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2016年度 センター試験 数2 B 確率分布と統計的な推測の解説

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2016年度 センター試験 数2Bの「確率分布と統計的な推測」の解説です。分かりやすく作ったつもりですが、わかりづらい点、間違っている点などありましたらご指摘ください。

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2016年度 センター試験 数2 B 確率分布と統計的な推測の解説

  1. 1. 株式会社 社会情報サービス ベルカーブビジネスユニット 統計調査研究室 2016年度 センター試験 ~数2B 確率分布と統計的な推測~
  2. 2. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. ちょっとだけ宣伝 その1 (株)社会情報サービスは『エクセル統計』とい う統計解析用ソフトを開発販売している会社です。 その他にも、運営する『統計WEB』というサイト 内で統計に関する様々な話題を提供しています。 http://software.ssri.co.jp/statweb2/ 統計解析にはちょっとだけ自信があります。 2
  3. 3. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. 2016年度 数2B 第5問(選択問題) ここからセンター試験の解説をやっていきます。 【問題】 nを自然数とする。 原点Oから出発して数直線上をn回移動する点A を考える。点Aは、1回ごとに、確率pで正の向き に3だけ移動し、確率1-pで負の向きに1だけ移動 する。 ここで、0<p<1である。n回移動した後の点Aの 座標をXとし、n回の移動のうち正の向きの移動の 回数をYとする。 3
  4. 4. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. イメージ図 4 負の向きに1移動 (確率1-p) 正の向きに3移動 (確率p) 0 n回行い、 正にY回、負に(n-Y)回移動 最終的に座標Xにいる X 0
  5. 5. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (1) 5 p=1/3、n=2のとき、確率変数Xのとり得る値は 正-正 正-負 負-負 の3通りの組み合わせしかありませんので、この3 通りについてのみ考えればよいです。
  6. 6. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (1) 6 正-正のとき →座標X=3×2=6 →確率=(1/3)^2=1/9 正-負のとき →座標X=3×1+(-1)×1=2 →確率=(1/3)×(1-1/3)×2=4/9 負-負のとき →座標X=(-1)×2=-2 →確率=(1-1/3)^2=4/9 こたえ ア. 2 イ. 2 ウ. 6 エ. 4 オ. 9 カ. 4 キ. 1 確率変数Xが小さ い順に答えます
  7. 7. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (2) 7 n回移動した時、 正に動いたのがY回 →1回あたり正に3移動 負に動いたのが(n-Y)回 →1回あたり負に1移動 したがって、 X=3×Y+(-1)×(n-Y) =-n+4Y こたえ ク. ー ケ. 4
  8. 8. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (2) 8 確率変数Yの平均(期待値)と分散は、下の公式 に当てはめると求められます。 確率pの試行をn回行う時、 平均(期待値):E[Y]=np 分散:V[Y]=np(1-p) こたえ コ. 0 サ. 1
  9. 9. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (2) 9 確率変数Xの平均は、 E[X]=E[-n+4Y] =E[-n]+E[4Y] nは定数なのでE[-n]=-n 一方E[4Y]=4×E[Y]と変形できるので、 E[4Y]=4×npとなります したがってE[X]=-n+4np E[X+Y]=E[X]+E[Y]が成り 立ちます 和の期待値は期待値の和 に等しくなります こたえ シ. 9
  10. 10. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (2) 10 確率変数Xの分散は、 V[X]=V[-n+4Y] nは定数なのでV[X]=V[4Y]となります 一方V[4Y]=4^2×V[Y]と変形できるので、 V[4Y]=16np(1-p)となります したがってV[X]=16np(1-p) V[X+c]=V[X]が成り立ちます cは定数を表します また、 V[cX]=c^2×V[X]が成り立ちます こたえ ス. 8
  11. 11. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (3) 11 p=1/4のとき、1200回移動した後の点Aの座標X が120以上になる確率の近似値を求めよう。 (2)により、 確率p=1/4の試行をn=1200回行う時、 平均(期待値):E[Y]=np=(1/4)×1200=300 分散:V[Y]=np(1-p) =1200×(1/4)×(1-1/4)=225 標準偏差=√(分散)=√225=15 こたえ セソタ. 300 チツ. 15
  12. 12. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (3) 12 点Aの座標Xが120以上になる確率を考えるために、 まず、Yの値を標準化します。 標準化とは「あるデータから平均を引き、標準偏 差で割る」ことです。 これにより、あるデータは平均が「0」、標準偏差 が「1」となります。
  13. 13. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (3) 13 標準化したデータは、「標準正規分布」の横軸の 値に当てはめることができるようになります。 標準化した値はこ この値のどこか、 に該当します 標準正規分布
  14. 14. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (3) 14 また、標準正規分布の「面積」は「横軸がその値 以上となる確率」を表します。 「↑」の値以上となる 確率は「水色の部分 の面積」に該当します 標準正規分布
  15. 15. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (3) 15 座標Xが120となる場合のYは X=-n+4Y を使って 120=-1200+4Y よりY=330となります よって、「平均300、標準偏差15」の確率分布に 従うYが「330以上」となる確率を求めるのがこの (3)の問題です。
  16. 16. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (3) 16 さきほどの標準正規分布に落としこむと、 「水色の部分の面積」 は「Yが330以上となる 確率」に該当します 330を標準化した値 標準化したYがこの「赤 の範囲」に入る=「Yが 330以上となる」=「Xが 120以上となる」というこ とを示します 標準正規分布
  17. 17. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (3) 17 したがって 𝑃(𝑋 ≥ 120) = 𝑃( 𝑌 − 300 15 ≥ 330 − 300 15 ) 𝑃(𝑋 ≥ 120) = 𝑃( 𝑌 − 300 15 ≥ 2.00) 「Y」を標準 化した値 こたえ テトナ. 200 「330」を標 準化した値
  18. 18. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (3) 18 2.00を標準正規分布に落としこむと、 この部分の面積がわ かれば、求める確率 が分かります 330を標準化した値=2.00
  19. 19. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. 標準正規分布表を見ると、 ①縦軸「2.0」のところを見る ②横軸「0.00」のところを見る ③交差する部分の値を読み取る (3) 19 ここの面積が 0.4772
  20. 20. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. = - ほしい面積はこちら側なので (3) ちょうど半分 =0.5 0.4772 よって、求める確率の近似値は 0.5-0.4772=0.023 こたえ テトナ. 023
  21. 21. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (4) 21 pの値がわからないとする。2400回移動した後の 点Aの座標がX=1440のとき、pに対する信頼度 95%の信頼区間を求めよう。 n回移動したときにYがとる値をyとし、r=y/nと おくと、nが十分に大きいならば、確率変数 R=Y/nは近似的に平均p、分散p(1-p)/nの正規分 布に従う。 n=2400は十分に大きいので、このことを利用し、 分散をr(1-r)/nで置き換えられる。
  22. 22. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (4) 22 確率pの試行をn回行い、Y回となる確率がrであった とき、pの信頼区間は下の式から求められます。 𝑟 − 𝑍 𝛼/2 𝑟 1 − 𝑟 𝑛 ≤ 𝑝 ≤ 𝑟 + 𝑍 𝛼/2 𝑟(1 − 𝑟) 𝑛 Zα/2は標準正規分布の値です。 信頼度95%の信頼区間の場合、「1.96」という値に なります。
  23. 23. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. (4) 23 n=2400 X=1440よりY=960 r=960/2400=0.4 を下の式に当てはめると 0.4 − 1.96 × 0.4 × 0.6 2400 ≤ 𝑝 ≤ 0.4 + 1.96 × 0.4 × 0.6 2400 より、 0.380≦p≦0.420 こたえ ノハヒ. 380 フヘホ. 420
  24. 24. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. ちょっとだけ宣伝 その2 「エクセル統計」に搭載している「母比率の推 定」から答えを確認してみます。 24 このようなエクセル データを準備し、 ダイアログを設定して 「OK」を押すだけです
  25. 25. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. ちょっとだけ宣伝 その2 結果はExcelの次のシートに出力されます。 25 38.0%≦p≦42.0% となっており、答えが一致 していることが確認できま した。
  26. 26. Copyright © 2015 Social Survey Research Information. All Rights Reserved. おわりに 少しでも気になった方はこちらへ (エクセル統計紹介のページです) https://bellcurve.jp/ex/ 試してみたいな!と思った方へ (無料体験版があります) https://product.ssri.com/trial.html 26

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