Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

History

138 views

Published on

ประวัติของตรีโกณมิติ

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

History

  1. 1. ประวัติตรีโกณมิติ (History Trigonometry) ตรีโกณมิติ (Trigonometry)ไม่มีใครรู้ว่าเริ่มมีมาตั้งแต่เมื่อใด ใครเป็นผู้คิดค้นหรือเกิด จากชนชาติใด แต่มีการพบบันทึกที่อยู่ใน Rhind papyrus (กระดาษกกที่พบ ณ เมือง Rhind) ที่ เขียนไว้เกี่ยวกับ cotangent ของมุมที่ฐานของพีระมีด และพบตารางด้านทั้งสามของรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบินโลน(Plimpton 322) ในตารางเมื่อกาหนด ด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะบอกความยาวของด้านที่สาม และน่าสังเกตว่าเป็นค่า ของ secants ถ้าได้ศึกษาคณิตศาสตร์สมัยเมโสโปเตียเมียโบราณอาจพบว่า มีการใช้ตรีโกณมิติ มาตั้งแต่สมัยนั้นก็ได้ แต่จากการบันทึกข้อมูลการสังเกตดวงดาวของนักดาราศาสตร์ชาวบาบิ โลนหลัง 400 ปีก่อนคริสตกาล ชาวกรีกได้นาข้อมูลเหล่านี้มาใช้ศึกษาดาราศาสตร์ อันเป็น จุดเริ่มต้นการศึกษาตรีโกณมิติทรงกลม ฮิปปาร์ชัส (Hipparchus of Nicaea :180 – 125 BC) เป็นนักดาราศาสตร์ชาวกรีกที่มี ชื่อเสียงมากที่สุดในยุคนั้น จากบันทึกในตาราของโตเลมี ได้อ้างถึงตารางค่าคอร์ดแสดง ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของคอร์ดกับมุมที่ศูนย์กลางของวงกลมของฮิปปาร์ชัส
  2. 2. โตเลมี (Claudius Ptolemy of Alexandria : A.D. 150) นักดาราศาสตร์และนัก คณิตศาสตร์ชาวกรีกได้เขียนตาราชื่อ “Syntaxis mathematica” หรือ “Mathematical collection” โดยได้รวบรวมและเรียบเรียงความรู้ต่างๆ ไว้อย่างละเอียดและเป็นลาดับขั้นตอน ง่ายต่อการค้นคว้า และจะพบว่าผลงานของฮิปปาร์ชัสมีอิทธิพลต่อความคิดในการพัฒนา ผลงานต่างๆ ของโตเลมี ปัจจุบันสามารถศึกษาผลงานฮิปปาร์ชัสได้จากตาราชุดนี้ซึ่งเป็นภาษา อาหรับและเรียกตาราชุดนี้ว่า "อัลมาเกส" (Almagest) หมายความว่า “The Greatest” มีทั้งหมด 13 เล่ม และมีตารางค่าคอร์ด(table of chords) ทุก ๆ มุมหนึ่งองศาตั้งแต่ 0O ถึง 180O ซึ่งทาให้ ทราบค่าไซน์(sine) ตั้งแต่ 0O ถึง 90O ปรากฏอยู่ในตาราเล่มที่หนึ่ง เมเนเลาส์(Menelaus of Alexandria : ประมาณ ค.ศ. 98) นักดาราศาสตร์และนัก คณิตศาสตร์ชาวกรีกได้เขียนตาราที่เกี่ยวกับคอร์ดของวงกลมไว้หกเล่ม แม้นไม่มีหลักฐานการ คิดปรากฏอยู่ แต่ก็ทราบจากบันทึกของผู้อื่นที่กล่าวไว้ ส่วนตาราอีกชุดหนึ่งมีสามเล่มได้แปล ไว้เป็นภาษาอาหรับ ชื่อว่า สเฟียริก (Sphaerica) ในตาราชุดนี้เป็นจุดเริ่มของการพัฒนา ตรีโกณมิติจากทรงกลม เล่ม 1 กล่าวถึงคาจากัดความของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม และได้รวบรวมทฤษฎีของ รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม ในแบบเดียวกับทฤษฎีของรูปสามเหลี่ยมบนระนาบของยุคลิด เช่น ทฤษฎีเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมมากกว่า 180 องศา และการ เท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม เมื่อรูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากันสามมุม มุมต่อมุม ซึ่งรูปสามเหลี่ยมบนระนาบที่มีมุมเท่ากันสามมุมอาจไม่เท่ากันทุกประการ เป็นต้น เล่ม 2 เกี่ยวกับเรื่องดาราศาสตร์ส่วนเล่ม 3 เป็นทฤษฎีบทที่เมเนเลาส์ได้คิดขึ้นเกี่ยวกับเรขาคณิต
  3. 3. บนระนาบและบนทรงกลม และมีทฤษฎีที่สาคัญและได้รับการยกย่องคือ ทฤษฎีบทเมเนเลาส์ (Menelaus’ theorem) ซึ่งกล่าวว่า “ในรูปสามเหลี่ยม ABC บนระนาบ ลากเส้นตรงผ่านให้ตัดด้าน (หรือส่วนต่อ) BC, CA, AB ที่จุด D, E, F ตามลาดับ ดังนั้น 1                  FB AF EA CE DC BD ” http://cache.eb.com/eb/image?id=67397&rendTypeId=4 และ “รูปสามเหลี่ยม ABC บนทรงกลม ลากเส้นตรงผ่านให้ตัดส่วนโค้ง (หรือส่วนต่อ) BC, CA, AB ที่จุด L, M, N ตามลาดับ ดังนั้น 1 sin sin sin sin sin sin                   MA CM LC BL NB AN ” ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีอื่นๆ บนทรงกลม www.kcl.ac.uk/.../exhibitions/gsci/men.jpg
  4. 4. Trigonometry มาจากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด Trigonometry เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการวัดและหาความสัมพันธ์ระหว่าง ด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ในภาษาไทย “ตรีโกณมิติ” มาจากคาว่า ตรี(แปลว่า สาม)+ โกณ(อ่านว่า โกนะ แปลว่ามุมหรือเหลี่ยม)+มิติ(แปลว่า การวัด) เป็นวิชาเกี่ยวกับการวัด รูปสามเหลี่ยมต่างๆ โดยหาความสัมพันธ์ระหว่าง ด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่ง คาว่า Trigonometry เริ่มใช้ในศตวรรษที่ 17 ค่า chord หรือ cd คือความยาวของ chord ของวงกลมหนึ่งหน่วยเมื่อมีมุมที่จุด ศูนย์กลางเท่ากับ  และแบ่งรัศมีวงกลมหนึ่งหน่วยเป็นส่วนย่อยที่เท่ากัน แล้วให้ค่าของ cd เป็นจานวนเท่าของส่วนย่อยนี้ ยกตัวอย่างเช่น ถ้าแบ่งรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วยเป็น 60 ส่วน เท่ากัน แล้ว cd  60 = 60 และ cd  180 = 120 เป็นต้น ที่จริงแล้ว cd  60 = 60/60 = 1 และ cd  180 = 120/60 =2 ดังรูป จากนั้นจึงนิยามฟังก์ชัน sin จากฟังก์ชัน cd ดังนี้ 2 )2( sin   cd  แรกเริ่มนั้น Aryabhata (c. 150) เรียกฟังก์ชัน sine ว่า jya ซึ่งหมายถึงคอร์ดในภาษาฮินดี ต่อมา jya เพี้ยนเป็น jaib ในภาษาฮาหรับ จากนั้นชื่อฟังก์ชันดังกล่าวกลายมาเป็น sinus ซึ่ง เป็นคาในภาษาละตินที่มีความหมายเช่นเดียวกับ jaib ตัวย่อ sin ถูกใช้เป็นครั้งแรกใน ภาพประกอบงานเขียนของ Gunter(1620) θ θ sin θ cd (2θ) 1 1
  5. 5. เมื่อพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลมมุมหนึ่งเท่ากับ θ เราสามารถหาค่า sine ของมุมแหลมอีกมุมหนึ่งได้ ค่าดังกล่าวนี้เรียกเป็นภาษาอังกฤษว่า sine of the complementary angle (sin ของมุมประกอบหนึ่งมุมฉาก) ซึ่งเขียนอย่างสั้นได้เป็น cosine ตัวย่อ cos ถูกใช้เป็นครั้งแรกในงานเขียนของ Moore (ค.ศ.1674) แม้ในปัจจุบันฟังก์ชัน tangent มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของฟังก์ชัน sin กับฟังก์ชัน cosine แรกเริ่มนั้น tan θ คืออัตราส่วนระหว่างความสูงของวัตถุและความยาวของเงาของวัตถุ นั้น โดย θ คือมุมเงยของยอดของวัตถุเมื่อวัดจากจุดปลายของเงาของวัตถุ ชื่อ tangent ได้มา จากข้อสังเกตในงานเขียนของ Finck (ค.ศ.1583) ว่า tan θ คือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุม θ ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยด้านตรงข้ามมุม θ นี้สัมผัส (tangent) กับวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุด ศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุม θ ดังรูป นอกจากนั้นแล้ว Fincke ยังเรียกความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปว่า secant ของ θ ตัวย่อ tan และ sec ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย Girard (ค.ศ.1626) ส่วนฟังก์ชัน cotangent และ cosecant นั้นมีต้นกานิดจากฟังก์ชัน tangent และ secant ในลักษณะเดียวกับที่ฟังก์ชัน cosine มีต้นกาเนิดจากฟังก์ชัน sine cos θ = sin (90O -θ) 90O -θ θ θ sec θ tan θ 1
  6. 6. ศตวรรษที่ 17 Georg Joachim Rhaeticus นักดาราศาสตร์ชาว Teutonic เป็นผู้นิยาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนวงกลมหนึ่งหน่วยโดยขยายมุมรอบวงกลมที่ เราใช้มาจนถึงทุกวันนี้ นอกจากนั้น Brook Taylor (ค.ศ.1685–1731) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษได้นิยาม ค่าฟังก์ชันตรีโกณอยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ ดังนี้ และเรียกอนุกรมนี้ว่า “อนุกรมเทเลอร์” (Taylor’s series) ทาให้การหาค่าของตารางค่า อัตราส่วนทางตรีโกณมิติสมบูรณ์ แม่นยาจนถึงหลักทศนิยมที่ต้องการ จากที่กล่าวมาทั้งหมด จะเห็นได้ว่าข้อมูลตรีโกณมิติในอดีตส่วนใหญ่มาจากตาราของ ชาวอาหรับโบราณ ที่ได้แปลไว้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าชนชาตินี้ได้ให้ความสนใจและมีส่วนในการ พัฒนาแขนงวิชาตรีโกณมิติให้มีความก้าวหน้าและสามารถนามาประยุกต์ใช้ให้เกิดประโยชน์ ต่าง ๆ มากมายดังที่เห็นในปัจจุบัน ที่มา : สารานุกรมไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (เล่ม๑๒) และ สารานุกรมไทยสาหรับเยาวชน โดยพระราชประสงค์ในพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัว (เล่ม ๖) David Smith. History of Mathematics, Volume II. Dover, New York, 1958. http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=Trigonometry_TrigNameOrigins.xml http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions http://tu-mathmania.blogspot.com/2007/09/blog-post_5607.html

×