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  1. 1. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas CAP´ITULO 6 TRANSFORMADA DE LAPLACE 6.1. INTRODUCCION Definici´on 6.1. Sea f(t) una funci´on definida para todo t ≥ 0; se define la Transformada de Laplace de f(t) as´ı: £{f(t)}(s) = F(s) = ∞ 0 e−st f(t)dt = l´ım b→∞ b 0 e−st f(t)dt, si el l´ımite existe. Teorema 6.1. Si f(t) es una funci´on continua a tramos para t ≥ 0 y adem´as |f(t)| ≤ Mect para todo t ≥ T, donde M es constante , c constante y T > 0 constante, entonces £{f(t)}(s) existe para s > c. Demostraci´on: veamos que la siguiente integral existe, en efecto: |£{f(t)}(s)| = ∞ 0 e−st f(t)dt ≤ ∞ 0 |e−st ||f(t)|dt = ∞ 0 e−st |f(t)|dt, sabiendo que e−st > 0 211
  2. 2. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 212 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE = T 0 e−st |f(t)|dt I1 + ∞ T e−st |f(t)|dt I2 I1 = T 0 e−st |f(t)|dt existe, ya que f es continua a tramos I2 = ∞ T e−st |f(t)| ≤ Mect dt ≤ ∞ T e−st Mect dt = M ∞ T e(−s+c)t dt = M −(s − c) e−(s−c)t ∞ T , suponiendo que s − c > 0 = − M s − c (0 − e−(s−c)T ) = M s − c e−(s−c)T Luego, £{f(t)}(s) existe, si s > c. NOTA: a) cuando f(t) ≤ |f(t)| ≤ Mect para t ≥ T, entonces decimos que f(t) es de orden exponencial (ver figura 6.1). • f(t) T t f(t) Mect , (c > 0) (0, M) • Figura 6.1 b) Si f(t) es de orden exponencial, es decir, |f(t)| ≤ Mect para t ≥ T y c, M constantes, entonces l´ım t→∞ e−st f(t) = 0, s > c
  3. 3. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.1. INTRODUCCION 213 En efecto, como |f(t)| ≤ Mect , entonces |e−st f(t)| ≤ Me−(s−c)t y como l´ımt→∞ e−(s−c)t = 0, si s > c, entonces por el teorema de estricci´on en l´ımites, se concluye que l´ım t→∞ |e−st f(t)| = 0, s > c, luego l´ım t→∞ e−st f(t) = 0, s > c Observaci´on: £ es un operador lineal, en efecto £{αf(t) + βg(t)}(s) def. = ∞ 0 e−st (αf(t) + βg(t)) dt = α ∞ 0 e−st f(t) dt + β ∞ 0 e−st g(t) dt = α£{f(t)}(s) + β£{g(t)}(s) Teorema 6.2. 1). £{1}(s) = 1 s , s > 0, £{k}(s) = k s , s > 0, k constante. 2). £{tn }(s) = n! sn+1 , s > 0, n = 1, 2, . . . 3). £{eat }(s) = 1 s−a , para s > a 4). £{ sen kt}(s) = k s2+k2 , s > 0 5). £{cos kt}(s) = s s2+k2 , s > 0 6). £{ senh kt}(s) = k s2−k2 , s > |k| 7). £{cosh kt}(s) = s s2−k2 , s > |k| 8). £{tn eat }(s) = n! (s−a)n+1 , s > a, n = 1, 2, . . . Demostraci´on: 1). Si s > 0 se tiene que £{1}(s) = ∞ 0 e−st 1 dt = e−st −s ∞ 0 = 1 s 2). Hagamos la demostraci´on por el m´etodo de inducci´on. Para ello, supo-
  4. 4. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 214 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE nemos que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: l´ım t→∞ | tn ect | = 0, n = 1, 2, . . . n = 1 : £{t}(s) = ∞ 0 e−st t dt, hagamos u = t ⇒ du = dt dv = e−st dt ⇒ v = −1 s e−st = − te−st s ∞ 0 + 1 s ∞ 0 e−st dt £{t}(s) = −(0 − 0) + 1 s 1 −s e−st ∞ 0 = − 1 s2 (0 − 1) = 1 s2 Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En efecto: £{tn }(s) = ∞ 0 e−st tn dt hagamos u = tn ⇒ du = ntn−1 dt dv = e−st dt ⇒ v = −1 s e−st = − tn e−st s ∞ 0 + n s ∞ 0 e−st tn−1 dt £{tn−1 }(s) = −(0 − 0) + n s £{tn−1 }(s) = n s £{tn−1 }(s) Pero por la hip´otesis de inducci´on £{tn−1 }(s) = (n−1)! sn , luego: £{tn }(s) = n s (n − 1)! sn = n! sn+1 4). Por el m´etodo de los operadores inversos, tenemos: £{ sen kt}(s) = ∞ 0 e−st ( sen kt) dt = 1 D e−st sen kt ∞ 0 = e−st 1 D − s sen kt ∞ 0 = e−st D + s D2 − s2 sen kt ∞ 0 = e−st D + s −k2 − s2 sen kt ∞ 0
  5. 5. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 215 = − 1 s2 + k2 e−st (k cos kt + s sen kt) ∞ 0 = − 1 s2 + k2 (0 − k) = k s2 + k2 , s > 0 En la demostraci´on anterior utilizamos el siguiente teorema de l´ımites: si l´ım t→∞ |f(t)| = 0 y g(t) es una funci´on acotada en RRR entonces l´ım t→∞ f(t)g(t) = 0. 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Si £{f(t)}(s) = F(s), entonces decimos que f(t) es una transformada inversa de Laplace de F(s) y se denota as´ı: £−1 {F(s)} = f(t) NOTA: La transformada inversa de Laplace de F(s), no necesariamente es ´uni- ca. Por ejemplo la funci´on f(t) =    1, si t ≥ 0 y t = 1, t = 2 3, si t = 1 −3, si t = 2 y la funci´on g(t) = 1 (obs´ervese que f(t) = g(t)) tienen la misma transformada, es decir, £{f(t)} = £{g(t)} = 1 s . Sinembargo £−1 {1 s } = f(t) y £−1 {1 s } = g(t) son diferentes. Pero cuando f(t) y g(t) son continuas para t ≥ 0 y £{f(t)} = £{g(t)} entonces f(t) = g(t) (Ver el libro de Variable Compleja de Churchill) Para funciones continuas, £−1 es un operador lineal: £−1 {αF(s) + β G(s)} = α£−1 {F(s)} + β£−1 {G(s)} En los ejemplos de esta secci´on, utilizaremos los resultados del Ap´endice C. para calcular fracciones parciales.
  6. 6. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 216 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 6.3. Para a y k constantes se tiene: 1). £−1 1 s = 1, y £−1 k s = k , si s > 0 2). £−1 n! sn+1 = tn y £−1 1 sn+1 = tn n! , si s > 0 3). £−1 1 s − a = eat , si s > a 4). £−1 k s2 + k2 = sen kt, y £−1 1 s2 + k2 = sen kt k , si s > 0 5). £−1 s s2 + k2 = cos kt , si s > 0 6). £−1 k s2 − k2 = senh kt y £−1 1 s2 − k2 = senh kt k , si s > |k| 7). £−1 s s2 − k2 = cosh kt , si s > |k| 8). £−1 n! (s − a)n+1 = tn eat y £−1 1 (s − a)n+1 = tn eat n! , si s > a Ejemplo 1. Con factores lineales en el denominador £−1 7s − 1 (s − 3)(s + 2)(s − 1) = £−1 A s − 3 + B s + 2 + C s − 1 = A£−1 1 s − 3 + B£−1 1 s + 2 + C£−1 1 s − 1 = Ae3t + Be−2t + Cet Pero por fracciones parciales 7s − 1 (s − 3)(s + 2)(s − 1) = A s − 3 + B s + 2 + C s − 1 Para hallar el coeficiente A, eliminamos de la fracci´on el factor correspon- diente a A y en la parte restante sustituimos a s por la ra´ız asociada a este factor; lo mismo hacemos para los coeficientes B y C.
  7. 7. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 217 A = 7 (3) − 1 (5) (2) = 2 , B = 7 (−2) − 1 (−5) (−3) = −1 , C = 7 (1) − 1 (−2) (3) = −1, £−1 7s − 1 (s − 3)(s + 2)(s − 1) = 2e3t − e−2t − et Ejemplo 2. Con factores lineales repetidos £−1 s + 1 s2(s + 2)3 = £−1 A s2 + B s + C (s + 2)3 + D (s + 2)2 + E s + 2 = A£−1 1 s2 + B£−1 1 s + C£−1 1 (s + 2)3 + +D£−1 1 (s + 2)2 + E£−1 1 s + 2 = A t + B (1) + C t2 e−2t 2! + D t e−2t 1! + E e−2t s + 1 s2(s + 2)3 = A s2 + B s + C (s + 2)3 + D (s + 2)2 + E s + 2 y por los m´etodos de las fracciones parciales hallamos A = 1 8 , B = − 1 16 , C = −1 4 , D = 0, E = 1 8 , luego £−1 s + 1 s2(s + 2)3 = 1 8 t − 1 16 − 1 4 t2 e−2t 2! + 1 8 e−2t Ejemplo 3. Factores cuadr´aticos, lo factorizamos en factores lineales en los complejos £−1 s2 + 2 s(s2 + 2s + 2) = £−1 s2 + 2 s(s − (−1 + i))(s − (−1 − i)) = £−1 A s + B s − (−1 + i) + C s − (−1 − i) = A£−1 1 s + B£−1 1 s − (−1 + i) + C£−1 1 s − (−1 − i)
  8. 8. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 218 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE = A (1) + B e(−1+i)t + Ce(−1−i)t = A + Be−t (cos t + i sen t) + C e−t (cos t − i sen t) = A + e−t [(B + C) cos t + i(B − C) sen t] Hallamos los coeficientes de la misma manera que en ejemplo 1. A = 02 + 2 [0 − (−1 + i)][0 − (−1 − i)] = 2 1 + 1 = 1 B = (−1 + i)2 + 2 (−1 + i)[−1 + i − (−1 − i)] = − 1 i = i C = (−1 − i)2 + 2 (−1 − i)[−1 − i − (−1 + i)] = 1 i = −i £−1 s2 + 2 s(s2 + 2s + 2) = 1 + e−t (0 cos t + i(2i) sen t) = 1 − 2e−t sen t 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFOR- MADA DE LAPLACE Los teoremas que veremos en esta secci´on nos permitir´an en muchos casos calcular la transformada inversa sin utilizar fracciones parciales. Teorema 6.4. Si f es una funci´on continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial para t ≥ T, entonces l´ım s→∞ £ {f(t)} (s) = l´ım s→∞ F(s) = 0 Demostraci´on: como la funci´on f es continua a tramos en [0, T], entonces es acotada en este intervalo y por tanto ∃M1 > 0 tal que |f(t)| ≤ M1 e0t , ∀t ∈ [0, T] y como f(t) es de orden exponencial para t ≥ T, entonces |f(t)| ≤ M2 eγt donde M2 y γ son constantes con M2 ≥ 0. Sea M = m´ax{M1, M2} y sea α = m´ax{0, γ}; por lo tanto, |f(t)| ≤ Meαt , ∀t ≥ 0. |F(s)| = ∞ 0 e−st f(t) dt ≤ ∞ 0 e−st |f(t)| dt ≤ ∞ 0 e−st Meαt dt
  9. 9. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE 219 = M ∞ 0 e−(s−α)t dt = 1 −(s − α) e−(s−α) ∞ 0 s>α = − M s − α (0 − 1) = M s − α ⇒ l´ım s→∞ |F(s)| ≤ l´ım s→∞ M s − α = 0 ⇒ l´ım s→∞ F(s) = 0 Teorema 6.5 (Primer Teorema de Translaci´on). Si a es un n´umero real cualquiera, entonces £ eat f(t) (s) = £ {f(t)} (s − a) = F(s − a) Demostraci´on: £{eat f(t)}(s) = ∞ 0 e−st eat f(t) dt = ∞ 0 e−(s−a)t f(t) dt = £{f(t)}(s − a) = F(s − a) NOTA: £−1 {F(s − a)} = eat f(t) Ejemplo 4. £{e2t sen t}(s) Soluci´on: £{e2t sen t}(s) = £{ sen t}(s − 2) = 1 (s−2)2+1 ya que £{ sen t}(s) = 1 s2+1 Ejemplo 5. £−1 1 s2−2s+3 Soluci´on: £−1 1 s2 − 2s + 3 = £−1 1 (s − 1)2 + 2 = 1 √ 2 et sen √ 2t Ejemplo 6. £−1 s s2+4s+5 Soluci´on: £−1 s s2 + 4s + 5 = £−1 (s + 2) − 2 (s + 2)2 + 1
  10. 10. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 220 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE = £−1 s + 2 (s + 2)2 + 1 − 2 £−1 1 (s + 2)2 + 1 = e−2t cos t − 2e−2t sen t Definici´on 6.2 (Funci´on Escal´on Unitario). (Ver figura 6.2) U(t − a) = 0, si 0 ≤ t < a, 1, si t ≥ a 1 −1 a t U(t − a) Figura 6.2 Nota: si f(t) =    f1(t), si 0 ≤ t < a1, f2(t), si a1 ≤ t ≤ a2 ... ... fn(t), si t ≥ an entonces (se deja al lector que verifque el siguiente resultado) f(t) = f1 +(f2 −f1)U(t−a1)+(f3 −f2)U(t−a2)+· · ·+(fn −fn−1)U(t−an−1) Ejemplo 7. Al aplicar U(t − π) a la funci´on sen t trunca la funci´on sen t entre 0 y π quedando la funci´on g(t) = U(t − π) sen t como lo muestra la gr´afica 6.3 1 −1 π t g(t) Figura 6.3
  11. 11. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE 221 Teorema 6.6 (Segundo Teorema de Translaci´on). Si a > 0 y f(t) es continua para t ≥ 0 y de orden exponencial entonces £{U(t − a)f(t − a)}(s) = e−as F(s) = e−as £{f(t)}(s) Demostraci´on: £{U(t − a)f(t − a)}(s) = ∞ 0 e−st U(t − a)f(t − a) dt = = a 0 e−st U(t − a)f(t − a) dt + ∞ a e−st U(t − a)f(t − a) dt = a 0 e−st 0f(t − a) dt + ∞ a e−st 1f(t − a) dt = ∞ a e−st f(t − a) dt Hagamos u = t − a ⇒ du = dt, por lo tanto, £{U(t − a)f(t − a)}(s) = ∞ 0 e−s(u+a) f(u) du = e−sa ∞ 0 e−su f(u) du = e−as £{f(t)}(s) NOTA: forma rec´ıproca £−1 {e−as F(s)} = U(t − a)f(t − a) Ejemplo 8. Hallar £{U(t − a)} £{U(t − a)} = £{U(t − a) 1} = e−as 1 s = e−as s Ejemplo 9. Hallar £{U(t − π 2 ) sen t} Soluci´on: £ U t − π 2 sen t = £ U t − π 2 sen t − π 2 + π 2 pero sen t − π 2 + π 2 = sen t − π 2 cos π 2 + sen π 2 cos t − π 2
  12. 12. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 222 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE = cos t − π 2 £ U t − π 2 cos t − π 2 = e− π 2 s £{cos t} = e− π 2 s s s2 + 1 Ejemplo 10. Hallar £−1 e−s s(s+1) Soluci´on: £−1 e−s s(s + 1) = £−1 e−s 1 s(s + 1) como 1 s(s + 1) = A s + B s + 1 ⇒ A = 1, B = −1 = £−1 e−s 1 s − £−1 e−s 1 s + 1 = U(t − 1) − U(t − 1) e−(t−1) Teorema 6.7 (Derivada de una Transformada). £{tn f(t)}(s) = (−1)n dn dsn F(s), con n = 1, 2, . . ., donde F(s) = £{f(t)}(s) Demostraci´on: por inducci´on sobre n. n = 1 F(s) = ∞ 0 e−st f(t) dt dF(s) ds = d ds ∞ 0 e−st f(t) dt = ∞ 0 ∂ ∂s (e−st f(t)) dt = ∞ 0 −t e−st f(t) dt = − ∞ 0 e−st (t f(t)) dt def.£ = −£{t f(t)}(s) ⇒ £{t f(t)}(s) = − d ds F(s) Supongamos que se cumple para n = k £{tk f(t)}(s) = (−1)k dk dsk F(s)
  13. 13. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE 223 Veamos que se cumple para n = k + 1 £{tk+1 f(t)}(s) = £{t tk f(t)}(s) n=1 = − d ds £{tk f(t)}(s) n=k = − d ds [(−1)k dk dsk F(s)] = (−1)k+1 dk+1 dsk+1 F(s) NOTA: para el caso n = 1, obtenemos una f´ormula que nos permite hallar la transformada inversa de transformadas que no tenemos en la tabla de transformadas. £{t f(t)}(s) = − d ds F(s) o sea que t f(t) = −£−1 {F′ (s)} f(t) = − 1 t £−1 {F′ (s)} Ejemplo 11. Hallar f(t) para a)£−1 ln s−3 s+1 = f(t), b)£−1 ln(1 + 1 s2 ) = f(t) Soluci´on: a) f(t) = − 1 t £−1 d ds F(s) = − 1 t £−1 d ds ln s − 3 s + 1 = − 1 t £−1 s + 1 s − 3 (s + 1)1 − (s − 3)1 (s + 1)2 = − 1 t £−1 s + 1 s − 3 4 (s + 1)2 = − 1 t £−1 4 (s − 3)(s + 1) = − 4 t £−1 1 (s − 3)(s + 1) utilizando fracciones parciales 1 (s − 3)(s + 1) = A s − 3 + B s + 1 ⇒ A = 1 4 , B = − 1 4
  14. 14. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 224 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE f(t) = − 4 t £−1 1 4(s − 3) − 1 4(s + 1) = − 1 t (e3t − e−t ) = e−t − e3t t b) f(t) = − 1 t £−1 d ds F(s) = − 1 t £−1 d ds ln(1 + 1 s2 ) = − 1 t £−1 1 1 + 1 s2 − 2 s3 = − 1 t £−1 s2 1 + s2 − 2 s3 = 2 1 t £−1 1 s(s2 + 1) = 2 1 t £−1 A s + B s − i + C s + i = 2 1 t £−1 A s + £−1 B s − i + £−1 C s + i = 2 1 t A£−1 1 s + B£−1 1 s − i + C£−1 1 s + i = 2 1 t A · 1 + Beit + Ce−it = 2 t (A + B(cos t + i sen t) + C(cos t − i sen t)) pero 1 s(s2+1) = A s + B s−i + C s+i entonces A = 1, B = −1 2 y C = −1 2 luego f(t) = 2 t (1 − 1 2 (cos t + i sen t) − 1 2 (cos t − i sen t)) = = 2 t (1 − cos t) Teorema 6.8 (Transformada de la Derivada). Si f(t), f′ (t), f′′ (t), . . . , f(n−1) (t) son continuas para t ≥ 0 y de orden expo- nencial y si f(n) (t) es continua a tramos para t ≥ 0, entonces: £{f(n) (t)}(s) = sn F(s)−sn−1 f(0)−sn−2 f′ (0)−. . .−sf(n−2) (0)−f(n−1) (0) Demostraci´on: por inducci´on sobre n: para n = 1: £{f′ (t)}(s) = ∞ 0 e−st f′ (t) dt =
  15. 15. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE 225 e integrando por partes y teniendo en cuenta que l´ımt→∞ e−st f(t) = 0, s > c, = e−st f(t) ∞ 0 + s ∞ 0 e−st f(t) dt = −f(0) + s£{f(t)}(s) = s F(s) − f(0). Ahora supongamos que se cumple para n = k : £{f(k) (t)}(s) = sk F(s) − sk−1 f(0) − sk−2 f′ (0) − . . . − sf(k−2) (0) − f(k−1) (0) Veamos que se cumple para n = k + 1: £{f(k+1) (t)}(s) = £{[f(k) (t)]′ }(s) n=1 = s£{f(k) (t)}(s) − f(k) (0) n=k = s(sk F(s) − sk−1 f(0) − sk−2 f′ (0) − . . . − sf(k−2) (0) − f(k−1) (0)) − f(k) (0) = sk+1 F(s)−sk f(0)−sk−1 f′ (0)−. . .−s2 f(k−2) (0)−sf(k−1) (0)−f(k) (0) NOTA: para resolver E.D. necesitamos, en la mayor´ıa de ejemplos, los casos n = 1 y n = 2. Para n = 1 £{y′ (t)}(s) = s Y (s) − y(0) donde Y (s) = £{y(t)}(s) n = 2 £{y′′ (t)}(s) = s2 Y (s) − s y(0) − y′ (0) Definici´on 6.3 (Producto Convolutivo). Sean f y g funciones continuas a tramos para t ≥ 0; el producto convolutivo entre las funciones f y g se define as´ı: (f ∗ g)(t) = t 0 f(τ) g(t − τ) dτ NOTA: haciendo el cambio de variable u = t − τ en la definici´on de producto convolutivo se demuestra que: f ∗ g = g ∗ f (o sea que la operaci´on ∗ es conmutativa) Teorema 6.9 (Transformada del producto convolutivo). Si f y g son funciones continuas a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial, entonces £{(f ∗ g)(t)}(s) = £{f(t)}(s) £{g(t)}(s) = F(s) G(s)
  16. 16. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 226 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 0 1 2 3 4 t t τ τ = t Figura 6.4 Demostraci´on: F(s) def. = ∞ 0 e−sτ f(τ) dτ G(s) def. = ∞ 0 e−sβ g(β) dβ F(s) G(s) = ∞ 0 e−sτ f(τ) dτ ∞ 0 e−sβ g(β) dβ = ∞ 0 ∞ 0 e−(τ+β)s f(τ) g(β) dβ dτ = ∞ 0 f(τ) ∞ 0 e−(τ+β)s g(β) dβ dτ (6.1) Sea t = τ + β dejando constante a τ, luego dt = dβ. Ahora, cuando β = 0 ⇒ t = τ y cuando β → ∞ entonces t → ∞ Luego en 6.1 F(s) G(s) = ∞ 0 f(τ) ∞ τ e−ts g(t − τ) dt dτ Y como f y g son continuas a tramos, podemos cambiar el orden de integra- ci´on (ver figura 6.4); F(s) G(s) = ∞ 0 t 0 f(τ) e−ts g(t − τ) dτ dt
  17. 17. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE 227 F(s) G(s) = ∞ 0 e−ts       t 0 f(τ) g(t − τ) dτ (f ∗ g)(t)       dt = ∞ 0 e−ts (f ∗ g)(t) dt def. = £{(f ∗ g)(t)} (s) NOTA: forma rec´ıproca del teorema (f ∗ g)(t) = £−1 {F(s) G(s)} Corolario 6.1 (Transformada de la integral). Si f es una funci´on continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial, entonces: £ t 0 f(t) dt (s) = 1 s F(s) = 1 s £{f(t)}(s) Demostraci´on: tomando g(t) = 1 en el teorema de convoluci´on, tenemos £{g(t)}(s) = £{1}(s) = 1 s £{(f ∗ g)} = £ t 0 f(τ) g(t − τ) dτ = £ t 0 f(τ) 1 dτ = £{f(τ)}(s) £{g(τ)}(s) = F(s)£{1}(s) £ t 0 f(τ) dτ = F(s) 1 s Teorema 6.10 (Generalizaci´on de la transformada de una potencia). £{tx } = Γ(x+1) sx+1 , para s > 0 y x > −1 Demostraci´on: la funci´on gamma como la definimos en el cap´ıtulo anterior es, Γ(x) = ∞ 0 e−τ τx−1 dτ hagamos τ = st, por tanto dτ = s dt y cuando τ = 0 entonces t = 0 y con τ → ∞ entonces t → ∞, por lo tanto
  18. 18. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 228 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Γ(x) = ∞ 0 e−st (st)x−1 s dt = s ∞ 0 e−st sx−1 tx−1 dt = sx ∞ 0 e−st tx−1 = sx £{tx−1 } por lo tanto £{tx−1 } = Γ(x) sx con x > 0 y s > 0 luego (cambiando x por x + 1) £{tx } = Γ(x + 1) sx+1 con x + 1 > 0 (o sea x > −1) y s > 0 Definici´on 6.4. Una funci´on f(t) se dice que es peri´odica con per´ıodo T (T > 0) si para todo t se cumple f(t + T) = f(t). El siguiente teorema se deja como ejercicio. Teorema 6.11 (Transformada de una funci´on peri´odica). Sea f(t) una funci´on continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial. Si f(t) es peri´odica con per´ıodo T, entonces: £{f(t)}(s) = 1 1 − e−sT T 0 e−st f(t) dt Ejemplo 12. Hallar £ t 0 e−τ cos τ dτ (s) Soluci´on: £ t 0 e−τ cos τ dτ (s) = 1 s £{e−τ cos τ}(s) Pero £{e−τ cos τ}(s) = £{cos τ}(s + 1) = s + 1 (s + 1)2 + 12 £ t 0 e−τ cos τ dτ (s) = 1 s s + 1 (s + 1)2 + 1
  19. 19. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE 229 Ejemplo 13. Hallar £{e−t ∗ et cos t}(s) Soluci´on: £{e−t ∗ et cos t}(s) def∗ = £{e−t }(s) £{et cos t}(s) = 1 s + 1 s − 1 (s − 1)2 + 1 Observese que el ejemplo siguiente lo resolvemos con los resultados de los teo- remas de la transformada y no necesitamos utilizar los dispendiosos m´etodos de las fracciones parciales. Ejemplo 14. Hallar £−1 s (s2+4)2 (t) Soluci´on: £−1 s (s2 + 4)2 (t) = 1 2 £−1 2 s2 + 4 s s2 + 4 = 1 2 (f ∗ g)(t) = 1 2 ( sen 2t ∗ cos 2t) def. * = 1 2 t 0 sen 2τ cos 2(t − τ) dτ = 1 2 t 0 sen 2τ(cos 2t cos 2τ + sen 2t sen 2τ) dτ = 1 2 cos 2t t 0 sen 2τ cos 2τ dτ + 1 2 sen 2t t 0 sen 2 2τ dτ = 1 8 cos 2t sen 2 2t + 1 4 t sen 2t − 1 16 sen 2t sen 4t Utilizando los teoremas vistos sobre transformada, efectuar los siguientes ejercicios. Ejercicio 1. Hallar ∞ 0 e−5t [ t 0 te3t sen 2t dt] dt (Rta.: 1 40 ) Ejercicio 2. Mostrar que £−1 s3 + 3s2 + 1 s2(s2 + 2s + 2) = 3 2 e−t cos t + 2e−t sen t − 1 2 + 1 2 t Ejercicio 3. Mostrar que £−1 s s2+4s+5 = e−2t cos t − 2e−2t sen t
  20. 20. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 230 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejercicio 4. Mostrar que £−1 π 2 − tan−1 s 2 = sen 2t t Ejercicio 5. Mostrar que £−1 tan−1 1 s = sen t t Ejercicio 6. Mostrar que £−1 tan−1 3 s+2 = e−2t sen 3t t Ejercicio 7. Mostrar que a) £−1 s (s2+1)3 = 1 8 (t sen t − t2 cos t), b)£−1 ln s2+1 s2+4 = 2 t (cos 2t − cos t) Ejercicio 8. Hallar £−1 s s2+1 e− π 2 s (Rta.: U(t − π 2 ) sen t)) Ejercicio 9. Hallar £−1 1 (s+2)2+4 e−πs (Rta.: 1 2 e−2(t−π) sen 2(t − π)U(t − π)) Ejercicio 10. Hallar £ t t 0 sen τ dτ (s) (Rta.: 3s2+1 s2(s2+1)2 ) Ejercicio 11. Hallar £ e−2t t 0 τe2τ sen τ dτ (s) (Rta.: 2s (s+2)(s2+1)2 ) Ejercicio 12. Hallar £−1 1 (s2+1)(s2+4) Ejercicio 13. Hallar £−1 s+1 (s2+2s+2)2 Ejercicio 14. Mostrar que £{t 5 2 } = 15 8s3 π s 1 2 Ejercicio 15. Hallar £{t 5 2 e2t } Ejercicio 16. Emplear la transformada de Laplace y su inversa para mostrar que tm ∗ tn = m!n! (m + n + 1)! tm+n+1 Ejercicio 17. Sea f(t) = a b t de per´ıodo b (funci´on “serrucho”, ver figura 6.5). Hallar £{f(t)}(s) (Rta.:a s ( 1 bs − 1 ebs−1 )
  21. 21. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE 231 b 2b 3b 4b 5b 6b 7b a t f(t) Figura 6.5 Ejercicio 18. Sea f(t) = sen t, si 0 ≤ t ≤ π 0, si π ≤ t ≤ 2π peri´odica de per´ıodo 2π (funci´on rectificaci´on de la mitad de la onda seno. Ver figura 6.6 ). Hallar £{f(t)}(s) 1 −1 π 2π 3π t f(t) Figura 6.6 (Rta.: 1 (s2+1)(1−e−πs) ) Ejercicio 19. Sea f(t) = 1, si 0 ≤ t < a −1, si a ≤ t < 2a peri´odica de per´ıodo 2a (funci´on onda cuadrada. Ver figura 6.7). Hallar £{f(t)}(s) (Rta.: 1 s [ 2 1+e−as − 1] = 1 s [1−e−as 1+e−as ] = 1 s tanh as 2 )
  22. 22. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 232 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 −1 a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a t f(t) Figura 6.7 Ejercicio 20. Sea f(t) =    b, si 0 ≤ t < a 0, si a ≤ t < 2a −b, si 2a ≤ t < 3a 0, si 3a ≤ t < 4a peri´odica de per´ıodo 4a (Rta.: b s [ 1−e−as 1+e−2as ]) Ejercicio 21. Sea f(t) la funci´on de onda tri´angular (ver figura 6.8). Mostrar que £{f(t)}(s) = 1 s2 tanh s 2 1 −1 1 2 3 4 5 6 7 8−1 t f(t) Figura 6.8 Ejercicio 22. Sea f(t) la funci´on rectificaci´on completa de la onda de sen t (ver figura 6.9). Mostrar que £{f(t)}(s) = 1 s2+1 coth πs 2
  23. 23. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE 233 1 −1 π 2π 3π 4π t f(t) Figura 6.9 Ejercicio 23. a). Si f(t) es continua a tramos y de orden exponencial y si l´ım t→0+ f(t) t existe, entonces £{ f(t) t }(s) = ∞ s F(s) ds donde F(s) = £{f(t)}(s) b). Mostrar que ∞ 0 f(t) t dt = ∞ 0 F(s) ds c). Hallar 1. ∞ 0 e−ax ( sen bx x ) dx (Rta.: tan−1 b a ) 2. ∞ 0 e−ax−e−bx x dx (Rta.:ln b a ) 3. Mostrar que £{et−e−t t } = ln(s + 1) − ln(s − 1), con s > 1 4. Mostrar que £{ t 0 1−cos aτ τ dτ} = 1 2s ln s2+a2 s2 5. Mostrar formalmente, que si x > 0 entonces a) f(x) = ∞ 0 sen xt t dt = π 2 ; b) f(x) = ∞ 0 cos xt 1+t2 dt = π 2 e−x 6. Hallar £{ sen kt t } (Rta.: tan−1 k s )
  24. 24. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 234 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejercicio 24. Mostrar que a). £−1 {e−3s s2 } = (t − 3)U(t − 3) b). £−1 {e−πs s2+1 } = sen (t − π)U(t − π) = − sen tU(t − 3) c). £−1 {1−e−2πs s2+1 } = (1 − U(t − 2π)) sen t d). £−1 {s(1+e−3s) s2+π2 } = (1 − U(t − 3)) cos πt e). Hallar £−1 {s−se−πs 1+s2 } (Rta.: cos t − U(t − π) cos(t − π)) Ejercicio 25. Usando la definici´on de producto convolutivo, demostrar las siguientes propiedades de este producto: a. Propiedad conmutativa: f ∗ g = g ∗ f b. Propiedad asociativa: (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) c. Propiedad distributiva: f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h 6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFOR- MADA A LAS E.D. Pasos: Aplicar la transformada a ambos lados de la ecuaci´on Aplicar el teorema de la transformada de la derivada £{y′ } = sY (s) − y(0) £{y′′ } = s2 Y (s) − sy(0) − y′ (0) donde Y (s) = £{y(t)}(s) Nota: cuando las condiciones iniciales no estan dadas en t = 0, sino en t = a, se hace el cambio de variable τ = t − a, con este cambio de variable, la nueva E.D. tiene condiciones iniciales en τ = 0. Conseguir una funci´on en s, es decir, despejar Y (s)
  25. 25. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA A LAS E.D.235 Hallar la transformada inversa: y(t) = £−1 {Y (s)} Ejemplo 15. Hallar la soluci´on de y′′ −4y′ +4y = t3 e2t , y(0) = y′ (0) = 0 Soluci´on: 1 : £{y′′ } − 4£{y′ } + 4£{y} = £{t3 e2t } 2 : s2 Y (s) − sy(0) − y′ (0) − 4(sY (s) − y(0)) + 4Y (s) = 3! (s − 2)4 3 : s2 Y (s) − 4sY (s) + 4Y (s) = 3! (s − 2)4 4 : Y (s) = 3! (s−2)4 s2 − 4s + 4 = 3! (s − 2)4(s − 2)2 = 3! (s − 2)6 y(t) = £−1 {Y (s)} = £−1 3! (s − 2)6 = 1 4 × 5 £−1 3! (4 × 5) (s − 2)6 = 1 4 × 5 £−1 5! (s − 2)6 = t5 20 e2t Ejemplo 16. Hallar la soluci´on de y′ (t) = 1− sen t− t 0 y(t) dt, y(0) = 0 Soluci´on: 1 : £{y′ (t)}(s) = £{1}(s) − £{ sen t}(s) − £ t 0 y(t) dt (s) s Y (s) − y(0) = 1 s − 1 s2 + 12 − 1 s Y (s) 2 : Y (s) s + 1 s = 1 s − 1 s2 + 1 Y (s) s2 + 1 s = 1 s − 1 s2 + 1 3 : Y (s) = s s2 + 1 1 s − 1 s2 + 1 = 1 s2 + 1 − s (s2 + 1)2 4 : y(t) = £−1 {Y (s)} = £−1 1 s2 + 1 − £−1 s (s2 + 1)2 y(t) = sen t − £−1 1 s2 + 1 s s2 + 1 = sen t − sen t ∗ cos t = sen t − t 0 sen τ cos(t − τ) dτ
  26. 26. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 236 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE = sen t − t 0 sen τ(cos t cos τ + sen τ sen t) dτ = sen t − cos t t 0 sen τ cos τ dτ − sen t t 0 sen 2 τ dτ = 1 2 cos t sen 2 t − 1 2 t sen t + 1 4 sen t sen 2t Ejemplo 17. Hallar la soluci´on de ty′′ − y′ = t2 , y(0) = 0 Soluci´on: £{ty′′ }(s) − £{y′ }(s) = £{t2 } (−1) d ds £{y′′ }(s) − (s Y (s) − y(0)) = 2! s3 − d ds (s2 Y (s) − s y(0) − y′ (0)) − s Y (s) = 2! s3 − d ds (s2 Y (s)) − sY (s) = 2! s3 −(s2 Y ′ (s) + 2sY (s)) − s Y (s) = 2 s3 −s2 Y ′ (s) − 3sY (s) = 2 s3 Y ′ (s) + 3 s Y (s) = − 2 s5 , E.D. lineal de primer orden F.I e 3 s ds = e3 ln s = s3 Y (s) s3 = − 2 s5 s3 ds + C = −2 s−1 −1 + C Y (s) = 2 s4 + C s3 y(t) = £−1 2 s4 + C£−1 1 s3 = 2 t3 3! + C t2 2! Ejemplo 18. Hallar la soluci´on de ty′′ + y = 0, y(0) = 0 Soluci´on: £{ty′′ }(s) + Y (s) = (−1) d ds (£{y′′ }(s)) + Y (s)
  27. 27. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA A LAS E.D.237 = − d ds (s2 Y (s) − sy(0) − y′ (0)) + Y (s) = − d ds (s2 Y (s)) + Y (s) = −(s2 Y ′ (s) + 2sY (s)) + Y (s) = −s2 Y ′ (s) − 2sY (s) + Y (s) = s2 Y ′ (s) + Y (s)(2s − 1) = Y ′ (s) + 2s − 1 s2 Y (s) = Y ′ (s) + 2 s − 1 s2 Y (s) F.I. = e (2 s − 1 s2 )ds = e2 ln s− s−1 −1 , E.D. lineal del primer orden F.I. = s2 e 1 s Y (s) s2 e 1 s = F.I. (0) + C Y (s) = C s2 e− 1 s = C e− 1 s s2 = C 1 s2 1 − 1 1! 1 s + 1 2! 1 s2 − 1 3! 1 s3 + . . . + (−1)n n! 1 sn + . . . Y (s) = C 1 s2 − 1 1! 1 s3 + 1 2! 1 s4 − 1 3! 1 s5 + . . . + (−1)n n! 1 sn+2 + . . . y(t) = £−1 {Y (s)} = C t 1! − 1 1! t2 2! + 1 2! t3 3! − 1 3! t4 4! + 1 4! . . . + (−1)n n! tn+1 (n + 1)! + . . . Resolver los siguientes ejercicios por transformada de Laplace Ejercicio 1. y′′ − 4y′ + 4y = t3 e2t , y(0) = 0, y′ (0) = 0 (Rta.: y = 1 20 t5 e2t ) Ejercicio 2. y′′ − 6y′ + 9y = t2 e3t , y(0) = 2, y′ (0) = 6 (Rta.: y = 2e3t + 2t4 4! e3t ) Ejercicio 3. y′′ − 2y′ + y = et−1 , y(1) = 0, y′ (1) = 5 (Rta.: y = 5(t − 1)et−1 + 1 2 (t − 1)2 et−1 ) Ejercicio 4. y′′ − 6y′ + 9y = t, y(0) = 0, y′ (0) = 1 (Rta.: y = 10 9 te3t − 2 27 e3t + t 9 + 2 27 )
  28. 28. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 238 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejercicio 5. y′′ + y′ − 4y − 4 t 0 y dτ = 6et − 4t − 6, y(0) = y′ (0) = 0 (Rta.: y(t) = 1 − et − 1 3 e−t + 1 3 e2t ) Ejercicio 6. Hallar f(t) para la siguiente ecuaci´on integral f(t) + t 0 f(τ) dτ = 1 (Rta.: f(t) = e−t ) Ejercicio 7. y′ (t) + 6y(t) + 9 t 0 y(τ) dτ = 1, y(0) = 0 (Rta.: y = te−3t ) Ejercicio 8. y′ (t) − 6y(t) + 9 t 0 y(τ) dτ = t, y(0) = 0 (Rta.: y = t 3 e3t − 1 9 e3t + 1 9 ) Ejercicio 9. y′ (t) + 6y(t) + 9 t 0 y(τ) dτ = t, y(0) = 0 (Rta.: y = −t 3 e−3t − 1 9 e−3t + 1 9 ) Ejercicio 10. y′ (t) = cos t + t 0 y(τ) cos(t − τ) dτ, y(0) = 1 (Rta.: y = 1 + t + 1 2 t2 ) Ejercicio 11. ty′′ + 2ty′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′ (0) = 3 (Rta.: y(t) = 3te−2t ) Ejercicio 12. ty′′ − ty′ − y = 0, y(0) = 0, y′ (0) = 3 (Rta.: y(t) = 3tet ) Ejercicio 13. ty′′ + 4ty′ + 4y = 0, y(0) = 0, y′ (0) = 2 (Rta.: y = 2te−4t ) Ejercicio 14. t2 y′′ + 2ty′ + t2 y = 0 (Rta.: y = −C sen t t ) Ejercicio 15. ty′′ + y = 12t, y(0) = 0 (Rta.: y(t) = 12t + C(t − t2 2! + 1 2! t3 3! − 1 3! t4 4! + 1 4! t5 5! − . . . + (−1)n 1 n! tn+1 (n+1)! + . . .)) Ejercicio 16. y′′ + 4y = f(t) donde f(t) = 1 0 ≤ t < 1 0 t ≥ 1 y(0) = 0, y′ (0) = −1 (Rta.: y(t) = 1 4 − cos 2t 4 − 1 2 U(t − 1) sen 2(t − 1) − 1 2 sen 2t)
  29. 29. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA A LAS E.D.239 Ejercicio 17. y′′ + 4y = f(t) donde f(t) = sen t U(t − 2π) y(0) = 1, y′ (0) = 0 (Rta: y(t) = cos 2t + 1 3 sen (t − 2π) U(t − 2π) − 1 6 sen 2(t − 2π) U(t − 2π)) Ejercicio 18. y′′ − 5y′ + 6y = U(t − 1), y(0) = 0, y′ (0) = 1 (Rta.: y(t) = e3t − e2t + U(t − 1)[1 6 + 1 3 e3(t−1) − 1 2 e2(t−1) ]) Ejercicio 19. y′′ − y′ = et cos t, y(0) = 0, y′ (0) = 0 (Rta: y = 1 2 − 1 2 et cos t + 1 2 et sen t) Ejercicio 20. Hallar f(t) si: i. f(t) + t 0 (t − τ) f(τ) dτ = t (Rta: f(t) = sen t) ii. f(t) + 4 t 0 sen τ f(t − τ) dτ = 2t iii. f(t) = tet + t 0 τ f(t − τ) dτ (Rta: f(t) = −1 8 e−t + 1 8 et + 3 4 tet + 1 4 t2 et ) iv. f(t) + t 0 f(τ) dτ = et (Rta: f(t) = 1 2 e−t + 1 2 et ) v. f(t) + t 0 f(τ) dτ = t (Rta: f(t) = −e−t + 1) Ejercicio 21. Sea x(t) la soluci´on de la ecuaci´on de Bessel de orden cero tx′′ + x′ + tx = 0 tal que x(0) = 1 y x′ (0) = 0. Demostrar que a. £{x(t)}(s) = £{J0(t)}(s) = 1√ s2+1 , b. Mostrar formalmente ∞ 0 J0(x) dx = 1, c. Mostrar formalmente J0(x) = 1 π π 0 cos(x cos t) dt (Ayuda: π 0 cos2n x dx = 1·3·5·7···(2n−1) 2·4·6···2n π)
  30. 30. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 240 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 6.5. IMPULSO UNITARIO O “FUNCI´ON DELTA”DE DIRAC En muchos sistemas mec´anicos, el´ectricos, etc; aparecen fuerzas externas muy grandes que act´uan en intervalos de tiempo muy peque˜nos, por ejemplo un golpe de martillo en un sistema mec´anico, o un rel´ampago en un sistema el´ectrico. La forma de representar esta fuerza exterior es con la “funci´on δ”- Dirac. Definici´on 6.5. δa(t − t0) = 1 2a , si t0 − a ≤ t ≤ t0 + a 0 , si t < t0 − a o t > t0 + a donde a y t0 son constantes positivas y t0 ≥ a. Nota: para todo a > 0 y para todo t0 > 0 se cumple que (Ver figura 6.10) ∞ −∞ δa(t − t0) = 1 t0 2a t δa(t − t0) 1/2a Figura 6.10 Definici´on 6.6. Se llama impulso unitario ´o funci´on delta de Dirac a la “funci´on”definida por el l´ımite: δ(t − t0) = l´ım a→0 δa(t − t0) Ver figura 6.11 en la p´agina siguiente.
  31. 31. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC 241 t0 2a t δa(t − t0) ∞ Figura 6.11 Propiedades: 1. δ(t − t0) es infinita en t = t0 y cero para t = t0. 2. ∞ −∞ δ(t − t0) dt = 1 3. £{δa(t − t0)}(s) = e−st0 esa−e−sa 2as 4. £{δ(t − t0)}(s) def. = l´ım a→0 £{δa(t − t0)}(s) L’Hˆopital = e−st0 5. si t0 = 0 ⇒ £{δ(t)}(s) = 1
  32. 32. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 242 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 6. ∞ −∞ f(t) δ(t − t0) dt = f(t0), en particular ∞ 0 f(t) δ(t − t0) dt = f(t0) 7. Por 6. podemos decir que £{f(t)δ(t − t0)}(s) = e−t0s f(t0) Notar que en la propiedad 5. l´ım s→∞ £{f(t)}(s) = 1, mientras que por teorema anterior vimos que cuando una funci´on es de orden exponencial l´ım s→∞ £{f(t)}(s) = 0, lo cual es una contradicci´on, esto nos indica que la “fun- ci´on”δ-Dirac no es de orden exponencial, es por esto que δ es una “funci´on”extra˜na. M´as precisamente, esta funci´on es tratada con detenimien- to en los textos de Teor´ıa de Distribuciones (Ver texto de An´alise de Fourier e Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais de Djairo Guedes de Figueiredo) Ejercicio 1. y′′ + y = δ(t − 2π), y(0) = 0, y′ (0) = 1 (Rta: y(t) = sen t + sen (t − 2π)U(t − 2π)) Ejercicio 2. y′′ + 2y′ + 2y = cos t δ(t − 3π), y(0) = 1, y′ (0) = −1 (Rta: y(t) = e−t cos t − e−(t−3π) sen (t − 3π)U(t − 3π)) Ejercicio 3. y′′ + y = δ(t − π) cos t, y(0) = 0, y′ (0) = 1 (Rta: y = [1 + U(t − π)] sen t) Ejercicio 4. y′′ + 2y′ = δ(t − 1), y(0) = 0, y′ (0) = 1 (Rta: y = 1 2 − 1 2 e−2t + 1 2 − 1 2 e−2(t−1) U(t − 1)) Ejercicio 5. y′′ + 4y′ + 5y = δ(t − 2π), y(0) = 0, y′ (0) = 0 (Rta:y = e−2(t−2π) sen t U(t − 2π)) Ejercicio 6. y′′ + y = et δ(t − 2π), y(0) = 0, y′ (0) = 0 (Rta: y = e2π sen (t − 2π) U(t − 2π)) Ejercicio 7. y′′ − 2y′ = 1 + δ(t − 2), y(0) = 0, y′ (0) = 1 (Rta: y = −3 4 + 3 4 e2t − 1 2 t − 1 2 U(t − 2) + 1 2 e2(t−2) U(t − 2)) 6.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple Ejemplo 19. Utilizando el Paquete Maple, descomponer en fracciones parciales las siguientes expresiones: a) F(s) = 7s−1 (s−3)(s+2)(a−1) , b) F(s) =
  33. 33. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.6. ANEXO CON EL PAQUETE MAPLE 243 2s+4 (s−2)(s2+4s+3) , c) F(s) = s2−16 s3(s+2)2 , d) F(s) = s3+3s2+1 s2(s2+2s+2) , e) F(s) = s2 (s2+1)2 a). >F1(s) := (7*s-1)/((s-3)*(s+2)*(s-1)); >convert(F1(s),parfrac,s); F1(s) := 7s − 1 (s − 3)(s + 2)(a − 1) 2 s − 3 − 1 s − 1 − 1 s + 2 b). >F2(s) :=(2*s+4)/((s-2)*(s^2+4*s+3)); >convert(F2(s),parfrac,s); F2(s) := 2s + 4 (s − 2)(s2 + 4s + 3) 8 15(s − 2) − 1 5(s + 3) − 1 3(s + 1) c). >F2(s) := (2*s+4)/((s-2)*(s^2+4*s+3)); >convert(F2(s),parfrac,s); F3(s) := s2 − 16 s3(s + 2)2 − 11 4s + 11 4(s + 2) − 4 s3 + 4 s2 + 3 2(s + 2)2 d). >F4(s) := (s^3+3*s^2+1)/(s^2*(s^2+2*s+2)); >convert(F4(s),parfrac,s,complex); F4(s) := s3 + 3s2 + 1 s2(s2 + 2s + 2) − 0,5000000000 s + 0,7500000000 + 1,000000000I s + 1,000000000 + 1,000000000I + + 0,7500000000 − 1,000000000I s + 1. − 1.I + 0,5000000000 s2 >convert(%,fraction); − 1 (2s) + (3 4 + I) (s + 1 + I) + (3 4 − I) (s + 1 − I) + 1 (2s2)
  34. 34. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 244 CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE e). >F5(s) := (s^2)/((s^2+1)^2); >convert(F5(s),parfrac,s,complex); F5(s) := s2 (s2 + 1)2 0,2500000000 (s + 1,000000000I)2 + 0,2500000000 (s − 1.I)2 − 0,2500000000I s − 1.I + 0,2500000000I s + 1,000000000I >convert(%,fraction); 1 4(s + I)2 + 1 4(s − I)2 − 1 4 I s − I + 1 4 I s + I Ejemplo 20. Hallar la transformada de Laplace de las funciones: sen (kt), cos(kt), ekt Efectuar las siguientes instrucciones: >with(inttrans):laplace(cos(k*t),t,s); s s2 + k2 >with(inttrans):laplace({sin(k*t),exp(k*t)},t,s); 1 s − k , k s2 + k2 Ejemplo 21. Hallar la transformada de et sen (2t) y calcular la transformada inversa de 2 (s−1)2+4 Efectuar las siguientes instrucciones: >with(inttrans):laplace(exp(t)*sin(2*t),t,s); 2 (s − 1)2 + 4 >invlaplace(%,s,t);
  35. 35. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 6.6. ANEXO CON EL PAQUETE MAPLE 245 et sen (2t) Ejemplo 22. Resolver, usando transformada de Laplace, la E.D. x′′ + 16x = cos 4t con x(0) = 0, x′ (0) = 1 Efect´ue las siguientes instrucciones: >with(ODEtools):Eqn2:=D(D(x))(t)+16*x(t)=cos(4*t): dsolve({Eqn2,x(0)=0,D(x)(0)=1},x(t),method=laplace); x(t) = t 8 + 1 4 sen (4t) Ejemplo 23. Resolver, usando transformada de Laplace, la ecuaci´on integro- diferencial y′ (t) = 1 − sen t − t 0 y(τ) dτ con la condici´on y(0) = 0 Efectuar los siguientes instrucciones: >with(ODEtools):Eqn2:=D(y)(t)=1-sin(t)-int(y(s),s=0..t): dsolve({Eqn2,y(0)=0,D(y)(0)=1},y(t),method=laplace); y(t) = 1 − t 2 sen (t) Ejemplo 24. Resolver, usando transformada de Laplace, la E.D. y′ + y = U(t − 1) con la condici´on y(0) = 0 (U es la funci´on escal´on unitario) Efectuar los siguientes pasos: >restart: with(ODEtools): ode := diff(y(t),t) + y(t) = 5*piecewise(t<1,0,t>=1,1):dsolve({ode,y(0)=0},y(t),method=laplace); y(t) =    0 t < 1 undefind t = 1 −5e(1−t) + 5 t > 1

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