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  1. 1. Matrizes
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá: O que é matriz e suas representações. Igualdade de matrizes. A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz triangular, matriz oposta, matriz identidade e matriz inversa. O que é diagonal principal e diagonal secundária. Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
  3. 3. O que é matriz? É uma tabela de números que pode serrepresentada entre chaves ou entre colchetes. São matrizes com 2 linhas e 3 colunas. Então dizemos que é uma matriz 2 x 3. Exemplos:  1 2 3  1 2 3 A= 4 0 1  ou A = 4 0 1      
  4. 4. Como é a representaçãogenérica de uma matriz?
  5. 5. O que é índice de um elemento? É a representação da posição que oelemento ocupa dentro da matriz. Exemplo:  a11 a12  2 3  A =  = a a   1 0    21 22    O 3 é o elemento a12, ou seja, estána 1ª linha e na 2ª coluna.
  6. 6. Quando duas matrizes A e B são iguais?Quando os elementos de mesmo índice sãocorrespondentes.Exemplo:  a11 a12   b11 b12  A = a a   = B = a b    21 22   21 22  Logo, a11 =b11 , a12 =b12 , a21 = a21 , a22 =b22
  7. 7. Tente fazer sozinho!(PUC-MG)A matriz A = (aij)2x3 é tal que:  3i + j , se i ≠ j aij =  2i − 3 j , se i = jÉ correto afirmar que:  −1 − 5  −1 7     a ) A =  6 7  b) − 5 2   2 9  6 −9      −1 7 5   −1 5 6  c)  6 2 9  d )  7 − 2 9     
  8. 8. Solução  3i + j , se i ≠ j  a11 a12 a13 aij =   a a a   2i − 3 j , se i = j  21 22 23 a11 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1a12 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5a13 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6a21 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7a22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2a23 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9Resposta: D
  9. 9. O que é matriz linha?É uma matriz formada por apenas uma linha. Exemplo: A = ( 2 4 3 0 7 ) O que é matriz coluna?É uma matriz formada por apenas uma coluna. 2  Exemplo:   B =0  9   
  10. 10. O que é matriz nula? É uma matriz que apresenta todos oselementos iguais a zero.Exemplos: 0 0 0 0   0 0 0  C = 0 0 0 0 D=  0 0 0 0 0 0 0   
  11. 11. O que é matriz quadrada? É a matriz que apresenta o mesmo númerode linhas e colunas. Dizemos que a matriz A é de ordem 3 e que a matriz B é Exemplos: de ordem 2. 2 4 3    0 1 A =0 4 1  B = 9 4   3 0 7      Matriz 3 x 3 Matriz 2 x 2
  12. 12. O que é diagonal principal? É a diagonal formada pelos elementos aij,sendo i=j de uma matriz quadrada. diagonal secundária diagonal principal
  13. 13. Tente fazer sozinho!(Ufop-MG) Observe a matriz: 1 2 3  0 x 4    0 0 y    Chama-se traço de uma matriz a soma doselementos de sua diagonal principal. Determinex e y na matriz acima de tal forma que seutraço valha 9 e x seja o triplo de y.
  14. 14. Solução 1 2 3   x 4 0    0 y 0 x = 3y1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2x = 3.2  x = 6
  15. 15. O que é matriz diagonal? É a matriz quadrada na qual todos oselementos que não pertencem a diagonalprincipal são iguais a zero. A diagonalprincipal deve apresentar pelo menos umelemento diferente de zero.Exemplos: 2 0 0    A =0 1 0  0 0 7   
  16. 16. O que é matriz triangular? É a matriz quadrada na qual os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são iguais a zero. Exemplos: 2 0 0 0  2 2 4      5 1 0 0  2 7 B =0 1 3  C = 0170  D =0 1    0 0 7        9 3 7 6   
  17. 17. O que é matriz oposta? É a matriz cujos elementos são osopostos de uma matriz dada.Exemplos:  0 1 − 4 0 −1 4 A=  − A = 2 − 3 − 7  − 2 3 7     −1 8  1 − 8 B=  −B=  − 2 5  2 − 5
  18. 18. O que é matriz transposta? É a matriz cujas colunas são iguais àslinhas de uma matriz dada.  0 − 2Exemplo:  0 1 − 4 t   A=  A =  1 3 − 2 3 7  − 4 7    Note que o número de linhas de A é o número de colunas de At. O mesmo acontece com o número de colunas A é 3x2 e At=2x3
  19. 19. Tente fazer sozinho!(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, esomente se, At = A. Se a matriz  2 x2 x    A =  1 0 5 − y − 1 y − 3 1    x+ yÉ simétrica, então o valor de é: 3a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0
  20. 20. Solução 2 x2 x   2 1 −1    2  1 0 5 − y = x 0 y − 3− 1 y − 3 1   x 5 − y 1     x 2 = 1 ⇒ x = ±1x = −15 − y = y − 3 ⇒ −2 y = −8 ⇒ y = 4x + y −1+ 4 3 = = =1 3 3 3Resposta: letra c
  21. 21. O que é matriz identidade? É a matriz quadrada que apresentatodos os elementos da diagonal principaliguais a 1 e os outros elementos iguais azero.Exemplo: 1 0 0    1 0  I 3 = 0 1 0  I 2 = 0 1   0 0 1     
  22. 22. Como somamos ou subtraímos matrizes? Basta somar ou subtrair os elementoscorrespondentes. As matrizes devem ser do mesmo tipo (m x n).Exemplos:  1 5 4   − 4 0 − 1  − 3 5 3  a )  3 0 − 1 +  2 − 3 6  =  5 − 3 5              9   − 1 10        b) 8  −  5  =  3  7  3   4       
  23. 23. Como multiplicamos uma matriz por um número real? Basta multiplicar todos os elementos damatriz por esse número real.Exemplo: 2  5   − 6 −15      − 3 1 −1 =  − 3 3 − 2 0   6 0   
  24. 24. Como o tipo da matriz influencia na multiplicação de duas matrizes?Matriz A Matriz B 4x3 3x2 Devem ser iguais O resultado é do tipo 4 x 2
  25. 25. Como efetuamos o produto de duas matrizes? Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matrizB = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp,onde o elemento cij é calculado multiplicandoordenadamente os elementos da linha i, damatriz A, pelos elementos da coluna j, damatriz B, e somando os produtos obtidos.
  26. 26. Exemplo 1: 3 2    3 1 A = 5 0 e B =  6 2  1 4      3.3 + 2.6 3.1 + 2.2   21 7     AB =  5.3 + 0.6 5.1 + 0.2  =  15 5   1.3 + 4.6 1.1 + 4.2   27 9     
  27. 27. Exemplo 2: 2 1   4 2 0C=  e D=   1 3 5 1 3  2.4 + 1.5 2.2 + 1.1 2.0 + 1.3CD =   1.4 + 3.5 1.2 + 3.1 1.0 + 3.3  13 5 3CD =   19 5 9
  28. 28. Tente fazer sozinho!1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes x  1 0  0 1 − 1    − 1 1  1 0 2  y      1   é a matriz nula, x + y é igual a:a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
  29. 29. Solução x  1 0  0 1 −   0   1 − 1  1 0 2  y  =0       1   1       1 0 0 1 −1 0 1 −1−1 1  1 0 2  = 1 −1 3         
  30. 30. x  0 1 −1  0    1 −1 3  y  =0      1       0.x +1. y +1.( −1)   0   1.x + ( −1). y + 3.1 =  0          0 + y −1   0    x − y + 3 = 0         y −1 = 0 ⇒ y = 1 x − y + 3 = 0 ⇒ x − 1 + 3 = 0 ⇒ x = −2 x + y = −2 + 1 = −1Letra C.
  31. 31.  1 b2) (Fatec-SP) Seja a matriz A =   , tal que a 1  − 19 − 8 A = 2  10 − 19 . É verdade que a+b é igual a: a) 0b) 1c) 9d) -1e) -9
  32. 32. Solução 1 b   1 b  − 19 − 8 a 1  a 1  =  10 − 19    1 + ab 2b  − 19 − 8  2a ab + 1 =  10 − 19   2b = −8 ⇒ b = −4ab + 1 = −19 ⇒ −4a = −20 ⇒ a = 5 Resposta: Letra Ba + b = −4 + 5 = 1
  33. 33. O que é matriz inversa? É matriz X de ordem n, cujo produto coma matriz A é igual a matriz identidade deordem n. A matriz inversa de A É indicada por A-1.Ou seja, A.X = X.A = In, onde X = A-1
  34. 34. Exemplo: 2 1  3 − 1 A=  e B=  5 3  − 5 2       2 1  3 − 1 AB =    5 3  − 5 2       2.3 + 1.( − 5) 2.( − 1) + 1.2 AB =   5.3 + 3.( − 5)   5.( − 1) + 3.2    1 0AB =   0 1    Logo, B = A-1
  35. 35. Tente fazer sozinho!(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a  0 2matriz inversa de A =   , então: − 1 1 a) b11 = - ½b) b12 = -1c) b21 = 1d) b22 = -1e) b22 = - ½
  36. 36. Solução 0 2 a b   1 0 − 1 1   c d  = 0 1      2c 2d   1 0 − a + c − b + d  = 0 1  Resposta:    Letra B 12c = 1 ⇒ c = 22d = 0 ⇒ d = 0 1 1− a + c = 0 ⇒ −a + = 0 ⇒ a = 2 2− b + d = 1 ⇒ −b + 0 = 1 ⇒ b = −1
  37. 37. Bibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 118 a 145. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 287 a 302. Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.

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