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Cesgranrio petrobras final

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PROVA MATEMÁTICA CESGRANRIO PETROBRÁS TECNICO DE OPERAÇÕES JUNIOR

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Cesgranrio petrobras final

  1. 1. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 Olá pessoal, tudo bem? Deixo abaixo a resolução das questões de Matemática da prova da PETROBRÁS: CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Os conjuntos P e Q têm p e q elementos, respectivamente, com p + q = 13. Sabendo-se que a razão entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, quanto vale o produto pq? (A) 16 (B) 32 (C) 36 (D) 42 (E) 46 RESOLUÇÃO: O número de subconjuntos de um conjunto é igual a 2n, onde n é o número de elementos. Um conjunto com p elementos tem 2p subconjuntos, e um conjunto com q elementos tem 2q subconjuntos. Como a razão entre os subconjuntos é 32: 2 2 = 32 2p-q = 25 Da equação acima, vemos que: p – q = 5 Sabemos ainda que p + q = 13. Somando as duas equações, “cancelamos” a variável q, ficando: 2p = 18 p = 9 p + q = 13 9 + q = 13 q = 4
  2. 2. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 O produto p.q é 9.4 = 36. Resposta: C CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Qual o maior valor de k na equação log(kx) = 2log(x+3) para que ela tenha exatamente uma raiz? (A) 0 (B) 3 (C) 6 (D) 9 (E) 12 RESOLUÇÃO: log(kx) = 2log(x+3) log(kx) = log(x+3)2 kx = (x+3)2 kx = x2 + 6x +9 x2 + (6-k)x + 9 = 0 Para ter apenas uma raiz, o delta deve ser zero: (6 – k)2 – 4.1.9 = 0 (6 – k)2 – 36 = 0 36 – 12k + k2 – 36 = 0 – 12k + k2 = 0 k.(k – 12) = 0 k = 0 ou k – 12 = 0  k = 12 O maior valor de k é 12. Resposta: E CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Quantos valores reais de x fazem com que a expressão (x2 - 5x + 5)x2+4x-60 assuma valor numérico igual a 1? (A) 2
  3. 3. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 RESOLUÇÃO: Para esta expressão assumir o valor 1, temos 3 possibilidades:  a equação do expoente assumir valor ZERO;  a equação da base assumir valor UM;  a equação da base assumir o valor -1 e o expoente ser um valor par. Começando pelo primeiro caso. x2 + 4x – 60 = 0 delta = 42 – 4.1.(-60) = 16 + 240 = 256 raiz de delta = √256 = 16 Os valores possíveis para x são: 𝑥 = −4 ± 16 2.1 = −2 ± 8 x = 6 ou x = -10 No segundo caso: x2 - 5x + 5 = 1 x2 - 5x + 4 = 0 delta = (-5)2 – 4.1.4 delta = 25 – 16 = 9 raiz de delta = 3 Os valores possíveis para x são: 𝑥 = −(−5) ± 3 2.1 = 5 ± 3 2
  4. 4. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 Assim, x = 4 ou x = 1 No terceiro caso: x2 - 5x + 5 = -1 x2 - 5x + 6 = 0 delta = (-5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 raiz de delta = 1 Os valores possíveis de x são: 𝑥 = −(−5) ± 1 2.1 = 5 ± 1 2 Assim, x = 3 ou x = 2 Vejamos se o expoente será um valor par em algum desses casos: x = 3: x2 + 4x – 60 = 32 + 4.3 – 60 = -27 x = 2: x2 + 4x – 60 = 22 + 4.2 – 60 = -48 Neste caso teremos a expressão igual a 1, pois: (−1) = 1 (−1) = 1 1 = 1 Logo, existem 5 valores de x que tornam a expressão igual a 1. Resposta: D
  5. 5. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Uma loja de departamento colocou 11 calças distintas em uma prateleira de promoção, sendo 3 calças de R$ 50,00, 4 calças de R$ 100,00 e 4 calças de R$ 200,00. Um freguês vai comprar exatamente três dessas calças gastando, no máximo, R$ 400,00. De quantos modos diferentes ele pode efetuar a compra? (A) 46 (B) 96 (C) 110 (D) 119 (E) 165 RESOLUÇÃO: Veja que é possível juntar 3 das 7 calças mais baratas (de 50 ou 100 reais) e o valor final será inferior a 400 reais. Portanto, só aqui temos: C(7,3) = = 7𝑥5 = 35 combinações Além disso, podemos juntar 2 das 7 calças mais baratas e 1 das 4 calças mais caras (de 200 reais): C(7,2) x 4 = 21 x 4 = 84 O total de formas de realizar a compra é de 35 + 84 = 119. Resposta: D CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por    4 3 81 2 3 n n n S x . Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica? (A) 1 (B) 3 (C) 27 (D) 39 (E) 40 RESOLUÇÃO: O quarto termo é exatamente a diferença entre a soma dos 4 primeiros e a soma dos 3 primeiros. Isto é,
  6. 6. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 4º termo = S4 – S3 Calculando as somas: 𝑆4 = 3 − 81 2𝑥3 = 3 . 3 − 3 2𝑥3 = 3 − 1 2 = 81 − 1 2 = 40 𝑆3 = 3 − 81 2𝑥3 = 3 . 3 − 3 2𝑥3 = 3 − 3 2 = 81 − 3 2 = 39 Assim, 4º termo = S4 – S3 = 40 – 39 = 1 Resposta: A CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Na matriz 2 2 2 1 1 1 A m n p m n p          , m, n e p são números inteiros ímpares consecutivos tais que m < n < p. O valor de det A+ det A + 4 det A é (A) 2 (B) 8 (C) 16 (D) 20 (E) 22 RESOLUÇÃO: Calculando o determinante: detA = 1.n.p2 + 1.m.n2 + 1.p.m2 – 1.n.m2 – 1.m.p2 – 1.p.n2 Como m, n e p são números inteiros ímpares consecutivos, nesta ordem, podemos dizer que: m = n – 2 p = n + 2 Logo, m2 = n2 – 4n + 4
  7. 7. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 p2 = n2 + 4n + 4 Substituindo na equação anterior, detA = 1.n.( n2 + 4n + 4) + 1.(n-2).n2 + 1.(n+2).( n2 – 4n + 4) – 1.n.( n2 – 4n + 4) – 1. (n-2).( n2 + 4n + 4) – 1.(n+2).n2 detA = n.( n2 + 4n + 4) + n3 - 2n2 + n.( n2 – 4n + 4) + 2(n2 – 4n + 4) – n.( n2 – 4n + 4) – n.( n2 + 4n + 4) + 2.(n2 + 4n + 4) – n3 - 2n2 detA = - 2n2 + 2(n2 – 4n + 4) + 2.(n2 + 4n + 4) - 2n2 detA = - 2n2 + 2n2 – 8n + 8 + 2n2 + 8n + 8 - 2n2 detA = 8 + 8 detA = 16 Logo, det A+ det A + 4 det A = 16 + √16 + √16 = 16 + 4 + 2 = 22 Resposta: E CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera que tangencia a base do cilindro e as geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base um círculo de raio 7 cm e a mesma altura que mede 24 cm.
  8. 8. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone? (A) 800 π (B) 784 π (C) 748 π (D) 684 π (E) 648 π RESOLUÇÃO: Veja a figura abaixo, na qual marquei alguns pontos: Veja que: - F é o centro da esfera. - A é o ponto de contato da esfera com a geratriz do cone (BG). O ângulo formado é de 90 graus, uma vez que a esfera tangencia o cone. - E é o ponto de contato da esfera com a lateral do cilindro (DG). O ângulo formado é também de 90 graus, uma vez que a esfera tangencia o cilindro. - C é o ponto de contato da esfera com a base do cilindro, também formando ângulo de 90 graus. Sendo R o raio da esfera, podemos dizer que todos os segmentos abaixo medem R:
  9. 9. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 AF, CF, EF, DE, CD Como o raio da base do cilindro é 7, o segmento BD mede 7. Veja que: BD = BC + CD 7 = BC + R BC = 7 – R Como os segmentos BC e AB tangenciam a circunferência e partem do mesmo ponto (B), eles tem o mesmo tamanho. Isto é, AB = 7 – R. Veja que temos um triângulo retângulo BDG, no qual um cateto é BD = 7, e o outro é DG = 24 (altura do cilindro). Podemos obter a hipotenusa BG pelo teorema de Pitágoras: BG2 = 72 + 242 BG2 = 49 + 576 BG2 = 625 BG = 25 Note ainda que: BG = AB + AG 25 = 7 – R + AG AG = 18 + R Perceba que AG e EG são segmentos que tangenciam a circunferência e partem do mesmo ponto (G). Eles tem o mesmo tamanho, ou seja, EG = 18 + R. Para fechar, note que: DG = DE + EG 24 = R + (18 + R) 6 = 2R R = 3 Portanto, o raio da esfera é 3cm. Temos o seguinte:
  10. 10. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 Volume da esfera = . 𝜋. 𝑅 = . 𝜋. 3 = 4. 𝜋. 3 = 36𝜋 Volume do cilindro = (𝜋. 7 ). 24 = 1176𝜋 Volume do cone = ( 𝜋. 7 ). = 392𝜋 Assim, o volume região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone é: Volume do cilindro – volume do cone – volume da esfera = 1176 π - 392 π - 36 π = 748 π Resposta: C CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Um arame de extremidades C e D e 8 cm de comprimento é dobrado de modo a formar um triângulo equilátero ABC mantendo os pontos B, C e D alinhados, conforme a Figura a seguir. Qual a distância, em centímetros, entre os pontos A e D? (A) √3 (B) 2√3 (C) 4√3 (D) 2 (E) 4 RESOLUÇÃO: Veja que o arame de 8cm foi dividido em 4 partes iguais, cada uma com 2cm. Ou seja, AB = AC = BC = CD = 2cm. Como o triângulo é equilátero, seus Ângulos internos são iguais a 60 graus. Ou seja, o ângulo ACB mede 60 graus. Assim, o ângulo ACD, que é o seu suplemento, mede 180 – 60 = 120 graus. Imagine o triângulo ACD. Podemos usar a lei dos cossenos para escrever que: AD2 = AC2 + CD2 – 2xACxCDxcos(120º) AD2 = 22 + 22 – 2x2x2x(-1/2)
  11. 11. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 AD2 = 4 + 4 + 4 AD2 = 3x4 AD = 2√3 Resposta: B CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Qual a equação reduzida da reta que contém a altura relativa ao lado BC do triângulo ABC, onde A, B e C são os pontos (3, 4), (1, 1) e (6, 0), respectivamente? (A) y = 5x – 11 (B) y = 6x – 11 (C) y = – 5x + 11 (D) y = – 6x – 11 (E) y = 5x + 11 RESOLUÇÃO: A altura relativa ao lado BC é o segmento perpendicular à reta BC que passa pelo ponto A. A reta BC passa pelos pontos (1,1) e (6,0), ou seja: y = ax + b 1 = a.1 + b b = 1 – a y = ax + b 0 = a.6 + b b = -a.6 Logo, 1 – a = -a.6 5a = -1 a = -1/5 Este é o coeficiente angular da reta BC. O coeficiente angular de uma reta perpendicular a ela é o oposto do seu inverso, isto é, 5. Logo, a reta da altura é do tipo: y = 5.x + b
  12. 12. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 Lembrando que esta reta passa pelo ponto A, onde x = 3 e y = 4, temos: 4 = 5.3 + b b = -11 Logo, a reta onde passa a altura é: y = 5x – 11 Resposta: A CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Um feirante sabe que consegue vender seus produtos a preços mais caros, conforme o horário da feira, mas, na última hora, ele deve vender suas frutas pela metade do preço inicial. Inicialmente, ele vende o lote de uma fruta a R$ 10,00. Passado algum tempo, aumenta em 25% o preço das frutas. Passado mais algum tempo, o novo preço sofreu um aumento de 20%. Na última hora da feira, o lote da fruta custa R$ 5,00. O desconto, em reais, que ele deve dar sobre o preço mais alto para atingir o preço da última hora da feira deve ser de (A) 12,50 (B) 10,00 (C) 7,50 (D) 5,00 (E) 2,50 RESOLUÇÃO: Com o aumento de 25%, chegamos a: P = 10 x (1 + 25%) = 10 x 1,25 = 12,50 reais Com o aumento de 20%, temos: P = 12,50 x (1+20%) = 12,50 x 1,20 = 15 reais Como o preço final foi de 5 reais, o desconto dado é de 15 – 5 = 10 reais. Resposta: B
  13. 13. PETROBRÁS PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 Fim de prova. Abraço!

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