Francois Perron's 03/02/2011 talk at BigMC seminar.

1. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Estimation de copules, une approche bayésienne
Présenté par François Perron
Université de Montréal
Paris, jeudi le 3 février 2011
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

2. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Plan de l’exposé
Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

3. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Copule C
(U, V) : couple aléatoire
L(U) = L(V) = U(0, 1)
C : fonction de répartition du couple (U, V)
Propriétés de C :
1 Le support C : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]
2 Les conditions aux bornes
C(0, v) = C(u, 0) = 0, u, v ∈ [0, 1]
C(1, v) = v et C(u, 1) = u, u, v ∈ [0, 1]
3 La croissance, 0 ≤ u1 ≤ u2 ≤ 1 et 0 ≤ v1 ≤ v2 ≤ 1 ⇒
C(u2 , v2 ) − C(u1 , v2 ) ≥ C(u2 , v1 ) − C(u1 , v1 )
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4. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Théorème de Sklar
(X, Y) : couple aléatoire continu
∃C une copule telle que
F(x, y) = C(FX (x), FY (y)) ∀x, y ∈ R
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5. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Les valeurs extrêmes
(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), . . . ,(Xn , Yn ) : un échantillon,
X(n) , Y(n) : les maximums
Hypothèse : il existe une normalisation de sorte que
X(n) − an Y(n) − bn
,
αn βn
ont une loi limite non dégénérée.
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6. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Les copules de valeurs extrêmes
(X, Y) : couple aléatoire dont la loi est une loi limite pour des
maximums renormalisés
On a les caractérisations suivantes,
x − µX −1/ξX
− log(FX (x)) = 1 + ξX ∨0
σX
y − µY −1/ξY
− log(FY (y)) = 1 + ξY ∨0
σY
et la copule dépend d’une fonction A avec
log(u)
C(u, v) = exp log(uv)A , u, v ∈ (0, 1)
log(uv)
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7. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
La modélisation
M : espace des paramètres, copule et marges
S : échantillon
L : vraisemblance
η : fonction à estimer, la copule, une loi prédictive, etc
M ⊃ ∪∞ Mi union dense
i=1
π : loi a priori sur i
πi : loi a priori conditionnelle sur Mi étant donné i
η : espérance a posteriori de η
ˆ
La partie simulation
Évaluer η : MCMC avec Metropolis-Hastings et sauts réversibles
ˆ
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8. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
La fonction de Pickands A
La définition
Une fonction A : [0, 1] → R est une fonction de Pickands si
1 A est convexe
2 A(0) = 1 et A(1) = 1
3 D+ A(0) ≥ −1 et D− A(1) ≤ 1
La géométrie du problème
Une fonction A : [0, 1] → R est une fonction de Pickands si
1 A est convexe
2 la courbe A est enfermée dans le triangle formé des sommets
(0, 1), (1/2, 1/2), (1, 1).
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9. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la construction
la fonction A, l’approximation par φ
0 = t1 < t2 < · · · < tK = 1 : les noeuds
{ai }K : les évaluations (ai = A(ti ))
i=1
pi = (ti , ai ), i = 1, . . . , K : les points
On interpole les points par une fonction convexe de Pickands
Soit φ la fonction décrivant la courbe obtenue suite à l’interpolation
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10. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
l’interpolation entre les points pi et pi+1
mj : pente de la droite passant par pj et pj+1 , j = i − 1, i, i + 1
mi = (mi−1 + mi )/2
¯
¯
Courbe de Bézier qui passe par pi et pi+1 avec pente mj en tj ,
j = i, i + 1.
la qualité d’approximation
A : fonction de Pickands
ti = (i − 1)/(K − 1), ai = A(ti ), i = 1, . . . , K,
φ, fonction obtenue à partir des pi , i = 1, . . . , K,
A−φ ∞ ≤ 1/2(K − 1)
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11. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Figure 1
A E
B
D
C
F
F IG .: La disposition des points A, B, C, D, E et la liberté du point C
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12. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la loi a priori
les marges
Il y a les trois paramètres (µ, log(σ), ξ) pour chacune des marges,
lois normales indépendantes partout, Coles (2001)
les paramètres K et p
Loi discrète sur K, K = 3, 4, . . . , U ( on tronque )
Loi uniforme sur {p2 , . . . , pK−1 : φ est une fonction de Pickands }
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13. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la chaîne
les options
On choisit une option avec une certaine probabilité qui dépend de K et
on effectue le test de Metropolis
modifier un des paramètres des marges
déplacer un des points p, (K → K)
ajouter un des points p, (K → K + 1)
retrancher un des points p, (K → K − 1)
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14. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
déplacer le point pi → pi , 1 < i < K
Conserver la convexité ⇔ pi doit se trouver dans le triangle Ti−1 i+1
donné par les sommets pi−1 , pi+1 et l’intersection des droites − −p−
p− −i−1
i−2
→
et − −p− .
p− −i+2
i+1
→
On propose pi en choisissant selon une loi uniforme sur Ti−1 i+1 .
ajouter un point q entre les points pi et pi+1
q doit se trouver dans le triangle Ti i+1 donné par les sommets pi , pi+1
et l’intersection des droites − −pi et − −p− .
p− → p− −i+2
i−1 i+1
→
On propose pi en choisissant selon une loi uniforme sur Ti i+1 .
retrancher un point pi
On propose d’éliminer le point pi sans toucher aux autres points.
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15. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Figure 2, Bayes, Capéraà et al, Hall et Tajvidi, Deheuvel
1 1
0.95 0.95
0.9 0.9
0.85 0.85
0.8 0.8
0.75 0.75
0.7 0.7
0.65 0.65
0.6 0.6
0.55 0.55
0.5 0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1 1
0.95 0.95
0.9 0.9
0.85 0.85
0.8 0.8
0.75 0.75
0.7 0.7
0.65 0.65
0.6 0.6
0.55 0.55
0.5 0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
F IG .: 200 échantillons de taille 25
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16. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Tableau 1 : MISE relatif, logistique, 1000 échantillons, marges
connues
TAB .: A(t) = 1 − β + (β − α)t + {αr tr + β r (1 − t)r }1/r
n = 10 n = 25 n = 100
model r, α, β C H D C H D C H D
1 1.25,1,1 0.27 0.16 0.20 0.25 0.18 0.19 0.39 0.31 0.29
2 1.5,1,1 0.24 0.18 0.18 0.56 0.45 0.36 1.45 1.10 0.92
3 1.75,1,1 0.74 0.63 0.48 1.36 1.10 0.74 2.23 1.72 1.14
4 2,1,1 1.50 1.39 0.81 2.21 1.84 1.06 3.24 2.31 1.21
5 3,1,1 6.04 6.46 1.60 6.02 5.06 1.40 5.19 4.39 1.15
6 1.25,0.9,0.5 0.56 0.32 0.41 0.55 0.33 0.38 0.39 0.30 0.30
7 1.5,0.9,0.5 0.27 0.17 0.22 0.27 0.21 0.22 0.42 0.34 0.32
8 2,0.9,0.5 0.20 0.16 0.17 0.38 0.30 0.28 0.68 0.53 0.47
9 3,0.9,0.5 0.35 0.29 0.26 0.51 0.42 0.37 0.66 0.50 0.43
10 5,0.9,0.5 0.44 0.34 0.33 0.51 0.41 0.36 0.56 0.42 0.38
11 2,0.75,0.95 0.39 0.38 0.31 0.68 0.59 0.46 1.13 0.90 0.69
12 2.5,0.75,0.95 0.74 0.72 0.52 0.96 0.88 0.63 1.18 1.08 1.08
13 3.25,0.75,0.95 1.02 0.94 0.61 0.96 0.86 0.56 1.04 0.84 0.56
14 5,0.75,0.95 0.98 0.97 0.62 0.76 0.61 0.43 0.86 0.63 0.44
15 10,0.75,0.95 0.65 0.63 0.40 0.46 0.31 0.23 0.87 0.62 0.45
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

17. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Tableau 2 : MISE relatif, logistique, 1000 échantillons, marges
inconnues
TAB .: A(t) = 1 − β + (β − α)t + {αr tr + β r (1 − t)r }1/r
n = 10 n = 25 n = 100
model r, α, β C H D C H D C H D
1 1.25,1,1 0.31 0.24 0.24 0.30 0.25 0.25 0.40 0.35 0.35
2 1.5,1,1 0.12 0.17 0.17 0.37 0.39 0.39 1.26 1.18 1.18
3 1.75,1,1 0.25 0.48 0.48 0.84 0.98 0.98 2.01 1.86 1.86
4 2,1,1 0.45 1.12 1.11 1.52 1.62 1.62 3.01 2.44 2.44
5 3,1,1 0.89 3.92 3.72 4.37 4.82 4.80 6.07 4.35 4.35
6 1.25,0.9,0.5 0.89 0.51 0.51 0.86 0.57 0.57 0.57 0.45 0.45
7 1.5,0.9,0.5 0.32 0.26 0.26 0.32 0.28 0.28 0.48 0.43 0.43
8 2,0.9,0.5 0.15 0.18 0.18 0.31 0.33 0.33 0.72 0.62 0.62
9 3,0.9,0.5 0.21 0.32 0.32 0.47 0.50 0.50 0.74 0.70 0.70
10 5,0.9,0.5 0.30 0.46 0.47 0.56 0.61 0.61 0.65 0.65 0.65
11 2,0.75,0.95 0.20 0.30 0.30 0.53 0.57 0.57 1.14 1.07 1.07
12 2.5,0.75,0.95 0.34 0.67 0.67 0.82 0.93 0.93 1.19 0.94 0.62
13 3.25,0.75,0.95 0.45 1.05 1.04 0.99 1.11 1.11 1.02 1.03 1.03
14 5,0.75,0.95 0.52 1.29 1.28 0.99 1.09 1.09 0.76 0.79 0.79
15 10,0.75,0.95 0.51 1.31 1.30 0.66 0.73 0.73 1.32 1.44 1.44
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

18. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

19. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Figure 5
1 1
0.95 0.95
0.9 0.9
0.85 0.85
0.8 0.8
0.75 0.75
0.7 0.7
0.65 0.65
0.6 0.6
0.55 0.55
0.5 0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
(a) La Grande 4 vs Manouanes (b) LaGrande 4 vs EOL
F IG .: Estimation de A, Bayes, CFG et Hall
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

20. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Figure 6
700 4500
600 4000
500 3500
400 3000
300 2500
200 2000
100 1500
0 1000
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
(a) La Grande 4 vs Manouanes (b) LaGrande 4 vs EOL
F IG .: Bande de prévision à 95% et prévision
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

21. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Avantages et inconvénients liés à la méthode
Avantages
L’estimateur est une vraie fonction de dépendance, pas besoin de
trafiquer !
Approche bayésienne
Meilleurs résultats pour tailles d’échantillon petites
Inconvénients
Réponse numérique
Lorsqu’on approche la colinéarité en plusieurs points consécutifs on
reste coincé, les triangles s’aplatissent.
L’asymptotique ?
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

22. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la mesure spectrale
la définition
G1 et G2 : fonctions de répartition pour les marges
G : fonction de répartition du couple alétoire
− log G(u, v) = (− log G1 (x), − log G2 (y))
avec
(s, t) = 2 [ωs ∨ (1 − ω)t] H(dω)
[0,1]
et, en plus, H : mesure de probabilité sur [0, 1] avec moyenne 1/2.
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

23. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la construction
la fonction de répartition H, l’approximation par ϕ
On note H la fonction de répartition associée à la mesure H
On construit ϕD une mesure discrète sur 0, y1 , . . . , ym , 1 avec
0 < y1 < · · · < ym < 1, poids
ϕD ({0}) = H({0})
ϕD ({1}) = H({1})
ϕD ({y1 }) = ϕD ({y2 }) = · · · = ϕD ({ym })
On interpole ϕD avec des splines croissantes
ϕ− : interpolation par le bas, moyenne inférieure à 1/2
ϕ+ : interpolation par le haut, moyenne supérieure à 1/2
ϕ : combinaison convexe, moyenne ramenée à 1/2
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

24. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la qualité d’approximation
H−ϕ ∞ ≤ 2(1 − H({0}) − H({1}))/m
les conditions sur ϕD
0 ≤ ϕD ({0}), ϕD ({1})) ≤ 1/2
ϕD ({yi }) = (1 − ϕD ({0}) − ϕD ({1}))/m i = 1, . . . , m
(1 − ϕD ({0}) − ϕD ({1}))¯ + ϕD ({1}) = 1/2
y (1)
notation
ϕD ({0}), ϕD ({1})) : atomes
y1 , y2 , . . . , ym : noeuds
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

25. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
1
3/4
1/2
H
1/4
0 y1 y2 y3 y4 1
w
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

26. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la vraisemblance
Principe de base, domaine d’attraction
Les données brutes ne proviennent pas d’une loi à valeurs extrêmes
mais les maximums sont dans le domaine d’attraction d’une loi à
valeurs extrêmes
Censurer les données à gauche
(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), . . . , (Xn , yn ) : données brutes
Xi∗ = Xi ∨ u, Yi∗ = Yi ∨ v : données censurées
Loi des données censurées proche de celle de données censurées
d’une loi de valeurs extrêmes ( Ledford et Tawn 1996 )
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

27. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la loi a priori
les marges
Il y a les trois paramètres (µ, log(σ), ξ) pour chacune des marges,
lois normales indépendantes partout, Coles (2001)
les paramètres m et y
Loi discrète sur m, m = 1, 2, . . . , U ( on tronque )
Loi uniforme sur
{ϕD ({0}), ϕD ({1}), y2 , . . . , ym−1 : ϕD est une mesure spectrale}
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

28. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Loi a priori, Poisson(10) tronquée en 0 sur m
1
0.8
0.6
H
0.4
0.2
00 0.2 0.4 1
w 0.6 0.8
F IG .: bande à 95% et espérance, 500 000 itérations
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

29. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la chaîne
les options
On choisit une option avec une certaine probabilité qui dépend de m et
on effectue le test de Metropolis
modifier un des paramètres des marges
déplacer un des points y, (m → m)
changer ϕD ({0}) ou ϕD ({1}), (m → m)
ajouter un des points y, (m → m + 1)
retrancher un des points y, (m → m − 1)
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

30. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
déplacer le point yi
Choisir j = i, δ tel que
0 < (yi + δ) ∧ (yj − δ) et (yi + δ) ∨ (yj − δ) < 1
Proposer yi → yi + δ, yj → yj − δ
changer ϕD ({0}) ou ϕD ({1})
Choisir i, δ tel que
0 < yi + δ < 1 et 0 ≤ ϕD ({0}) < 1/2
où ϕD ({0}) est l’unique solution de l’équation (1)
Proposer yi → yi + δ, ϕD ({0}) → ϕD ({0})
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

31. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
ajouter un des points y, (m → m + 1)
Ajouter le point ¯
y
Déplacer le point ¯ comme si il y avait m + 1 points y
y
retrancher un des points y
Choisir un point yi
Choisir j = i, tel que
(yi − ¯)(yj − ¯) < 0
y y
Choisir δ tel que
yi + δ = ¯
y
Proposer d’éliminer yi et de bouger yj → yj − δ
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

32. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Figure 5
×102 1
1
0.75
MISE
0.6 0.5
H
0.25
0.2
0 0.75 0.8 0.85 0.9 00 0.25 0.5 0.75 1
α w
(a) (b)
1 1
0.75 0.75
0.5 0.5
H
H
0.25 0.25
00 00
Présenté par François Perron Université de Montréal 1
0.25 0.5
w 0.75 1
Estimation 0.25 copules, une approche bayésienne
de 0.5
w 0.75

33. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Figure 6
×102 1
1
0.75
MISE
0.6 0.5
H
0.25
0.2
0 0.75 0.8 0.85 0.9 00 0.25 0.5 0.75 1
α w
(e) (f)
1 1
0.75 0.75
0.5 0.5
H
H
0.25 0.25
00 00
Présenté par François Perron Université de Montréal 1
0.25 0.5
w 0.75 1
Estimation 0.25 copules, une approche bayésienne
de 0.5
w 0.75

34. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Figure 7
×102 1
1
0.75
MISE
0.6 0.5
H
0.25
0.2
0 0.75 0.8 0.85 0.9 00 0.25 0.5 0.75 1
α w
(i) (j)
1 1
0.75 0.75
0.5 0.5
H
H
0.25 0.25
00 00
Présenté par François Perron Université de Montréal 1
0.25 0.5
w 0.75 1
Estimation 0.25 copules, une approche bayésienne
de 0.5
w 0.75

35. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Dommages, bâtiment versus mobilier et biens personels
1
0.8
0.6
H
0.4
0.2
00 0.2 0.4 1
w 0.6 0.8
F IG .: bande à 95% et espérance, 500 000 itérations
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

36. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Dommages, bâtiment versus perte de profits
1
0.8
0.6
H
0.4
0.2
00 0.2 0.4 1
w 0.6 0.8
F IG .: bande à 95% et espérance, 500 000 itérations
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

37. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Dommages, mobilier et biens personels versus perte de
profits
1
0.8
0.6
H
0.4
0.2
00 0.2 0.4 1
w 0.6 0.8
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

38. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Avantages et inconvénients liés à la méthode
Avantages
Les données ne proviennent pas nécessairement d’une loi à valeurs
extrêmes
L’estimateur est une vraie mesure spectrale avec des atomes, pas
besoin de trafiquer !
Approche bayésienne
Meilleurs résultats pour tailles d’échantillon petites
Inconvénients
On doit choisir un bon point pour censurer
Réponse numérique, le lissage est compliqué
Lorsque plusieurs points approchent les bornes on reste coincé, on
manque d’espace pour bouger.
L’asymptotique ?
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

39. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
La représentation par une intégrale
La condition de régularité
A est une fonction absolument continue
La décomposition
1
A(ω) = 1 − B(2ω − 1)
2
1 1
B(x) = {(1 − xy) − |x − y|}C(y) dy
2 −1
1
1
= {(1 + x)(1 − y) ∧ (1 − x)(1 + y)}C(y) dy}
2 −1
1 1
C ≥ 0, −1 (1 − y)C(y) dy ≤ 2 et −1 (1 + y)C(y) dy ≤ 2
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

40. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Les polynômes, version classique
La représentation vectorielle et la bijection
A : polynôme de degré ≤ m + 2
B(x) = (1 − x2 ) m bi xi , b ∈ Rm+1
i=0
C(x) = m ci xi , c ∈ Rm+1
i=0
b = Gc, G inversible
La caractérisation, intersection de deux ellipsoïdes
P2 (x) + (1 − x2 )Q2 (x)x si m est pair,
C(x) = 2 (x) + (1 + x)Q2 (x) si m est impair
(1 − x)P
ck ck ck ck
k impair k+2 − k pair k+1 ≤ 1, k impair k+2 + k pair k+1 ≤1
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

41. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Les polynômes, version Bernstein
La représentation vectorielle et la bijection
A : polynôme de degré ≤ m + 2
Y(m, t) : variable aléatoire de loi binomiale(m, t)
B(x) = (1 − x2 )E[β(Y(m, (1 + x)/2))], β ∈ Rm+1
C(x) = E[θ(Y(m, (1 + x)/2))], θ ∈ Rm+1
β = Γc, Γ inversible
La caractérisation ( version restreinte ), polytope
θ(k) ≥ 0, ∀k ( version restreinte ) h(x) ≥ 0, x ∈ (0, 1)
1 m k+1 1 1 1
m+1 k=0 (1 − m+2 )θ(k) ≤ 2 , 0 (1 − y)h(y)dy ≤ 2 ,
1 m 1
m+1
k+1
k=0 m+2 θ(k) ≤ 1.
2 0 yh(y)dy ≤ 1,
2
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

42. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
la qualité d’approximation
l’approximation de Bernstein
A : fonction de Pickands
Bm+2 A : approximation de Bernstein
Bn A(t) = E[A(Y(n, t)/n)]
la borne
On a les résultats suivants,
Bm+2 A est un fonction de Pikands polynomiale qui satisfait la
contrainte de la version restreinte
|Bm+2 A(t) − A(t)| ≤ t(1 − t)/(m + 2) ∀t ∈ [0, 1]
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

43. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
La loi a priori et la chaîne
loi a priori, version Bernstein
Discrète sur m et, conditionnellement à m, uniforme sur le polytope.
la chaîne
MH standard avec sauts réversibles.
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

44. Préléminaires
L’approche géométrique
L’approche mesure spectrale
L’approche polynomiale
Avantages et inconvénients liés à la méthode
Avantages
La solution numérique se résume dans les paramètres du polynôme
L’estimateur est une vraie fonction de dépendance, pas de lissage à
faire, pas besoin de trafiquer !
Approche bayésienne
Meilleurs résultats pour tailles d’échantillon petites ?
Belles formules, liens entre le polynôme et la forme intégrale.
Inconvénients
Réponse numérique, projet en devenir !
√
Borne de l’ordre de O(1/ n) à comparer avec O(1/n)
Lorsqu’on approche d’un sommet autre que l’origine on reste coincé,
la pointe est aiguisée.
L’asymptotique ?
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne