2f 01 campo gravitatorio

2,491 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,491
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1,137
Actions
Shares
0
Downloads
82
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

2f 01 campo gravitatorio

  1. 1. Tema 2: CAMPO GRAVITATORIO Modelos del universo La Tierra en el universo Visión actual del universo Fuerzas Ley de la gravitación universal gravitatorias Campogravitatorio Conceptode campo Concepto de campo Campos de fuerzas Campos de fuerzas Descripción del campo gravitatorio Estudio del Representación del campo gravitatorio campo gravitatorio Interacción gravitatoria Determinación del campo gravitatorio 01/14/13 1 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  2. 2. 1. La Tierra en el universo Modelos del universoDesde la más remota antigüedad ha existido en la Tierra la preocupaciónpor dar una explicación razonable al movimiento de los cuerpos celestesque se ven en el cielo.Históricamente, ha existido dos modelos : el modelo geocéntrico y elmodelo heliocéntrico. Modelo geocéntrico Modelo heliocéntrico Aristóteles (s.IV a.C.) N. Copérnico (1473 – 1542 ) C. Ptolomeo (s.II d.C.) Galileo Galilei (1564 – 1642) J.Kepler (1571 – 1630 ) I. Newton (1642 – 1727 ) 01/14/13 2 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  3. 3. Leyes de KeplerJohannes Kepler, fue un astrónomo alemán (Württemberg, 1571-Ratisbona,1630) al que se deben las tres leyes que describen el movimiento de losplanetas de nuestro sistema solar. Partidario de la teoría heliocéntrica de Copérnico, Kepler en principio supuso que las órbitas planetarias eran perfectamente circulares, y se propuso perfeccionar el sistema de Copérnico ayudándose de las observaciones de Marte que había hecho, durante más de 20 años el danés Tycho Brahe (1546-1601), así como en sus propias observaciones. Durante varios años realizó prolijos cálculos sobre la manera de obtener parámetros de las orbitas planetarias, hasta llegar al convencimiento de que había de desecharse la idea de que fueran circulares. En resumen, descubrió tres hechos fundamentales en el movimiento planetario alrededor del Sol que podrían describirse de la manera que se expone a continuación. 01/14/13 3 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  4. 4. Primera Ley:Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoriaelíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol. Planeta Eje menor Eje mayorafelio perihelio semieje mayor Focos Sol Leyes de Kepler APPLET A.Franco 1ªLey Fendt 01/14/13 4 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  5. 5. Segunda Ley:El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición decada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. t t Áreas iguales APPLET 2ªLey APPLET 2ªLey Fendt Tercera Ley: Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas. APPLET 3ªLey 01/14/13 5 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  6. 6. Las leyes de Kepler suponen una descripción cinemática del movimiento delos planetas alrededor del Sol o de los satélites alrededor de un planeta.El mismo año de la muerte de Galileo nació Isaac Newton.Newton supuso que el hecho de que la Luna gire alrededor de la Tierra enlugar de salir despedida en línea recta se debe a la presencia de una fuerzaque la empuja hacia la Tierra y la hace describir una trayectoria cerrada( circunferencia , elipse ). Llamó a este fuerza gravedad y supuso queactuaba a distancia, pues no hay nada que conecte físicamente la Tierra y laLuna. Demostró que esta fuerza es la misma que hace caer sobre la Tierra un objeto que se encuentre en sus proximidades.Todo esto lo vislumbró Newton a partir del conocimiento de la leyes de Keplery de los trabajos de Galileo, Copérnico, Tycho Brahe, ….. "If I have been able to see further, it was only because I stood on the shoulders of giants"  - Sir Isaac Newton  Si he sido capaz de ver más lejos, era sólo porque estuve de pie sobre los hombros de gigantes.El poeta inglés Alexander Pope escribió este epitafio para Newton: "If Nature and Natures laws lay hid in night; God said, Let Newton be! and all was light." "La Naturaleza y las leyes de la Naturaleza yacen ocultas en la noche; Applet Lanzamiento Newton Dijo Dios ¡hágase Newton! y todo fue luz." 01/14/13 6 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  7. 7. Visión actual del universoLa astronomía clásica se ha ocupado desde los tiempos de la antigua Greciade conocer como funciona el universo.Gracias a Aristóteles, Ptolomeo, Copérnico, Galileo, Brahe, Kepler y Newtonconocemos el funcionamiento del universo a corto plazo ( unos 50 000 añoshacia el pasado o hacia el futuro).(El astrónomo inglés E.Hillary pronosticó en 1705 que el año 1758 el cometaHalley pasaría cerca de la Tierra).Sin embargo las revolucionarias teorias de la mecánica cuántica y de larelatividad han sugerido perspectivas más ambiciosas en lo que podríamosllamar adivinación del pasado y del futuro.La Física determinista: Si conocemos todas las causas queelinfluyen de este sistema. de un sistema es posible determinar completamente futuro en el movimientoLa teoría de la relatividad destruyó el principio determinista de la físicanewtoniana. El postulado: Ningún fenómeno físico puede superar lavelocidad de la luz, imposibilita la predicción completa del futuro. A pesar de estas limitaciones , hoy en día los científicos han establecido afirmaciones difícilmente discutibles, como la teoría del big bang para explicar el origen del universo o la existencia de los agujeros negros. 01/14/13 7 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  8. 8. Teoría del big bang ( La gran explosión) se inscribe en el marco de laadivinación científica. Nos explica el origen del universo a partir de una granexplosión, lo que nos llevaría a pensar que el universo está en expansión.Hay datos experimentales, como el corrimiento hacia el rojo y la radiacióncósmica de fondo de micoondas , que avalan esta teoría.En cosmología, la radiación de fondo de microondas (en inglés Cosmic MicrowaveBackground o CMB) es una forma de radiación electromagnética descubierta en 1964que llena el Universo por completo. También se denomina radiación cósmica demicroondas o radiación del fondo cósmico. Tiene características de radiación decuerpo negro a una temperatura de 2,725 K y su frecuencia pertenece al rango de lasmicroondas con una frecuencia de 160,2 GHz, correspondiéndose con una longitud deonda de 1,9 mm. Muchos cosmólogos consideran esta radiación como la pruebaprincipal del modelo cosmológico del Big Bang del Universo.Arno Penzias junto con Robert Wilson, por su descubrimiento accidental en 1964 de laradiación cósmica de fondo de microondas o CMB recibieron el Nóbel de Físca del año1978. Mientras trabajaban en un nuevo tipo de antena en los Laboratorios Bell enHolmdel, Nueva Jersey, encontraron una fuente de ruido en la atmósfera que no podíanexplicar. Luego de afinar la recepción de la antena, el ruido fue finalmente identificadocomo CMB, lo cual confirmaba supuestos planteados por la teoría del Big Bang. 01/14/13 8 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  9. 9. Esta radiación es una predicción del modelo del Big Bang, ya que según este modelo, el universoprimigenio era un plasma compuesto principalmente por electrones, fotones y bariones (protones yneutrones). Los fotones estaban constantemente interactuando con el plasma. Los electrones no sepodían unir a los protones y otros núcleos atómicos para formar átomos porque la energía media de dichoplasma era muy alta, por lo que los electrones interactuaban constantemente con los fotones mediante elproceso conocido como dispersión Compton. A medida que el universo se fue expandiendo, elenfriamiento adiabático (del que el corrimiento al rojo cosmológico es un síntoma actual) causado porqueel plasma se enfrie hasta que sea posible que los electrones se combinen con protones y formen átomosde hidrógeno. Esto ocurrió cuando esta alcanzó los 3000 K, unos 380000 años después del Big Bang. Apartir de ese momento, los fotones pudieron viajar libremente a través del espacio sin colisionar con loselectrones dispersos. Este fenómeno es conocido como Era de la recombinación y descomposición, laradiación de fondo de microondas es precisamente el resultado de ese periodo. Al irse expandiendo eluniverso, esta radiación también fue disminuyendo su temperatura, lo cual explica por qué hoy en día essólo de unos 2,7 K. La radiación de fondo es el ruido que hace el universo. Se dice que es el eco queproviene del fin del universo, o sea, el eco que quedó de la gran explosión que dio origen al universo.De acuerdo con observaciones astronómicas existen zonas del universo en lascuales no se detecta ópticamente ningún cuerpo celeste; sin embargo,indirectamente se aprecia un efecto gravitatorio muy absorbente en lasestrellas que se aproximan a ella. Dichas zonas se conocen con el nombre deagujeros negros , que representan todavía uno de los enigmas pendientes deser resueltos.El futuro del universo: el proceso expansivo es indefinido o por el contrario sedetendrá y comenzará la implosión del universo.Esta cuestión todavía no está resuelta. 01/14/13 9 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  10. 10. 2. Fuerzas gravitatoriasEn su célebre obra Philosophiae Naturalis Principia Mathmatica ( PrincipiosMatemáticos de la Filosofía Natural) expuso Newton su Ley de la gravitación universalpara explicar el modelo heliocéntrico del universo. 2.1. Ley de la gravitación universalCuando lanzamos un objeto hacia arriba vuelve a caer sobre la superficie de la Tierradebido a que ésta lo atrae. De la misma manera, la Tierra atrae a la Luna o la propiaTierra es atraída por el Sol. En general, dos cuerpos cualesquiera, por el hecho detener masa, se atraen con cierta fuerza gravitatoria Fue el científico inglés Isaac Newton, quien en el siglo XVII, formuló matemáticamente, mediante la LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL, la interacción gravitatoria entre dos cuerpos cualesquiera del universo.Dos partículas materiales se atraen mutuamente con fuerzas dirigidas a lo largo de lalínea que las une y cuyo módulo es directamente proporcional al producto de susmasas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. r r m1 F2,1 F1,2 m2 r r u2 r u1 r m ×m r r m1 ×m 2 r F2,1 = − G 1 2 2 ×u 2 F1,2 = − G 2 ×u1 r r 01/14/13 10 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  11. 11. 2.1. Ley de la gravitación universal (Cont.I) r r m1 F2,1 F1,2 m2 r r u2 r u1 r m1 ×m 2 r r m1 ×m 2 r F2,1 = − G 2 ×u 2 F1,2 = − G 2 ×u1 r r r rEstas fuerzas siempre se presentan a pares y son iguales y opuestas: F1,2 = − F2,1 r r m1 ×m 2 El módulo de ambas es: F1,2 = F2,1 = G r2 ¿Qué es G? ¿Cuánto vale? Proporcionalidad directa 01/14/13 11 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  12. 12. Ley de la gravitación universal (Cont.II)La constante de proporcionalidad G recibe el nombre de constante de gravitaciónuniversalSu valor es independiente del medio que rodea a las masas y es el mismo paracualquier pareja de masas del universo.Un siglo después de que Newton enunciara su ley, el científico inglés Cavendishmidió su valor mediante una balanza de torsión: N ×m 2 G = 6,67 × −11 10 kg 2A finales del mes de abril de 2000, un grupode investigadores de la Universidad delEstado de Washintong ha presentado en lareunión de la Sociedad Americana de Física,en California, un valor de con un error del0,0015%. −11 N ×m 2 G = 6,6739 ×10 kg 2 01/14/13 12 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  13. 13. Ley de la gravitación universal (Cont.III)La ley de la gravitación universal sólo es aplicable a masas puntuales.Para aplicarla a cuerpos con cierto volumen, como la Tierra o la Luna, supondremosque toda su masa está concentrada en su centro, de manera que r es la distanciaentre sus centros. r r FLuna ,Tierra FTierra , Luna r r r m Tierra ×m Luna FTierra,Luna = FLuna ,Tierra = G r2 01/14/13 13 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  14. 14. Actividad : 8 de la página 57 Datos: m1 =250 g = 0,250 Kg; m2 = 0,250 kg; d = 10 cm = 0,10 m ; N ×m 2 G=6,67·10–11 kg 2 Aplicando la ley de Newton de la Gravitación Universal obtendremos el valor de la fuerza que nos piden: ; m ×m 0, 25 ×0, 25 F = G × 1 2 2 = 6,67 × −11 × 10 2 = 4, 2 × −10 N 10 r 0,10 01/14/13 14 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  15. 15. Actividad : 10 de la página 57 Datos: m1 = m2 = 2 kg; F =10–7 N; G = 6,67·10-11 N ×m 2 kg 2 Aplicamos la ley de Newton de la Gravitación Universal: m1 ×m 2 F= G× 2 r despejando la distancia r : G ×m1 ×m 2 6,67 × −11 ×2 ×2 10 = 5, 2 × −2 m 10 r= = F 10−7 01/14/13 15 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  16. 16. Actividad : 11 de la página 57 Datos: (–2,4) m1 = 3 kg ; ( 5, –1) m2 = 1,5 kg ; G = 6,67 × −11 N ×m 2 ×kg −2 10 y (m) a) Dibujamos un esquema de unos ejes coordenados con las masas y las fuerzas: r r 6 F12 : Fuerza que 1 ejerce sobre 2 F21 : Fuerza que 2 ejerce sobre 1 m1 r Estas fuerzas, según la 3º Ley de Newton (Principio de interacción o de acción y reacción) 4 F21 r tienen que ser iguales en módulo y dirección y de sentido contrario 2 r F12 r u1: vector unitario en la dirección que une las masas y sentido de 1 a 2 r1 r r 0 r r x (m) u1 r1 r : vector de posición de la masa 1 r r r2 : vector de posición de la masa 2 r r r -2 r2 m2 r1 = (−2 i + 4 j) m r2 = (5 i − j) m -2 0 2 4 6 r r r rMediante el algebra vectorial podemos calcular la distancia entre las masas. Llamaremos al vector de posición de la masa 2respecto de la masa 1: r r r r r r r r = r − r = (5 i − j) − ( −2 i + 4 j) = (7 i − 5 j) m 2 1 rEl módulo de este vector nos da la distancia r entre las masas: r rr r = r = 7 2 + ( −5) 2 = 8,6 m r r r (7 i − 5 j) r rCalculamos el vector unitario u1 : u1 = = = 0,81 i − 0,58 j r 8,6Ahora aplicando la ley de Newton de la Gravitación Universal (pág.56) podemos calcular la fuerza con que la masa 1 a traea la masa 2: r m ×m r 3×1,5 r r r r F12 = −G × 1 2 2 ×u1 = −6,67 × −11 × 2 ×(0,81i − 0,58 j) = (−0,33 i + 0,24 j) × −11 N 10 10 rb) Como dijimos antes, las fuerzas r y r son iguales y 8,6 r r r ropuestas: F F 12 21 F21 = −F12 = (0,33 i − 0,24 j) × −11 N 10c) El módulo de estas fuerzas vale: F12 = F21 = ( −0,33) 2 + 0,242 × −11 = 0,40 × −11 N 10 10 Ya dimos la justificación por la que estas fuerzas tienen que ser iguales ( en módulo y dirección): el principio de interacción o 3ª ley de Newton. 01/14/13 16 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  17. 17. Actividades para el próximo día: * 1 y 2 de la página 53 * 7 de la página 57 * 37, 46 ,47 y 48 de la página 72 * Ver Ejemplo1 resuelto en la página 5701/14/13 17 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  18. 18. 3. Concepto de campoSabemos que el Sol ejerce una fuerza de atracción gravitatoria sobre los planetasque giran a su alrededor. Ésta es una fuerza a distancia, pues no hay contacto entreel Sol y los planetas.Para explicar estas fuerzas a distancia admitimos que el Sol perturba (modifica) dealgún modo el espacio que lo rodea, de manera que se produce una fuerza sobre loscuerpos que están a su alrededor.Podemos decir que cuando un planeta gira alrededor del Sol es debido a que el Sol“tira” de él, a través de los millones de kilómetros de espacio vacío e inerte, usandopara ello un concepto denominado “acción a distancia”, es decir, esta misteriosacapacidad de lograr que un cuerpo afecte a otro sin que “haya nada en medio”. Noobstante otra forma más física de interpretar el mismo suceso es suponer que el Solcrea algún tipo de perturbación, crea una entidad que hace que, cuando un planetase sitúa en el mismo espacio, éste se sienta atraído. A esta perturbación es a la quese denomina campo. 01/14/13 18 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  19. 19. 3. Concepto de campo (Cont.I)Para profundizar en el concepto de campo, veamos el símil siguiente:Imaginemos una superficie horizontal elástica y tensa como la de la figura.Si colocamos en un punto un cuerpo suficientemente ligero, la superficie no sedeformará y el cuerpo permanecerá en ese punto Si antes de colocar el cuerpo ligero, colocamos en el centro de la superficie un cuerpo suficientemente pesado, ésta se deformará 01/14/13 19 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  20. 20. 3. Concepto de campo (Cont.II)Si ahora colocamos el cuerpo ligero en el mismo lugar que antes, comprobaríamosque sobre él actúa una fuerza como si fuera atraído por el cuerpo pesado. El cuerpo pesado produce una deformación (perturbación) en la superficie, dotándola de cierta propiedad en cada uno de sus puntos que antes no tenía : esto es, crea un campo. 01/14/13 20 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  21. 21. 3. Concepto de campo (Cont.III)Llamamos campo a la perturbación real o ficticia del espacio determinada por laasignación a cada punto del valor de una magnitudSi la magnitud es escalar, se trata de un campo escalar : campo de temperatura,campo de alturas, ….Si la magnitud es vectorial, se trata de un campo vectorial : campo de velocidades,campo de fuerzas, ….Decimos que existe un campo de fuerzas en un lugar del espacio si, al colocar en élun cuerpo de prueba, éste queda sometido a una fuerza.Los campos de fuerzas pueden ser: uniforme centrales (en ellos los vectores (en ellos las fuerza tienen el direcciones de todos mismo módulo, la los vectores fuerza misma dirección y el convergen en un mismo sentido en mismo punto llamado todos los puntos) centro del campo) El campo gravitatorio de la Tierra es un ejemplo de campo de fuerzas centrales 01/14/13 21 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  22. 22. Campos conservativos. Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula desde un punto A a otro punto B depende sólo de los puntos inicial y final, pero no del camino seguido. El campo gravitatorio es conservativo.El trabajo que tenemos que hacer para subir la caja desde el suelo a la plataforma,venciendo las fuerzas del campo gravitatorio terrestre, es el mismo tanto si losubimos verticalmente (por la izquierda) como si nos ayudamos de una rampa (porla derecha) Con la rampa será más cómodo (necesitamos menos fuerza pero recorremos una distancia mayor), pero el trabajo realizado es el mismo ya que, en ambos casos, los puntos inicial y final coinciden. 01/14/13 22 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  23. 23. Campos conservativos. Energía potencialDe la definición de campo conservativo se deducen dos propiedades:►El trabajo que realiza el campo en una trayectoria cerrada (el puntofinal e inicial coinciden) es cero. Si tuvímos que hacer un trabajo de 300 J para subir la caja venciendo la fuerza del campo gravitatorio, el trabajo realizado por la fuerza del campo en la subida es de – 300 J. Para que la caja vuelva al suelo, no es necesario aplicar ninguna fuerza externa, el cuerpo cae por la acción del campo gravitatorio, realizando un trabajo de 300 J. El trabajo total realizado por la fuerza del campo gravitatorio será la suma del realizado por él en la subida más el realizado en la bajada: WTotal = Wsubida + Wbajada = −300 J +300 J = 0 (El campo gravitatorio es conservativo porque nos devuelve el trabajo que tenemos que realizar para vencerle) (Las fuerzas de rozamiento no son conservativas: no nos devuelven el trabajo que tenemos que realizar para vencerlas) 01/14/13 23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  24. 24. Campos conservativos. Energía potencial (Cont.I)►El trabajo que realiza el campo puede expresarse como lavariación de cierta magnitud entre los puntos inicial y final. Estamagnitud recibe el nonbre de ENERGÍA POTENCIAL. El trabajo que realiza el Variación que experimenta la campo sobre una partícula energía potencial de la partícula que se desplaza desde un = entre los puntos inicial A y final punto inicial A a otro punto B final BMatemáticamente: WA = Ep A − EpΔEp B B =−El nombre de fuerzas conservativas obedece a que, si sobre un cuerpo únicamenteactúan fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva constante. Como la energía mecánica es la suma de la cinética más la potencial, si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, se cumple en toda momento que: Ec A + Ep A = Ec B + Ep B La energía mecánica (suma tiene que ser igual que a la de la cinética y la potencial) energía mecánica en en cualquier punto A cualquier otro punto B 01/14/13 24 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  25. 25. Para el campo gravitatorio se define la energía potencial gravitatoria Ep de una masa m situada en un punto de un campo creado por la masa M como el trabajo que tiene que realizar el campo gravitatorio para trasladar la masa m desde dicho punto hasta el infinito. Infinito M m r La masa M no ∞ interacciona con la masa mA partir de la expresión anterior: WA = Ep A − EpΔEp B B =− se puede deducir que la energía potencial gravitatoria de la masa m cuando se encuentra a una distancia r de la masa M nos viene dada por la expresión: M ×m Ep = −G r La energía potencial gravitatoria vemos que siempre será negativa, ya que su máximo valor lo alcanza cuando la masa m está infinitamente alejada de M, y en ese punto se le asigna un valor cero. Como todas las energías, la potencial gravitatoria se mide en Julios en el S.I. 01/14/13 25 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  26. 26. Actividad 1 : Calcula la energía potencial gravitatoria de un satélite artificial de 2400 kg de masa, que orbita alrededor de la Tierra a una altura de 35900 km.Datos: h = 35900 km = 3,59·107 m; m= 2400 kg ; RT = 6,37·106 m; MT = 5,98· 1024 kg; N ×m2 Para calcular la energía potencial gravitatoria del G = 6,67·10 ─11 kg2 satélite aplicamos la expresión que hemos visto en la diapositiva anterior: M ×m r Ep = −G p h = 35900 km r r = h + RT donde r = h +RT Calculamos r: RT = 6,37·106 m r = h + R T = 3,59 ×107 + 6,37 ×106= 4,23 ×107 m Finalmente calculamos la Ep: −11 6 × 24 ×2400 10 Ep = −6,67 ×10 = −2, 27 × 10 J 10 4, 23 ×10 7 01/14/13 26 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  27. 27. Actividad 2 : ¿Qué energía potencial gravitatoria tendría el satélite anterior si la altura a la que orbita es de 20000 km ?Datos: h = 20000 km = 2·107 m; m= 2400 kg ; RT = 6,37·106 m; MT = 5,98· 1024 kg; N ×m2 G = 6,67·10 ─11 kg2 Se trata del mismo ejercicio de la diapositiva anterior, sólo que varía la altura: M ×m M ×m 6 × 24 ×2400 10Ep = −G = −G = −6,67 ×10 −11 = − 3,64 ×1010 J r (h + R T ) 2 × 7 + 6,37 × 6 10 10 Actividad 3 : ¿Qué energía necesitaría el satélite para subir desde los 20000 km hasta los 35900 km?Vimos que en un campo conservativo, como el gravitatorio, el trabajo (la energía) que realizala fuerza del campo está relacionado con la disminución que experimenta la energía potencialgravitatoria: B WA = Ep A − EpΔEp B =− Si llamamos A (situación inicial) cuando el satélite está a 20000 km y B a 35900 km (situación final): Ep A = −3,64 × 10 10 J Ep B = −2, 27 × 10 10 J Aplicamos la ecuación anterior para calcular la energía necesaria: WA = Ep A − Ep B = −3, 64 × 10 J − (−2, 27 × 10 J) = −1,37 × 10 J B 10 10 10 El signo negativo nos indica que las fuerzas del campo se oponen a que el satélite suba desde los 20000 km hasta los 35900 y por tanto necesitaremos de una fuerza externa para subir al satélite. 01/14/13 27 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  28. 28. 4.Estudio del campo gravitatorio Llamamos campo gravitatorio a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener masaCualquier otra masa situada en esta región del espacio, interacciona con el campo yexperimenta una fuerza gravitatoria. El campo gravitatorio, es un campo de fuerzas centrales (radiales) y por tanto conservativo 4.1 Descripción del campo gravitatorio Los campos gravitatorio se describen mediante dos magnitudes: r• una vectorial, Intensidad de campo gravitatorio en un punto del campo, g• otra escalar, Potencial gravitatorio en un punto del campo, Vg 01/14/13 28 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  29. 29. r• La Intensidad de campo gravitatorio, g , en un punto del campo es la fuerza que actúa sobre la unidad de masa situada en ese punto.Matemáticamente podemos escribir: r Unidad en el S.I. El signo menos es r F N debido a que los r r g= = N ×kg −1 vectores g y u m kg tienen sentidos contrariosLa masa M crea a su alrededor un campo gravitatorio: r Aplicando la ley de la gravitación: g r g r r −G M ×m ×u r g r r F r2 M r u r g= = = −G 2 ×u M g m m r r g r r r El módulo de este vector es: u g F M r r m g= =G 2 g g m r 01/14/13 29 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  30. 30. • Intensidad de campo gravitatorio creado por varias masas en un puntodel campoCuando existen varias masas se cumple el principio de superposición:La intensidad de campo resultante en un punto será la suma vectorial de lasintensidades de campo debidas a cada masa en ese punto. r u2 r g2 M2 r2 r M r P g1 = −G 21 × 1 u r r1 r g1 g r M r r1 g 2 = −G 22 × 2 u r r2 u1 M1El campo gravitatorio resultante en el punto P es la suma vectorial del campogravitatorio creado por las masas M1 y M2 : r r r M1 r  M1 r  g = g1 + g 2 = −G 2 × 1 +  −G 2 × 2 ÷ u u r1  r2  01/14/13 30 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  31. 31. • El Potencial gravitatorio Vg , en un punto del campo es la energía potencial gravitatoria que tiene la unidad de masa situada en ese punto. Unidad en el S.I.Matemáticamente podemos escribir: Ep J Vg = = J ×kg −1 m kg La masa M crea a su alrededor un campo gravitatorio: A partir de la expresión de la energía potencial : M ×m −G M Ep r Vg = = = −G M m m r r Hemos obtenido una expresión para el potencial gravitatorio: M m Vg = −G r Al igual que la energía potencial, el potencial gravitatorio siempre es negativo ( o cero). 01/14/13 31 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  32. 32. También se puede definir el Potencial gravitatorio Vg en un punto del campo como el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto al infinito. • Potencial gravitatorio Vg en un punto del campo creado por varias masas Cuando existen varias masas se cumple el principio de superposición y el potencial en un punto es la suma algebraica del potencial que cada masa crea en ese punto: La masa M1 crea en el punto P un potencialM1 P gravitatorio Vg 1: M r1 Vg 1 = −G 1 r1 r2 La masa M2 crea en el punto P un potencial M2 gravitatorio Vg 2: M Vg 2 = −G 2 r2 El potencial gravitatorio Vg en el punto P será la suma algebraica de los potenciales Vg 1 y Vg 2: M1 M2 Vg = Vg 1 + Vg 2 = −G −G r1 r2 01/14/13 32 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  33. 33. La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo gravitatorio lo podemosrelacionar con el trabajo que realiza el campo para trasladar a la masa m desde elprimer punto al segundo:Vimos que: W B = Ep − Ep A A BA partir de la definición de potencial de la diapositiva anterior, podemos escribir que: Ep Vg = Ep = m ×Vg mSustituyendo en la expresión anterior: WA = Ep A − Ep B = m ×VA − m ×VB B Y sacando factor común la masa nos queda: WA = m ×(VA − VB ) BRegión del espacio enla que existe uncampo gravitatorio B VB El trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio en este desplazamiento de la masa m es igual al producto de la masa por la diferencia de potencial entre m los puntos inicial y final: A VA WA = m ×(VA − VB ) BEsta expresión es válida sea cual sea el camino que haya seguido la masa m para ir desde el punto A al B. 01/14/13 33 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  34. 34. Actividad 4 : Calcula el valor de la intensidad del campo gravitatorio que crea una masa puntual de 200 kg en un punto P que dista de ella 40 cm. N ×m2 Datos: m = 200 kg ; r = 40 cm = 0,40 m; G = 6,67·10 ─11 kg2 M P Cuidamos de que todas las unidades estén expresadas en el S.I. y aplicamos la expresión r que vimos en la diapositiva 29, que nos permite calcular el módulo (valor) de la intensidad de campo: r M −11 200 −8 N g = g = G 2 = 6,67 ×10 2 = 8,34 ×10 r 0, 40 kgActividad 5 : Expresa vectorialmente la intensidad del campo gravitatorio que hemos calculado en la actividad anterior. y Dibujamos unos ejes cartesianos con centro en la r r r M g masa que crea el campo y dibujamos el vector g i P y el vector unitario en la dirección y sentido masa r r r X que crea el campo al punto u = i .Finalmente aplicamos la ecuación de la intensidad de campo de la diapositiva 29: r M r M r r N g = −G 2 × = − G 2 ×i = − 8,34 × u −8 10 i r r kg 01/14/13 34 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  35. 35. Actividad 6 : En el punto (3,0) m existe una masa puntual de 40 kg y en el punto (0,4) m otra de 80 kg. Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio creado por ambas masas en el origen de coordenadas. Datos: (3,0) m ; M1 = 40 kg ; (0,4) m ; M2 = 35 kg ; G = 6,67·10─11 N ×m2 kg2 y (0,4) m M2 = 80 kg Dibujamos unos ejes de coordenadas con los puntos y las masas. A continuación dibujamos los vectores campo creado por cada r r masa en el punto (0,0). g2 g r r Ahora calculamos el valor de los vectores g1y g 2 . M1 = 40 kg r M1 − 11 40 N r X g1 = g1 = G 2 = 6,67 ×10 2 = 2,96 ×10 − 10 g1 (3,0) m r1 3 kg r M2 − 11 80 − 10 N g 2 = g 2 = G 2 = 6,67 ×10 2 = 3,34 ×10 r2 4 kg Según el principio de superposición, el campo resultante en el origen de coordenadas será la suma vectorial del campo creado por cada masa. r Finalmente, podemos calcular el valor del vector g aplicando el teorema de Pitágoras. − 10 − 10 N g= g +g 2 1 2 2 = 2,96 + 3,34 ×10 2 2 = 4,46 ×10 kg 01/14/13 35 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  36. 36. Actividad 7 : Calcula potencial gravitatorio que crea una masa puntual de 200 kg en un punto P que dista de ella 40 cm. N ×m2 Datos: m = 200 kg ; r = 40 cm = 0,40 m; G = 6,67·10 ─11 kg2 M P Cuidamos de que todas las unidades estén expresadas en el S.I. y aplicamos la expresión r que vimos en la diapositiva 31, que nos permite calcular el potencial gravitatorio: M −11 200 −8 J V = −G = − 6,67 ×10 = − 3,34 ×10 r 0, 40 kgActividad 8 : ¿Cuánto dista el punto A de la figura de la masa M? Nos dan la masa M que crea el M = 350 kg A campo y el potencial creado por r VA = − 5 × −8 J ×kg −1 ella en unr punto A que dista una 10 distancia de M. Aplicamos la expresión anterior del potencial gravitatorio, despejando la distancia que nos piden: M M 350 V = −G r = − G = − 6,67 ×10 −11 −8 = 0, 47 m r V −5 ×10 01/14/13 36 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  37. 37. Actividad 9 : En el punto (3,0) m existe una masa puntual de 40 kg y en el punto (0,4) m otra de 80 kg. Calcular el potencial gravitatorio creado por ambas masas en el origen de coordenadas. Datos: (3,0) m ; M1 = 40 kg ; (0,4) m ; M2 = 35 kg ; G = 6,67·10─11 N ×m2 kg2 y (0,4) m M2 = 80 kg Dibujamos unos ejes de coordenadas con los puntos y las masas. A continuación calculamos el potencia gravitatorio que cada masa crea en el punto (0,0). M1 = 40 kg M1 − 11 40 J X V1 = − G = − 6,67 ×10 × = − 8,9 ×10 − 10 (3,0) m r1 3 kg M2 − 11 80 −9 J V2 = − G = − 6,67 ×10 × = − 1,3 ×10 r2 4 kg Según el principio de superposición, el potencial gravitatorio resultante en el origen de coordenadas será la suma algebraica del potencial creado por cada masa. − 10 −9 J −9 V = V1 + V2 = − 8,9 ×10 + (− 1,3 ×10 ) = − 2,19 ×10 kg 01/14/13 37 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  38. 38. Actividad 10 : Los puntos A, B y C pertenecen a una región del espacio en la que existe un campo gravitatorio. A B C VA = − 3,6 × −5 J ×kg −1 10 VC = − 1,8 ×10 −4 J ×kg −1a) ¿Qué trabajo realizarán las fuerzas del campo cuando un cuerpo de 20 kg de masa se desplace desde el punto C al A?. Como el campo gravitatorio es un campo conservativo, aplicamos la expresión de la diapositiva 33 que nos relaciona el trabajo W con la diferencia de potencial: final En este caso A final W = m ×(VA − VB ) B A W = m ×(VC − VA ) C inicial inicial WC = 20 ×(− 1,8 ×10− 4 − (− 3,6 ×10 − 5 )) = − 2,9 ×10− 3 J Ab) ¿Qué nos indica que el trabajo del apartado anterior sea negativo? Que las fuerzas del campo gravitatorio se oponen a que la masa se desplace libremente desde C hasta A, y en consecuencia para conseguir ese desplazamiento tendremos que aplicar una fuerza externa que venza a la fuerza del campo.c) ¿Es posible determinar, sin necesidad de hacer el cálculo numérico , que en el apartado a) obtendríamos un trabajo negativo?. Como el VC es menor que el VA, cuando un cuerpo pasa de un punto de menor potencial a otro de mayor potencial, las fuerzas del campo SIEMPRE se oponen y harán un trabajo resistente (negativo).d) Calcular el potencial en B si el trabajo del campo para desplazar la masa de 20 kg desde B hasta C vale 1,44·10–3 J. Aplicamos la expresión: W B = m ×(VB − VC ) C y despejamos VB : W B + m ×VC C 1, 44 × −3 + 20 ×(−1,8 × −4 ) 10 10 VB = = = −1,08 × −4 J ×kg −1 10 m 20 01/14/13 38 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  39. 39. 4.2 Representación del campo gravitatorioUn campo de fuerzas, como el campo gravitatorio puede representarse por suslíneas de fuerzas o líneas de campo y por sus superficies equipotenciales►Las líneas de fuerzas o líneas de campo son líneas imaginarias tangentes alvector intensidad de campo en cada punto.Se trazan de modo que la densidad de líneas de campo sea proporcional almódulo del campo gravitatorio M Lineas de fuerzas del campo gravitatorio creado por una masa puntual M Applet O.Casella 01/14/13 39 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  40. 40. Lineas de fuerzas del campo gravitatorio creado por un sistema de dos masaspuntuales iguales01/14/13 40 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  41. 41. ►Al unir los puntos en los cuales el potencial gravitatorio tiene el mismo valor seobtienen las superficies equipotenciales.•Las superficies equipotenciales son, en cada punto, perpendiculares a la líneade campo que pasa por ese punto.•El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar cualquier masa de unpunto a otro de la misma superficie equipotencial es nulo.Ya que como vimos: WA = m ×(VA − VB ) BY si VA = VB se cumple que el trabajo es nulo : WA = 0 B•Para una masa puntual, las superficies equipotenciales son superficies esféricascon centro en la masa. Líneas de campo Superficies equipotenciales 01/14/13 41 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  42. 42. Actividades para el próximo día: * 14 de la página 59 * 15 y 16 de la página 61 * 18, 20 y 23 de la página 64 * 27 de la página 65 * 49, 52 , 53 y 54 de la página 72 * 56 de la página 7301/14/13 42 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  43. 43. 01/14/13 43 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2
  44. 44. Modelo geocéntrico Sol Planeta (Mercurio, Venus, ….) Tierra Modelo heliocéntrico VOLVER01/14/13 44 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2

×