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  1. 1. O que significaProduto Notável?
  2. 2. Produto Notável Produto:Resultado de uma multiplicação. Notável:Algo que é importante.
  3. 3. O que vamos estudar Quadrado da soma de dois termos Quadrado da diferença de dois termos Produto da soma pela diferença de dois termos Cubo da soma de dois termos Cubo da diferença de dois termos
  4. 4. Quadrado da somaProduto Quadrado da diferençaNotável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  5. 5. Quadrado da soma de dois termos( a + b) 2Termo a Termo b
  6. 6. Quadrado da soma ( a +b ) 2Produto Quadrado da diferençaNotável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  7. 7. Quadrado da soma de dois termos( a + b) 2 = ( a + b ).( a + b )
  8. 8. Quadrado da soma de dois termos( a + b) 2 = ( a + b ).( a + b ) = a + ab + ab + b 2 2 = a + 2ab + b 2 2
  9. 9. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferençaNotável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  10. 10. Vamos calcular 1( x + 1) 2
  11. 11. Vamos calcular 1( x + 1) 2 = ( x + 1)( x + 1)
  12. 12. Vamos calcular 1( x + 1) 2 = ( x + 1)( x + 1) = x + x + x +1 2 2
  13. 13. Vamos calcular 1( x + 1) 2 = ( x + 1)( x + 1) = x + x + x +1 2 2 = x + 2x +1 2
  14. 14. Vamos calcular 2( 5+y ) 2
  15. 15. Vamos calcular 2( 5+y ) 2 = ( )( 5+y. 5+y )
  16. 16. Vamos calcular 2( 5+y ) 2 = ( 5+y. 5+y)( ) = ( 5) 2 + 5y + 5y + y2
  17. 17. Vamos calcular 2( 5+y ) 2 = ( 5+y. 5+y)( ) = ( 5) 2 + 5y + 5y + y2 = 5 + 2 5y + y 2
  18. 18. Vamos calcular 3 2 2 ba +  2
  19. 19. Vamos calcular 3 2 2 b  2 b  2 b a +  =  a + . a +  2  2  2
  20. 20. Vamos calcular 3 2 2 b  2 b  2 b a +  =  a + . a +  2  2  2 2 = (a ) 2 2 b 2 b b +a +a +  2 2 2 2
  21. 21. Vamos calcular 3 2 2 b  2 b  2 b a +  =  a + . a +  2  2  2 2 = (a ) 2 2 b 2 b b +a +a +  2 2 2 2 2 b b = a + 2a 4 + 2 2 4
  22. 22. Quadrado da diferença de dois termos( a − b) 2Termo a Termo b
  23. 23. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2Notável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  24. 24. Quadrado da diferença de dois termos( a − b) 2 = ( a − b ).( a − b )
  25. 25. Quadrado da diferença de dois termos( a − b) 2 = ( a − b ).( a − b ) = a − ab − ab + b 2 2 = a − 2ab + b 2 2
  26. 26. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  27. 27. Vamos calcular 1( x − 3) 2
  28. 28. Vamos calcular 1( x − 3) 2 = ( x − 3)( x − 3)
  29. 29. Vamos calcular 1( x − 3) 2 = ( x − 3)( x − 3) = x − 3x − 3x + 3 2 2
  30. 30. Vamos calcular 1( x − 3) 2 = ( x − 3)( x − 3) = x − 3x − 3x + 3 2 2 = x − 2.3 x + 3 2 2
  31. 31. Vamos calcular 1( x − 3) 2 = ( x − 3)( x − 3) = x − 3x − 3x + 3 2 = x − 2.3 x + 3 2 2 = x − 6x + 9 2
  32. 32. Vamos calcular 2( 2ab − c ) 2
  33. 33. Vamos calcular 2( 2ab − c ) 2 = ( 2ab − c ) .( 2ab − c )
  34. 34. Vamos calcular 2( 2ab − c ) 2 = ( 2ab − c ) .( 2ab − c ) = ( 2ab ) − 2abc − 2abc + c 2 2
  35. 35. Vamos calcular 2( 2ab − c ) 2 = ( 2ab − c ) .( 2ab − c ) = ( 2ab ) − 2abc − 2abc + c 2 2 = 4a b − 4abc + c 2 2 2
  36. 36. Vamos calcular 3 2a b − 2 8
  37. 37. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8
  38. 38. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8
  39. 39. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8 a 2 ab ab b 2 = − − + 4 16 16 64
  40. 40. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8 a 2 ab ab b 2 = − − + 4 16 16 64 a2 ab b 2 = −2 + 4 16 64
  41. 41. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8 a 2 ab ab b 2 = − − + 4 16 16 64 a2 ab b 2 = −2 + 4 16 64
  42. 42. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8 a 2 ab ab b 2 = − − + 4 16 16 64 a2 ab b 2 = −2 + 4 16 64 a 2 ab b 2 = − + 4 8 64
  43. 43. Produto da soma pela diferença de dois termos( a + b ).( a − b )Termo a Termo b Termo a Termo b
  44. 44. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) Cubo da soma Cubo da diferença
  45. 45. Produto da soma pela diferença de dois termos( a + b ).( a − b ) = a − ab + ab − b 2 2 = a −b 2 2
  46. 46. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma Cubo da diferença
  47. 47. Vamos calcular 1( a + 5)( a − 5)
  48. 48. Vamos calcular 1( a + 5)( a − 5) = a − 5a + 5a − 5 2 2
  49. 49. Vamos calcular 1( a + 5)( a − 5) = a − 5a + 5a − 5 2 2
  50. 50. Vamos calcular 1( a + 5)( a − 5) = a − 5a + 5a − 5 2 2 = a − 25 2
  51. 51. Vamos calcular 2(y 2 )( − 3z y + 3z 2 )
  52. 52. Vamos calcular 2(y 2 )( 2 ) − 3z y + 3z = ( y ) 2 2 + 3zy − 3zy − ( 3z ) 2 2 2
  53. 53. Vamos calcular 2(y 2 )( 2 ) − 3z y + 3z = ( y ) 2 2 + 3zy − 3zy − ( 3z ) 2 2 2
  54. 54. Vamos calcular 2(y 2 )( 2 ) − 3z y + 3z = ( y 2 2 ) + 3zy − 3zy − ( 3z ) 2 2 2 = y − 9z 4 2
  55. 55. Vamos calcular 3 2 1  2 1  x + 2  x − 2  x  x 
  56. 56. Vamos calcular 3 2 1  2 1  2 x + 2  x − 2  = ( x 2 ) 2 − x 2 . 12 + x 2 . 12 −  12    x  x  x x x 
  57. 57. Vamos calcular 3 2 1  2 1  2 x + 2  x − 2  = ( x 2 ) 2 − x 2 . 12 + x 2 . 12 −  12    x  x  x x x 
  58. 58. Vamos calcular 3 2 1  2 1  2 x + 2  x − 2  = ( x 2 ) 2 − x 2 . 12 + x 2 . 12 −  12    x  x  x x x  1 =x − 44 x
  59. 59. Cubo da soma de dois termos( a + b) 3Termo a Termo b
  60. 60. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma ( a +b ) 3 Cubo da diferença
  61. 61. Cubo da soma de dois termos( a + b) 3 = ( a +b ).( a +b ) 2
  62. 62. Cubo da soma de dois termos( a + b) 3 = ( a +b ).( a +b ) 2 ( = ( a + b ) . a + 2ab + b 2 2 ) = a + 2a b + ab + a b + 2ab + b 3 2 2 2 2 3 = a + 3a b + 3ab + b 3 2 2 3
  63. 63. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma ( a +b ) 2 a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3 Cubo da diferença
  64. 64. Vamos calcular 1( x + 2) 3
  65. 65. Vamos calcular 1( x + 2) 3 = ( x + 2) .( x + 2) 2
  66. 66. Vamos calcular 1( x + 2) 3 = ( x + 2) .( x + 2) 2 ( = ( x + 2). x + 4 x + 4 2 )
  67. 67. Vamos calcular 1( x + 2) 3 = ( x + 2) .( x + 2) 2 ( = ( x + 2). x + 4 x + 4 2 ) = x +4 x + 4 x + 2 x + 8 x + 8 3 2 2
  68. 68. Vamos calcular 1( x + 2) 3 = ( x + 2) .( x + 2) 2 ( = ( x + 2). x + 4 x + 4 2 ) = x +4 x + 4 x + 2 x + 8 x + 8 3 2 2 = x + 6 x + 12 x + 8 3 2
  69. 69. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3
  70. 70. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3 = ( x + 2 y ).( x + 2 y ) 2
  71. 71. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3 = ( x + 2 y ).( x + 2 y ) 2 ( = ( x + 2 y ) . x + 4 xy + 4 y 2 2 )
  72. 72. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3 = ( x + 2 y ).( x + 2 y ) 2 ( = ( x + 2 y ) . x + 4 xy + 4 y 2 2 ) = x + 4 x y + 4 xy + 2 x y + 8 xy + 8 y 3 2 2 2 2 3
  73. 73. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3 = ( x + 2 y ).( x + 2 y ) 2 ( = ( x + 2 y ) . x + 4 xy + 4 y 2 2 ) = x + 4 x y + 4 xy + 2 x y + 8 xy + 8 y 3 2 2 2 2 3 = x + 6 x y + 12 xy + 8 y 3 2 2 3
  74. 74. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) 2 3
  75. 75. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z ) 2 3 2 2 2
  76. 76. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z ) 2 3 2 2 2 ( )( = 2 + 3 z 2 . 4 + 12 z 2 + 9 z 4 )
  77. 77. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z ) 2 3 2 2 2 ( )( = 2 + 3 z 2 . 4 + 12 z 2 + 9 z 4 ) = 8 + 24 z + 18 z + 12 z + 36 z + 27 z 2 4 2 4 6
  78. 78. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z ) 2 3 2 2 2 ( )( = 2 + 3 z 2 . 4 + 12 z 2 + 9 z 4 ) = 8 + 24 z + 18 z + 12 z + 36 z + 27 z 2 4 2 4 6 = 8 + 36 z + 54 z + 27 z 2 4 6
  79. 79. Cubo da diferença de dois termos( a − b) 3Termo a Termo b
  80. 80. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma ( a +b ) 2 a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3 Cubo da diferença ( a −b ) 3
  81. 81. Cubo da diferença de dois termos( a − b) 3 = ( a −b ).( a −b ) 2
  82. 82. Cubo da diferença de dois termos( a − b) 3 = ( a −b ).( a −b ) 2 ( = ( a − b ) . a − 2ab + b 2 2 ) = a − 2a b + ab − a b + 2ab − b 3 2 2 2 2 3 = a − 3a b + 3ab − b 3 2 2 3
  83. 83. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma ( a +b ) 2 a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3 Cubo da diferença ( a −b ) 3 a 3 −3a 2b +3ab 2 −b 3
  84. 84. Vamos calcular 1( x − 2) 3
  85. 85. Vamos calcular 1( x − 2) 3 = ( x − 2 ).( x − 2 ) 2
  86. 86. Vamos calcular 1( x − 2) 3 = ( x − 2 ).( x − 2 ) 2 ( = ( x − 2). x − 4 x + 4 2 )
  87. 87. Vamos calcular 1( x − 2) 3 = ( x − 2 ).( x − 2 ) 2 ( = ( x − 2). x − 4 x + 4 2 ) = x − 4 x + 4 x − 2 x + 8x − 8 3 2 2
  88. 88. Vamos calcular 1( x − 2) 3 = ( x − 2 ).( x − 2 ) 2 ( = ( x − 2). x − 4 x + 4 2 ) = x − 4 x + 4 x − 2 x + 8x − 8 3 2 2 = x − 6 x + 12 x − 8 3 2
  89. 89. Vamos calcular 2( ax − y ) 3
  90. 90. Vamos calcular 2( ax − y ) 3 = ( ax − y ) .( ax − y ) 2
  91. 91. Vamos calcular 2( ax − y ) 3 = ( ax − y ) .( ax − y ) 2 ( = ( ax − y ). a 2 x 2 − 2axy + y 2 )
  92. 92. Vamos calcular 2( ax − y ) 3 = ( ax − y ) .( ax − y ) 2 ( = ( ax − y ). a 2 x 2 − 2axy + y 2 ) = a x − 2a x y + axy − a x y + 2axy − y 3 3 2 2 2 2 2 2 3
  93. 93. Vamos calcular 2( ax − y ) 3 = ( ax − y ) .( ax − y ) 2 ( = ( ax − y ). a 2 x 2 − 2axy + y 2 ) = a x − 2a x y + axy − a x y + 2axy − y 3 3 2 2 2 2 2 2 3 = a 3 x 3 − 3a 2 x 2 y + 3axy 2 − y 3
  94. 94. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3
  95. 95. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3 ( )( = 2x − y . 2x − y 2 ) 2 2
  96. 96. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3 ( )( = 2x − y . 2x − y 2 ) 2 2 ( )( = 2 x − y 2 . 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 )
  97. 97. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3 ( = 2x − y . 2x − y 2 )( ) 2 2 ( )( = 2 x − y 2 . 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 ) = 8 x − 8 x y + 2 xy − 4 x y + 4 xy − y 3 2 2 4 2 2 4 6
  98. 98. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3 ( = 2x − y . 2x − y 2 )( 2 2 ) ( )( = 2 x − y 2 . 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 ) = 8 x − 8 x y + 2 xy − 4 x y + 4 xy − y 3 2 2 4 2 2 4 6 = 8 x − 12 x y + 6 xy − y 3 2 2 4 6
  99. 99. Resumindo… ( a +b ) 2 = a 2 + 2ab +b 2 Quadrado de um binômio ( a −b ) 2 = a 2 − 2ab +b 2ProdutoNotável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) = a 2 −b 2 ( a +b ) 3 = a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3 Cubo de um binômio ( a −b ) 3 = a 3 −3a 2b +3ab 2 −b 3
  100. 100. Bibliografia Tempo de Matemática, 7a série; NAME, Miguel Assis. 1996, Editora do Brasil S/A, São Paulo. Páginas pesquisadas 69 a 78. Matemática e Realidade, 8o ano; IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. 2009, 6a edição, Atual Editora, São Paulo. Páginas pesquisadas 186 a 194.

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