Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Thanasiskopadis fanismargaronis

1,617 views

Published on

επαναληπτικό θέμα

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Thanasiskopadis fanismargaronis

  1. 1. ΘΕΜΑ_thanasis kopadis_ (γεωμετρικό) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση ( ): , 1−∞ − → ℝf η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο 3 3, 2   Κ −    και η κλίση της σε οποιοδήποτε σημείο ( ), ( )x f x δίνεται από τον τύπο ( ) 2 1 1+x α) Να αποδείξετε ότι ( ) 1 = + x f x x , 1< −x β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. γ) Έστω (ε) η εφαπτομένη της fC σε τυχαίο σημείο της ( )0 0, ( )Μ x f x i. Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της (ε) με τους άξονες ′x x και ′y y αντίστοιχα. ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ έτσι ώστε το άθροισμα των αποστάσεων της αρχής των αξόνων Ο από τα σημεία Α και Β να γίνεται ελάχιστο δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( )Ε λ του χωρίου που περικλείεται από την fC , τον άξονα ′x x και τις ευθείες 0=x x και =x λ , όπου ( )2, 1∈ − −λ και 0x η τετμημένη του σημείου που βρήκατε στο ερώτημα γ)ii. Στη συνέχεια να βρείτε το όριο ( )1 lim− →− Ε λ λ
  2. 2. Λύση – Θανάσης Κοπάδης – Γεωμετρικό α) Κ∈Cf , άρα 3 f ( 3) 2 − =. Είναι f παραγωγίσιμη στο Α=(-∞,-1) , με ( ) 2 1 1 f '(x) f '(x) ,x 1 x 1x 1 ′  = ⇔ = − < −  + + Άρα υπάρχει c∈R τέτοιο, ώστε 1 f (x) c , x 1 x 1 − = + < − + Για x=-3 προκύπτει c=1 Οπότε 1 x f (x) 1 f (x) , x<-1 x 1 x 1 − = + ⇔ = + + . β) Η γραφική παράσταση προκύπτει εύκολα, χωρίς μελέτη, αν μετατοπίσω τη γραφική παράσταση της 1 (x) x − θ = κατά μία μονάδα προς τα αριστερά και κατά μία μονάδα προς τα πάνω. σελ. 1
  3. 3. Για τη μελέτη έχουμε: x f(x) , x<-1 x 1 = + παραγωγίσιμη δύο φορές στο Α. Με ( ) 2 1 f '(x) 0 x 1 = > + , άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο Α, επομένως δεν παρουσιάζει ακρότατα. Επίσης: 3 2 f ''(x) 0 (x 1) =− > + , άρα η f θα είναι κοίλη στο Α, επομένως δεν παρουσιάζει σημεία καμπής. Τέλος, x lim f (x) 1 →−∞ = , άρα έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -∞ την ευθεία y=1 και x 1 lim f (x)− →− = +∞ , άρα έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=-1. γ) i) Στο τυχαίο σημείο ( )o ox ,f (x ) , άρα με xo<-1,η εφαπτομένη (ε) της Cf θα είναι : o o o o2 o o 1 1 y f (x ) f '(x )(x x ) y 1 (x x ) x 1 (x 1) −= − ⇔ − + = − + + . Για τα σημεία τομής με τους άξονες: To 0∈A, άρα αν x=0 προκύπτει 2 o o x y x 1   =   +  , οπότε σημείο τομής με τον άξονα y’y είναι το σημείο 2 o 2 o x A 0 , (x 1)     +  . Για y=0 προκύπτει το σημείο Β(-xo2,0). ii)Έχουμε: ( ) 2 2 o o o o x x OA x 1 x 1   = =   + +  και 2 2 o o(OB) | x | x= = . Η συνάρτηση του αθροίσματος των αποστάσεων στο τυχαίο σημείο x<-1 θα είναι: 2 2 x d(x) x x 1   = +   +  , με x<-1 Οπότε: ( )3 3 2x (x 1) 1 d'(x) (x 1) + + = + , για x<-1. Είναι 3 2x 0 (x 1) > + για κάθε x<-1, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: σελ. 2
  4. 4. Συνεπώς η απόσταση γίνεται ελάχιστη για x=-2 δ) Το χωρίο του οποίου ψάχνουμε το εμβαδόν είναι το γραμμοσκιασμένο. Θα είναι: [ ] 22 1 E( ) 1 dx x ln | x 1| ln( 1) 2 x 1 λ λ −−   λ = − = − + = λ − −λ − +  +  ∫ Επομένως το ζητούμενο όριο θα είναι το: ( ) 2 1 ( ) 1 1 lim ( ) lim ln( 1) 2− − − − −∞ λ→− λ→− Ε λ = λ − −λ − + = + ∞ Φάνης Μαργαρώνης x -∞ -2 -1 d ΄(x) -- 0 + d(x) д е σελ. 3

×