Ορισμοί - μέθοδοι επίλυσης και λυμένα παραδείγματα στα γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους.

1. Γραμμικά συστήματα δυο
εξισώσεων με δυο αγνώστους
Ορισμοί - μέθοδοι επίλυσης
παραδείγματα

2. Ας θυμηθούμε τις ευθείες με εξισώσεις y = αx και y = αx+β και πώς μπορούμε να τις
κατασκευάσουμε.
Οι ευθείες y= αx και y= αx+β
 Η εξίσωση y x παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων καθώς για
0x  έχουμε 0 0y    , άρα η αρχή των αξόνων Ο(0,0) είναι σημείο της . Για να τη
σχεδιάσω χρειάζομαι ακόμη ένα σημείο, για το λόγο αυτό δίνω στη μεταβλητή x μια
οποιαδήποτε τιμή οπότε προκύπτει η αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής y επομένως έχω το
2ο
σημείο που χρειαζόμουν.
π.χ. η ευθεία 2y x
διέρχεται από το (0,0) ,
ενώ για 1x 
έχουμε 2 1 2y   
άρα διέρχεται και από
το σημείο (1,2).

3. Κατασκευή της ευθείας με εξίσωση y = αx +β .
Η εξίσωση y = αx+β με β ≠ 0 παριστάνει
ευθεία (δεν διέρχεται από την αρχή των
αξόνων), που διέρχεται από το σημείο
(0,β) του άξονα y´y, καθώς για x=0
έχουμε y = α·0+β = 0+β = β . Για να τη
σχεδιάσω χρειάζομαι ακόμη ένα σημείο,
για το λόγο αυτό εργάζομαι όπως
προηγουμένως.
π.χ. η ευθεία y = 2x+1 διέρχεται από το
(0,1), ενώ για x=1 έχουμε
y = 2·1+1 = 2+1 = 3, άρα διέρχεται και
από το σημείο (1,3).

4. Θεωρία
Οι ευθείες y = αx , y = αx+β , με β ≠ 0 είναι παράλληλες καθώς έχουν την ίδια κλίση α .
π.χ. οι ευθείες y = 2x και y = 2x+1 είναι παράλληλες καθώς έχουν την ίδια κλίση α=2 .
Ας δούμε τώρα εξισώσεις της μορφής αx+βy = γ με α ≠ 0 ή β ≠ 0
π.χ. Η εξίσωση 4 2 5x y  είναι της
μορφής x y    και γράφεται ως
εξής: 2 4 5y x  
2 4 5
2 2 2
y x
  
5
2
2
y x  
που όπως γνωρίζουμε παριστάνει
ευθεία με κλίση -2 .

5. Η εξίσωση της μορφής y = κ
 Η περίπτωση α=0
π.χ. Η εξίσωση 0x+3y = 9 είναι της
μορφής αx+βy = γ και γράφεται ως
εξής: 3y=9 δηλαδή y=3 .
Δηλαδή για κάθε τιμή του x
προκύπτει y=3. Η εξίσωση αυτή
είναι της μορφής y=κ και είναι
ευθεία παράλληλη στον άξονα x´x.
 Γενικά η εξίσωση y=κ παριστάνει
ευθεία που είναι παράλληλη στον
άξονα x´x.
Η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφεί
και ως y = 0x+κ , μορφή η οποία μας
φανερώνει την μηδενική της κλίση.
Ειδικότερα η εξίσωση y=0
παριστάνει τον άξονα x´x.

6. Η εξίσωση της μορφής x=κ
 Η περίπτωση β=0
π.χ. Η εξίσωση 2x+0y = 8
είναι της μορφής αx+βy = γ
και γράφεται ως εξής: 2x=8 δηλαδή
x=4 Δηλαδή ενώ x=4 το y παίρνει
οποιαδήποτε τιμή. Η εξίσωση
είναι της μορφής x=κ και παριστάνει
ευθεία παράλληλη στον y´y .
 Γενικά η εξίσωση x=κ παριστάνει
ευθεία που είναι παράλληλη στον
άξονα y´y.
Ειδικότερα η εξίσωση x=0
παριστάνει τον άξονα y´y .

7. Γραμμική εξίσωση – λύση γραμμικής εξίσωσης
Η εξίσωση της μορφής x y    με 0  ή 0  .
(στην οποία ένας τουλάχιστο εκ' των α , β είναι διαφορετικός του μηδενός)
λέγεται γραμμική εξίσωση καθώς είδαμε ότι παριστάνει μια ευθεία γραμμή.
Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση λέγεται λύση της
γραμμικής εξίσωσης (ουσιαστικά αντιστοιχεί σε ένα σημείο (x,y) της αντίστοιχης
ευθείας).
Παράδειγμα: το ζεύγος (3,2) είναι λύση της εξίσωσης 2 4x y  καθώς για
3x  και 2y  έχουμε 2 3 2 6 2 4     , δηλαδή την επαληθεύει.

8. Γραμμικό σύστημα (2x2) – λύση του συστήματος
 Όταν έχουμε δυο γραμμικές εξισώσεις και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους (αν υπάρχουν),
τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο
αγνώστους (πιο σύντομα ένα γραμμικό σύστημα (2x2)).
 Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δυο εξισώσεις λέγεται λύση του
συστήματος.
Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε τις εξισώσεις 2 9x y  και 3 1x y   . Αν θέλουμε να
βρούμε τις κοινές τους λύσεις , ουσιαστικά έχουμε να λύσουμε το σύστημα
2 9
3 1
x y
x y
 

  
Αν πάρουμε το ζευγάρι (1,4) τότε παρατηρούμε ότι:
επαληθεύει την εξίσωση 2 9x y  , καθώς για 1x  και 4y  έχουμε 1 2 4 1 8 9    
και την εξίσωση 3 1x y   , καθώς για 1x  και 4y  έχουμε 3 1 4 3 4 1      .
Επομένως λέμε ότι το ζεύγος    , 1,4x y  είναι λύση του παραπάνω συστήματος.

9. Τι μπορεί να προκύψει από την επίλυση ενός
γραμμικού συστήματος 2x2;
Λύνοντας ένα γραμμικό σύστημα 2x2, αναμένουμε
ως αποτέλεσμα, μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:
 Το σύστημα να έχει μοναδική λύση.
 Το σύστημα να είναι αδύνατο.
 Το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων

10. Ποια είναι η σχετική θέση των αντίστοιχων
ευθειών;
 Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, τότε οι αντίστοιχες
ευθείες τέμνονται.
 Αν το σύστημα είναι αδύνατο, δηλαδή δεν έχει καμιά
λύση, τότε οι αντίστοιχες ευθείες είναι παράλληλες.
 Αν το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων, τότε οι
αντίστοιχες ευθείες συμπίπτουν (ή ταυτίζονται όπως λέμε).
Σε αυτή την περίπτωση, καθεμιά από αυτές τις λύσεις
αντιστοιχεί σε ένα σημείο της μοναδικής τελικά ευθείας, στην
οποία αντιστοιχούν και οι δυο εξισώσεις.

11. Μέθοδοι επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος (2x2)
 Μέθοδος της αντικατάστασης
 Λύνουμε τη μια εξίσωση ως προς τον ένα άγνωστο (προτιμούμε για να μην
δημιουργήσουμε κλάσματα και δυσκολευτούμε στις πράξεις, να επιλέξουμε κάποιον
άγνωστο από τις δυο εξισώσεις που να έχει συντελεστή τη μονάδα), οπότε το σύστημα
2 9
3 1
x y
x y
 

  
αν επιλέξουμε να λύσουμε την 1η εξίσωση ως προς x , γίνεται
ισοδύναμα ως εξής:
2 9
3 1
x y
x y
  

  
 Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση όπου x το ίσον του, οπότε προκύπτει η εξίσωση
 3 2 9 1y y     την οποία και λύνουμε, οπότε έχουμε
6 27 1 27 1 6 7 28 4y y y y y y            
 Αντικαθιστούμε όπου y τον αριθμό 4 σε μια από τις εξισώσεις (σε όποια θέλουμε,
βολεύει βέβαια η εξίσωση 2 9x y   ) και έτσι υπολογίζουμε και τον άλλο άγνωστο:
2 4 9 8 9 1x         .
Επομένως το σύστημα έχει λύση το ζεύγος    , 1,4x y  .

12.  Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών
 Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δυο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι
συντελεστές του ενός αγνώστου (διαλέγουμε όποιον εμείς θέλουμε), στις εξισώσεις που
θα προκύψουν, να είναι αντίθετοι:
π.χ. διαλέγουμε να δημιουργήσουμε αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y , οπότε
πολλαπλασιάζοντας την 1η εξίσωση επί -3 και την 2η εξίσωση επί 1, έχουμε:
 2 9 3
3 1 1
x y
x y
    

   
οπότε προκύπτει το ισοδύναμο σύστημα
3 6 27
3 1
x y
x y
   

    
 Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που προέκυψαν, οπότε προκύπτει η εξίσωση
3 6 3 27 1x y x y       δηλαδή η εξίσωση 6 27 1y y     που είναι εξίσωση με
έναν άγνωστο, λύνοντας την οποία έχουμε 7 28 4y y     .
 Αντικαθιστώντας όπου y τον αριθμό 4 σε μια από τις αρχικές εξισώσεις (όποια
θέλουμε) π.χ. στην εξίσωση 2 9x y  έχουμε 2 4 9 8 9 9 8 1x x x          .
Επομένως όπως και προηγουμένως βρίσκουμε ότι το σύστημα έχει λύση το ζεύγος
   , 1,4x y  .

13. Επίλυση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο
αγνώστους (2x2) με τη μέθοδο των οριζουσών
Η ορίζουσα

 

 ισούται με  
Αν έχουμε το γραμμικό σύστημα
x y
x y
  
  
 

   
τότε η παράσταση D   

   
  
λέγεται ορίζουσα του συστήματος
Η ορίζουσα που προκύπτει από την D , αν στη θέση των συντελεστών του x
βάλουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζεται με xD και είναι ίση με
xD   

   
  
Αντιστοίχως η ορίζουσα που προκύπτει από την D , αν στη θέση των
συντελεστών του y βάλουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζεται με yD και
είναι ίση με yD   

   
   .

14. Μελέτη περιπτώσεων δοθείσας της ορίζουσας D ενός
γραμμικού συστήματος 2x2
Συνοπτικά το γραμμικό σύστημα
x y
x y
  
  
 

   
 Αν 0D  , έχει μοναδική λύση, την  ,x y όπου
xD
x
D
 και
yD
y
D

 Αν 0D  , είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

15. Παραδείγματα επίλυσης γραμμικού συστήματος 2x2 με ορίζουσες
1) Να λύσετε με τη μέθοδο των οριζουσών, το σύστημα
2 3 5
5 2 16
x y
x y
 

  
Λύση: Η ορίζουσα του συστήματος είναι
2 ( 2) 3 5 4 15 19 0D

           
 
οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση.
Επιπλέον έχουμε
5 3
5 ( 2) 3 ( 16) 10 48 38
16 2
xD
 
          
 
2 ( 16) 5 5 32 25 57yD

          

επομένως έχουμε
38 57
2 , 3
19 19
yx
DD
x y
D D

        
 
άρα η μοναδική λύση του συστήματος είναι το ζεύγος  , ( 2,3)x y   .

16. 2) Να λύσετε με τη μέθοδο των οριζουσών, το σύστημα
4 2 12
2 4
x y
x y
 

 
Λύση: Η ορίζουσα του συστήματος είναι
4 ( 1) 2 ( 2) 4 4 0D
 
          

οπότε το σύστημα θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Παρατηρούμε
όμως ότι αν πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση με το 2, ενώ αφήσουμε την
πρώτη όπως έχει, τότε το σύστημα γίνεται ισοδύναμα ως εξής:
4 2 12
4 2 8
x y
x y
 

 
το οποίο είναι αδύνατο, άρα το σύστημα δεν έχει καμμιά λύση.

17. 3) Να λύσετε με τη μέθοδο των οριζουσών, το σύστημα
2 1
6 3 3
x y
x y
 

 
Λύση: Η ορίζουσα του συστήματος είναι
2 ( 3) 6 ( 1) 6 6 0D

          

οπότε το σύστημα θα είναι ή αδύνατο ή θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Παρατηρούμε
όμως ότι αν πολλαπλασιάσουμε τη πρώτη εξίσωση με το 3, ενώ αφήσουμε τη
δεύτερη όπως έχει, τότε το σύστημα γίνεται ισοδύναμα ως εξής:
6 3 3
6 3 3
x y
x y
 

 
, οπότε το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων.
Για να τις βρούμε, παίρνουμε όποια εξίσωση θέλουμε από τις δυο του αρχικού
συστήματος, π.χ. την 2 1x y  και τη λύνουμε ως προς y , oπότε προκύπτει
2 1y x  .
Επομένως οι λύσεις του συστήματος είναι της μορφής  ,2 1   , με  R.

18. Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος 2x2
Παράδειγμα
Έστω ότι έχουμε να λύσουμε το σύστημα:
Αντί να χρησιμοποιήσουμε κάποια από τις
αλγεβρικές μεθόδους που προαναφέρθηκαν ,
μπορούμε να λύσουμε το σύστημα γραφικά,
δηλαδή σχεδιάζοντας τις ευθείες στις οποίες
αντιστοιχούν οι δυο εξισώσεις.
Σχεδιάζοντάς τες, βλέπουμε ότι τέμνονται
στο σημείο Α(-1 , 2). Αυτό σημαίνει ότι το
παραπάνω σύστημα έχει μοναδική λύση το
ζεύγος (x , y) = (-1 , 2)
2 4
3 1
x y
x y
  

  