Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Kuliah 01

2,641 views

Published on

  • Be the first to comment

Kuliah 01

  1. 1. Metode Numerik (2 SKS) Kuliah pertama Oleh : Edi Supriadi3/18/2013 1
  2. 2. Deskripsi Mata Kuliah• Mata kuliah ini membahas tentang sistem bilangan, jenis-jenis kesalahan, kesalahan absolut dan relatif,akar-akar persamaan tak linear, menentukan akar-akar SPL, analisa interpolasi, integrasi numerik dan persamaan diferensial biasa serta persamaan diferensial parsial. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 2
  3. 3. Literatur : 1. Sahid dan fauzan. 2000. Metode Numerik. Yogyakarta : FMIPA UNY. 2.Wahyudin. 1987. Metode Analisis Numerik. Bandung. Tarsito. 3.I Nyoman Susila. 1993, Dasar-dasar Metode Numerik. Jakarta : Erlangga. 3/18/2013 3 Metode Numerik_Edi Supriadi
  4. 4. KRITERIA PENILAIAN1 Kehadiran dan keaktifan dikelas 10 %2.Kuis dan Tugas 15 %3.Ujian Tengah Semester 25 %4.Ujian Akhir Semester 50 % Jumlah 100 % 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 4
  5. 5. Metode Numerik (MN)• MN Adalah suatu metode untuk menyelesaikan masalah. Masalah yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (aritmetik)• MN Sanggup menangani system persamaan yang besar, tidak linier serta geometri rumit yang sering kali tidak memungkinkan dipecahkan secara analitis atau rumus pada kalkulus.• Dalam metode numeric dilakukan operasi hitungan dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang- ulang.• Terkadang Untuk memudahkan, Di perlukan bantuan computer untuk melaksanakan operasi hitungan tersebut. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 5
  6. 6. Materi Kuliah1. Sistem bilangan2. Jenis-jenis kesalahan3. Kesalahan absolut dan relatif4. Sistem persamaan non linier – Metode bagi dua – Metode posisi palsu/salah – Metode iterasi dan secant – Metode Newton-Rapshon5. Sistem Persamaan Linear - Metode Eliminasi Gauss - Iterasi Jacobi - Iterasi Gauss-Seidel 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 6
  7. 7. Materi Kuliah 6. Interpolasi - Interpolasi Linier - Interpolasi kuadrat - Interpolasi beda terbagi Newton - Interpolasi Polinomial Lagrange = Interpolasi Spline 7. Fungsi tak diketahui secara numerik - Selisih maju dua titik - Selisih mundur dua titik - Selisih pusat - Ekstrapolasi 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 7
  8. 8. Materi Kuliah8. Integrasi Numerik - Metode Trapesium - Metode Simpson - Integrasi Romberg - Integrasi Quadrature-Gauss9. Persamaan Diferensial secara Numerik - Metode Euler - Metode Runge Kutta orde 2 dan 4 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 8
  9. 9. Sistem BilanganTujuan Belajar: •Memahami jenis-jenis sistem bilangan yang dikenal sistem komputer. •Memahami cara melakukan konversi antar sistem bilangan. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 9
  10. 10. Definisi• Sistem Bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik.• Sistem bilangan yang banyak digunakan manusia adalah desimal, yaitu sistem bilangan yang menggunakan 10 macam simbol untuk mewakili suatu besaran.• Logika komputer diwakili oleh 2 elemen 2 keadaan (twostate elements), yaitu : keadaan off (tidak ada arus) dan keadaan on (ada arus), yang disebut sistem bilangan binary 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 10
  11. 11. Jenis-jenis Sistem BilanganSistem bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base atau disebut juga radix) yang tertentu.Suatu sistem bilangan, senantiasa mempunyai Base (radix), absolute digit dan positional (place) value.Basis yang dipergunakan dimasing-masing sistem bilangan tergantung dari jumlah nilai bilangan yang dipergunakan. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 11
  12. 12. Jenis sistem bilangan• Sistem Bilangan Desimal (Decimal Numbering System) dengan basis 10, menggunakan 10 macam simbol bilangan.• Sistem Bilangan Biner (Binary Numbering System) dengan basis 2, menggunakan 2 macam simbol bilangan• Sistem Bilangan Octal (Octenary Numbering System), dengan basis 8, menggunakan 8 macam simbol bilangan• Sistem Bilangan Hexadesimal (Hexadenary Numbering System) dg basis 16, menggunakan 16 macam simbol bilangan 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 12
  13. 13. Konversi Bilangan• Setiap angka pada suatu sistem bilangan dapat dikonversikan (disamakan/diubah) ke dalam sistem bilangan yang lain. Di bawah ini dibuat konversi (persamaan) dari 4 sistem bil. yang akan dipelajari : 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 13
  14. 14. SISTEM BILANGAN DESIMAL• Menggunakan 10 macam simbol bilangan berbentuk 10 digit angka, yaitu : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9.• Dapat berbentuk integer desimal (decimal integer atau pecahan desimal (decimal fraction)• Contoh : nilai 8598 adalah integer desimal (bilangan bulat),yangdapat diartikan : 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 14
  15. 15. • Absolute value merupakan nilai mutlak dari masing2 digit bilangan.• Position value (nilai posisi) merupakan penimbang atau bobot dari masing2 digit tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis dipangkatkan dengan urutan Posisinya. Sehingga nilai 8598 dapat juga diartikan sebagai : (8x1000) + (5 x 100) + (9 x 10)+ (8 x 1) 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 15
  16. 16. Sistem bilangan Binari• Menggunakan 2 macam simbol bilangan berbentuk 2 digit angka, yaitu 0 dan 1.• Binari menggunakan basis 2.• Contoh : 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 16
  17. 17. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 17
  18. 18. Sistem Bilangan Oktal• Menggunakan 8 macam simbo bilangan, yaitu : 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, dan 7.• Menggunakan basis 8.• Position value sistem bilangan oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 18
  19. 19. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 19
  20. 20. SISTEM BILANGAN HEXADISIMAL• Menggunakan 16 macam simbol, yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F.• Menggunakan basis 16.• Digunakan terutama pada komputer2 mini, misalnya :IBM System 360, Data General’s Nova, PDP-11 DEC, Honeywell, dan beberapa komputer mini lainnya. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 20
  21. 21. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 21
  22. 22. KONVERSI BILANGANdari DESIMAL ke BINARI, OKTAL danHEXA• Metode yang paling banyak digunakan adalah metode sisa (remainder method), dimana bilangan desimal yang akan dikonversi di bagi dengan basis bilangan konversi kemudian diambil sisanya sampai tidak dapat dibagi lagi.Desimal ke BinaryContoh :Bilangan desimal 45 akan dikonversi ke Binary, makahasilnya : 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 22
  23. 23. Contoh 2 Konversi bilangan bulat desimal ke biner dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 2. Sisa setiap pembagian merupakan bit yang didapat Contoh: Konversi 625des ke biner 625 / 2 = 312 sisa 1 312 / 2 = 156 0 156 / 2 = 78 0 78 / 2 = 39 0 39 / 2 = 19 1 19 / 2 = 9 1 9/2 =4 1 4/2 =2 0 2/2 =1 0 1/2 =0 1 Jadi 625des = 1001110001bin 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 23
  24. 24. Konversi Bilangan Pecahan Desimal Ke Biner Caranya : Kalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 2. Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 2. Langkah ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan bit yang didapat Contoh: Konversi 0,75 des ke Biner 0,75 X 2 = 1,50 sisa 1 0,50 X 2 = 1,00 1 0X2 = 0,00 0 Jadi 0,75des = 0,110bin 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 24
  25. 25. Konversi bilangan desimal ke oktal Contoh Bilangan Bulat : 625des = 1161okt 625 / 8 = 78 sisa 1 78 / 8 = 9 6 9/8 =1 1 1/8 =0 1 Contoh Bilangan Pecahan : 0,1des = 0,063….okt 0,1 X 8 = 0,8 sisa 0 0,8 X 8 = 6,4 6 0,4 X 8 = 3,2 3 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 25
  26. 26. Konversi Bilangan Bulat Desimal ke HeksadesimalKonversi bilangan bulat desimal keheksadesimal dilakukan dengan membagi secaraberulang-ulang suatu bilangan desimal dengan16. Sisa setiap pembagian merupakan digitheksadesimal yang didapat.Contoh: Konversi 625des ke Heksadesimal625 / 16 = 39 sisa 139 / 16 = 2 72 / 16 =0 2Jadi 625des = 271heks 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 26
  27. 27. Konversi Bilangan Pecahan Desimal ke Heksadesimal Konversi bilangan pecahan desimal ke heksadesimal dilakukan dengan cara mengalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 16. Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 16. Langkah ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan digit yang didapat. Contoh: 0,75des = 0,Cheks 0,75 X 16 = C Contoh: 0,1des = 0,19 ...... heks 0,10 X 16 = 1,6 sisa 1 0,60 X 16 = 9,6 9 dst…. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 27
  28. 28. Konversi Bilangan Biner Ke DesimalContoh Bilangan Bulat: 1010011 =1 X 26 + 0 X 25 + 1 X 24 + 0 X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20 = 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 83desContoh Bilangan Pecahan: 110,01 = 1 X 22 + 1 X 21 + 0 X 20 + 0 X 2-1 + 1 X 2-2 = 4 + 2 + 0 + 0 + 0,25 = 6,25des 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 28
  29. 29. Konversi Bilangan Oktal ke DesimalContoh bilangan bulat:1161okt = 625des1161okt Berarti : = 1 X 83 + 1 X 8 2 + 6 X 8 1 + 1 X 80 = 512+64+48+1 = 625desContoh bilangan pecahan:13,6okt = 11,75des13,6okt Berarti : = 1 X 81 + 3 X 80 + 6 X 8-1 = 8 + 3 + 0,75 = 11,75des3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 29
  30. 30. Konversi Bilangan Heksadesimal ke Desimal 271heks = 625des 271heks = 2 X 162 + 7 X 161 + 1 X 160 = 512 + 112 + 1 = 625des 0,Cheks = 0,75des 0,C heks = 0 X 160 + 12 X 16-1 = 0 + 0,75 = 0,75des 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 30
  31. 31. Assignment1. Konversikan bilangan heksadesimal berikut ke desimal : 1. A7F 2. 38C,B92. Konversikan bilangan Biner berikut ke desimal : 1. 11010 2. 1010,10113. Konversikan bilangan oktal berikut ke desimal : 1. 465 2. 31,64. Konversikan bilangan desimal berikut ke biner, oktal dan heksadesimal: 1. 8217 2. 0,24 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 31
  32. 32. Angka penting/ Nilai signifikan Nilai signifikan suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak.• Terdiri dari digit 1,2 3,4,5,6,7,8,9 dan 0• Untuk 0 tidak termasuk angka signifikan jika digunakan untuk menentukan titik desimal atau untuk mengisi t empat2 dari digit yang tidak diketahui/dibuang. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 32
  33. 33. Perhatikan nilai pada penggaris Dengan nilai signifikan= 1, maka nilai adalah53 atau 54 Dengan nilai signifikan= 0,1, maka nilai adalah 53 atau53,5 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 33
  34. 34. • Konsep angka signifikan  keandalan sebuah nilai numerik• Banyak angka signifikan  banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan• Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran• Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan,• 0,000123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)• 0,00123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)• 12.300  5 angka signifikan•• 1,23 x 104  mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah)• 1,230 x 104  mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)• 1,2300 x 104  mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah) 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 34
  35. 35. AKURASI DaN PRESISINilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yangdigunakan Dan sebaran bacaan berulang pada alat ukurPemakaian alat ukur penggaris dan jangka sorong akanmempunyai Perbedaan nilai presisi. Pemakaian jangkasorong mempunyai Presisi yang lebih tinggi.Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilaipendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nilaieksak. Misalkan nilai eksak diketahui ½,sedangkan hasil pendekatan Adalah 0.500001 maka hasil ini dikatakan akurat bila torelansinya=10E-4. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 35
  36. 36. AKURASI DAN PRESISI (a) Menunjukkan hasil yang akurat dan presisi. (b)Menunjukkan hasil yang presisi tetapi tidak akurat. (c)Menunjukkan hasil yang sebenarnya akurat tetapi tidak presisi. (d)Menunjukkan hasil yang tidak akurat dan tidak3/18/2013 presisi Metode Numerik_Edi Supriadi 36
  37. 37. ATURAN PEMBULATAN1. Jika bilangan yang dibuang kurang dari ½satuan dari tempatyang ke–n, maka angka yang ke-n tetap tidak dirubah2. Jika bilangan yang dibuang lebih dari ½satuan dari tempatyang ke–n, maka angka yang ke-n ditambah dengan 13. Jika bilangan yang dibuang tepat ½ satuan dalam tempat yangke-n, maka angka yang ke-n tidak dirubah, jika angka yang ke-nadalah genap atau angka yang ke-n ditambah dengan 1 (satu) jikaangka yang ke-n gasal, dengan kata lain perkataan membulatkansedemikian hingga angka yang ke-n adalah genap. Jika suatu bilangan sudah dibulatkan menurut aturan diatas bilangan itu dikatakan betul (correct) sampai n angka yang berarti 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 37
  38. 38. GALAT (KESALAHAN)• Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis.• Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak• Ada 3 macam kesalahan dasar; 1. Galat bawaan (inheren) 2.Galat pemotongan 3.Galat pembulatan 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 38
  39. 39. Galat bawaan (Inheren)• Galat dalam nilai data• Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.• Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa prosedur numerik.Contoh :Pengukuran selang waktu 2,3 detik : Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 39
  40. 40. Galat Pemotongan (Truncation Error) • Berhubungan dg cara pelaksanaan prosedur numerik • Contoh pada deret Taylor tak berhingga : x3 x5 x7 x9 sin x x ........ 3! 5! 7! 9! • Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian • Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga • Kita berhenti pada suku tertentu misal x9 • Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat • Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting # bisa juga timbul karena pemotongan angka signifikan 3/18/2013 40 Metode Numerik_Edi Supriadi
  41. 41. Galat Pembulatan• Akibat pembulatan angka• Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka :• Penjumlahan 9,2654 + 7,1625 hasilnya 16,4279 Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi 16,428 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 41
  42. 42. Galat Relatif dan Absolut• Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui) dgn suatu pendekatan pada nilai sebenarnya.• Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai perkiraan dan kesalahan diberikan dalam bentuk : x x e dimana : x = nilai eksak x = pendekatan pd nilai sebenarnya e = kesalahan /error 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 42 42
  43. 43. e kesalahan absolut e x xKesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkatkesalahan.Contoh :Kesalahan 1 cm pd. pengukuran pensil akan sangat terasa dibandingdengan kesalahan yg sama pd pengukuran panjang jembatan.Kesalahan relatif kesalahan absolut dibagi nilai pendekatan galat absolut dibagi nilai sebenarnya e e x 100 % x•Nilai eksak bila diselesaikan secara analitis•Metode numerik nilai eksak tidak diketahui•Kesalahan diberikan (berdasar pd nilai terbaik dari nilai eksak) 3/18/2013 43 43 Metode Numerik_Edi Supriadi
  44. 44. a x 100 % x• x nilai perkiraan terbaik Dalam metode numerik pendekatan iteratif• Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan sebelumnya, sehingga : n 1 n x x a n 1 x 100 % x• dimana : n• x = nilai perkiraan pada iterasi ke n n 1• x = nilai perkiraan pada iterasi ke n+1 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 44 44
  45. 45. Contoh : Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yg benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm. Hitung kesalahan absolut dan relatif! Solusi : a. Kesalahan absolut Jembatan : e x x = 10.000 – 9999 = 1 cm Pensil : = 10 – 9 = 1 cm b. Kesalahan relatif e 1 Jembatan : e x 100 % X 100 % 0.01 % x 10000 e 1 Pensil ; e x 100 % X 100 % 10 % x 10 Kedua kesalahan sama yaitu 1 cm tetapi kesalahan relatif pensil adalah jauh lebih besar 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 45 45
  46. 46. Deret Taylor • Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial. • Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi • Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut. • Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yg terletak pada jarak x dari titik xi. x x2 x3 xnf (x i 1 ) f (x i ) f (x i ) f " (x i ) f " (x i ) ..... fn( x i ) Rn 1! 2! 3! n! dimana : f ( x i ) = fungsi di titik x f ( x i 1 ) = fungsi di titik x i+1 f , f " , .....f n = turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsi 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 46 46
  47. 47. • x = jarak antara xi dan xi + 1• Rn = kesalahan pemotongan• ! = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2Kesalahan pemotongan Rn : n 1 xn 1 n 2 xn 2 Rn f (x i ) f (x i ) ..... (n 1)! (n 2)!1. Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama) f (x i 1 ) f (x i )Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan2. Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama) x f (x i 1 ) f (x i ) f (x i ) 1! Berupa garis lurus ( naik/turun ) 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 47 47
  48. 48. 3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama) x x2 f (x i 1 ) f (x i ) f (x i ) f " (x i ) 1! 2! f(x) Order 2 Order 1 y Order 0 i xi+1 x Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 48 48
  49. 49. Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor Rn O( x n 1 )Indek n deret yg diperhitungkan sampai suku ke nIndek n +1 kesalahan pemotongan mempunyai order n+1Kesalahan pemotongan akan kecil bila :1. Interval x adalah kecil2. Memperhitungkan lebih banyak suku deret TaylorPada perkiraan order 1 besar kesalahan pemotongan : x2 x3 O( x 2 ) f " (x i ) f " (x i ) ..... 2! 3! 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 49 49
  50. 50. ASSIGNMENT1. Diketahui b= 1.648721271, Bila b dinyatakan dalam 4 desimal, berapakah relatif errornya?2. π=3,14159265358…, bila π dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error relatif jika: a. dilakukan pemotongan tanpa pembulatan? b. dilakukan pemotongan dengan pembulatan? 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 50
  51. 51. TERIMA KASIH3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 51

×