Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Integral 2

53,258 views

Published on

Integral 2

  1. 1. 1 INTEGRAL1.PENGERTIAN INTEGRALIntegral adalah cara mencari suatu fungsi jika turunannya di ketahui atau kebalikan daridiferensial (turunan) yang disebut juga anti derivatif atau anti diferensial. Untuk menentukanintegral tidak semudah menentukan turunan. Agar memperoleh gambaran yang jelas perhatikanturunan beberapa fungsi berikut: f(x) f ’(x) f(x) f ’(x) x 1 3x2 6x ½x2 x 3x2+3 6x ⅓x3 x2 3x2-5 6x ¼x4 x3 3x2-23 6xDengan memperhatikan hal di atas tampak bahwa jika f ’(x) = xn maka f (x) = n1 1 x n+1 akan tetapi + 2jika f ’(x) = 6x maka f(x) berasal dari berbagai macam fungsi 3x + c dengan c suatu konstanta.Dengan melihat beberapa contoh diatas dapat kita peroleh suatu aturan : 1 Jika f ’(x) = x n maka f(x) = n+1 x n+1 + c.2.INTEGRAL TAK TENTU.Rumus Integral Tak TentuBila dx/dy merupakan notasi untuk turunan maka notasi untuk integral adalah ∫ Misalkan suatufungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut: ∫ f(x) dx. Dibaca Integral dari f(x) terhadap x.Bila F(x) anti derivatif dari f(x) maka F(x) + c juga anti derivatif dari f(x) ,dengan c adalah suatukonstanta.Secara umum integral f(x) terhadap x dapat ditulis : ∫ f(x) dx. = F(x) + c.Jika f(x) = xn maka ∫ f(x) dx ∫ xn dx = n1 1 xn+1 + c. untuk n ≠ 1 Inilah Rumus INTEGRAL TAK TENTU +Contoh Hitunglah : 1. ∫ x7dx 2. ∫ (4x3-`12x2+4x-7)dxJawab: 1. ∫ x7dx = 71 1 x7+1 +c + 1 = 8 x8 + c ∫ (4x3-`12x2+4x-7)dx = 4 x4- 12 x3+ 4 x2- 7 x0+c 2. 4 3 2 1 = x4-4x3+2x2-7x+cLATIHAN 1Tentukan hasil dari setiap pengintegralan berikut ini: 1. ∫ x2 dx 2. ∫ x4 dx 3. ∫ 2x5 dx 4. ∫ 8x7 dx 5. ∫ (3x2-2) dx
  2. 2. 2 6. ∫ (5-x) dx 7. ∫ (2x2-5x+3) dx 8. ∫ (4x3 – 6x2+3x-6) dx 9. ∫ x2(x+6) dx 10. ∫ (3x+4)2 dx 11. ∫ (1-x) x dx 12. ∫ (4x-3)(2x-7)dx3.PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTUDalam menentukan anti diferensial suatu fungsi turunan masih mengadung nilai konstanta c yangbelum tertentu. Jika kita akan menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan maka harus ada datalain berupa nilai fungsi tertentu agar konstanta c dapat kita cari.Contoh 1: Tentukan rumus fungsi f (x) jika diketahui f’(x) = 6x2-2x+6 dan nilai fungsi f(2) = -7.Jawab: f(x) = ∫ f ( x )dx = ∫ (6 x − 2 x + 6)dx 2 2 +1 1+1 = 6 x − 2 x + 6x + c 3 2 = 2x3 − x 2 + 6x + c Mengingat f(2) = -7 maka : f(2) = 2(2)3 – 22 +6(2)+ c -7 = 16 – 4+12 + c -7-24 = c -31 = c Jadi f(x) = 2 x 3 − x 2 + 6 x − 31 .Contoh 2: Sebuah kurva y = f(x) melalui titik (2,0). Tentukan persamaan kurva jika persamaan gradien garis singgung di titik tersebut Adalah dy/dx = 2x-4.Jawab: Jika dy/dx = 2x-4 ⇒ y = ∫ dy/dx ⇔ y = ∫ (2x-4) dx ⇔ y = x2-4x + c. Titik (2,0) dilalui oleh kurva y = x2-4x + c ⇒ 0 = 22-4(2)+c . ⇔c=4 Jadi persamaan kurva tersebut adalah y = x2-4x +4LATIHAN 2:Tentukan rumus fungsi jika diketahui memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. f’(x) = 2x dan f(4) = 10. 2. f’(x) = 6x2 dan f(0) = 8 3. f’(x) = 3(x2 – 3) dan f(1) = 12 4. f’(x) = 6√ x dan f(4) = -7 2 5. f’(x) = x - dan f(2) = 9 x2Tentukan persamaan kurva pada tiap titik (x,y) yang memenuhi kondisi di bawah ini:
  3. 3. 3 dy 1. = 8x – 3 dan kurva melalui titik (-1,10) dx dy 1 1 2. = x2 - dan kurva melalui titik (1, ) dx x2 3 dy 3. = 6x2 - 6 x + 3 dan kurva melalui (0,0) dx dy 1 4. = dan kurva melalui titik (9,4) dx x dy 5. = 6x2- 4 x + 3 dan kurva melalui titik (0,1) dx4. INTEGRAL TERTENTUBerdasarkan teorema Fundamental Jika f adalah fungsi kontinu pada interval [a,b] dan F adalah anti derivatif f pada [a,b] b ∫ f ( x)dx = [F(x)] b maka a = F(b) – F(a) a bPenulisan Integral dalam notasi ∫ f ( x)dx a disebut Integral Tertentu karena hasil yang diperolehberupa suatu nilai tertentu, sedang a disebut sebagai batas bawah dan b disebut sebagai batas atasintegral.Contoh :Hitunglah : 3 4 1. ∫ (3 x + 2 x + 1)dx 2. . ∫ (4 x − 6 x )dx 2 2 1Jawab: 3 1. ∫ (3 x + 2 x + 1)dx = [x3+x2+x] 2 3 2 2 = (33+32+3)-(23+22+2) = (27+9+3) – (8+4+2) = 25 4 2. . ∫ (4 x − 6 x )dx = [2x 2- 4x3/2] 4 1 1 = (2.42- 4.43/2) – (2.12-4.13/2) = 0-(-2) =2LATIHAN 3Hitunglah nilai setiap integral tertentu berikut ini: 3 5 2 ∫ (4 x)dx ∫ (7 − x)dx ∫ ( x + 5) 21. 6. 11. dx .. 0 0 −2 −1 3 2 ∫ (6 x )dx 7. ∫ (4 x + 3x )dx ∫ (3x − 6)(2 x + 5)dx 2 3 22. 12. −2 1 −1 9 1 23. ∫ (3 x )dx ∫ (5 − 2 x − 6 x ∫ (1 + 3x)(1 − x)dx 2 8. )dx 13. 1 −1 −1 4 4 1 2 ∫ (12 x 9. ∫ (6 x − 2 )dx ∫ 2 x( x + 1)( x − 1)dx 24. x )dx 14. 0 1 x −1 6 1 4 6 45. ∫ 2 dx 10. ∫ (4 x − 3) dx ∫x 2 15. 3 dx 1 x 0 25. PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU
  4. 4. 4A. MENGHITUNG LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU XMenentukan luas dari suatu daerah antara kurva dan sumbu x dengan menggunakan integral tertentu .Jika daerah dibatasi oleh kurva y= f (x) , sumbu x pada [a,b] maka untuk menentukan luasnyadengan menggunakan integral tertentu adalah sebagai berikut: b L = ∫ f ( x)dx = [F(x)] a = ‌ F(b) –F(a ) ‌ b diambil nilai mutlak aContoh: Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 sumbu x ,garis x=1 dan garis x=2.Jawab: 2 ∫x 2 L = dx 1 1 = [ x 3 ]1 2 3 1 3 1 3 = ( .2 ) − ( .1 ) 3 3 8 1 = ( − ) 3 3 7. = 3 1 = 2 satuan luas. 3 1Jadi luas daerahnya adalah 2 satuan luas. 3
  5. 5. 5LATIHAN 4I. Tentukan luas daerah yang diarsir pada soal - soal berikut ini dengan menggunakan pengintegralan. 1 . 2 3. 4. 5. 6. II. Hitunglah dengan menggunakan rumus luas geometri. Untuk soal I.1 dan I.3 III. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y dan sumbu koordinat atau garis yang disebutkan. 1. y = x2 , sumbu x , garis x = 0 dan x = 2 2. y = x2 + 2x +4 , sumbu x , sumbu y , garis x = 3. 3. y = x(x-4) dan sumbu x. 4. x = 3y2- 9 garis x = 0, y = 0 dan y = 1.. 5. y = x2 – 5x. dan sumbu x. 6. y = x3 sumbu x , garis x = -1 dan garis x = 3. 7. y = √ x sumbu x garis x = 1 dan x = 4. 8. y = x3- 3x2 + 2x sumbu x, garis x = 0 dan garis x = 2 9. y = x 3- x2–6x sumbu x.10 y = x2 –1 sumbu x.11. y = (x – 5) 2 sumbu y, sumbu x.12. y = x 3 - 9x sumbu x13. y = x(5-x) dan sumbu x14. y = 12 – 4x - x2 dan sumbu x.15. y = 9 - x2 dan sumbu x
  6. 6. 6B. MENGHITUNG LUAS ANTARA DUA KURVAJika f dan g dua fungsi yang kontinu pada interval [a,b] dan f(x) ≥ g(x) dalam [a,b] dengan syaratf(x) dan g(x) tidak berpotongan pada [a,b].Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b] adalah : b ∫ ( f ( x) − g ( x))dx a rumus ini berlaku untuk : * f dan g non negatip (gambar 1) * f dan g negatif (gambar 2) * f positif dan g negatif (gambar 3) gam b ar1 gam b ar2 g am b a r3Contoh: Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x dan y = 2x + 2Jawab: *) Tentukan dahulu koordinat titik potong kedua kurva sebagai batas integral dengan cara sebagai berikut: x2 + 3x = 2x + 2 x2 + 3x - 2x –2 = 0 x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 x = -2 atau x = 1 -2 -1 1 . Jadi x = -2 dan x = 1 sebagai batas integral. *) Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 3x dan y = 2x + 2 dengan batas bawah x = -2 dan batas atas x = 1 sebagai berikut: 1 ∫ [(2 x + 2) − ( x + 3x )]dx 2 L= −2 1 ∫ (2 − x − x )dx 2 = −2 1 2 1 3 1 = [2 x − x − x ]−2 2 3 1 1 8 = (2 − − ) − ( −4 − 2 + ) 2 3 3 1 = 4 2 1 **)Jadi luasnya adalah 4 satuan luas 2LATIHAN 5:A Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva yang ditentukan: 1. y = x2 dan y = 2x + 1 6. y = x3 dan y =½ x2 2. y = x2 dan y = 2x - x2 7. y = 9 - x2 dan x – y +3 = 0 3. x = y2 dan x – y – 2 = 0 8. y = x2 – 7x + 10 dan y = 2 – x 4. y = x dan y = x2 9. y = x2 dan y = 2 - x2 5. y = 2 - x2 dan x + y = 0 10. y =. x2 – 4 dan y = 8 - 2x2
  7. 7. 7B. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini1 . 23. 4.5. 6.C. MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTARBagaimana menghitung volume dari benda yang dibentuk oleh bangun berikut jika bangun diputarmengelilingi sumbu xBentuk benda yang terjadi jika bangun diputar mengelilingi sumbu x adalah sebagai berikut:
  8. 8. 81. MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR MENGELILINGI SUMBU XPerhatikan daerah yang dibatasi kurva y = f(x) pada [a,b] yang diputar mengelilingi sumbu x sebesar360o pada gambar dibawah ini: y y = f( x ) 0 a b xUntuk menghitung volume dari benda tersebut maka dibuat potongan - potongan melingkar yangsangat kecil berbentuk tabung seperti gambar dibawah ini: Jika jari – jari tabung tersebut y dan tingginya δx y Maka : δV = π y2 δx Sehingga volume benda putar tersebut merupakan jumlah potongan tabung-tabung yaitu y = f( x ) 0 a b x n ∑ πy δ x 2 i V = i =1 dengan n jumlah potongan tabung. Untuk δx yang sangat kecil akan dihasilkan pendekatan volume yang sangat sempurna yaitu : n V Limit = δx→0 ∑πy δx i =1 2 i i Bentuk ini dapat dinyatakan dalam integral sebagai berikut: b V = π ∫ y dx Ini rumus volume benda yang diputar mengelilingi sumbu x. 2 aContoh: Hitunglah volume benda yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 3x + 2 pada [1,4] diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o.Jawab: 4 V = π ∫ y dx 2 y= 3x+ 2 1 y 4 V = π ∫ (3 x + 2) dx 2 2 1 0 1 4 x 4 V = π ∫ (9 x + 12 x + 4)dx 2 1 V = π[3 x 3 + 6 x 2 + 4 x ]1 4 V = π (192 + 96 +16) −π (3 + 6 + 4) V = 291πJadi volumenya adalah 291π satuan volume.
  9. 9. 9LATIHAN 6A. Hitunglah volume dari benda yang dihasilkan dari pemutaran 360o grafik berikut ini: 1 . 2. 7. 8. y y= x+ 2 y y y = 3x - x2 y= x y y = –x6 0 1 3 x 0 3 x 0 3 x 0 3 x y y y= x 2 y = 4 - x2 1 . 0 3 x 0 2 x 5. 6. y y y = x2 y = x 0 6 x 0 6 xB. Hitunglah volume dari benda yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva mengelilingi sumbux sejauh 360o pada batas yang ditentukan: 1. y = x pada [1,10] 5. y = x 2 +1 x = 0 dan x = 1 9 2. y = x2 sumbu x ,sumbu y dan garis x = 6. 6. y = ,x =1 dan x = 4 x 1 3. y = x sumbu x dan garis x = 8 7. y = 6 – x , sumbu x dan sumbu y 2 4. y = x sumbu x , sumbu y, garis x = 92 . VOLUME BENDA PUTAR MENGELILINGI SUMBU YUntuk menentukan volume benda putar mengelilingi sumbu y dengan Integral adalah sebagai n ∑ πx δ y 2 iberikut : V = i =1 dengan n adalah jumlah potongan tabung. Untuk δy yang sangat kecil akan diperoleh pendeka yang sangat sempurna yaitu: n b y x = f( y ) Limit V = δx→0 ∑ πx δy i =1 2 i i Bentuk ini dapat dinyatakan dalam integral sebagai berikut b V = π ∫ x d y Ini rumus volume benda yang diputar 2 a 0 x a mengelilingi sumbu y. 1 2Contoh: Hitunglah volume benda yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 sumbu y , garis y = 0 dan y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sebesar 360oJawab: b 2 1 2 x ⇔ x 2 = 2 y maka V = π x dy ⇔ V = π 2 ydy ∫ ∫ 2 y= 2 a 0 2 y ⇔ V = π ∫ 2 ydy y= x 2 0 2 ⇔ V = π [ y 2 ]1 2 V = π (4) − π (0) 0 x
  10. 10. 10 V = 4π satuan volume. Jadi volumenya adalah 4π satuan volume.LATIHAN 7Hitunglah volume benda putar bila daerah berikut diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360o 1. y = x dan y = 6. 2. y = x dan garis y = 1. 3. xy = 1 garis y = 2 dan y = 6. 4. y = x 2 −1 , y = 0 dan y = 1. 5. y = 9 − x 2 ,garis y = -9 dan y = 9 6. x2=y(1-y)2, garis y = 0 dan y = 1 7. y = 1 + x , garis x = 4 x = 2y dan sumbu y 8. y = x + 1 untuk 1 < y < 4 2 9 . x = y 2 , garis y = 2 dan y = 4 10. y = x1/3 dan y = 8.3. VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA.Jika f dan g fungsi yang kontinu dan non negatip sedemikian sehingga f(x) ≥ g(x) pada [a,b] dan Ladalah daerah yang dibatasi y1 = f ( x ) dan y 2 = g ( x ) garis x = a dan x = b seperti gambar berikutini: Jika daerah tersebut diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu x y = f( x ) Maka volumenya dihitung dengan rumus: y y= g(x ) b V = π ∫ ( y1 − y 2 ) dx 2 2 a a b 0 x Jika diputar mengelilingi sumbu y maka rumusnya adalah: b V = π ∫ ( y1 − y 2 ) dx 2 2 a Contoh: Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu x satu putaran penuh.Jawab :Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut. x2 = x + 2 x2 – x –2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0 x = 2 atau x = -1Jadi batas – batas daerahnya adalah x = 2 dan x = -1, sehingga volumenya adalah : b 2V = π ∫ ( y1 − y 2 ) dx ∫ ⇔ V = π [( x + 2) 2 − ( x 2 ) 2 ]dx 2 2 a −1 2 ∫ ⇔ V = π [( x 2 + 4 x + 4 − x 4 )]dx −1 1 3 1 5 2 = π [ x + 2 x + 4 x − x ] −1 2 ⇔ 3 5 2 2 1 1 ⇔ = π (2 + 8 + 8 − 6 ) − π ( − + 2 − 4 + ) 3 5 3 5 2 ⇔ = 14 π 3 2Jadi volumenya adalah 14 π satuan volume. 3
  11. 11. 11LATIHAN 8Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva diputarmengelilingi sumbu yang ditentukan. 1. y = x2 , y = x ,garis y = 4 , dengan sumbu putar y. 2. y = x2/3, y = x3 dengan sumbu putar x. 3. x = -y2 – 3y + 6, garis x + y – 3 = 0 , dengan sumbu putar y. 4. y = x2 , y = x , dengan sumbu putar x. 5. y = (2 - x2) 2 , y = 1, sumbu putarnya adalah sumbu x. 6. y = 1 + x2 dan y = 9 - x2 dengan y sebagai sumbu putar. 7. y2 = x dan y = x2 , dengan sumbu putar x. 8. y = x2 dan y = x4 , dengan sumbu putar x. 9. y = x dan y = x2, dengan sumbu putar x. 10. y = x2 dan y = 6x - x2, dengan sumbu putar x.

×