adição de matrizes ....................................................................... 32 2.4.2 Multiplicação de uma matriz por um escalar ................................ 33 2.4.3 Multiplicação de matrizes ............................................................. 34 2.4.4 Matrizes Booleanas ...................................................................... 36 2.4.5 Adição e multiplicação de matrizes booleanas ............................. 38 2.4.6 Multiplicação de matrizes booleanas............................................ 39Capítulo 3 - Princípios de Contagem: como contar? ............................... 47 3.1 Listas ................................................................................................... 47 3.2 Princípio Multiplicativo: contagem de listas de comprimento dois ....... 48 3.3 Listas de comprimento maior do que dois ........................................... 49 3.4 Listas de comprimento k sem repetição de elementos........................ 50 3.5 Princípio Aditivo ................................................................................... 50 3.6 Fatorial ................................................................................................. 57 3.7 Permutações........................................................................................ 58 3.8 Combinações ....................................................................................... 58Capítulo 04 - Relações: uma abordagem................................................... 69 4.1 Tipos de Relações Binárias ............................................................. 70 4.2 Relações binárias em um conjunto A .............................................. 73
  4. 4. 4.3 Operações com relações: como operar com relações binárias? .... 744.4 Propriedades das Relações definidas em um conjunto A ............... 764.5 Representação gráfica de Relações Binárias ................................. 774.6 Grafo de uma relação em um conjunto A ........................................ 784.7 Relação n-ária ................................................................................. 794.8 Álgebra Relacional .......................................................................... 83
  5. 5. Plano da DisciplinaEmenta Conjuntos. Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. Somatório. Princípiosde Contagem. Matrizes. Relações. Funções. Recursão. Técnicas de provas. InduçãoMatemática.Objetivo Geral O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta querealizam interface com o curso de Sistema de Informação, visando dar a base paraa compreensão de conceitos de estruturas de dados, bem como, para dar suporte naconstrução de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade.Objetivos Específicos • Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se referem a situações práticas • Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional • Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica • Conhecer técnicas de resolução de problemas • Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático).Conteúdo Programático Módulo 1 – Fascículo 1 Carga horária do Módulo 1: 20h • Conjuntos. • Introdução à Lógica Matemática. • Portas Lógicas.
  6. 6. Módulo 2 – Fascículo 2 Carga horária do Módulo 2: 20h Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações Módulo 3 – Fascículo 3 Carga horária do Módulo 3: 20h • Funções. • Recursão. Técnicas de provas. • Indução Matemática.Referências GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Livros de referência: ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997 ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995. ROSS, Kenneth A; WRIGHT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice Hall, 1999. TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley. 1999. LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004
  7. 7. Apresentação Caro(a) cursista, Seja bem-vindo(a) a mais um módulo de Matemática Discreta! Dando continuidade à disciplina, abordaremos, neste segundo fascículo, algunstópicos de importância e aplicabilidade nas áreas de informática, tais como: somatórios,matrizes, princípios de contagem e relações. No primeiro capítulo, você estudará as propriedades do somatório e como elas sãoúteis na determinação de somas especiais e de uso freqüente na matemática. No segundo capítulo, você descobrirá como as matrizes podem ser utilizadas paraarmazenamento de dados e as operações aritméticas que nelas podem ser efetuadas.Além disso, conhecerá as matrizes booleanas, muito empregadas na informática. No terceiro capítulo, você terá oportunidade de conhecer diversas técnicas decontagem, empregadas no cálculo e na diferenciação dos agrupamentos que se podemformar com os elementos de um dado conjunto. Por fim, no quarto capítulo será abordado o conceito de relações entre dois ou maisconjuntos, as operações entre relações e como elas podem ser usadas para manipulaçãode um banco de dados. Esperamos que você aproveite ao máximo este segundo módulo, estudandodetalhadamente o assunto e realizando todos os exercícios propostos. Bons estudos!
  8. 8. Matemática DiscretaCapítulo 1 - Somatório:representando somas Neste capítulo mostraremos o uso do somatório na escrita de somasde parcelas variáveis ou constantes. Estudaremos as propriedades dosomatório e como elas são úteis na determinação de somas especiaise de uso freqüente na matemática. Por fim, apresentaremos métodosde geração de dígitos verificadores em seqüências especiais dealgarismos, tais como o CPF, código de barras e número de contacorrente bancária.1.1 Conhecendo o somatório Você já se deparou com a necessidade de escrever expressõesque envolvem somas com termos que obedecem a certa lei deformação do tipo 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100? Se temos uma soma de n parcelas, x1 + x2 + x3 + ... + xn, saiba quepodemos codificá-la através do uso de somatório assim: n x1 + x2 + x3 + ... + xn = ∑x i =1 i A letra maiúscula grega ∑ (sigma) é o símbolo utilizado pararepresentar as operações de adição entre as parcelas e xi é a parcelagenérica. Para representar a parte variável de cada parcela, utilizamos a letrai e indicamos a variação de i (no caso, i varia de 1 até n). A expressão n∑xi =1 i é lida assim: “soma dos valores xi para i variando de 1 até n”. Você deve estar atento para o fato de que é fundamental que oíndice i assuma todos os valores inteiros consecutivos entre doisvalores dados, inclusive. Assim, a soma x1 + x2 + x3 pode ser escrita: 3∑xi =1 i 9
  9. 9. Matemática Discreta Compreenda melhor a aplicação do conceito de somatório, através dos exemplos seguintes. Atenção 5Para contarquantos termos Exemplo 1: ∑x i =1 i = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 é a soma de 5 parcelas.uma soma tem,basta calcular 7no somatório, adiferença entre o Exemplo 2: ∑x i =1 i = x + x2 + x3 + ... + x7 representa a soma de 7índice superior eo inferior e somar parcelas. O índice i, variando de 1 a 7, indica quantas parcelas contém1. a soma, como identifica as parcelas como potências de expoenteA soma ak + ak+1 inteiro.+ ak+2 + ... + an = n 7∑a i Exemplo 3: ∑x i = x3 + x4 + x5 + x6 + x7 indica a soma dei =k tem n - k + i =31 termos. 7 - 3 + 1 = 5 parcelas, conforme a observação acima. 4 Exemplo 4: ∑ (i + 1) x i −1 i = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 indica a soma de 4 parcelas xi multiplicadas por coeficientes variáveis (i+1). Exemplo 5. Para representar por meio da notação de somatório a soma dos números pares, iniciando por 2 até 40, isto é: 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 40, denotaremos as parcelas variáveis por xi = 2.i, com o índice i variando de 1 até 20, de forma que, podemos escrever 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 40 = Exemplo 6. A soma dos números ímpares 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 se escreve na notação de somatório, tomando as parcelas xi = 2i – 1, com i variando de 1 até 6, conforme podemos observar na tabela seguinte: i= 1 2 3 4 5 6 xi = 2i -1 2.1 – 1 = 1 2.1 – 1 = 3 2.3 – 1 = 5 2.4 – 1 =7 2.5 -1 = 9 2.6 – 1= 11 1 1 1 1 Exemplo 7. A expressão + + + .... + indica a soma de 2 4 8 128 parcelas iguais a uma fração onde o numerador é 1 e os denominadores são potências inteiras de 2: 21, 22, 23, até 27, de modo que podemos 1 escrever a soma sob a forma de somatório com xi = i , do seguinte 2 1 1 1 1 7 1 modo: + + + .... + = ∑ i 2 4 8 128 i =1 2 Exemplo 8. Para escrever a expressão 10
  10. 10. Matemática Discretasob a forma de somatório, você deve notar que os denominadoresassumem valores crescentes de 1 até 50, indicando que a soma éconstituída por 50 parcelas e que a variação do índice i é de i = 1até i = 50. Além disso, verifica-se que os numeradores são númerosímpares da forma 2i - 1, com a mesma variação do índice i. A soma 50 2i −1acima pode ser então escrita assim: ∑ i =1 i . Exemplo 9. A soma S dos 30 primeiros termos da série pode ser expressa por meio deum somatório, lembrando que as parcelas xi são frações cujosnumeradores constituem uma progressão aritmética de termo inicial480 e razão r = -5 com termo de ordem i, ai = 480 + (i-1).(-5) = 485– 5i. Os denominadores formam uma seqüência natural de inteiros,iniciando por 10, logo, da forma 9 + i, com o índice i variando de 1 até 30 485 − 5i30. Então, a soma pode ser escrita assim: ∑ i =1 9+i 485 − 5i Confira os valores de xi = na tabela seguinte: 9+i i= 1 2 3 4 ... 30 485 − 5i 9+i Exemplo 10. O somatório expressa a soma de cincoparcelas xi = 10i -1, conforme tabela seguinte:i= 1 2 3 4 5xi = 10i - 1 10.1-1= 9 10.2-1= 19 10.3 – 1= 29 10.4 – 1= 39 10.5 -1 = 49 Logo, temos = 9 + 19 + 29 + 39 + 49 11
  11. 11. Matemática Discreta 1.2 Propriedades do somatório e algumas somas especiais No desenvolvimento de somatórios, algumas propriedades merecem destaque pela simplificação que emprestam aos cálculos. 1.2.1 Propriedades n n n a) ∑ ( xi + y i ) = ∑ xi + ∑ y i i =k i =k i =k n n b) ∑ c.xi = c ∑ .xi . i =k i =k n c) ∑ c = n − (k −1) c . i =k     m n n m d) ∑∑ xij = ∑∑ xij . (somatório duplo) i =1 j =1 j =1 i =1 1.2.2 Demonstrações n a) ∑ (x i =k i + y i ) = (xk + yk) + (xk+1 + yk+1) + ... + (xn + yn) = (xk + xk+1 + ... + xn) + (yk + yk+1 + ... + yn) n n = ∑ xi + ∑ y i . i =k i =k n b) ∑ c.x i =k i = c.xk + c.xk+1 + c.xk+2 + ... + c.xn = n = c.(xk + xk+1 + xk+2 + ... + xn) = c. ∑x i =k i n c) ∑ c = c + c + c + ... + c = c(n-k+1). i =k d) Consultar as referências bibliográficas. 1.2.3 Somas Especiais As identidades seguintes são bastante úteis no cálculo de somas, 12
  12. 12. Matemática Discretanotadamente quando se deseja calcular quantas operações sãoexecutadas em programas de computador envolvendo laços (for). Atenção n 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n + 1)n a) ∑i = 2 (n + 1)n . i =1 n= 2 É a soma dos n primeiros Prova: Bem, desenvolvendo o somatório, obtemos n números inteiros∑ii =1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n. Trata-se da soma S dos termos de uma positivos!Progressão Aritmética cujo termo inicial a1 = 1 e termo final an = n e (a1 + a n )nrazão r = 1. Sabemos que a soma S = . 2 (n + 1)n Assim, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = . 2 Atenção n b) ∑ (2i − 1) i =1 = n2. 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2 É a soma dos n n primeiros Prova: ∑ (2i − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) i =1 é a soma S dos n números ímpares!primeiros números inteiros ímpares positivos. Trata-se da soma S dostermos de uma Progressão Aritmética de termos inicial 1 e termo final (1 + 2n − 1) n 2n 2 . .2n - 1, logo, podemos escrever: S = = = n2 2 2 n Atenção c) ∑ (2i) = n(n + 1) i =1 A soma dos n primeiros inteiros pares positivos é n Prova: ∑ (2i) = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n é a soma S dos n primeiros i =1 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)números inteiros pares positivos. Trata-se da soma S dos termos deuma Progressão Aritmética de termos inicial 2 e termo final 2n, logo, Atenção ( 2 + 2n) npodemos escrever S = = n(n + 1) 2 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = d) É a soma dos quadrados dos n primeiros Veja demonstração nas referências. números inteiros positivos! Bom, como você poderá utilizar as somas especiais? Veja alguns 13
  13. 13. Matemática Discreta exemplos. Exemplo 1. Se você quer saber a soma S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n (n + 1)n 100, poderá fazer uso da identidade ∑ i = . De fato, i =1 2 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 = Exemplo 2. Qual é o valor da soma 21 + 22 + 23 + ... + 79? Observe que: 21 + 22 + 23 + ... + 79 = 1 + 2 + 3 + ... + 79 – (1 + 2 + 3 + ... + 20) = = Exemplo 3. Qual o valor da soma S dos números ímpares entre 1 e 79? Observe que S = 1 + 3 + 5 + ... + 79. Como os números são ímpares, eles são da forma xi = 2i - 1, para valores inteiros de i, de modo que, para i = 40, temos x40 = 2(40) – 1 n = 79. Assim, usando a identidade ∑ (2i − 1) i =1 = n2, a soma S pode ser escrita a forma seguinte: S = 1 + 3 + 5 + ... + 79 = = 402 = 1.600 Exemplo 4. Como calcular a soma S de todos os números pares entre 98 e 234? Você pode calcular essa soma fazendo uso da n identidade ∑ (2i) = n(n + 1) . i =1 Observe que 98 + 100 +102 + 104 + ... + 234 = 2 + 4 + 6 + ... + 234 – (2 + 4 + 6 + ... + 96) = = 117(118) – 48(49) = 13.806 – 2.352 = 11.454 Exemplo 5. Como proceder para calcular a soma dos quadrados 14
  14. 14. Matemática Discretados 30 primeiros números inteiros positivos? Você quer calcular asoma S = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 302 e deverá fazer uso da identidade . De modo que S = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 302 30 30.(30 + 1).(2.30 + 1) 30.(31).(61) = ∑i i =1 2 = 6 = 6 = 9455 . Como demonstração de que você entendeu o emprego daidentidade , calcule a soma 172 + 182 + 192 +... + 452.1.3 Dígito Verificador Você já percebeu que alguns números de fundamental importânciapara nós, como o CPF, Conta Bancária, número de agência bancária,códigos de barras, constituem uma seqüência de algarismos queao final tem a adição de um ou mais dígitos? Esse dígito adicionalé denominado Dígito Verificador (DV) e é importante para se evitarerros na digitação de tais seqüências numéricas. Como é calculado o dígito verificador? Você vai conhecer alguns exemplos de cálculos desses dígitosverificadores. A maioria dos casos consiste em multiplicar cada umdos algarismos da seqüência por um peso, em geral inteiros emordem crescente ou decrescente e tomar a soma S desses produtos. 15
  15. 15. Matemática Discreta Em seguida, dividir essa soma por um inteiro p (em geral 10 ou 11) e calcular o resto da divisão da soma S por p. Os restos da divisão de S por p são 0, 1, 2, ... , p - 1. Esses restos serão indicados pela expressão S mod p. Em seguida, tomar como dígito verificador o próprio resto, se menor do que 10. Se não, alternativas podem ser usadas. Conheça agora alguns exemplos da concepção e cálculos de dígitos verificadores: Exemplo 1. Considere o número de matrícula de uma escola constituído por sete algarismos N1.N2.N3.N4.N5.N6 - D, onde D é o dígito verificador calculado da seguinte maneira: Vamos multiplicar os algarismos da matrícula, da esquerda para direito pelos pesos 7, 6, 5, 4, 3 e 2. Em seguida calculemos a soma S = 7.N1 + 6.N2 + 5.N3 + 4.N4 + 3.N5 + 2.N6. Observe que S = Definimos D = 11 – Smod 11 onde Smod 11 = resto da divisão de S por 11 Se o valor encontrado para D for 10 ou 11, ponha D = 0. Vamos calcular o dígito D da seguinte matrícula 240134-D. Inicialmente, calculemos a soma S. Observe que a matrícula 240134 – D tem os dígitos N1 = 2, N2 = 4, N3 = 0, N4 = 1, N5 = 3 e N6 = 4, de modo que podemos escrever: 6 S= ∑ (8 − 1) N i =1 . i = 7.N1 + 6.N2 + 5.N3 + 4.N4 + 3.N5 + 2.N6 =7.2+6.4+5.0+4.1+3.3+2.4 = 14 + 24 + 0 + 4 + 9 + 8 = 59. O valor de Smod 11 = 59mod 11 = 4. Isto é, 59mod11 = 4, pois o resto da divisão de 59 por 11 é 4. O digito verificador é calculado assim: D= 11 - Smod 11 = 11 - 4 = 7. A matricula é 240134-7. Agora, verifique se entendeu como o digito verificador dessa matrícula foi calculado, efetuando os cálculos do dígito D da matrícula 451236 – D. Você deve encontrar o valor D = 7. E então, acertou? Exemplo 2. Uma rotina muito utilizada por programadores em 16
  16. 16. Matemática Discretasoftwares comerciais é a validação do Cadastro de Pessoas Físicas- CPF que serve para identificar cada indivíduo no país. O númerodo CPF é constituído de 11 dígitos D1D2D3 ... D7D8D9 – D10D11, sendoos dois últimos os dígitos de verificação, calculados da seguintemaneira: Dígito D10: D10 = 11 - , onde S1 = . Caso D10 resulte em 11 ou 10, ponha D10 = 0. Dígito D11: D11 = 11 - [S 2 ]mod 11, onde S2 = . Caso D11 resulte em 10 ou 11, ponha D11= 0 Vamos calcular os valores dos dígitos D10 e D11 do CPF 234.939.448–C10C11. Inicialmente, o CPF apresenta os seguintes dígitos: D1= 2, D2 = 3,D3 = 4, D4 = 9, D5 = 3, D6 = 9, D7 = 4, D8 = 4 e D9 = 8. No cálculo do digito D10 é necessário calcular inicialmente a somaS1. S1 = = 10.D1 + 9.D2 + 8.D3 +7.D4 + 6.D5 + 5.D6 + 4.D7 + 3.D8 + 2.D9 = 10.2 + 9.3 + 8.4 + 7.9 + 6.3 + 5.9 + 4.4 + 3.4 + 2.8 = 20 + 27 + 32 + 63 + 18 + 45 + 16 + 12 + 16 = 249 (S1)mod11 = 249mod 11 = 7 O digito D10 = 11 – 7 = 4 A rotina do dígito D11 requer a soma S2. S2 = = 11.D1 + 10.D2 + 9.D3 + 8.D4 + 7.D5 + 6.D6 + 5.D7 + 4.D8 + 3.D9 + 2.D10 = 11.2 + 10.3 + 9.4 + 8.9 + 7.3 + 6.9 + 5.4 + 4.4 + 3.8 + 2.4 = 22 + 30 + 36 + 72 + 21 + 54 + 20 + 16 + 24 + 8 = 303 (S2)mod 11 = 303mod11 = 6. 17
  17. 17. Matemática Discreta De modo que o dígito D11 = 11 – 6 = 5. E o CPF é 234.939.448 – 45. Atenção Você observou que os pesos que multiplicam os nove primeiros algarismos do CPF são 10, 9, 8, ... , 2, no cálculo do primeiro digito verificador D10 e que os pesos usados no cálculo do segundo digito verificador D11 são 11, 10, 9, ... , 2? E agora, como teste, experimente calcular os dois dígitos verificadores do seu próprio CPF! Exemplo 3. O Código de Barras EAN – 13 desenvolvido nos Estados Unidos por volta de 1970 é um dos mais usados no mundo na identificação dos produtos. Por ser lido por leitura ótica, os códigos de barras, agilizam processos de armazenagem, transporte de produtos, controle do estoque e de vendas. As barras armazenam informações sobre o produto no computador. O código EAN consiste em uma seqüência de 13 dígitos: N1.N2.N3.N4. ... .N13, distribuídos em três campos, de modo que os três primeiros dígitos identificam o país onde o produto foi fabricado (789, no caso do Brasil), o segundo campo identifica o fabricante, os próximos dígitos determinam o produto. O último dígito N13 é o dígito de controle. Para o cálculo do dígito verificador do EAN 13, inicialmente devemos multiplicar os algarismos de ordem ímpar da seqüência N1.N2.N3.N4. ... .N12 pelo peso 1 e os algarismos de ordem par pelo 18
  18. 18. Matemática Discretapeso 3, em seguida somar os produtos. A soma S correspondenteserá S = 1.N1 +3.N2 + 1.N3 + 3.N4 + ... + 1.N11+ 3.N12 que escrita sob a 6 6forma se somatório, tomará a expressão S = ∑ (1.N 2i −1 ) + ∑ (3.N 2i ) . i =1 i =1 O digito N13 é definido por N13 = 10 – Smod 10. Caso N13 resulte em 10, ponha N13 = 0. Vamos verificar se o digito verificador do EAN da figura acima estácalculado corretamente? A figura acima mostra o EAN 789 12345 6789 5, o valor da somaS será: S = 1.7 + 3.8 + 1.9 + 3.1 + 1.2 + 3.3 + 1.4 + 3.5 + 1.6 + 3.7 + 1.8 + 3.9 = 7 + 24 + 9 + 3 + 2 + 9 + 4 + 15 + 6 + 21 + 8 + 27 = 135 Como Smod 10 = 135mod 10 = 5, temos que o digito N13 = 10 - 5 = 5.Está correto o digito verificador do EAN. Agora você tem a tarefa de calcular o digito verificador do EAN 78961894 2011 N13 de uma garrafa de vinho produzido no Rio Grande doSul. E então, achou N13 = 0? Aprenda Praticando - Exercício Proposto 1.1 Demonstre que você entendeu bem os assuntos desse capítulo,resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios denúmero par são apresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas, procuresaná-las com professores executores e tutores da disciplina em fórunsde discussão que serão formados. 1. Escreva as expressões abaixo usando a notação de somatório. a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... +35 = b) 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 57 = c) 2 + 4 + 6 + ... + 220 = d) 53 +73 + 93 + ... + 1233 = 19
  19. 19. Matemática Discreta e) 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + ... + 30 . 31 = f) g) 11 + 21 + 31 + 41 + ... + 121= h) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = i) j) k) (2 . 1 + 3) + (2 . 2 + 5) + (2 . 3 + 7) + ... + (2 . 15 + 31) = l) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = m) 3 . 3 + 3 . 4 + 3 . 5 + ... + 3 . 17 = 2. Desenvolver os seguintes somatórios: 5 5 a) b) ∑ 2i i =0 c) ∑ (7i − 1) i =1 4 5 6 d) ∑ (1 + 2i) 2 i =0 e) ∑ a 6 −i i =0 f) ∑x j =1 j 3 1 6 1 5 g) ∑ 2i + ∑ 2i = i =1 i =4 h) ∑ (2i − 1). D i i) i =1 5 6 n 1 j) ∑ i.N i k) ∑a i =1 i l) ∑b i =1 i i =1 3 4 3 4 5  5  m) ∑ (∑ (i + j )) n) ∑ (∑ ( 2 i 3 j ) o) ∑∑ a b  i j   i =1 j =2 i =1 j =2 i =1  j =1  4  4  p) q) r) ∑  ∑ ai , j    i =1  j =1  3. Escrever sob a forma de somatório as seguintes expressões: 4. Escrevam na forma de somatório, os seguintes dados: a) A soma S dos 50 primeiros termos da série 1000 997 994 991 + + + + .... 1 2 3 4 20
  20. 20. Matemática Discreta b) A soma S dos 15 primeiros termos de 1 2 4 8 16384 S= + + + + ....... + 225 196 169 144 1 5. As contas do Banco Baú da Sorte apresentam numeração com seis dígitos: N1.N2.N3.N4.N5.N6 seguidos de um dígito D de controle, calculado por : Se o valor encontrado para D for 10 ou 11, ponha D = 0. Calcule o dígito verificador C para as contas de números134792-D, 245318-C e 875346-D. 6. Suponha que o CNPJ de uma empresa seja N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 / N9 N10 N11 N12 – C1 C2. Rotina para se obter os dígitos verificadores C1 e C2: Cálculo de C1 1º. Multiplicamos da direita para esquerda os algarismos do CNPJ (de N12 até N1) pelos pesos 2, 3 e assim sucessivamente até 9, e em seguida, recomeçamos multiplicando por 2, 3, etc, até encontrar o algarismo mais à esquerda N1. 2º. Calculamos a soma S1 dos resultados dessas multiplicações. 3º. Calculamos o resto R da divisão de S1 por 11. 4º. O dígito verificador será C1 = 11 – R. Se C1 = 10 ou 11, ponha C1 = 0. Cálculo de C2 1º. Incorpore ao CNPJ o dígito C1 calculado, fazendo-o ocupar a posição N13. Multiplique da direita para esquerda os algarismos da forma utilizada para o calculo de C1. 2º. Proceda com a mesma rotina para calcular C1. a) Forneça uma expressão matemática para a rotina acima descrita. b) Calcular os dígitos do CNPJ 05559748/0001-C1C2 21
  21. 21. Matemática Discreta 7. Livros são identificados pelo ISBN (International Standard Book Number) com 9 dígitos N1, N2, N3 , ... , N9 que identificam a sua publicação. Esses nove dígitos são distribuídos em blocos que identificam a língua, a editora, o número designado pela companhia editora e são seguidos de um dígito verificador D, que pode ser um número inteiro de 0 a 9 ou a letra X (usada para representar o número 10). O cálculo de D é feito da seguinte maneira: D= a) Calcule o dígito verificador D do ISBN 85.363.0361-D encontrado no livro de Matemática Discreta, do autor Seymour Lipschutz, editado pela Bookman. b) Repetir o exercício, para o ISBN encontrado no livro de Programação utilizado por você. c) Certo livro tem ISBN 85-221-02Q1 – 0. Calcule o valor de Q. 8. Calcule os dígitos verificadores do CPF 033.939.844-D10.D11 usando os métodos descritos no Exemplo 2. 9. Pesquisar na Internet (www.google.com.br) o seguinte: “Dígito Verificador”. Você encontrará diversas formas do uso de dígito verificador, notadamente em inscrições de firmas comerciais na Secretaria da Fazenda dos estados brasileiros. Conheça alguns exemplos e expresse a fórmula do cálculo da inscrição por meio de somatório. 6 10. Calcule ∑ x .y i =1 i i sabendo que xi = 7 - i e yi = 1 + i2. 11. Dado que x1 = 1, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 7, x5 = 9 e f1 = 1, f2 = 5, f3 = 3, f4 = 3, f5 = 5, calcule: 5 5 5 5 a) ∑ xi i =1 b) ∑ i =1 fi c) ∑ xi . f i i =1 d) ∑ (x ) i =1 i 2 . fi 5 e) Mostre que ∑ (x i =1 i − x) = 0 , onde é a média aritmética dos xi. n n(n + 1) n n n 12. Sabendo que ∑i = i =1 2 , ∑ k = k .n e que ∑ k .x i = k . ∑x i , i =1 i =1 i =1 22
  22. 22. Matemática Discreta calcule: 100 a) ∑i i =1 b) c) d) e) 51 + 52 + 53 + ... + 183 = f) 31 + 32 + 33 + ... + 101 = g) 10(55) + 10(56) + 10(57) + ... + 10(99) = n13. Sabendo que ∑ (2i − 1) = n i =1 2 , calcule: 100 100 a) ∑ (2i − 1) b) ∑ (2i − 1) i =4 1 i =1 c) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 31 = d) 2.1 + 2.3 + 2.5 + ... + 2.51 = e) 21 + 23 + 25 + 27 + ... + 87= f) 4(41) + 4(43) + 4(45) + ... + 4(87) = Respostas dos Exercícios 1.12.a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 b) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32c) 6 + 13 + 20 + 27 + 34 d) 12 + 32 + 52 + 72e) a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 f) x1 + x2 + ... + x6g)h) 1.D1 + 3.D2 + 5.D3 + 7.D4 + 9.D5i) 9.X1 + 8.X2 + 7.X3 + ... + 1.X9j) 1.N1 + 2.N2 + 3.N3 + 4.N4 + 5.N5k) a1 + a2 + ... + a6 l) 1 + 1 + 1 + ..... 1 1 b 2 b 3 b n b 23
  23. 23. Matemática Discreta 3 4 m) = ∑ (∑ (i + j )) i =1 j =2 = = [(1 + 2) + (1 + 3) + (1 + 4)] + [(2 + 2) + (2 + 3) + (2 + 4)] + [(3 + 2) + (3 + 3) + (3 + 4)] = [12] + [15] + [18] = 45 4. a) 6. a) C1 = 11- Se C1 = 10 ou 11 ponha C1 = 0 C2 = 11- Se C2= 10 ou 11 ponha C2 = 0 b) 05559748/0001-77 8. 033.939.844-20 6 6 10. ∑ xi . y i = i =1 ∑ (7 − i).(1 + i i =1 2 ) = 6.2 + 5.5 + 4.10 + 3.17 + 2.26 + 1.37 12. a) 5.050 b) 15.150 c) 9.800 d) 1.250 Conclusão No primeiro capítulo deste fascículo, você aprendeu o uso do somatório e como as suas propriedades facilitam o cálculo de somas. Além disso, conheceu o emprego de somatório na definição do dígito de verificação em numerações especiais como CPF, código de barras, ISBN, CNPJ, entre outros. 24
  24. 24. Matemática Discreta Saiba Mais Você poderá aprender mais sobre somatório, consultando osseguintes livros e sites: GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004. http://problemasteoremas.wordpress.com/2007/11/20/somatorio-duplo/ http://www.ean.com.br Orientação de Estudos A demonstração da propriedade 1.2.1 letra d pode ser feita porvocê. Tente fazê-la e discuta o resultado com seus colegas nos fórunsde discussão que serão formados com esse objetivo. m n n m A propriedade ∑∑ xij = i =1 j =1 ∑∑ xij j =1 i =1 é uma identidade que mostracomo podemos somar os elementos de uma tabela constituída por mlinha e n colunas: como a soma dos elementos xij situados nas linhasda tabela ou como soma dos elementos situados nas colunas. 25
  25. 25. Matemática Discreta m n n m Mostre a igualdade ∑∑ xij = ∑∑ xij se verifica, provando que i =1 j =1 j =1 i =1 a soma S dos elementos da tabela pode ser feita de duas maneiras: somando-se as linhas i ou somando-se as colunas j, de modo que: S = S1l + S 2 + S 3 + ..... + S m l l l e S = S1c + S c + S3 . + ................ + S n , 2 c c o que justifica a troca da ordem no somatório duplo. 26
  26. 26. Matemática DiscretaCapítulo 2 - Matrizes:armazenando dados Neste capítulo serão feitas revisões sobre matrizes de entradasreais, os diversos tipos de matrizes e as operações de soma,multiplicação de matriz por um número real e multiplicação dematrizes apropriadas. Trataremos também de matrizes booleanase as operações definidas nesse tipo de matriz. Na literatura deinformática, as matrizes são conhecidas por diversos nomes, entre osquais arranjos, arrays, etc. Nesse caso, as matrizes são estruturasque armazenam dados.2.1 Matriz Uma matriz m x n é uma tabela de mn números dispostos em mlinhas e n colunas e será denotada assim A = (aij)m x n. O tamanho damatriz é a dimensão m x n da tabela seguinte: A= A i-ésima linha de é 27
  27. 27. Matemática Discreta A j–ésima coluna de A é Exemplo 1. A matriz A seguinte é do tipo 4 x 3, sua 3ª linha é e sua 3ª coluna é - 3  1 2 - 3  0  7 - 1 0    A=   - 2  2 - 2 - 2       -8    9 - 1 - 8    Existem duas maneiras de denotar um elemento individual de uma matriz: aij ou representam o elemento da matriz A situado na posição ij, ou seja, que está na linha i na coluna j. Exemplo 2. Podemos usar matrizes como modelo para representar dados. As observações sobre as temperaturas médias em três cidades diferentes ao longo de uma semana, podem ser representadas por uma matriz T do tamanho 3x7, cujo elemento genérico tij é a temperatura média (em graus Celsius) da cidade i no dia j. A matriz T é a tabela seguinte: 1 (Dom) 2 (Seg) 3 (Ter) 4 (Qua) 5 (Qui) 6 (Sex) 7 (Sab) Cidade 1 23 23 24 25 21 24 25 Cidade 2 17 16 18 19 15 16 17 Cidade 3 29 27 28 29 31 30 30 Na matriz T podemos verificar que a temperatura média na cidade 2 no dia 5 é t25 = 15°C e que a temperatura mínima na cidade 3 ocorreu no dia 2 com valor t23 = 27°C. 28
  28. 28. Matemática Discreta2.2 Definição Duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)r x s são iguais se e somente seelas têm o mesmo tamanho, ou seja, m = r e n = s, e se os elementosque ocupam posições iguais são iguais. 2 3 x x + 1 Exemplo 3. O valor de x nas matrizes A =   e B= tal x  2 8  4 8  que A = B é x =2.2.3 Tipos especiais de matrizes Ao trabalharmos com matrizes, observamos que existem algumasque, seja pela quantidade de linhas ou colunas, ou pela natureza deseus elementos, têm propriedades que as diferenciam das demais.Além disso, estes tipos de matrizes surgem com freqüência na práticae, assim, recebem nomes especiais. Recordaremos alguns tipos. • Matriz Quadrada é uma matriz n x n, isto é, tem o número de linhas igual ao número de colunas. Como exemplo, temos as matrizes A e B do Exemplo 2. Numa matriz quadrada, por exemplo, A3x3 = oselementos aij tais que i = j são a11, a22 e a33 e constituem a diagonal 8 4 5   principal de A. Caso a matriz seja A = 0 2 6 , a diagonal principal 5 1 7   é constituída pelos elementos 8, 2 e 7. • Matriz Nula é aquela em que aij = 0 para todo i e j.  0 0  0 0 0   Por exemplo, A =   e B =  0 0 .  0 0 0  0 0   • Matriz Coluna (matriz unidimensional) é aquela matriz A = (ai, j)i x 1, i = 1 , 2, 3, ... , m, que possui uma única coluna. 29
  29. 29. Matemática Discreta - 3   0  Exemplo:  . - 2     -8    • Matriz Linha (matriz unidimensional) é a matriz A = (ai, j)ixj, j = 1, 2, 3, ..., n, que possui apenas uma linha. Exemplo: . • Array. Freqüentemente, em programação, dados são armazenados em vetores (arrays), isto é, listas em que os elementos são indexados por um ou mais índices. Um array unidimensional é uma matriz linha ou matriz coluna e sua dimensão é o número de índices. Por exemplo, as notas em Matemática Discreta de dez alunos do Curso de Sistemas de Informação podem ser listados no seguinte array: [8,1; 5,0; 8,7; 6,0; 9,5; 6,0; 2,0; 7,8; 10,0; 5,7] Podemos denotar todas as notas da lista pelo símbolo n e índices diferentes que indicam a posição de cada nota no array: [n1, n2, n3, ... , n10]. De modo que, n3 = 8,7 e n7 = 2,0. • Matriz Diagonal é uma matriz quadrada onde aij = 0 para i j, isto é os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.  2 0 0 Exemplo: 0 3 0  .   0 0 1    • Matriz Identidade Quadrada é a matriz quadrada em que aij = 1 se i = j e aij = 0 para i j. 1 0 0  1 0 Exemplos: I3 = 0 1 0  e I2 =   .   0 1 0 0 1    • Matriz Simétrica é aquela matriz quadrada onde aij = aji. Observe que, numa matriz simétrica, a parte superior é uma reflexão da parte inferior, em relação à diagonal. 30
  30. 30. Matemática Discreta 1 2 3  - 1 8  Exemplos: 2 6 8 e    .  8 3 3 8 5    Os elementos simétricos em relação à diagonal principal sãoiguais. • Matriz Transposta. Dada uma matriz A = (aij)m x n, podemos obter uma matriz AT = (bij)n x m, denominada transposta de A, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = aji. 2 1 2 3 5 Exemplo: A =   AT = 3  8  1 8 2  5  2  Observe que é uma matriz quadrada A é simétrica se e só se: A = AT. Exemplo 4. Considere a matriz A = do tipo 4 x 4. 4 a) A soma dos elementos situados na 3ª linha de A é S = ∑a j =1 3, j = a3,1 + a3,2 + a3,3 + a3,4 = 20 + 18 + 17 + 16 = 71. 4 b) O somatório S = ∑a i =1 i,2 representa a soma dos elementos da matriz A situados na 2ª coluna. c) Se queremos escrever a soma dos elementos da matriz A 4 situados na diagonal escrevemos S = ∑a i =1 i ,i , de modo que S = a1,1 + a2,2 + a3,3 + a4,4 = 10 + 13 + 17 + 24 = 64.  4  4 d) O duplo somatório S = ∑  ∑ ai , j  representa a soma de  L  i =1  j =1  todos os elementos da matriz A. Para cada valor do índice i no primeiro somatório, o somatório interno calcula a soma dos elementos da linha i, fazendo o índice j variar de 1 a 4. Desse modo, obtemos: 31
  31. 31. Matemática Discreta  4 4  S = ∑  ∑ ai , j  L   i =1  j =1  4 = ∑ (a i =1 i ,1 + ai , 2 + ai ,3 + ai , 4 )= = (a1,1 + a1,2 + a1,3 + a1,4) + (a2,1 + a2,2 + a2,3 + a2,4) + (a3,1 + a3,2 + a3,3 + a3,4) + (a4,1 + a4,2 + a4,3 + a4,4) = (10 + 12 + 15 + 20) + (12 + 13 + 14 + 15) + (20 + 18 + 17 + 16) + (21 + 22 + 23 + 24) = 57 + 54 + 71 + 90 = 272. Observe que somamos os elementos de A, tomando a soma de cada linha. Agora, se você quer obter a soma dos elementos de S tomando a soma dos elementos das colunas, experimente fazer 4  4  SC = ∑1  ∑ ai, j  , obtido do somatório anterior trocando a ordem j =  i =1 i  dos índices i e j. É claro que a soma SC resulta em 272. 2.4 Operações com matrizes Podemos definir operações numéricas entre matrizes cujos elementos (entradas) são numéricos. Essas operações tornam não só as matrizes muito interessantes, como objeto de estudo, como úteis na solução de diversos problemas. 2.4.1 Adição de matrizes A adição de matrizes é definida para matrizes de mesmo tamanho. Isto é, se A e B são duas matrizes de mesmo tamanho m x n, a soma dessas duas matrizes, denotada por A + B, é também uma matriz Cm x n, cujo elemento na posição ij é definido como sendo a soma dos elementos de A e B que ocupam a posição ij. Ou seja, se A = (aij)m x n e B= (bij)m x n, então C = A + B é a matriz (cij)m x n definida por cij = aij + bij.  2 3 2  8 5 2 Exemplo 5. Se A =   B=   , então: − 3 2/3  − 5 7/3  32
  32. 32. Matemática Discreta C= . Bem, você provavelmente está se perguntando, de que modopode-se empregar a soma de matrizes em situações reais? O exemploseguinte responde ao questionamento. Exemplo 6. Um fabricante de um produto produz três modelosA, B e C. Cada um deles é produzido parcialmente na fábrica F1 emCampinas e, então, finalizado na fábrica F2 em São Paulo. O custode cada produto é composto pelo custo de produção e pelo custo detransporte. As matrizes F1 e F2 seguintes descrevem o custo dos trêsprodutos em cada fábrica. F1 = F2 = A matriz F1 + F2 = FT fornece o total dos custos de produção etransporte para cada produto. Assim, F1 + F2 =2.4.2 Multiplicação de uma matriz por um escalar Na seção anterior você conheceu como as matrizes podem sersomadas. Bem, agora, vamos mostrar quando é possível multiplicaruma matriz de qualquer tamanho por um número real. 33
  33. 33. Matemática Discreta Se A é uma matriz m x n e k é um escalar, o produto da matriz A pelo escalar k, denotado por kA, é também uma matriz m x n, cujo elemento na posição ij é definido como sendo o produto do elemento de A que ocupa a posição ij pelo escalar k. Isto é, se A = (aij)m x n então C = kA é a matriz (cij)m x n definida por cij = k . aij Exemplo 7. Uma empresa de material fotográfico tem loja em cada uma das cidades A, B e C. Um marca específica de câmera está disponível para venda nos modelos automático, semi-automático e não-automático. Cada uma dessas câmeras tem uma unidade de flash correspondente que é vendida juntamente com a câmera. Os preços de venda das câmeras e das unidades de flash são fornecidos pela matriz V do tipo 2x3. V= Bem, se a empresa planeja reduzir os preços de venda de seus produtos, oferecendo desconto de 10% para pagamentos à vista, então a tabela de preços sofrerá alteração, de modo que cada produto terá seu preço multiplicado por 0,9. A matriz dos novos preços será obtida multiplicando a matriz V por 0,9: 0,9 . V = 2.4.3 Multiplicação de matrizes A multiplicação de matrizes está definida quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Assim, se A é uma matriz m x p e B é uma matriz p x n, o produto AB é possível. Além disso, a matriz C = AB é do tipo m x n. Para encontrarmos o elemento ij da matriz produto AB, multiplicamos cada um dos elementos da linha i da matriz A pelo correspondente elemento da coluna j da matriz B e somamos os produtos obtidos. Como as linhas da matriz A tem o mesmo número de elementos que as colunas de B, não sobram nem faltam elementos. 34
  34. 34. Matemática Discreta A B C cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + aipbpj p cij = ∑a k =1 ik bk j i = 1, 2, 3, ... j = 1, 2, 3, ... Exemplo 8. Considere as matrizes A = eB= .O produto AB é possível, pois A é do tipo 2x3 e B do tipo 3x2, a matrizC = AB é 2x2, onde C = , c11 = c12 = c21 = c22 = Exemplo 9. Caso as matrizes A e B do Exemplo 6 sejam A = 1 32 3 1  3 0 4  e B = 0 2  , o produto A.B será uma matriz de tamanho  3 2   2x2 obtida multiplicando os elementos de cada linha de A (Li) pelosrespectivos elementos de cada coluna de B (Cj). Assim, 35
  35. 35. Matemática Discreta  1  3   [2 3 1]        A.B =   .  0   2   [3 0 4]   3 2       L1 .C1 L1 .C 2  2.1 + 3.0 + 1.3 2.3 + 3.2 + 1.2 =   =   L2 .C1 L 2 .C 2  3.1 + 0.0 + 4.3 3.3 + 0.2 + 4.2   = Exemplo 10. Considere a matriz F1 do Exemplo 6 que fornece o custo dos produtos A, B e C produzidos na fábrica F1. Se a matriz Q3x1 = representa a quantidade produzida de cada produto A, B e C, por mês, o que representa a matriz produto Q.F1? Bom, multiplicando Q por F1, obtemos: Q.F1 = =[ 100.32 + 200.50 + 150.70 100.40 + 200.80 + 150.20] = [23700 23000] A matriz Q.F1 apresenta o custo de produção e de transporte de toda a produção mensal dos três produtos. Que informações sobre o custo dos produtos A, B e C, a matriz (F1)T.QT fornece? Recorde o conceito de matriz transposta! 2.4.4 Matrizes Booleanas Na grande maioria dos casos nós utilizamos matrizes cujos elementos são números reais. Desse modo, os cálculos nas operações 36
  36. 36. Matemática Discretade adição, multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes sãofeitos com os elementos escritos na base decimal. Mas, na tecnologiada informação, o uso de dados na notação binária é necessário. Osdados codificados em binário são muito importantes e tem aplicaçõesvariadas no computador, notadamente em videogames, comunicaçãopor fax, transferências de dinheiro por meio de caixas eletrônicos,etc. Seja A = (ai,j) uma matriz cujos elementos são os bits 0 e 1,entendendo que esses dígitos como valores lógicos (0 representandoFALSO e 1 representando VERDADEIRO). Essas matrizes sãochamadas matrizes booleanas, homenagem ao matemático inglêsdo século XIX, George Boole. Exemplo 11. Suponha que numa sala de aula com 30 alunosqueremos registrar a presença (1) e a ausência (0) nos 22 dias deaulas do mês. A matriz booleana que apresenta o registro da presençaàs aulas é uma matriz A30x22 da seguinte forma: 1 0 1 1 1 0 1 ...... 1  0 1 1 1 1 1 0 ....... 0   A= ..............................    1 1 1 1 1 1 1 ........ 1 O elemento aij = 0, significa que o aluno i esteve presente à aulado dia j. O elemento aij = 0, quando o aluno i faltou à aula do dia j. Exemplo 12. Considere que uma rede de comunicações temcinco estações com transmissores de potências diferentes. Na matrizA abaixo estabelecemos que aij = 1, significa que a estação i podetransmitir diretamente à estação j, aij = 0 significa que a transmissãoda estação i não alcança a estação j. Veja o diagrama abaixo. 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0   A = 0 1 0 1 0   0 0 1 0 1 0 0 0 1 0   O elemento a13 = 1, significa que a estação 1 transmite diretamenteà estação 3 e a31 = 0 significa que a estação 3 não transmite 37
  37. 37. Matemática Discreta diretamente à estação 1. Qual o significado da diagonal nula de A? A matriz A é simétrica? A diagonal nula de A, significa que uma estação não transmite para si mesma. Além disso, observe que A AT, logo a matriz A não é simétrica. Isso significa a não comutatividade da comunicação entre duas estações. 2.4.5 Adição e multiplicação de matrizes booleanas Podemos definir a adição ( ∨ ) e produto booleano ( ∧ ) de duas matrizes de mesmo tamanho da maneira usual, exceto pelo fato de que agora usamos as operações booleanas de adição e multiplicação, conforme tabelas a seguir: ∨ 0 1 ∧ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 Tabela da Tabela da adição Multiplicação As tabelas acima definem a adição booleana ( ∨ ) e o produto booleano ( ∧ ) de acordo com a seguinte notação: x ∨ y = Max (x, y) e x ∧ y = Min (x,y) Se A = (aij)n x m e B = (bij)n x m são matrizes booleanas, então: A ∨ B = (aij ∨ bij)n x m e A ∧ B = (aij ∧ bij)n x m Exemplo 13. 1 0  0 1 a) A soma booleana das matrizes A =   e B =   é dada por 0 1  0 1 1 0  0 1 1 ∨ 0 0 ∨ 1 1 1  A∨B= ∨   = 0 ∨ 0 1 ∨ 1  = 0 1 0 1  0 1      1 1 1 1  b) O produto booleano das matrizes A =   B = 1 0 é dado  0 1    1 1 1 1  1 ∧ 1 1 ∧ 1  1 1  por A ∧ B =   ∧ 1 0 = 0 ∧ 1 1 ∧ 0  = 0 0 .  0 1       38
  38. 38. Matemática Discreta 1 0 1  Agora, é com você. Considere as matrizes booleanas A= 0 0 1 ,   1 1 1    1 1 0  1 0 1 B = 0 1 1  , C = 1 1 1  . Efetue as seguintes operações booleanas:     0 1 0    0 0 1   a) A ∧ B b) A ∨ B c) B ∨ C d) A ∨ A e) B ∧ B f) (A ∧ B) ∨ C g) A ∨ (C ∧ B)2.4.6 Multiplicação de matrizes booleanas A multiplicação de matrizes booleanas (Aij)m x p e (Bij)p x n denotadapor A ⊗ B é definido como a matriz C do tipo m x n tal que cij = = (ai1 ∧ bij) ∨ (ai2 ∧ b2j) ∨ (ai3 ∧ b3j) ∨ ... ∨ (aip∧ bpj) Perceba que esse produto é obtido multiplicando cada linhade A pelo produto booleano e somando esses produtos pela somabooleana. Exemplo 14. Calcule o seguinte A ⊗ B nos seguintes casos: 0 1  1 0 1  1 1 0  1 0 1      0 1 1  a) A =   B = 1 1  b) A= 0 0 1 B =     0 1 1  0 0    1 1 1    0 1 0    0 1  a) A ⊗ B = 1 0 1  ⊗   = 0 1 1    1 1  0 0    Agora, faça o exercício b. 1 1 1  Você deverá chegar à matriz booleana A ⊗ B = 0 1 0   1 1 1    Exemplo 15. Os aeroportos 1, 2 e 3 estão interligados por vôos 39
  39. 39. Matemática Discreta diretos e/ou com escala. A matriz M = (ai,j)3x3 é tal que ai,j = 1, se há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j, e ai,j = 0, se não há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j é 0 1 0  M = 1 0 1  .   1 0 0   Os vôos de um aeroporto para outro são representados no diagrama seguinte: Observe que não há vôos diretos do aeroporto 1 para o aeroporto 3, nem do 3 para 2. Mas, há esses vôos com escala. Isto é, partido de 1 podemos alcançar 3, passado por 2. Além disso, partindo de 3 podemos atingir 2 passando por 1. A matriz M2= (bi,j) onde M2 = M ⊗ M tal que bij =1 significa que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com escala, caso contrário, bij = 0. De fato, 0 1 0  0 1 0  M ⊗ M = 1 0 1  ⊗ 1 0 1      1 0 0   1 0 0   1 0 1   = 1 1 0 0 1 0    O diagrama ao lado indica os vôos com escala. 40
  40. 40. Matemática Discreta Aprenda Praticando - Exercício Proposto 2.1 Verifique se você entendeu bem os assuntos desse capítulo,resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercíciosde número par são apresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas,procure saná-las com professores e tutores da disciplina em fóruns dediscussão que serão montados para esse fim. 1 2 -2 1 3 0 1 2 1. Considere a matriz B =  2  . Calcule: -1 4 1   0 -3 1 3 4 4 4 4 a) ∑ b2, j j =1 b) ∑ j =1 bi,3 c) ∑ ( ∑ bi,j) i =1 d) i =1 2. Calcule o produto A.B nos seguintes casos:  2   a) A = [ 1 -1 0] e B =  1   − 2    − 1 2  2 - 2 b) A =   eB= 1 - 1  - 3 1     2 1  2 3 0    c) A =   e B =  -1 1  1 2 1   2 -2     2 - 5 - 4 2 3. Se A =   e B = - 1 , calcule: 3 1   3 a) A2 = A.A b) A3 c) B2 d) B3 e) Mostre que A.B B.A f) (A+ B)T g) (A.B + A)T h) AT.BT + B  2 1  2 3 0    4. Considere as matrizes A =  B =  -1 1  . Calcule, 1 2 1  2 -2    quando possível, os seguintes produtos: 41
  41. 41. Matemática Discreta a) AT.BT b) B.A c) BT.AT 5. Suponha que A, B e C são matrizes de números, respectivamente de ordens 3 x 7, 7 x 2 e 2 x 5. Qual o modo mais eficiente de calcular o produto ABC, é (A.B).C ou A.(B.C)? Justifique sua resposta computando o número de multiplicações que se efetua em cada caso. 6. Considere as matrizes indexadas 2 x 2 Bi definidas por i − 1 i  Bi =  com i N*. i + 1 i + 2  a) Escreva as matrizes B1, B2, ..., B5 5 b) Calcule o valor da soma S = ∑B i =1 i 5 c) Determine o valor da soma S = ∑ (B ) i =1 i t 3 d) Calcule a soma S = ∑ ( B .B i =1 i T i ) 7. Considere a matriz A= (ai,j), do tipo 30 x 30: a) Escreva os elementos de A. b) Expresse sob a forma de somatório, a soma dos elementos situados na 12ª linha de A. c) Expresse, sob a forma de somatório, a média aritmética dos elementos situados na 25ª coluna de A. d) Expresse sob a forma de somatório, a soma dos elementos de A situados na 13ª coluna. e) O que significa o valor encontrado para o seguinte somatório MP = ? 2 x2 8. Seja A = 2 x − 1  . Qual o valor de x tal que AT = A 0     9. Os aeroportos 1, 2, 3 e 4 estão interligados por vôos diretos e/ 42
  42. 42. Matemática Discreta ou com escala. A matriz M = (ai,j)4x4 é tal que ai,j = 1, se há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j, e ai,j = 0, se não há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j é 0 1 0 0 0 0 1 0 . M=  1 0 0 1   1 1 0 0 a) Faça um diagrama representando os vôos diretos. b) Calcule a matriz M2= (bi,j) onde M2 = M ⊗ M tal que bi,j =1 significa que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com escala e faça um diagrama representativo da situação. 10. Uma fabricante produz janelas e portas e cada um desses produtos passa por um processo de montagem e por um processo de acabamento. O tempo gasto em cada um desses processos é fornecido (em horas) pela matriz Montagem Acabamento  3 A=  4 Janela  .  2  2 Porta   O fabricante tem uma fábrica em Caruaru e outra em Campina Grande e o custo de cada um desses processos, por hora trabalhada é fornecido pela matriz B= Calcule a matriz A.B e diga o significado dos elementos do produtoA.B. 11.Suponha seis pessoas – Adriano (A), Bernardo (B), Carla (C), Daniele (D), Eunice (E) e Fábio (F) – que adoram uma fofoca via telefone. Cada dia Adriano conversa com Bernardo e Fábio; Bernardo conversa com Adriano, Carla e Daniela; Carla com Bernardo, Daniele e Eunice; Daniele com Bernardo, Carla, Eunice e Fábio; Eunice conversa com Carla, Daniele e Fábio; e Fábio conversa com Adriano, Daniele e Eunice. Tudo que uma pessoa conversa com outra num dia, ela repassa a fofoca para as outras no dia seguinte. 43
  43. 43. Matemática Discreta a) Modele este esquema de fofocas por telefone utilizando uma matriz booleana M = (mi,j)6x6 onde mi,j = 1 significa que a pessoa i conversa com a pessoa j. Caso contrário, mi,j = 0. b) M é simétrica? c) Quantos dias, no mínimo, uma fofoca recebida por Adriano na segunda–feira leva para chegar aos ouvidos de Daniele? 12. Na matriz booleana A3x3 abaixo, a letra L significa ligado (1) e a letra D significa desligado (0). L L D A = D L D  .   D L L    a) Encontre uma matriz B3x3 do tipo ligado/desligado tal que A v B seja uma matriz em que todos os elementos sejam ligado. b) Encontre uma matriz B3x3 do tipo ligado/desligado tal que A ∧ B seja uma matriz em que todo elemento seja desligado. Respostas dos Exercícios 2.1  0 0 1 5  2. a) [ ] 1 b)   c)   - 5 5  2 1 5 - 1 2   5 8 1 4. a) 8 - 1 2  b) - 1 - 1 1  c)     1 1 - 2    2 2 - 2   0 1  1 2   2 3 4 5  6. a) B1 =  ,, B2=  B2 ,B= ,B = eB=  2 3 3 4  3  4 5 4     6 7  . 5 b) S = ∑B i =1 i = 5 c) S = ∑ (B ) i =1 i t = 3 d) S = ∑ ( B .B i =1 i T i ) 44
  44. 44. Matemática Discreta 0 1  0 2  1 2  1 3  2 3  2 4  =  . +  .  + 4 5 . 3 5  2 3 1 3 3 4 2 4     3 4 3 5  4 5  4 6 + .  +  .  5 6 4 6 6 7  5 7  8. x = 1 10. AB = A matriz AB indica o custo total de fabricação de janela e portas nas duas fábricas. D D L  D D D 12. a) L L L  b) L D L      L D D    L D D    Saiba Mais No segundo capítulo deste fascículo, você aprendeu sobre matrizes,as operações que nelas podemos efetuar e como as matrizes podemser usadas como estrutura de armazenamento de dados. Conheceutambém as matrizes booleanas, cujos elementos são varáveisbooleanas, tipo Sim/Não, Ligado/Desligado. As operações entrematrizes booleanas foram apresentadas através de exemplos. Você poderá aprender mais sobre matrizes, consultando osseguintes livros e sites: GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações. Tradução de Alessandra Bosquilha. Rio de Janeiro: LTC, 2006. LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004. 45

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