8 tema1-congruencia y-semejanza

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8 tema1-congruencia y-semejanza

  1. 1. Bloque 2. Congruencia y semejanzaTema 1. Congruencia de triángulos, circunferencia y rectasEn la casa de Inés se quebraron los vidrios de dos ventanastriangulares, aunque están en diferente posición a simple vistaparece que deberá comprar los vidrios iguales. Para asegurarsemidió los lados de una ventana y los de la otra, obteniendo lasmismas medidas: 8, 15 y 17 c m. Ella está segura que los vidriosdeberán ser iguales.¿En tu vida se te ha presentado una situación similar?Los triángulos son polígonos (figuras planas limitadas porsegmentos) de tres lados, a los tres segmentos que los limitan seles llama lados y a los extremos de los lados, vértices. 64
  2. 2. Dos figuras planas son congruentescuando tienen la misma forma y lasmismas dimensiones o e l mismotamaño.Para determinar si dos triángulos son congruentes (iguales) se Mtienen tres criterios: LLL, ALA, LAL. A TSi los tres lados de un triángulo son Criterio LLL E Mcongruentes con los tres lados de otro Átriángulo, entonces los dos triángulos Tson congruentes. A esto se le llama Icongruencia LLL (lado, lado, lado). C A S Criterio LAL Si dos lados y el ángulo (comprendido entre ellos) en un triángulo son congruentes con dos lados y el ángulo (comprendido entre ellos) en otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes; hay congruencia LAL (lado, ángulo, lado).Si dos ángulos y el lado entre ellos en Criterio ALAun triángulo son congruentes con dosángulos y el lado entre ellos en otrotriángulo, entonces los triángulos soncongruentes; hay congruencia ALA(ángulo, lado, ángulo). 65
  3. 3. Por ejemplo, los dos triángulos siguientes son congruentes por elcriterio LAL, pues tienen dos lados iguales y el ángulocomprendido entre ellos es igual. 12 cm 12 cm 90° 90° 15 cm 15 cmUna diagonal en un polígono es una línearecta que une dos vértices no consecutivos.Un paralelogramo es un cuadrilátero que tienedos pares de lados paralelos.Paralelogramo Características Sus cuatro ángulos son iguales, es decir, tiene rectángulo cuatro ángulos rectos. Sus lados son iguales. Sus cua tro ángulos son iguales (cuatro ángulos rectos), por tanto es un cuadrado rectángulo. Al tener cuatro lados iguales es un rombo. rombo Tiene los cuatro lados iguales. Sus ángulos y sus lados opuestos son iguales dos romboide a dos. • Las diagonales en un paralelogramo se cortan en su punto medio. • Al trazar alguna de las diagonales de un paralelogramo se obtienen dos triángulos congruentes. 66
  4. 4. a a En el rombo sus cuatro lados son iguales a a b a a Al trazar la diagonal “b” se obtienen dos triángulos, por el criterio LLL se a a puede concluir que son congruentes. M ASin embargo, existen cuadriláteros que no son paralelogramos y Tcuando se traza una diagonal en ellos se forman triángulos Econgruentes. M Á T a b IEl cuadrilátero no es paralelogramo, Ctiene dos lados consecutivos iguales A(a) y los otros iguales (b). S a b a b c Al trazar la diagonal “c” en el cuadrilátero se forman dos triángulos congruentes. a b a b d Al trazar la diagonal “d” en el cuadrilátero no se forman dos triángulos congruentes. a bLa circunferencia es el conjunto de Exteriorpuntos en un plano que equidistan, esdecir, que están a la misma distancia Fronterade otro punto fijo llamado centro. InteriorEl círculo es la región del planolimitada por una circunferencia (la rsuperficie dentro de la circunferencia).La circunferencia forma tres regiones:exterior, interior y frontera. 67
  5. 5. Un punto es exterior a la es interior a la está en la frontera circunferencia circunferencia de la si está a mayor si está a menor circunferencia distancia del distancia del si está a igual centro que lo centro que lo distancia del que mide el que mide el centro que lo que radio. radio. mide el radio.Ahora bien, existen las posiciones relativas entre rectas y unacircunferencia.a) La secante es una línea recta que intersecta (toca) unacircunferencia en dos puntos.b) La cuerda es un segmento cuyospuntos extremos son puntos de lacircunferencia.c) El radio es el segmento rectilíneoque va del centro de la circunferenciaa cualquiera de sus puntos.d) El diámetro es cualquier cuerda que pase por el centro y esequivalente a dos radios.e) La tangente es la línea recta que intersecta (toca) a lacircunferencia en exactamente un punto, es perpendicular alradio.f) Una línea exterior es una recta tal que ésta y la circunferenciano se cortan. 68
  6. 6. También existen las posiciones relativas entre doscircunferencias: Exteriores Interiores Tangentes Tangentes Secantes interiores exteriores MSe tienen tres ángulos que se forman dentro de la Acircunferencia: Ta) El ángulo inscrito (∠a) es aquél cuyo Evértice pertenece a la circunferencia y sus M Álados contienen cuerdas de ella. Tb) El ángulo central (∠b) es aquél cuyo Ivértice está en el centro de la Ccircunferencia. Ac) El ángulo semi-inscrito (∠c) es aquél Scuyo vértice está en la circunferencia, unode sus lados es tangente y el otro secante. Un ángulo central separa a la circunferencia en arcos. En la figura, el ángulo ACB es el ángulo central con centro C, puntos A y B y todos los puntos de la circunferencia que están entre los puntos A y B forman un arco. La medida en grados de un arco es la medida del ángulo central correspondiente.Si se tiene un ángulo AOB central y un Cángulo ACB inscrito donde los dos B Oabarcan el mismo arco AB, entonces lamedida del ángulo AOB es dos veces lamedida del ángulo ACB. A m∠AOB = 2 m∠ACB 69
  7. 7. Por ejemplo: a) ¿Cuál es la medida del ángulo BAC? Si el ángulo BOC mide 88°, entonces el ángulo BAC mide la mitad, es decir, 44°. b) ¿Cuál es la medida de “y”? En este caso, por larelación de los ángulos, 3y es dos veces másgrande que 60°.Al resolver 3y = 2(60°) 3y = 120° entonces y = 40° , 70

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