La armonía del Universo.
De Pitágoras a Mandelbrot
Entre maestros
Antonio Pérez Sanz
http://platea.pntic.mec.es/aperez4
ap...
PRIMER DÍA DE CLASE.
4º DE ESO. LA PREGUNTA DEL
MILLÓN
Escribe el nombre de los matemáticos famosos
que conozcas, por ejem...
Los resultados
Matemáticos conocidos
20
11
9 8
5
3 3 2 2 2 2 2 2
0
5
10
15
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25
Pitágoras
Einstein
Thales
Newton
Aristóte...
1ª Conclusión
El panorama es más que desolador. Pitágoras y
poco más constituye todo su bagaje cultural
sobre la historia ...
Pero la culpa no es suya
¿Cuántos de nosotros hemos eludido la
consideración de la experiencia acumulada en
la Historia de...
Presentación en clase
de las Matemáticas
matemáticas
ahistóricas
resultados matemáticos
terminados y cerrados
muy poco de ...
UN CURSO LLENO DE...
EXCURSIONES POR LA HISTORIA
DE LAS MATEMÁTICAS
DE PITÁGORAS A MANDELBROT
MATEMÁTICAS - HISTORIA - INV...
Propuesta didáctica 2000-2007
Investigar
Historia Visualizar
Descubrir
DIVULGACIÓN
CURRÍCULO
Juego. Belleza
Objetivos del curso
 Trabajar las actitudes.
 Proporcionar una visión distinta de las
Matemáticas.
 “Conocer” al menos ...
Los protagonistas de la
clase de Matemáticas...
 No son los radicales y los polinomios, las fracciones y
los logaritmos.....
Los alumnos han ido descubriéndolos no de
manera ajena al desarrollo de las clases,
impuestos como divertimento histórico,...
Los materiales
 Libros de divulgación de historia de las Matemáticas.
Ed. Nivola y otros
 Vídeos: Universo Matemático y ...
INVESTIGACIÓN
Investigaciones aritméticas
http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/software.htm
hojamat
Aritmética.
Sur de Italia. Siglo VI antes de Cristo
La lucha por explicar la Naturaleza bajo la luz de la
Razón.
El princi...
Para empezar bien la
aritmética …un buen día…
Siglo XVII. En un regimiento de artillería apilaban sus balas
de cañón forma...
Primos, perfectos, amigos,
poligonales...los números
 ¿Cuál es el número mínimo de naranjas con las que puedo formar o
bi...
Propuesta didáctica de
trabajo de investigación
Regularidades numéricas: Los números poligonales.
 Teoremas particulares....
Los pitagóricos
Las expresiones «números triangulares» o
«números cuadrados» no son meras
metáforas sino que esos números ...
Perspectivas
Números poligonales en la Historia
Integración de recursos visuales
Actividades de investigación
GeoGebra
Resultados algebraicos
Polig Gnomon Recurrencia Descomp. triangular
T(n) n T(n) = T(n–1) + n
C(n) 2n–1 C(n) = C(n–1) + (2n...
Los otros resultados...
Los números poligonales a través de la historia.
 Hipsicles,
 Teón,
 Nicómaco,
 Diofanto,
 Bo...
Fase 1
 Introducción de los números triangulares y
cuadrados.
 Regularidades numéricas de las sucesiones
NÚMEROS POLIGONALES
NÚMEROS POLIGONALES
 En todos los casos las series numéricas son
sumas parciales de los primeros términos de
progresiones...
 Lo que viene a demostrar, que sin ningún
apoyo algebraico, y utilizando
exclusivamente modelos geométricos, los
pitagóri...
Esta visión geométrica les permitió obtener los
primeros resultados generales sobre propiedades
de los números naturales:
...
Fase 2
 Los primeros teoremas geométricos
 Conocemos a Hipsicles,Teón de Esmirna,
Nicómaco de Gerasa y Boecio
"La suma de los n primeros números
impares es un número cuadrado"
 C1 = 1
 C2 = 1+3
 C3 = 1+3+5
 ...
 Cn = 1+3+5+...+...
"Todo número cuadrado es suma de dos
números triangulares consecutivos".
Teorema de Teón
Cn = Tn + T n-1
Hipsicles. S II a. C.
N n,d = T n + (d-3)·T n-1
N n,d = n + (d-2)·T n-1
Nicómaco. s I d. C.
"Todo número poligonal es la suma del poligonal del mismo orden
y de una dimensión inferior más el nº ...
Fase 3
 ¿Cuánto suman los n primeros cubos?
 La sorpresa de Nicómaco
Nicómaco. s I d. C.
Introducción a la Aritmética
13 = 1;
23 = 3+5;
33 = 7+9+11;
43 = 13+15+17+19
...
13+23+33+...+n3 =
=1+...
Fase 4
 La Edad Media.
 La herencia de Diofanto y Boecio.
 Los teoremas generales
Diofanto de Alejandría
( s. III d. de C)
Aparecen los números piramidales, que se obtienen
apilando en capas los sucesivos...
Diofanto de Alejandría
(s. III d. de C.)
Conjetura
«Todo número entero positivo se puede poner
como suma de a lo sumo cuat...
Boecio. Aritmética
Fase 5
 El Renacimiento.
 Bachet y su famosa edición de la Aritmetica
de Diofanto (1621)
Bachet de Meziriac. S XVII
Descomposición triangular
Todo número poligonal de tipo d es la
suma de un número triangular de...
Fórmula general
Nd, n = Tn + (d–3) T n–1
N n,d = 1/2 ·(n+1)·n + 1/2 ·(d-3)·n·(n-1)
N n,d = n + 1/2 n·(n-1)·(d-2)
2
)1()2(
...
Descubrir teoremas generales
no es tan difícil...
Números DN 1 2 3 4 5
 Triangul. 3 1 3 6 10 15
 Cuadrad. 4 1 4 9 16 25
...
Fase 6
Descartes
Progymnasmata de Solidum Elementis
 Recupera los números piramidales e hiperpiramidales
descubriendo tan...
Materiales diversos...

Pirámides cuadradas...
 PC(n)=1/6 n·(n+1)·(2n+1)





 +
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



 +

3
2n
3
1n
PC(n)
++++ 2n....232221
Pirámides triangulares...
 PT(n)=1/6 n·(n+1)·(n+2)





 +

3
2n
PT(n)
El Triángulo de Pascal
Presencia de tres tipos de números:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
te...
Modificando el triángulo
 ¿Qué pasa si cambiamos un lado de unos por doses...?
1
1 2
1 3 2
1 4 5 2
1 5 9 7 2
1 6 14 16 9 ...
Aportaciones modestas...
 Investigaciones aritméticas
Historia
A. J. Meyl demostró en 1878 que sólo hay 3
números tetragonales que sean cuadrados
 G. N.Watson demostró en 1918...
Para los inquietos
 ¿ Cuántos números hay que son a la vez
tetragonales y piramidales de base cuadrada?
Fase 7. Aritmética superior
Pierre de Fermat
Conjetura
"Todo número entero puede expresarse mediante
suma de, a lo sumo, n...
Gauss
Disquisitiones Arithmeticae
 293. Las disquisiciones precedentes también
proporcionan una demostración del famoso t...
Para hacerse famoso...
¿Existe algún número perfecto impar?
¿SI? ¿NO?
Responde, demuéstralo e...
Inscribe tu nombre en el ...
Una ayuda...
Euler demostró que si existe alguno ha de ser de
la forma
p 4q + 1 ·r 2 , con p = 4n + 1
Hoy sabemos:
 debe ...
¿cuántos primos hay menores que n?
Conjetura de Joseph Bertrand (1822-1900)
“entre n y 2n siempre hay un número primo, si ...
Ganar un millón de dólares
El reto de Golbach (1742)
“TODO NÚMERO PAR, MAYOR QUE DOS, ES
SUMA DE DOS NÚMEROS PRIMOS”
La hi...
Sucesiones y Series…
Series infinitas
S+++++ ...
15
1
10
1
6
1
3
11
1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =
=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... ...
Parecido, pero no igual
El problema de Basilea:
1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... =
“Grande será nuestra gratitud si alguien encuent...
1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... =
2/6
El genial Euler
Los trabajos de los alumnos
Centenario de Euler
Examen
Presentaciones
Las cónicas
El Renacimiento
Un nuevo modelo geométrico: las cónicas.
Las esferas dejan paso a las cónicas de Apolonio.
 L...
Propuesta didáctica: Estudio
de las cónicas
 La secciones cónicas
 Definiciones
 Elementos característicos
 Propiedade...
Las sombras en la caverna
 Platón
 Las matemáticas constituyen un universo de
ideas independientes del mundo de los
fenó...
Aristóteles
El reino de las esferas y los
círculos
Ptolomeo
Círculos y más círculos
La duplicación del cubo.
Hipócrates de Quíos.
Arquitas
 Dado un cubo de arista a encontrar otro de volumen
doble.
Duplicando el cubo Menecmo
 Encontrar dos medias geométricas entre a y b
b
y
y
x
x
a 
33
2
2
2
2
ax
xay
yax




...
Y nacen las cónicas...
Basándose en este planteamiento, Arquitas deTarento,
Menecmo y Eratóstenes de Cirene, entre otros, ...
Menecmo, Apolonio, Galileo, Kepler:
El mundo de las cónicas
El Renacimiento
 El modelo matemático de Ptolomeo es demasiado
complejo y poco útil a la hora de hacer predicciones a
lar...
De Ptolomeo a Kepler
 De los círculos a la elipse
Kepler
 Las cónicas, esas atractivas curvas matemáticas estudiadas
por Apolonio hace tantos siglos van a constituir una
i...
Kepler
 La batalla de Marte
Sus Leyes
 Primera Ley Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos
está el Sol.
 Segunda Ley Las área...
La parábola
 De los proyectiles de Galileo
 Hasta escuchar el Universo
La hipérbola

Pascal (1623-1662)
 Ensayo sobre las cónicas
 los puntos de intersección de los pares de lados opuestos de
un hexágono i...
Geometría
Atenas. Siglo V a. de C.
LA GEOMETRÍA
 Una herencia pitagórica. El pentagrama y los sólidos platónicos.
 El má...
Platonismo
 Según la concepción platónica los matemáticos son,
como Colón, descubridores de continentes. El papel de
las ...
Propuesta didáctica. Timeo.
De la razón áurea a los poliedros
regulares.
 La razón aúrea y el pentagrama. Los inconmensur...
Resultados
 Proposición 8.XIII de los Elementos de
Euclídes: = .GB
EG
EG
EB

BE
D C
A
G
F
Resultados: los irracionales
Proposiciones 13-18. XIII de los
Elementos de Euclides.
 AD = 2DB
 AH = AB, CL = KC
 AZ es...
Material complementario
Vídeos
 Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático).
 El número Áureo (Más por men...
Y más sorpresas...
El número áureo y 1:
++++ 1111
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
Funciones
Newton y Leibniz
La Naturaleza posee unas leyes matemáticas y el ser
humano puede encontrarlas.
 Funciones
 El...
Newton
Newton
 los Principia Mathematica, la explicación
matemática definitiva del sistema del mundo
 el cálculo diferencial y ...
Propuesta didáctica
 Introducción a las funciones.
 Máximos y mínimos.
 Introducción al cálculo diferencial
 Resolució...
Nuevos recursos
 Aplicaciones de Geogebra
 La página de Manuel Sada
Probabilidad
 Los orígenes de la teoría de la probabilidad:
Cardano, Fermat, Pascal, Jacques Bernoulli,
Laplace, Euler......
Propuesta didáctica
 El problema del caballero de Mèré.
 Las partidas interrumpidas. La esperanza matemática
 Los juego...
Problemas con historia
Dos jugadores apuestan 6 ducados cada uno
que se lleva el que gane 3 partidas. Lo
suspenden cuando ...
Euler
Dado un conjunto de n letras a, b, c, d, e, ...
Encontrar el número de maneras distintas en
que pueden colocarse sin...
El siglo XX. Fractales y
Caos.
La Geometría de la Naturaleza
"las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las
cos...
Fractales y Caos
Paradigmas científicos
 el determinista, con sus ecuaciones diferenciales, para
los sistemas simples;
 el estadístico pa...
La geometría fractal
 Incluso en aquellas regiones de la naturaleza lejos de las
cómodas regularidades de las ecuaciones ...
La geometría del caos
M.C. Escher
La magia de las particiones
periódicas del plano
Las opiniones a final de curso
(2000-01)
 Este año he empezado a disfrutar de las matemáticas. En mi vida
me había entera...
 ...Además de todo esto, es demasiado interesante saber la
historia de los mejores matemáticos y los problemas que
tuvier...
 Durante estos años siempre me han gustado las
matemáticas. En especial este año me han acabado por
cautivar y captar mi ...
Las matemáticas nos rodean, invaden nuestras
vidas y, aunque cerremos los ojos van a
seguir estando ahí. No podemos evitar...
Las matemáticas son y me "saben" a futuro, a
un continuo reciclaje del presente que
mantiene viva la creatividad humana.
E...
Vídeos
Serie "Más por menos". RTVE. Autor: Antonio Pérez.
Realizador: Pedro Amalio López
1. Números naturales. Números pri...
Vídeos
Serie "Universo Matemático". RTVE. Autor: Antonio
Pérez. Realizadora: Ana Martínez
- Pitágoras. Mucho más que un te...
Libros: NIVOLA
http://www.nivola.com/categorias.asp?cat=matensuspersonajes
Otros libros
Boyer, Carl B. Historia de la Matemática. Ed. Alianza. Madrid 1987
Dunham, William. El universo de las matemá...
Libros
Ifrah,Georges. Historia Universal de las Cifras. Ed. Espasa. Madrid 1998
Kline, Morris. El pensamiento matemático d...
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La armonia del Universo. De Pitágoras a Mandelbrot

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Una experiencia de aula. Programación de un curso completo de 4º de ESO a través de la historia de las matemáticas. Materiales, actividades, trabajos, resultados y opiniones de los alumnos

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La armonia del Universo. De Pitágoras a Mandelbrot

  1. 1. La armonía del Universo. De Pitágoras a Mandelbrot Entre maestros Antonio Pérez Sanz http://platea.pntic.mec.es/aperez4 aperez4.blogspot.com.es aperez.sanz@gmail.com
  2. 2. PRIMER DÍA DE CLASE. 4º DE ESO. LA PREGUNTA DEL MILLÓN Escribe el nombre de los matemáticos famosos que conozcas, por ejemplo Pitágoras
  3. 3. Los resultados Matemáticos conocidos 20 11 9 8 5 3 3 2 2 2 2 2 2 0 5 10 15 20 25 Pitágoras Einstein Thales Newton Aristóteles Sócrates Arquímedes Platón Sófocles Galileo Copérnico Rufini Eúfrates
  4. 4. 1ª Conclusión El panorama es más que desolador. Pitágoras y poco más constituye todo su bagaje cultural sobre la historia de una asignatura que están estudiando desde los 6 años. Para los alumnos las matemáticas no tienen autores, detrás de los resultados, de las fórmulas y de los teoremas no hay personas, ni épocas, ni caras. ¡No hay nada!
  5. 5. Pero la culpa no es suya ¿Cuántos de nosotros hemos eludido la consideración de la experiencia acumulada en la Historia de la Matemática y nos hemos conformado con repetir mecánicamente fórmulas, definiciones y teoremas, sin pensar ni siquiera por qué y para qué, comunicar ese conocimiento?
  6. 6. Presentación en clase de las Matemáticas matemáticas ahistóricas resultados matemáticos terminados y cerrados muy poco de las personas y las peripecias matemáticas rigurosas pero muertas formalismo lógico-simbólico
  7. 7. UN CURSO LLENO DE... EXCURSIONES POR LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS DE PITÁGORAS A MANDELBROT MATEMÁTICAS - HISTORIA - INVESTIGACIÓN
  8. 8. Propuesta didáctica 2000-2007 Investigar Historia Visualizar Descubrir DIVULGACIÓN CURRÍCULO Juego. Belleza
  9. 9. Objetivos del curso  Trabajar las actitudes.  Proporcionar una visión distinta de las Matemáticas.  “Conocer” al menos a 20 personajes matemáticos, vinculados a resultados curriculares concretos
  10. 10. Los protagonistas de la clase de Matemáticas...  No son los radicales y los polinomios, las fracciones y los logaritmos...  Son: Pitágoras, Teano, Euclides, Arquímedes, Al- Kuwaritmi, Fibonacci, Tartaglia, Cardano, Galois, Abel, Gauss, Newton, Leibniz, Euler, Ramanujan, Apolonio, Galileo, Kepler, Laplace, Legendre, Lagrange, Monge, Mme. de Châtelet, Fermat, Sophie Germain, Sofía Kovaleskaya, María Agnesi...
  11. 11. Los alumnos han ido descubriéndolos no de manera ajena al desarrollo de las clases, impuestos como divertimento histórico, sino al hilo de los temas matemáticos que íbamos tratando a lo largo del curso.
  12. 12. Los materiales  Libros de divulgación de historia de las Matemáticas. Ed. Nivola y otros  Vídeos: Universo Matemático y Más por Menos  Internet: aula de informática, ordenador en el aula + cañón de proyección  Exposiciones y murales  Programas de matemáticas
  13. 13. INVESTIGACIÓN Investigaciones aritméticas http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/software.htm hojamat
  14. 14. Aritmética. Sur de Italia. Siglo VI antes de Cristo La lucha por explicar la Naturaleza bajo la luz de la Razón. El principio. No todo en la vida son radicales y progresiones aritméticas y geométricas. Pitágoras.  El nacimiento de las matemáticas como ciencia.  La búsqueda de la armonía del Universo.  El primer modelo matemático para explicar el mundo. El misticismo numérico  El nacimiento de la Aritmética: laTeoría de Números.
  15. 15. Para empezar bien la aritmética …un buen día… Siglo XVII. En un regimiento de artillería apilaban sus balas de cañón formando una pirámide. Una tormenta empapó las balas y el coronel ordenó extenderlas en el suelo para secarlas. Cuando lo hicieron formaban un cuadrado perfecto. ¿Cuántas balas había?, ¿cómo era la pirámide?, ¿cuántos pisos tenía?...
  16. 16. Primos, perfectos, amigos, poligonales...los números  ¿Cuál es el número mínimo de naranjas con las que puedo formar o bien un cuadrado o bien una pirámide de base cuadrada?  1, 5, 14, 30, 55... a(n)?  N = D + D + D  13 + 23 + 33 + ... + n3 = ?? Pitágoras, Euclides, Fermat, Euler, Gauss, Cauchy...
  17. 17. Propuesta didáctica de trabajo de investigación Regularidades numéricas: Los números poligonales.  Teoremas particulares.  Teoremas generales  Fórmulas para cada tipo de números  A la caza de una fórmula general.  Los números poligonales a través de la historia. Hipsicles, Teón, Nicómaco, Diofanto, Boecio, Bachet, Fermat, Descartes, Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy... Material complementario: Vídeos Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático). Números triangulares números cuadrados. (Ojo Matemático). Libros: Pitágoras, el filósofo del número. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola. La Gaceta de la RSME. Nº 2. Filosofía y mistica del número. M. Ghyka. Apóstrofe. GeoGebra. MAT-TIC
  18. 18. Los pitagóricos Las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados. Pitágoras. El filósofo del número. Pedro M. González Urbaneja. Ed. NIVOLA. Madrid 2001
  19. 19. Perspectivas Números poligonales en la Historia Integración de recursos visuales Actividades de investigación GeoGebra
  20. 20. Resultados algebraicos Polig Gnomon Recurrencia Descomp. triangular T(n) n T(n) = T(n–1) + n C(n) 2n–1 C(n) = C(n–1) + (2n–1) C(n) = T(n) + T(n–1) P(n) 3n–2 P(n) = P(n–1) + (3n–2) P(n) = T(n) + 2T(n–1) H(n) 4n–3 H(n) = H(n–1) + (4n–3) H(n) = T(n) + 3T(n–1) ········ ········ ········ ········ Pr(n) (r–2)(n–1)+1 Pr(n) = Pr(n–1) + (r–2)(n–1)+1 Pr(n) = T(n) + (r–3) T(n–1) Formulas particulares Triangulares Cuadrados Pentagonales Hexagonales 1,3,6,10... [n(n+1)]/2 1,4,9,16.. n2 1,5,12,22.. [n(3n–1)]/2 1,6,15,28... n(2n–1) Fórmula general: 2 )1()2( ,  + nnd nN nd
  21. 21. Los otros resultados... Los números poligonales a través de la historia.  Hipsicles,  Teón,  Nicómaco,  Diofanto,  Boecio,  Bachet,  Fermat,  Descartes,  Euler,  Lagrange,  Gauss,  Cauchy...
  22. 22. Fase 1  Introducción de los números triangulares y cuadrados.  Regularidades numéricas de las sucesiones
  23. 23. NÚMEROS POLIGONALES
  24. 24. NÚMEROS POLIGONALES  En todos los casos las series numéricas son sumas parciales de los primeros términos de progresiones aritméticas cuyo primer término es siempre 1 y cuya diferencia es d.  Siendo d el número de lados del polígono asociado a la serie menos dos unidades
  25. 25.  Lo que viene a demostrar, que sin ningún apoyo algebraico, y utilizando exclusivamente modelos geométricos, los pitagóricos dominaban los métodos para sumar progresiones aritméticas simples del tipo  y seguramente del tipo k k n  1 ( )2 1 1 k k n    k k n 2 1 
  26. 26. Esta visión geométrica les permitió obtener los primeros resultados generales sobre propiedades de los números naturales: "La suma de los n primeros números naturales es un número triangular". 2 1)n(nn...4321Tn ++++++ n n + 1
  27. 27. Fase 2  Los primeros teoremas geométricos  Conocemos a Hipsicles,Teón de Esmirna, Nicómaco de Gerasa y Boecio
  28. 28. "La suma de los n primeros números impares es un número cuadrado"  C1 = 1  C2 = 1+3  C3 = 1+3+5  ...  Cn = 1+3+5+...+2n -1 n2 = 1 + 3 + 5 + ... +(2n -1)
  29. 29. "Todo número cuadrado es suma de dos números triangulares consecutivos". Teorema de Teón Cn = Tn + T n-1
  30. 30. Hipsicles. S II a. C. N n,d = T n + (d-3)·T n-1 N n,d = n + (d-2)·T n-1
  31. 31. Nicómaco. s I d. C. "Todo número poligonal es la suma del poligonal del mismo orden y de una dimensión inferior más el nº triangular de orden inferior".Teorema de Nicómaco Cn =Tn +Tn-1 Pn = Cn +Tn-1... Nd,n = Nd-1,n +Tn-1 GeoGebra
  32. 32. Fase 3  ¿Cuánto suman los n primeros cubos?  La sorpresa de Nicómaco
  33. 33. Nicómaco. s I d. C. Introducción a la Aritmética 13 = 1; 23 = 3+5; 33 = 7+9+11; 43 = 13+15+17+19 ... 13+23+33+...+n3 = =1+3+5+7+...+n(n+1)-1= = (1+2+3+...+n)2 =Tn 2
  34. 34. Fase 4  La Edad Media.  La herencia de Diofanto y Boecio.  Los teoremas generales
  35. 35. Diofanto de Alejandría ( s. III d. de C) Aparecen los números piramidales, que se obtienen apilando en capas los sucesivos números poligonales de un mismo orden  Tetragonales: 1, 4, 10, 20...  Los piramidales cuadrados: 1, 5, 14, 30...  Los de base pentagonal: 1, 6, 18, 40...
  36. 36. Diofanto de Alejandría (s. III d. de C.) Conjetura «Todo número entero positivo se puede poner como suma de a lo sumo cuatro números cuadrados» Hoja de cálculo
  37. 37. Boecio. Aritmética
  38. 38. Fase 5  El Renacimiento.  Bachet y su famosa edición de la Aritmetica de Diofanto (1621)
  39. 39. Bachet de Meziriac. S XVII Descomposición triangular Todo número poligonal de tipo d es la suma de un número triangular del mismo orden y d–3 números triangulares de orden previo Nd, n = Tn + (d–3) T n–1
  40. 40. Fórmula general Nd, n = Tn + (d–3) T n–1 N n,d = 1/2 ·(n+1)·n + 1/2 ·(d-3)·n·(n-1) N n,d = n + 1/2 n·(n-1)·(d-2) 2 )1()2( ,  + nnd nN nd
  41. 41. Descubrir teoremas generales no es tan difícil... Números DN 1 2 3 4 5  Triangul. 3 1 3 6 10 15  Cuadrad. 4 1 4 9 16 25  Pentag. 5 1 5 12 22 35  Hexag. 6 1 6 15 28 45  Heptag. 7 1 7 18 34 55
  42. 42. Fase 6 Descartes Progymnasmata de Solidum Elementis  Recupera los números piramidales e hiperpiramidales descubriendo tanto los gnomons que permiten su formación como las fórmulas generales de los mismos.  También realiza un estudio profundo sobre los números figurados sólidos basados en los poliedros regulares
  43. 43. Materiales diversos... 
  44. 44. Pirámides cuadradas...  PC(n)=1/6 n·(n+1)·(2n+1)       + +      +  3 2n 3 1n PC(n) ++++ 2n....232221
  45. 45. Pirámides triangulares...  PT(n)=1/6 n·(n+1)·(n+2)       +  3 2n PT(n)
  46. 46. El Triángulo de Pascal Presencia de tres tipos de números: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 tetragonales triangulares naturales
  47. 47. Modificando el triángulo  ¿Qué pasa si cambiamos un lado de unos por doses...? 1 1 2 1 3 2 1 4 5 2 1 5 9 7 2 1 6 14 16 9 2  Pirámides cuadradas – cuadrados – impares
  48. 48. Aportaciones modestas...  Investigaciones aritméticas
  49. 49. Historia A. J. Meyl demostró en 1878 que sólo hay 3 números tetragonales que sean cuadrados  G. N.Watson demostró en 1918 que sólo hay un número piramidal de base cuadrada que a su vez sea un cuadrado
  50. 50. Para los inquietos  ¿ Cuántos números hay que son a la vez tetragonales y piramidales de base cuadrada?
  51. 51. Fase 7. Aritmética superior Pierre de Fermat Conjetura "Todo número entero puede expresarse mediante suma de, a lo sumo, n números n-gonales” 1772 1796 1815 Euler Lagrange Gauss Cauchy Cuadrados Triangulares General
  52. 52. Gauss Disquisitiones Arithmeticae  293. Las disquisiciones precedentes también proporcionan una demostración del famoso teorema que dice que todo entero positivo se puede descomponer en tres números triangulares, como hace tiempo fue descubierto por Fermat, pero cuya demostración rigurosa ahora se ha logrado. Un largo viaje de más de 2500 años
  53. 53. Para hacerse famoso... ¿Existe algún número perfecto impar? ¿SI? ¿NO? Responde, demuéstralo e... Inscribe tu nombre en el gran libro de la Historia de las Matemáticas...
  54. 54. Una ayuda... Euler demostró que si existe alguno ha de ser de la forma p 4q + 1 ·r 2 , con p = 4n + 1 Hoy sabemos:  debe ser divisible por al menos 8 primos  uno de ellos mayor que 10 20  tiene al menos 29 factores primos  y más de 300 dígitos
  55. 55. ¿cuántos primos hay menores que n? Conjetura de Joseph Bertrand (1822-1900) “entre n y 2n siempre hay un número primo, si n > 2 “ Demostrado por Chebichew en 1850 Conjetura de Gauss Demostrado en 1896 porVallée -Puossin y Hadamard  ( )n n Ln 
  56. 56. Ganar un millón de dólares El reto de Golbach (1742) “TODO NÚMERO PAR, MAYOR QUE DOS, ES SUMA DE DOS NÚMEROS PRIMOS” La historia continúa...
  57. 57. Sucesiones y Series… Series infinitas
  58. 58. S+++++ ... 15 1 10 1 6 1 3 11 1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... = =(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... = = 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1 S = 2 Leibniz. 1673
  59. 59. Parecido, pero no igual El problema de Basilea: 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... = “Grande será nuestra gratitud si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos” Jakob Bernoulli
  60. 60. 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... = 2/6 El genial Euler
  61. 61. Los trabajos de los alumnos Centenario de Euler Examen Presentaciones
  62. 62. Las cónicas El Renacimiento Un nuevo modelo geométrico: las cónicas. Las esferas dejan paso a las cónicas de Apolonio.  Las esferas de Aristóteles  Los epiciclos de Ptolomeo  La teoría heliocéntrica  Las órbitas elípticas. Las cónicas Orden y Caos: la búsqueda de un sueño. Serie: Universo Matemático. TV2. 2000 Autor: Antonio Pérez Sanz Realizadora: Ana Martínez Distribuidora: RTVE
  63. 63. Propuesta didáctica: Estudio de las cónicas  La secciones cónicas  Definiciones  Elementos característicos  Propiedades métricas  Propiedades físicas.  Menecmo, Apolonio, Galileo, Kepler Material complementario:  Vídeos: Las cónicas: del baloncesto a los cometas. (Más por menos).  Libros: Ptolomeo. Carlos Dorce, Galileo de J.M.Vaquero. Ed. NIvola  Copérnico y Kepler. J.Luis García Hourcade. Ed. Nivola.  Programas informáticos: Cabri, GEOGEBRA, Winplot
  64. 64. Las sombras en la caverna  Platón  Las matemáticas constituyen un universo de ideas independientes del mundo de los fenómenos.  Forman un lenguaje intermedio que permite a partir de lo sensible apuntar al mundo de las ideas.  Las formas perfectas:  círculos y esferas… y poliedros regulares. ElTimeo
  65. 65. Aristóteles El reino de las esferas y los círculos
  66. 66. Ptolomeo Círculos y más círculos
  67. 67. La duplicación del cubo. Hipócrates de Quíos. Arquitas  Dado un cubo de arista a encontrar otro de volumen doble.
  68. 68. Duplicando el cubo Menecmo  Encontrar dos medias geométricas entre a y b b y y x x a  33 2 2 2 2 ax xay yax            Si b = 2a ¡ La parábola !
  69. 69. Y nacen las cónicas... Basándose en este planteamiento, Arquitas deTarento, Menecmo y Eratóstenes de Cirene, entre otros, presentan soluciones, ninguna de las cuales puede resolverse con el uso exclusivo de la regla y el compás, cuestión que se demostró imposible ya en el año 1837 gracias a los trabajos del geómetra francés L.Wantzel.
  70. 70. Menecmo, Apolonio, Galileo, Kepler: El mundo de las cónicas
  71. 71. El Renacimiento  El modelo matemático de Ptolomeo es demasiado complejo y poco útil a la hora de hacer predicciones a largo plazo  Copérnico pone en marcha un nuevo modelo matemático que mejora las predicciones y sobre todo que es más sencillo a la hora de calcular  Galileo: la experimentación y la observación de la realidad como criterio de validación de la teoría científica  Kepler construirá toda su teoría y descubrirá las leyes del movimiento de los planetas basándose en las precisas observaciones deTycho Brahe.
  72. 72. De Ptolomeo a Kepler  De los círculos a la elipse
  73. 73. Kepler  Las cónicas, esas atractivas curvas matemáticas estudiadas por Apolonio hace tantos siglos van a constituir una imprescindible herramienta matemática para explicar el mecanismo celeste. La eficacia de las matemáticas en el primero de los momentos estelares de la historia. Las leyes de Kepler Serie: Universo Mecánico. Annenberg/CPB Proyect. 1987 Producción: California Institute of Tecnology Distribuidora: Arait Multimedia S.A.
  74. 74. Kepler  La batalla de Marte
  75. 75. Sus Leyes  Primera Ley Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.  Segunda Ley Las áreas barridas por la recta que une el sol con el planeta son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.  Tercera Ley Los cuadrados de los períodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas. La relación existente entre la distancia al origen del foco y el semieje mayor se denomina excentricidad de la cónica. En la elipse la excentricidad está comprendida entre 0 y 1 Si es 0, entonces la elipse es una circunferencia. Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón 0,206 0,007 0,017 0,093 0,043 0,051 0,046 0,004 0,250
  76. 76. La parábola  De los proyectiles de Galileo  Hasta escuchar el Universo
  77. 77. La hipérbola 
  78. 78. Pascal (1623-1662)  Ensayo sobre las cónicas  los puntos de intersección de los pares de lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica están en línea recta
  79. 79. Geometría Atenas. Siglo V a. de C. LA GEOMETRÍA  Una herencia pitagórica. El pentagrama y los sólidos platónicos.  El más bello modelo geométrico-cosmogónico de la historia.  Una de las primeras teorías matemáticas completa: los poliedros regulares Orden y Caos: la búsqueda de un sueño. Serie: Universo Matemático. TV2. 2000 Autor: Antonio Pérez Sanz Realizadora: Ana Martínez Distribuidora: RTVE
  80. 80. Platonismo  Según la concepción platónica los matemáticos son, como Colón, descubridores de continentes. El papel de las matemáticas no es otro que el de ejercer de mediador entre el mundo de los sentidos y el mundo de las ideas con una existencia propia e independiente del mundo sensible.  Las teorías matemáticas tienen su existencia propia en ese mundo ideal, el matemático sólo se limita a interpretar las sombras de esas ideas en las paredes de la caverna.
  81. 81. Propuesta didáctica. Timeo. De la razón áurea a los poliedros regulares.  La razón aúrea y el pentagrama. Los inconmensurables  Poliedros regulares. Definición pitagórico-platónica.¿Por qué 5 y solo 5?  Propiedades. Construcción con varillas y plegados.  Los poliedros regulares en elTimeo de Platón  Los poliedros en los Elementos de Euclides. Las aristas  En el Renacimiento: Piero de la Francesca, Luca Pacioli, Durero y Kepler.  Trigonometría elemental
  82. 82. Resultados  Proposición 8.XIII de los Elementos de Euclídes: = .GB EG EG EB  BE D C A G F
  83. 83. Resultados: los irracionales Proposiciones 13-18. XIII de los Elementos de Euclides.  AD = 2DB  AH = AB, CL = KC  AZ es la arista del tetraedro =  BZ es la arista del cubo =  BE es la arista del octaedro =  MB es la arista del icosaedro =  NB es la arista del dodecaedro = A B C D L ZE M N H K T 6 3 2 R 2R 3 3 2 R  5510 5  R  315 3  R
  84. 84. Material complementario Vídeos  Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático).  El número Áureo (Más por menos). Libros:  Diálogos de Platón. Gredos  Pitágoras, el filósofo del número. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola.  Platón y la Academia de Atenas. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola.  Euclides. La fuerza del razonamiento matemático. Ana Millán. Ed Nivola.  Elementos de Euclídes. Libros X-XIII. Gredos.  Luca Pacioli. La divina proporción. Akal. BE D C A G F
  85. 85. Y más sorpresas... El número áureo y 1: ++++ 1111 + + + + 1 1 1 1 1 1 1
  86. 86. Funciones Newton y Leibniz La Naturaleza posee unas leyes matemáticas y el ser humano puede encontrarlas.  Funciones  El problema de la tangente  Máximos y mínimos  El cálculo diferencial y el cálculo integral.  La medida del Meridiano terrestre. Orden y Caos: la búsqueda de un sueño Newton y Leibniz. Sobre hombros de gigantes Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
  87. 87. Newton
  88. 88. Newton  los Principia Mathematica, la explicación matemática definitiva del sistema del mundo  el cálculo diferencial y el cálculo integral El mundo es un engranaje que funciona como un mecanismo de relojería. Las ecuaciones diferenciales podrán predecir el estado del sistema conociendo las condiciones iniciales del mismo.
  89. 89. Propuesta didáctica  Introducción a las funciones.  Máximos y mínimos.  Introducción al cálculo diferencial  Resolución de triángulos. Razones trigonométricas Material complementario  Vídeos: El lenguaje de las gráficas ( Más por Menos). Derivadas e Integrales. (Universo Mecánico).  Libros: Newton: el umbral de la ciencia moderna. J. Muñóz. Ed. Nivola. Principios matemáticos de la Filosofía Natural. I . Newton. Ed.Tecnos.
  90. 90. Nuevos recursos  Aplicaciones de Geogebra  La página de Manuel Sada
  91. 91. Probabilidad  Los orígenes de la teoría de la probabilidad: Cardano, Fermat, Pascal, Jacques Bernoulli, Laplace, Euler... Vídeo Las leyes del azar. Serie: Más por Menos. TV2. 1996 Autor: Antonio Pérez Sanz Realizador: Pedro Amalio López Distribución: RTVE
  92. 92. Propuesta didáctica  El problema del caballero de Mèré.  Las partidas interrumpidas. La esperanza matemática  Los juegos justos  La ley de los grandes números. ¿Cuánto de grandes?  El nacimiento de la combinatoria  La aguja de Buffon. Modelos geométricos y analíticos para es estudio de la probabilidad Material complementario Vídeos: Las leyes del azar ( Más por Menos). Matemáticas en la Revolución Francesa. (Universo Matemático). Libros: Los Bernoulli. Viajeros y geómetras. C. Sánchez y C. Valdés. Ed. Nivola. Ensayo filosófico sobre las probabilidades. P.S. de Laplace. Alianza editorial. Material manipulable: Proyecto SUR
  93. 93. Problemas con historia Dos jugadores apuestan 6 ducados cada uno que se lleva el que gane 3 partidas. Lo suspenden cuando el resultado es de 2 a 1. ¿Cómo han de repartirse los 12 ducados?
  94. 94. Euler Dado un conjunto de n letras a, b, c, d, e, ... Encontrar el número de maneras distintas en que pueden colocarse sin que ninguna regrese a la posición inicial que ocupaba
  95. 95. El siglo XX. Fractales y Caos. La Geometría de la Naturaleza "las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son lisas y los relámpagos no se desplazan en línea recta". B. Mandelbrot Orden y caos: la búsqueda de un sueño. Universo Matemático. TV2. 2001 Fractales: la geometría del caos Serie: Más por Menos. TV2. 1996
  96. 96. Fractales y Caos
  97. 97. Paradigmas científicos  el determinista, con sus ecuaciones diferenciales, para los sistemas simples;  el estadístico para los sistemas complicados, con muchos grados de libertad en los que reina el azar. Lo que nadie podía imaginar es que un sistema simple pudiese tener un comportamiento caótico; y ahí poco podían decir las matemáticas
  98. 98. La geometría fractal  Incluso en aquellas regiones de la naturaleza lejos de las cómodas regularidades de las ecuaciones diferenciales, las matemáticas se revelan como la herramienta imprescindible para interpretar la naturaleza.  Y por supuesto siguen manifestando de manera rotunda su increíble eficacia.
  99. 99. La geometría del caos
  100. 100. M.C. Escher La magia de las particiones periódicas del plano
  101. 101. Las opiniones a final de curso (2000-01)  Este año he empezado a disfrutar de las matemáticas. En mi vida me había enterado de tantas cosas en clase... Las clases de matemáticas son amenas... Me entero de diversas cosas y de la biografía de diversos personajes matemáticos por los que nunca me había interesado y por los que ahora hasta me meto en internet para recaudar información.  Durante ese curso he aprendido más matemáticas que durante cualquier otro, pero también he aprendido a apreciarlas de forma diferente a como lo hacía antes. Antes solo veía las matemáticas como una herramienta imprescindible para muchas facetas de la vida. Ahora además he conocido muchos nombres de matemáticos de la historia y qué cosas lograron descubrir. Esto nos acerca de una forma más humana a las matemáticas. No nos hemos limitado a saber matemáticas, como los demás años, también a saber de dónde han salido y por qué razón.
  102. 102.  ...Además de todo esto, es demasiado interesante saber la historia de los mejores matemáticos y los problemas que tuvieron para dar a conocer, fueran ciertos o no, sus hipótesis y teorías. Una forma práctica de que veamos nosotros mismos lo que estamos aprendiendo, que utiliza el profesor, es hacer que nosotros nos veamos en el problema con que estaba el descubridor del teorema que vamos a tratar.  Ha sido el año, con diferencia, que más he aprendido, porque otros años, sí, te enseñan cosas, fórmulas y métodos pero al cabo de dos meses ya se me había olvidado todo.  Las matemáticas han ido evolucionando a lo largo de la historia. Euler, Pitágoras, Fibonacci... y también mujeres Teano, Hypatia, Sophie Germain... nos han introducido en esta ciencia.
  103. 103.  Durante estos años siempre me han gustado las matemáticas. En especial este año me han acabado por cautivar y captar mi atención. El aumento de conocimientos de esta ciencia en este último año me ha permitido observar con más detenimiento la mágica forma que posee ésta para presentarse en nuestra vida cotidiana y en la naturaleza. Las matemáticas son y me "saben" a futuro, a un continuo reciclaje del presente que mantiene viva la creatividad humana. Este año la clase de matemáticas realmente nos ha mostrado el mundo matemático.
  104. 104. Las matemáticas nos rodean, invaden nuestras vidas y, aunque cerremos los ojos van a seguir estando ahí. No podemos evitarlo, así que tendremos que aprovecharlo, y no sólo por obligación, sino por satisfacer nuestra propia curiosidad, por tener el orgullo de decir "veo todo lo que me rodea, pero además lo entiendo” Belén González. 4º ESO
  105. 105. Las matemáticas son y me "saben" a futuro, a un continuo reciclaje del presente que mantiene viva la creatividad humana. Este año la clase de matemáticas realmente nos ha mostrado el mundo matemático. Alejandro Martín. (Alumno de 4º de ESO)
  106. 106. Vídeos Serie "Más por menos". RTVE. Autor: Antonio Pérez. Realizador: Pedro Amalio López 1. Números naturales. Números primos 2. Fibonacci. La magia de los números 3. El número áureo 4. Un número llamado e 5. El mundo de las espirales 6. Cónicas: del baloncesto a los cometas 7. Fractales. La geometría del caos 8. Fibonacci. La magia de los números
  107. 107. Vídeos Serie "Universo Matemático". RTVE. Autor: Antonio Pérez. Realizadora: Ana Martínez - Pitágoras. Mucho más que un teorema - Fermat. El margen más famoso de la Historia - Números y cifras. Un viaje en el tiempo - Gauss. El príncipe de los matemáticos - Euler. Una superestrella - Newton y Leibniz - Historias de pi
  108. 108. Libros: NIVOLA http://www.nivola.com/categorias.asp?cat=matensuspersonajes
  109. 109. Otros libros Boyer, Carl B. Historia de la Matemática. Ed. Alianza. Madrid 1987 Dunham, William. El universo de las matemáticas. Ed. Pirámide. Madrid 1995. Dunham, William. Euler. El maestro de todos los matemáticos. Ed. Nivola Madrid 2000 Dunham, William. Viaje a través de los genios. Ed. Pirámide. Madrid 1993 Ghyka, Matila C. El número de oro. Ed. Poseidón. Barcelona 1978 Ghyka, Matila C. Filosofía y mística del número. Ed. Apóstrofe. Barcelona. 1998
  110. 110. Libros Ifrah,Georges. Historia Universal de las Cifras. Ed. Espasa. Madrid 1998 Kline, Morris. El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Ed.Alianza. Madrid 1992. Pérez Sanz, A. Los números poligonales. La Gaceta de la RSME. Vol 3. Nº 2. Madrid 2000 Singh Simon, El enigma de Fermat. Ed. Planeta. Barcelona 1998 Wussing H. Lecciones de Historia de las matemáticas. Ed. Siglo XXI. Madrid 1998 Mandelbrot B. La Geometría fractal de la naturaleza.Tusquets. Barcelona 1977 Martín M, Morán M, Reyes M. Iniciación al caos. Ed. Síntesis. Madrid. 1995 Río Sánchez, J. del. Lugares geométricos. Cónicas. Ed. Síntesis. Madrid 1991

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