Algebra 1° y 2° - DOMINGO

2016
ÁLGEBRA
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3
1 Leyes de Exponentes
 3-2
= =
 -2-3
= = -
(Observa que el exponente (-3) afecta a 2)
 a : base a ∈ R
 n : exponente n ∈ Z
 P : potencia P ∈ R
Potenciación
Exponente natural :
Si a ∈ R y n ∈ +
.
42
= 16
Exponente
Base
Potencia
Exponente cero : Si a ∈ R ; a ≠ 0.
an
= P
Ejemplo:
DEFINICIÓN 1
an
= a . a . a . ... . a
“n” factores
Ejemplos:
 x . x . x = x3
 (-3)2
= (-3)(-3) = 9
 -32
= -(3)(3) = -9
(Observa que el exponente afecta
a 3)
 (-3)3
= (-3)(-3)(-3) = -27
DEFINICIÓN 2
Ejemplos:
 30
= 1
a0
= 1
 (- 2)0
= 1
 -50
= -1
(Observa que el cero afecta a 5)
 530
= 51
= 5
Exponente negativo : Si a ∈ R; a ≠ 0.
DEFINICIÓN 3
a-n
=
1
an
Ejemplos:
1
32
1
9
1
8
-1
23
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4
¿CÓMO CONTAR LOS GRANOS DE
ARENA QUE CABEN EN EL UNIVERSO?
Arquímedes (287 - 212 a.C.) nació y murió en Siracusa,
actual Italia. Fue sin duda el mayor matemático de la
antigüedad. En una obra titulada Psammites (El Cálculo
de los Granos de Arena, más conocida en español como
El Arenario) se jactaba que podía enumerar los granos
de arena necesarios para llenar el universo, utilizando
para ello números gigantescos expresados mediante
exponentes. Arquímedes comienza, basándose en los
trabajos del astrónomo Aristarco (310 - 230 a.C.),
con ciertas estimaciones relativas a los tamaños de la
Tierra, la Luna y el Sol, y a las distancias de la Luna,
del universo usual hasta la distancia del Sol es menor
que 1010
estadios (un estadio es igual a 147,8 metros).
A continuación supuso que 10 000 granos de arena ya
superaban a una semilla de adormidera, que el diámetro
de una de ellas era menor o igual que 1/40 del ancho
de un dedo, y a su vez un estadio es menor que 10 000
dedos. Con estas desigualdades, Arquímedes llegó a la
conclusión que se necesitaban 1051
granos de arena para
llenar la esfera del universo, generalmente aceptada
aquel tiempo.
Recreación de la Muerte de Arquímedes durante la II
Guerra Púnica. “No tangeré circues meos” (No toques
mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cu-
el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano
Arquímedes (De la vida del general romano Marcelo,
según Plutarco).
Exponente fraccionario : Si m/n ∈ Q.
DEFINICIÓN 4
Ejemplos:
 34/5
= 5
34
1. am
. an
= am+n
2. = am-n
; a ≠ 0
3. (a . b)n
= an
. bn
am/n
= n
am
Teoremas
am
an
Elementos:
Ecuaciones Exponenciales
A. BASES IGUALES
am
= an
⇒ m = n
Ejemplo:
Resuelve: 23x+1
= 210
3x + 1 = 10 ⇒ x = 3
B. FORMAS ANÁLOGAS
xx
= aa
⇒ x = a
Ejemplo:
xx
= 27 ⇒ xx
= 33
⇒ x = 3
an
bn
a
b(
n
(
a
b
n
n
a
n
b
4. = ; a ≠ 0
5. (am
)n
= am.n
6. n
ab = n
a . n
b
7. = ; a ≠ 0
8. cn
acm
= n
am
9. m n
a = mn
a
Exceptuando:
2
1
4
12
1
4
1
=` `
c c
j j
m m
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5
1. Reduce:
S =
a) x10
b) x5
c) 1
d) x-5
e) x-10
Resolución:
S = =
extraemos:
S = = x10
x3
. x3
. x3
. ... . x3
3
x2
. 3
x2
. 3
x2
. ... . 3
x2
30 veces
20 veces
( x3
)20
(3
x2
)30
x60
3
x60
x30
x20
3. Si 9x
+ 3x+3
= 28, calcula “x”.
a) 3 b) 1 c) 0
d) 2 e) 6
Resolución:
(32
)x
+ 3x+3
= 28
32x
+ 3x+3
= 28
3x
(3x
+ 33
) = 28
3x
(3x
+ 33
) = 28
3x
(3x
+ 27) = 1(1 + 27)
∴ 3x
= 1
x = 0
Rpta.: c
Rpta.: a
Rpta.: c
4. Simplifica:
a) a+b+c
b) ab + ac + bc
c) abc
d) a-1
+ b-1
+ c-1
e) an
+ bn
+ cn
Resolución:
an
cn
+ an
bn
+ bn
cn
a-n
+ b-n
+ c-n
n
an
bn
cn
(b-n
+ c-n
+ a-n
)
a-n
+ b-n
+ c-n
n
Factorizando an
+ bn
+ cn
en el numerador:
n
an
bn
cn
= abc
Resolución:
5. El exponente de “x” que resulta al simplificar:
E = 1+1/2 1+1/3 1+1/4 1+1/5
... 1+1/n
xn
es:
a) n2
/2 b) n/2 c) 2/n
d) 2 e) 2n/n+1
Rpta.: d
2. Calcula:
E =
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
Resolución:
E =
E = 641/2
+ 271/3
+ 6251/4
E = 64 + 3
27 + 4
625
E = 8 + 3 + 5
E = 16
1
64( ( +
1
27( ( +
1
625( (
-2-1 -3-1 -4-1
1
64( ( +
1
27( ( +
1
625( (
-2-1 -3-1 -4-1
Operando las fracciones tenemos:
E = 3/2 4/3 5/4 6/5
... (n+1)/n
x
E = 3/2 4/3 5/4 6/5 ... (n+1)/n
xn
E = (n+1)/2
xn
E = xn/[(n+1)/2]
E = x2n/(n+1)
Rpta.: c
EJERCICIOS RESUELTOS
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6
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Si xy
= 2, calcula:
(xy
)xy
. (x3
)-y
. (4y2
)y-2
Resolución:
Resolución:
104
. 303
. 423
54 . 250 . 602
. 702
Efectúa:
a) 2 . 3
2 . 6
2
b)
Resolución:
6
9 . 4
9 . 3
9
20
9 . 5
9
xn
. x x ; x > 0.
calcula n.
Resolución:
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7
Rpta:
5
Rpta:
6Halla “x” si:
Resolución:
62x-4
144x-2
1
16
=
W =
Resolución:
5 . 2x+2
- 2x+4
+ 6 . 2x-1
2x+5
- 15 . 2x
- 2 . 2x+3
7. Sabiendo que:
2x-3
= 3, halla 21-x
8. Después de simplificar:
se obtiene:
n-2 32n+5
- 9 . 32n+1
24 . 3n+4
9. Si:
3x
= 7y
, calcula el valor de:
P = 3x+1
- 7y+1
+ 3x
7y
- 7 . 3x
+ 3 . 7y
10.
; x ≠ 0(xa
)bc
. (xbc
)a
. xac
. xac
... xac
. x
((x3a
)b
)c
b veces
11. Halla “x” en:
8x+3
= 4
323x+1
12.
F(x) = 3
x 3
x 3
x 3
x ... (n radicales)
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8
1. Calcula el valor de x en:
2x
. 2 = 3
4x
a) 2 b) -3/2 c) 1/2
d) 1/4 e) 5/3
2.
a) 287 b) 281 c) 235
d) 123 e) 435
1
2( (
-(1/2)-1
+
1
3( (
-(1/3)-1
+
1
4( (
-(1/4)-1
3. Calcula A + B, siendo:
A={(1/2)-3
+(2/5)-2
+(4/7)-1
}0,5
B={8(4/5)-2
-(2/3)-3
-(8/9)-1
}(1/3)
a) 20 b) 9 c) 4
d) 6 e) 5
4. Resuelve:
1632x-2
= 22x+2
a) 2/5 b) 3/2 c) 5/2
d) 2 e) 5
5. Reduce:
P =
a) 1 b) 5 c) 25
d) 3
5 e) 5
5
5
253
. 15
5 . 3
25
3
5 . 5
125
6. Efectúa:
E =
a) 1 b) x c) x32
d) x-32
e) x-1
(x3
)-2
. x-210
. (x-4
)2
(x-5
)-1
. x(-3)2
. (x-1
)-2
7. Halla “x” si:
(0,01)x27-3-1
= 0,0001
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
8. Luego de resolver la ecuación:
94x+1
= 383
indica el valor de R = x-1
x + 1
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 0
9. Si ab = 1, calcula el valor de:
M = (ab
)a
(ba
)b
((aa
)b
)a
((bb
)a
)a
a) 1 b) a c) b
d) ab e) a/b
10. Reduce:
R = 3
642-1
+ 162-2
- 83-1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11.
E =
resulta:
a) 5 b) 2,5 c) 2
d) 1,25 e) 0,5
252n
- 402n
202n
- 322n
2-n
4n2
+ 16n2
16n2
+ 64n2
n
12. Después de simplificar:
E =
se obtiene:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
32x/(x-y)
+ 6 . 32y/(x-y)
x-y
3x+y
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9
2 Polinomios
Monomio
 M(x, y) = x3
y4
Monomio
 M(x, y, z) = x5
y3
z5
Monomio
 M(x, y, z) = x4
y3
z6
Monomio
 x2
/y3
No es monomio
 x4
y1/2
No es monomio
 x6
y2/3
z No es monomio
Término algebraico de exponentes enteros y positivos para
todas sus variables (expresion racional entera).
Ejemplos:
Polinomio
 P(x,y) = 6x4
y2
- 5x2
+ 3xy3
+ y4
Polinomio de 4 términos
 P(x,y,z) = 3x2
y3
z - 5x3
y5
+ 3y4
 P(x,y,z) = 2xy - 5xy2
z4
Expresión algebraica entera de uno o más términos.
Ejemplos:
Está dado por el exponente de la variable indicada.
 M(x, y, z) = 4x2
y4
z5
GR(x)=2; GR(y) = 4; GR(z) = 5
1. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)
Grados
Es el mayor grado de uno de los términos.
 M(x, y, z) = 32
x4
y5
z7
G.A. = 4 + 5 + 7 = 16
2. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)
Está dado por el mayor exponente de la variable referida.
 P(x, y) = 2x4
y2
+ 6x3
y5
+ 7x7
GR(x) = 7 ; GR(y) = 5
 Q(x, y) = 6x4
y5
- 2x5
y3
- y6
GR(x) = 5 ; GR(y) = 6
3. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)
Está dado por el monomio de mayor grado.
 P(x, y) = 4x3
y2
- 2x2
y5
+ 6x4
y6
5 7 10
G. A. (P) = 10
4. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO
Es aquél donde los exponentes de la variable van
aumentando o disminuyendo.
Polinomios Especiales
Término algebraico de exponentes enteros y positivos para
todas sus variables (expresion racional entera).
1. POLINOMIO ORDENADO
 P(x)
= x16
- 2x10
+ x2
+ 1
Polinomio Ordenado Descendente.
 Q(x)
= 2 + x4
+ 5x7
+ x10
Polinomio Ordenado Ascendente.
Ejemplos:
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10
Es aquél donde aparecen todos los exponentes de la
variable, desde el mayor hasta el término independiente
(exponente cero).
2. POLINOMIO COMPLETO
 P(x) = 6x2
+ 2x + 3x3
+ 5
tiene 4 términos
 Q(x) = 2 + x + 3x2
+ 5x3
+ 4x4
tiene 5 términos
Ejemplos:
Sea:
P(x) = 2x2
+ 5x + 1
tiene 3 términos
3 = 2 + 1
En todo polinomio completo se cumple:
# Términos = Grado + 1
Es aquél donde todos sus términos tienen el mismo
grado absoluto.
3. POLINOMIO HOMOGÉNEO
2.1. Propiedad
Ejemplos:
 P(x,y) = 6x2
+ xy - y2
2.º 2.º 2.º
 P(x,y) = 6x2
+ xy - y2
2.º 2.º 2.º
 Q(x,y) = 2x4
y2
+ 3x3
y3
+ y6
6.º 6.º 6.º
Son aquéllos que tienen el mismo valor númerico para
un mismo valor de variable. Es decir, tienen los mismos
4. POLINOMIOS IDÉNTICOS
 2x + 3 ≡ 3 + 2x
 5x3
+2x-1+4x2
≡ 4x2
-1+2x+5x3
Ejemplos:
Es aquél donde para cualquier valor asignado a su
variable, el resultado es siempre cero. Es decir, sus
5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
 P(x) ≡ 0x3
+ 0x2
+ 0x + 0
P(x) ≡ 0
Ejemplo:
1.
M(x, y) = (1/2)n
9m
x3m+2n
y5m-n
cuyo grado es 20 y el grado relativo de “x” es 14.
a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16
d) 16/9 e) 81/8
Resolución:
GA = 3m + 2n + 5m - n = 20
GR(x) = 3m + 2n = 14
8m + n = 20
3m + 2n = 14
∴ 16m + 2n = 40
-3m - 2n = -14
13m = 26
Rpta.: b
m = 2 ⇒ n = 4
∴ 4
92
= 81/16
2. Si P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1 calcula el valor de
P(5) + P(1).
a) -4 b) 0 c) 1
d) 2 e) 4
Resolución:
En P(x + 2) = x + P(x)
∴ x = 1
P(3) = 1 + P(1)
1
P(1) = 0
∴ x = 3
P(5) = 3 + P(3)
P(5) = 3 + 1
P(5) = 4
∴ P(5) + P(1) = 4 + 0 = 4
Rpta.: e
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11
3. Si el término independiente del polinomio:
P(x) = 2(x-3)2
(x-2)3
(x-m)2
(x+1)3
es -576, halla el
valor de m2
.
a) 1 b) 4 c) 9
d) 16 e) 25
Resolución:
Sabemos que P(0) = término independiente
P(0) = 2(-3)2
(-2)3
(-m)2
(1)3
= -576
= 2 . 9 . (-8)(m2
) = -576
m2
= 4
Rpta.: b
4. En el polinomio homogéneo:
P(x, y) = xm
+ yn+p
+ xn
yp
+ xp
yn
+ xq
yr
+ xr
yq
la suma de todos sus exponentes es 54. Halla el valor
de:
E = m + n + p + q + r
a) 12 b) 15 c) 18
d) 27 e) 36
Resolución:
Por homogeneidad
m = n + p = q + r = k
∴ 6k = 54
k = 9
∴ m = 9 , n + p = 9 , q + r = 9
E = 9 + 9 + 9 = 27
Rpta.: d
5. Si el polinomio:
P(x) = a(x - 3)(x + 1) + (b - 2) (x + 1) (x - 2) + (c + 3)
(x - 3)(x - 2)
es idénticamente nulo. Halla a + b + c.
a) 0 b) -1 c) 2
d) 3 e) -3
Resolución:
Evaluamos:
P(3) = (b - 2)(4)(1) = 0 ⇒ b = 2
P(2) = a(-1)(3) = 0 ⇒ a = 0
P(-1) = (c+3)(-4)(-3) = 0 ⇒ c = -3
⇒ a = 0 , b = 2 , c = -3
a + b + c = -1
Rpta.: b
Nota
El término independiente es un término de grado cero, así:
4 = 4x0
Observación
Polinomio Completo y Ordenado
P(x) = x3
- 2x2
+ 5x - 4
Observa que cumple con las dos condiciones
anteriores.
El símbolo ≡ significa que los polinomios son idénticos.
¿cÓMO EVITAR ERRORES?
Para elegir los mate-riales ade-
cuados, en cuanto a calidad
y cantidad, para construir
un puente, los ingenieros
analizan las variables que
intervienen antes de llevar
a la práctica su proyecto,
como la geología del terreno,
resistencia al viento, cambio
Estas variables son expresadas matemáticamente
mediante polinomios para así poder hacer los cálculos
respectivos y no cometer errores imprevistos.
UN TREN DE MONOMIOS
Un polinomio está conformado por monomios de
la misma forma que un tren lo está por vagones.
Por ejemplo: si sumas los monomios x3
, x2
, x, 7,
loqueseobtieneesx3
+ x2
+ x + 7; un polinomio.
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12
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Si
P(x) = ax2
+ 2x - 1 y P(-2) = 7, el valor de
“a” es:
Resolución:
Calcula el grado de:
P(x,y,z)=8xa
yb
zc
,sabiendoque:GA-GR(x)=11,
GA - GR(y) = 12
GA - GR(z) = 13.
Resolución:
Calcula m . n si
P(x, y) = 2xm+1
yn-2
- 5xm+2
yn-1
+ 7xm+3
yn-3
es de GA = 20 y de GR(y) = 8.
Resolución:
Halla el valor de A + B si:
15 - 4x ≡ A(2 - x) + B(1 + x)
Resolución:
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13
Rpta:
5
Rpta:
6Dado el polinomio:
P(x) = 2xc+d-1
- 3xb-c+1
+ 5xa+b-4
+ 2xa-3
completo y ordenado descendentemente, halla
el valor de a + b + c + d.
Resolución:
Si:
P
x
x
9x 2
5 1
3 1
=
-
+
= +
^
^
h
h
Hallar:
2 5 2 5P + -^ ^h h6 @
Resolución:
7. Dado el polinomio:
P(x) = (x + 1)n
+ (3x + 1)n
+ (5x - 1)n
+ b
-
cientes 38. Halla P(-1).
(n es par)
8. Siendo:
P(x, y, z) = 3a
xa+2
yb+2
+ 2b
ya+1
zc+3
+ 5c
xb+4
zc
un polinomio homogéneo de grado “m + 2”,
calcula:
a b c
a b c
n n n
n
n 1
+ +
+ ++ ^ h
9. Calcula A + B + C si:
(x + 1)[A(x + 2) + B(x - 2) - 3x] + 15x =
(x - 2)[3x + c(x + 2)]
10. Si:
P(2x+3) = 7-6x
Hallar: P(x + 1)
12. Si: P x x x x3 2 25
=^ h es de tercer grado para
un valor de "n". Deicho valor es:
11. Calcula A + B + C + D, para que el polinomio
P(x)=Ax3
+2x2
-3x3
+2Cx2
+8-3Bx+D+9x,
sea idénticamente nulo.
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14
1. Halla la suma de los siguientes términos se-
mejantes:
A = (a + 3b + c)xa-5
yb+c+8
B = (2b + 4c + 3)x3
y10
a) 15x3
y10
b) 18x3
y10
c) 20x3
y10
d) 16x3
y10
e) 21x3
y10
2. Si
P(x) = 2x2
+ 5x + 2 y
Q(x) = 6x + 1,
halla P(Q(1)).
a) 125 b) 63 c) 117
d) 135 e) 119
3. Halla a . b en:
P(x,y)=5x2a
ya+b+1
+12xa-b
y2b-1
si GR(y) = 9
y GA = 19.
a) 15 b) 6 c) 72
d) 18 e) 12
4. Si
P(x, y) = xm+2
y5
+ 7x10
yn
+ 2xm+3
yp
es
homogéneo, con grado de homogeneidad 11,
halla “m + n + p”.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
5. Si
P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1, calcula el
valor de P(5) + P(1).
a) -4 b) 0 c) 1
d) 2 e) 4
6.
P(x) = (4x3
+ 3) . (5x7
- 7)n-4
+ (8x - 9)10
es 449, entonces el valor de “n” es:
a) 5 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
7.
M(x,y)= .9m
x3m+2n
.y5m-n
cuyo grado es 20 y el grado relativo a “x” es
14.
a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16
d) 16/9 e) 81/8
1
2( (
n
8. Dada la expresión algebraica:
R(x, y) = 6xm-2
yn+5
+ 3xm-3
yn
- 8xm-1
yn+6
,
halla mn si su grado absoluto es 17 y el grado
relativo de “x” es 6.
a) 30 b) 35 c) 36
d) 42 e) 45
10. Encuentra el valor de a + b en la siguiente
igualdad:
13 - 4x ≡ a(x + 2) + b(x - 1)
a) -8 b) -6 c ) -4
d) -2 e) 0
9. Si el polinomio:
P(x)=3xn+3
-xn+2
+xn+1
+...+3
completo, ordenado y tiene 38 términos; el
valor de “n” es:
a) 33 b) 34 c) 37
d) 39 e) 40
11. ¿Cuál es el valor de “a” para que la expresión:
M =
sea de grado 64? (a > 2)
a) 6 b) 3 c) 2
d) 5 e) N.A.
(xa+5
+xa+3
+5)a
(xa+1
-xa-2
+1)a-1
(xa
- x2
+ 3)2
12. Si. P(x) = x2
- 1
Calcular: P P P2
3` ^ jh
a) 9 b) 80 c) 81
d) 8 e) 27
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15
3 Productos Notables
Mientras nosotros representamos las magnitudes por
letras que se sobrentiende son números (conocidos
o desconocidos) con los cuales operamos usando
las reglas del Álgebra, hace más de 2000 años los
griegos representaban las magnitudes como segmentos
de línea recta y las operaban según las reglas de la
geometría.
Tenían el Libro II de los Elementos de Euclides
(matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que
es un Álgebra geométrica que les servía más o menos
La proposición 4 del Libro II, “si una línea recta se
corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado
construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre
los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por
ambos segmentos”, es una manera larga de decir que
(a +b)2
= a2
+ 2ab + b2
, pero su evidencia visual
es mucho más impactante que su contrapartida
algebraica moderna. He aquí la demostración:
El área del cuadrado mayor es (a + b)2
. Esta área
también se puede calcular adicionando las áreas de
los cuadrados y rectángulos interiores.
Luego:
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Son los productos que se obtienen en función directa
sin necesidad de multiplicar.
Trinomio Cuadrado Perfecto
 (x + 3)2
= x2
+ 2(3)x + 32
 (x - 4)2
= x2
- 2(4)x + 42
 (5x + y)2
= (5x)2
+ 2(5x)(y) + y2
Ejemplos:
1. CONCEPTO
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
Identidades de Legendre
 (x + 3)2
+ (x - 3)2
= 2(x2
+ 32
)
 (x + 2)2
- (x - 2)2
= 4(x)(2)
Ejemplos:
(a + b)2
+ (a - b)2
= 2(a2
+ b2
)
(a + b)2
- (a - b)2
= 4ab
Nota
Desarrollando:
x2
- 2xy + y2
= y2
- 2yx + x2
(x - y)2
= (y - x)2
a b
a
b ab b2
a2 ab
= a2
ab
ab
b2+ +
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16
Reduce:
N =
Solución.-
Por Legendre:
(a+ b)2
- (a - b)2
= 4ab
⇒ = 4 = 2
(a + b)2
- (a - b)2
ab
4(ab)
ab
Diferencia de Cuadrados
 Calcula : M = 46 . 44 - 452
Solución.-
Haciendo x = 45
(a + b)(a - b) = a2
- b2
Ejemplo:
Ejemplo:
La operación se convierte en:
M = (x + 1) (x - 1) - x2
Aplicando productos notables:
M = x2
- 1 - x2
Reduciendo términos semejantes:
M = -1
 (x + 3)(x + 4)= x2
+ 7x + 12
(x+a)(x+b)= x2
+(a+b)x+ab
 (x + y + 3)2
= x2
+ y2
+ 32
+
2(x)(y) + 2(y)(3) + 2(x)(3)
⇒ (x + y + 3)2
= x2
+ y2
+ 9 +
2xy + 6y + 6x
Identidad de Stevin
Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado
(a+b+c)2
=a2
+b2
+c2
+2ab+2ac+2bc
Ejemplo:
(
1. Si :
x2
+ 1 = 3 ,
x2
calcula:
x6
+ 1
x6
a) 0 b) 3 c) 2 3
d) 3 3 e) 3
Resolución:
Rpta.: a
x2
+1 3
x2( (= 3
3
x6
+ +3x2
.1
x6
1
x2
x2
+1
x2( = 3 3
x6
+ = 01
x6
x6
+ +3( 3)1
x6
= 3 3
2. Si :M = 2 + 3 ;
N = 2 - 3
calcula (M+N)2
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
Geométricamente la identidad de Stevin se demuestra así:
Según sus áreas:
(x + a)(x + b) = x2
+ bx + ax + ab
= x2
+ (a + b)x + ab
x a
x
b
= x2
+ bx + ax + ab
bx ab
x2 ax
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17
Si :
(x+y)2
=4xy
x2
+2xy+y2
=4xy
x2
- 2xy+y2
= 0
(x - y)2
= 0 ⇒ x=y
Remplazando en "E"
Resolución:
3. Si :
calcula:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
x+y 2
2( (=xy ,
E= 6 x - 2 y
4
xy
Resolución:
(x+y)2
4
=xy
E= 6 x - 2 x
4
x2
E= 4 x
x
E= 2
Rpta.: b
K = ( 2+ 3+ 2 - 3)
2
K = 2+ 3
2
+2(2+ 3 )(2- 3 )
+ 2 - 3
2
K = 2+ 3+2 ( 2+ 3 )( 2- 3 )+2- 3
K = 4+2 22
- 32
K = 4+2 1
K = 6
Rpta.: d
x3
+y3
+z3
-3xyz=(x+y+z)(x2
+y2
+z2
- xy-xz-yz)
0-3xyz=(x+y+z)(x2
+y2
+z2
-x2
-y2
-z2
-3)
-3xyz=-3(x+y+z)
⇒ xyz =x+y+z
Elevando al cubo:
x3
y3
z3
=x3
+y3
+z3
+3(x+y)(y+z)(z+x)
Reemplazando:
x3
y3
z3
=3(x+y)(y+z)(z+x)
∴ x3
y3
z3
(x+y)(x+z)(y+z) = 3
4. Si :
(x - y)2
+(x - z)2
+(y - z)2
= 0
calcula:
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
E= 3
x + 2y + 4
x2
+z2
2x +y 2xz
Resolución:
Si (x - y)2
+(x - z)2
+(y - z)2
= 0
⇒ x - y= x - z= y - z= 0
∴ x = y = z
Remplazando en "E"
E= 3 x + 2x + 4 x2
+x2
2x +x 2x2
E= 3
1 + 4
1
E= 2
Rpta.: e
5. Si :
x3
+y3
+z3
=0;
x2
+y2
+z2
+3=xy+xz+yz
Calcula:
x3
y3
z3
(x+y)(x+z)(y+z)
a) 1 b) 4 c) 2
d) 5 e) 3
Resolución:
Rpta.: e
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18
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Si:
R = ( 2 +1)2
+( 2 - 1)2
M = ( 3 +2)2
+( 3 - 2)2
calcula R+M.
Resolución:
Si:
x+x-1
=3 calcula x2
+x-2
.
Resolución:
Si: x2
- 5x + 1 = 0
Calcular:
x
x
12
2+
Resolución:
Si m+1/m=4 calcula m3
+1/m3
.
Resolución:
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19
Rpta:
5
Rpta:
6Si:
x - y = 4, xy =3; halla x3
-y3
Resolución:
Si x+x-1
=3 calcula x4
+x-4
.
Resolución:
7. Reducir:
2 5x x x x x x1 2 3 42 2
+ - - - - + +^ ^ ^ ^ ^h h h h h
8. Efectúa:
E=4
1+(x-1)(x+1)(x2
+1)(x4
+1)
9. Efectúa:
R=24
1+26.(33
+1).(36
+1).(312
+1)
10. Si:
1
a
b
c
5 3 2
3 2
1 5
= +
=
-
- -
= -
Calcular:
M
bc
a
ac
b
ab
c2 2 2
= + +
11. Si x2
+ = 18 calcula E=x -1
x
1
x2
12. Si: x3 = 1; x ≠1
Calcular:
x2
+ x
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20
1. Si: (a+b)2
= 2(a2
+b2
)
Calcula el valor de:
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
a2
+13b2
23a - 17b
ab 2a
E= +
2. Si: a2
+b2
+c2
=50 y a+b+c= 12
Halla P =(a+b)2
+(b+c)2
+ (a+c)2
.
a) 132 b) 146 c) 145
d) 164 e) 194
3. Sabiendo que:
[6+ 36 - a2
].[6- 36 - a2
]=8
halla a4
.
a) 4 b) 8 c) 16
d) 32 e) 64
4.
E= +
2
+ -
2
2
- 4
2
-
2
2
a) 36 b) 24 c) 15
d) 16 e) 72
( (a
b[ b
a(a
b (] [(a
b( ]b
a
b
a ( (
5. Si + +
calcula:
J = +
a) 3/2 b) 1/2 c) 5/2
d) 7/2 e) 9/2
1
m
1
n
4
m+n
4m+n
4m- 2n
m2
+n2
mn
6. Si (a+b)3
=a3
+b3
, además a, b≠ 0; señala el
valor de .
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
a
b
7. Efectúa:
R =(x+3)(x2
- 3x+9)(x- 3)(x2
+3x+9)+729
a) x3
b) x6
c) x8
d) x10
e) x12
8. Reduce a su mínima expresión:
[(a+2)4
. (a2
- 2a + 4)4
. (a3
+8) . (a3
-8)5
] 0.2
+64
a) a b) a2
c) a3
d) a4
e) a6
9. Calcula el valor de: a+b+c, si:
a2
+b2
+c2
=2
(a+b+c)(1+ab+bc+ac)=32
a) 2 b) 4 c) 8
d) 32 e) 64
10. Dada la siguiente igualdad:
4 = + + ,
calcula el valor mumérico de:
R =
a) 9 b) 7 c) 5
d) 8 e) 6
x
yz
y
xz
z
xy
x( x+yz)+y(y+xz)+z(z+xy)
x(x - yz)+y(y - xz)+z(z - xy)
11. Si se sabe que:
calcula el valor de:
E= +
a) 18 b) 17 c) 16
d) 15 e) 14
2x
y
1 +xy
1 - xy
=
2x+y
2x - y
2x - y
2x+y ()
12. Si a3
+b3
+c3
=0 y (a - b)2
+(a - c)2
+(b -
c)2
=12, a; b; c ≠ 0.
calcula:
A = + +
a) 1/2 b) -2 c) 3/2
d) 2/3 e) -1/2
1
bc
1
ac
1
ab
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21
4 División Algebraica
Monomio Entre Monomio
Ejemplos:
Nos remitimos a la Ley de Exponentes.
15x7
y4
z5
3x2
yz3
1001x9
w15
91x3
w12
 = x7-2
y4-1
z5-3
= 5x5
y3
z2
 = x9-3
w15-12
= 11x6
w3
( )
15
3
( )1001
91
Polinomio Entre Monomio
Nos remitimos a separar el polinomio término por término
y utilizar lo visto anteriormente.
Residuo
Cociente
Divisor
Dividendo
D(x) = d(x) q(x) + r(x)
Ejemplos:
 15x7
w8
+ 21x6
w3
- 3x5
w2
entre 3x3
w
5x4
w7
+ 7x3
w2
- x2
w
15x7
w8
3x3
w
21x6
w3
3x3
w
3x5
w2
3x3
w
-+
Polinomio Entre Polinomio

 Polinomio completo y ordenado.
1. MÉTODO DE HORNER
i
v
i
s
o
r
d
Cociente
Coeficiente principal
del divisor
Coeficientes
restantes del
divisor con signo
cambiado Residuo
Coeficientes
del Dividendo
Línea
Divisoria
Ejemplos:
 q(x) = 3x2
+ x - 5
 r(x) = 4x + 12
2. MÉTODO DE RUFFINI
DIVIDENDO
(RAÍZ DEL
DIVISOR)
COCIENTE RESIDUO
 q(x) = x3
+ 2x2
- x - 2
 r(x) = 0
El resto que resulta de dividir un polinomio determinado,
por el binomio “x - a”, es igual al valor numérico del
polinomio dividendo, en el cual se ha efectuado la
sustitución de x por a.
Veamos: D(x) = (x - a)q(x) + R
Evaluemos en x = a
D(a) = (a - a)q(a) + R
cero
Teorema del Resto
D(a) = R
 Halla el resto de dividir:
4x4
- 3x3
+ 5x2
- 6x + 4 entre x - 2
x - 2 = 0
x = 2
R = 4(2)4
- 3(2)3
+ 5(2)2
- 6(2) + 4
R = 52
Se utiliza para casos en que el divisor es de primer grado.
D(a) = V.N. del dividendo cuando x = a
Identidad fundamental de una división polinomial.
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22
Resolución:
6x4
+ 5x3
- x2
+ Ax + B
2x2
+ 3x + 1
1. Determina “A + B”, en la siguiente división exacta.
Por las características del divisor, el método a utilizar es
el de W. Horner.
Haciendo el esquema :
del esquema :
A - 1 = 0 ⇒ A = 1
B - 1 = 0 ⇒ B = 1
∴ A + B = 2
2 5 -1 A B6
-3
-1 2
-3 -1
-3
6
-9
1-2 0
división
exacta
03
Resolución:
Resolución:
2. En la siguiente división :
Determina el valor de “AB” si tiene como residuo:
3x + 10.
Por las características del divisor, el método a utilizar es
el de W. Horner.
4x4
+ 23x3
+ 24x2
+ Ax + B
x2
+ 5x + 2
Por las características del divisor, el método a utilizar
Cociente: Q(x) = x3
- 2x2
+ x - 3
∑ -3
3. Divide:
2x4
- 5x3
+ 4x2
- 7x + 9
2x - 1
Divisor
2x - 1
diferente
de la
unidad
1/2
2 -5 4 -7 9
1 -2 1 -3
2 -4 2 -6 6
÷ 2
1 -2 1 -3
del esquema : A - 11 = 3 ⇒ A = 14
B - 2 = 10 ⇒ B = 12
∴ AB = 168
1 23 24 A B4
-5
-2 -6
-5 -2
-8
-15
-20
13 10
residuo
4 3
4. Halla el residuo de la siguiente división :
Como el grado del dividendo es muy elevado y sólo nos
piden el residuo, entonces utilizaremos el “Teorema
del resto”.
Regla práctica : x + 6 = 0
x = -6
Reemplazando en el dividendo :
R = (-6 - 3) (-6 + 7)60
+ 7
R = -2
Resolución:
Resolución:
(x - 3) (x + 7)60
+ 7
x + 6
5. Halla el residuo de la división :
Como en el dividendo los términos son potencia
del término del divisor (x10
), haremos un cambio de
variable.
Sea : x10
= y
Como sólo nos interesa el residuo, entonces aplicamos
el “Teorema del resto”.
Regla práctica : y + 1 = 0
y = -1
Reemplazando en el dividendo :
R=(-1)9
+(-1)8
+(-1)6
+(-1)2
+4
R = 6
x90
+ x80
+ x60
+ x20
+ 4
x10
+ 1
y9
+ y8
+ y6
+ y2
+ 4
y + 1
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23
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
4x4
+ 13x3
+ 28x2
+ 25x + 12
4x2
+ 5x + 6
Halla el cociente de la siguiente división:
Resolución:
x3
+ 5x2
- 7x + 5
x2
+ 2x - 3
Al efectuar la siguiente división:
indica su cociente.
Resolución:
x5
- 3x2
+ x + 1
x2
+ x - 1
Luego de dividir
halla el residuo de la división.
Resolución:
3x3
+ 2x2
+ x + 1
x + 1
Divide e indica el cociente de:
Resolución:
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24
Rpta:
5
Rpta:
6Calcular la suma de los coeficientes del
cociente de:
x
x x x
1
3 2 8 7202 201
-
+ + +
Resolución:
La división:
x x
ax bx cx c
3 2 1
9 3
3 2
5 4 3
- +
- + - +
exacta:
Calcular el valor de: a + b - c
Resolución:
7. Si: P(x) = x3
- 0,111x2
- 0,999x + 2012
Evaluar:
P(0, 999)
8. Si: P(x) = 12x4
- ax3
+ bx2
- 31x - 15
es dividendo por Q(x) = 4x2
- 5x - 3
Calcular: a - b
2x3
+ 3x2
- 5x + 6
x + 2
10. Halla el resto al dividir:
abaa
c
b cb
b
cbb
b a
c
c c2
d e
9. Halla el divisor del esquema de Horner en función
de “x”.
2x3
+ x2
- 6x + 4
2x - 3
11. Halla el cociente al dividir:
12. Hallar el resto de:
( )
x x
x x
2 2
1 6
2
2013
+ +
+ + +
PDF Compressor Pro

25
3x6
+ 2x5
+ x4
+ 2x + 3
x3
- x + 1
1. Luego de efectuar:
indica el cociente.
a) 3x3
+ 2x2
+ 4x - 1 b) 3x2
+ 2x - 1
c) 3x2
+ 4x - 1
d) x3
+ 2x2
+ 1 e) x3
- 3x - 1
5421
a
-1 -4b
-2
d22
c 7
-4
1 2
3 9
2. En la siguiente división por Horner
halla la suma de “a + b + c + d”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 12
3x4
+ 2x2
- 3x - 3
x - 2
3.
cociente:
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 48
4.
cociente:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 21 e) 7
3x4
- 2x3
+ 9x2
+3x + 6
3x - 2
2x8
- 3x6
+ 3x4
+ 2
x2
+ 2
a) 50 b) 60 c) 70
d) 80 e) 90
x4
- 2x3
+ 3x2
- x + 1
x - 2
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
(x3
+x2
+4)2m
+(x3
+x2
+3)n
+x3
+x2
+6
x3
+ x2
+ 3
3x4
- 4x3
+ 3x2
+ ax2
+ 2x - 2
x2
- x + b
8. Calcula a - b si el resto de
es 8x - 2; además a ∧ b ∈ R+
.
a) 13 b) 18 c) 5
d) 10 e) 16
2x4
+ 5x3
+ ax + a
x2
- x + 1
9. La división:
dacomorestounpolinomiodegradocero.¿Cuáles?
a) -1 b) -3 c) 2
d) 8 e) 4
mx4
+ nx3
+ px2
+ 6x + 6
2x2
- 5x + 2
10. Calcula (m + p)n si el resto de la división
es -
cociente es 4.
a) 34 b) 35 c) 36
d) 37 e) 38
11. Si: ( )P x x x x2 2 2 3 34 3
= + - +
Calcular: P 3 2-^ h
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 3
12. Si la división:
es exacta el valor de: a - b es
a) 20 b) 25 c) 10
d) 5 e) 1
x x
ax bx x x
4 1
2 3 2
2
4 3 2
+ -
+ - - -
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