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Modelos de risco coletivo para um periodo simples

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Modelos de risco coletivo para um periodo simples

  1. 1. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados 3. modelos de risco colectivo para um per´ıodo simples 1 / 89
  2. 2. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados 1 introdu¸c˜ao 2 distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas 3 modelos de frequˆencia e de severidade distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual 4 propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta 5 F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. 6 M´etodos aproximados 2 / 89
  3. 3. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Introdu¸c˜ao No Modelo de Risco Colectivo o conceito essencial ´e o de um processo aleat´orio gerador das indemniza¸c˜oes para uma carteira de ap´olices. Considera-se a Carteira de uma forma global, em contraste com a abordagem seguida anteriormente, em que as ap´olices foram analisadas de forma individual. 3 / 89
  4. 4. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Neste m´etodo, ´e feito o registo dos pagamentos `a medida que v˜ao sendo efectuados e seguidamente s˜ao adicionados. Representamos por S as indemniza¸c˜oes agregadas, como uma soma aleat´oria de N montantes de pagamentos individuais X1, . . . , XN. Para um determinado per´ıodo de tempo, temos: N - vari´avel aleat´oria associada ao n´umero de indemniza¸c˜oes produzidas pela carteira; Xi - montante da i−´esima indemniza¸c˜ao; S - v.a. das indemniza¸c˜oes agregadas para a carteira S = N i=1 Xi sendo S = 0 quando N = 0. 4 / 89
  5. 5. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Admite-se ainda: Xi ’s v.a.’s i.i.d. a X; N, X1, . . . , XN mutuamente independentes. 5 / 89
  6. 6. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas Tendo por objectivo a determina¸c˜ao da distribui¸c˜ao de S, facilmente detectamos se constata a importˆancia dos modelos adoptados quer para o n´umero de indemniza¸c˜oes, N, quer para as indemniza¸c˜oes particulares, X, de forma a caracterizar a v.a. S. A distribui¸c˜ao de S ´e obtida a partir da distribui¸c˜ao de N - distribui¸c˜ao de frequˆencia - e a distribui¸c˜ao de X - a v.a. de severidade. N e X s˜ao modelados separadamente e a informa¸c˜ao acerca destas distribui¸c˜oes ´e usada para obter informa¸c˜oes acerca de S. 6 / 89
  7. 7. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Esta modela¸c˜ao separada apresenta algumas vantagens: O n´umero esperado de indemniza¸c˜oes sofre altera¸c˜ao `a medida que o n´umero de ap´olices seguras varia. O impacto da reten¸c˜ao de dedut´ıveis (ou reten¸c˜oes) e de limites nos montantes individuais ´e mais facilmente estudado. A forma da distribui¸c˜ao de S depende das formas das distribui¸coes de X e N. 7 / 89
  8. 8. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados O conhecimento das formas das distribui¸c˜oes de X e N ´e ´util quando se pretende modificar as cl´ausulas das ap´olices. Por exemplo, quando a cauda da distribui¸c˜ao de X (a severidade) ´e mais pesada que a da distribui¸c˜ao da frequˆencia (N), a forma da cauda das distribui¸c˜oes agregadas (S) ser´a determinada pela distribui¸c˜ao de X, sendo insens´ıvel `a escolha da distribui¸c˜ao de N. 8 / 89
  9. 9. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados alguma nota¸c˜ao FX - f.d. de X pk = E[Xk] - momentos simples de ordem k, k = 1, 2, . . ., da v.a. X MX (r) = E[erX ] - f.g.m. de X MN(r) = E[erN] - f.g.m. de N MS (r) = E[erS ] - f.g.m. de S 9 / 89
  10. 10. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados valor m´edio de S E[S] = E(E[S|N]) = E(NE[X]) = E(Np1) = p1E[N] variˆancia de S Var[S] = E(Var[S|N]) + Var(E[S|N]) = E(NVar[X]) + Var(p1N) = E[N]Var[X] + p2 1Var[N] = (p2 − p2 1)E[N] + p2 1Var[N] 10 / 89
  11. 11. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Tenha-se em aten¸c˜ao o seguinte: 1 E[S|N = n] = E[ N i=1 Xi |N = n] = E[ n i=1 Xi ] = n i=1 E[X] = nE[X] 2 Var[X] = p2 − p2 1 11 / 89
  12. 12. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados em suma... O valor esperado das indemniza¸c˜oes agregadas ´e o produto do montante esperado para as indemniza¸c˜oes individuais (E[X] = p1) - a severidade esperada - pelo n´umero esperado de indemniza¸c˜oes (E[N]) - a frequˆencia esperada. A variˆancia das indemniza¸c˜oes agregadas ´e a soma de duas componentes: 1 variabilidade dos montantes de indemniza¸c˜ao individual (E[N]Var[X]) - variabilidade da severidade 2 variabilidade do n´umero de indemniza¸c˜oes (p2 1Var[N]) - variabilidade da frequˆencia 12 / 89
  13. 13. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados f.g.m. de S Recorrendo ao valor m´edio condicional, MS (r) = E[erS ] = E(E[erS |N]) = E[(MX (r))N ] = E[exp(N log(MX (r))], pelo que MS (r) = MN(log MX (r)) Exerc´ıcio: Seja N uma v.a. Geom´etrica, N Geo(q) com f.m.p. P[N = n] = pqn para n = 0, 1, 2, . . . , 0 < q < 1, p = 1 − q. Determinar MS (r) como fun¸c˜ao de MX (r). sol: MS (r) = p 1−qMX (r) 13 / 89
  14. 14. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados FS (x): fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de S Recorrendo ao TPT, deduz-se FS (x) = P[S ≤ x] = ∞ n=0 P[S ≤ x|N = n]P[N = n] = ∞ n=0 P[ n i=1 Xi ≤ x]P[N = n] donde FS (x) = ∞ n=0 F∗n X (x)p[N = n] 14 / 89
  15. 15. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados fS (x): fun¸c˜ao de probabilidade de S fS (x) = ∞ n=0 f ∗n X (x)P[N = n] Observa¸c˜ao: O desenvolvimento das express˜oes de FS (x) e de fS (x) apresenta em geral alguma complexidade, pelo que a caracteriza¸c˜ao da v.a. S atrav´es da sua f.g.m. poder´a ser muito vantajosa. 15 / 89
  16. 16. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Note-se que no caso de X ser uma v.a. discreta, ent˜ao S tamb´em o ser´a, representando fS (x) a sua f.m.p.: fS (x) = P[S = x] = ∞ n=0 f ∗n X (x)P[N = n] = ∞ n=0 P[ n i=1 Xi = x]P[N = n] onde, por conven¸c˜ao, f ∗0 X (0) = 1. Exerc´ıcio: Considere uma carteira de seguros que produz 0, 1, 2 ou 3 sinistros (=indemniza¸c˜oes) com probabilidades 0.1, 0.3, 0.4 e 0.2 respectivamente, num per´ıodo fixo de tempo. Um sinistro individual ser´a de montantes 1, 2, ou 3 com probabilidades 0.5, 0.4 e 0.1 respectivamente. Calcular a f.m.p e a f.d. das indemniza¸c˜oes agregadas. 16 / 89
  17. 17. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Resolu¸c˜ao As vari´aveis aleat´orias N e X tˆem as seguintes f.m.p: N = 0 1 2 3 0.1 0.3 0.4 0.2 e X = 1 2 3 0.5 0.4 0.1, de onde se depreende, imediatamente, que S toma valores entre 0 e 9. O objectivo ´e determinar a f.d. e a f.m.p. de S, para o que se necessita de obter a terceira convolu¸c˜ao de fX (x), f ∗3 X (x). 17 / 89
  18. 18. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Note-se que a (n + 1)−´esima convolu¸c˜ao pode ser obtida de forma recursiva. f ∗(n+1) X (x) = P[ n+1 i=1 Xi = x] = y P[Xn+1 = y]P[ n i=1 Xi = x − y] = y fX (y)f ∗n X (x − y), para n = 0, 1, 2, . . . 18 / 89
  19. 19. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados x f ∗0 X (x) f ∗1 X (x) f ∗2 X (x) f ∗3 X (x) fS (x) FS (x) 0 1.0 0.0 0.00 0.000 0.1000 0.1000 1 0.0 0.5 0.00 0.000 0.1500 0.2500 2 0.0 0.4 0.25 0.000 0.2200 0.4700 3 0.0 0.1 0.40 0.125 0.2150 0.6850 4 0.0 0.0 0.26 0.300 0.1640 0.8490 5 0.0 0.0 0.08 0.315 0.0950 0.9440 6 0.0 0.0 0.01 0.184 0.0408 0.9848 7 0.0 0.0 0.00 0.063 0.0126 0.9974 8 0.0 0.0 0.00 0.012 0.0024 0.9998 9 0.0 0.0 0.00 0.001 0.0002 1.0000 n 0 1 2 3 - - P[N = n] 0.1 0.3 0.4 0.2 - - 19 / 89
  20. 20. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Note-se que o facto de a distribui¸c˜ao da severidade ser cont´ınua, n˜ao permite concluir que, necessariamente, a distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas seja cont´ınua. Realmente, se P[N = 0] > 0 ent˜ao S ´e v.a. mista, sendo {S = 0} um ponto de massa de probabilidade, sendo cont´ınua nos outros casos. 20 / 89
  21. 21. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Exerc´ıcio: Seja N uma v.a. Geom´etrica, N Geo(q) com f.m.p. P[N = n] = pqn para n = 0, 1, 2, . . . , 0 < q < 1, p = 1 − q. Suponha-se X uma v.a. Exponencial, i.e., FX (x) = 1 − e−x , x > 0. Verifique que a v.a. das indemniza¸c˜oes agregadas, S, ´e uma v.a. mista. 21 / 89
  22. 22. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados FS (x) 22 / 89
  23. 23. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados fS (x) 23 / 89
  24. 24. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual modelos de frequˆencia e de severidade Analisemos alguns modelos para o n´umero de indemniza¸c˜oes (sinistros), N. N Poisson(λ) Seja N uma v.a. de Poisson de parˆamnetro λ, N Poisson(λ), i.e., P[N = n] = e−λλn n! , n = 0, 1, 2, . . . , λ > 0 com f.g.m. MN(r) = exp{λ(er − 1)}. 24 / 89
  25. 25. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual N Poisson(λ) ⇒ S PC(λ, FX ) Trata-se de uma distribui¸c˜ao adequada para descrever o n´umero de sinistros quando se verifica uma proximidade entre a m´edia e a variˆancia dos dados analisados, uma vez que E[N] = Var[N] = λ. Nestas condi¸c˜oes, S tem uma distribui¸c˜ao Poisson Composta, S PC(λ, FX ). 25 / 89
  26. 26. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Nestas condi¸c˜oes, obt´em-se o seguinte: momentos e f.g.m. de S E[S] = E[N]p1 ⇒ E[S] = λp1 Var[S] = E[N](p2 − p2 1) + p2 1Var[N] = λ(p2 − p2 1) + p2 1λ ⇒ Var[S] = λp2 MS (r) = MN(log MX (r)) ⇒ MS (r) = exp{λ(MX (r) − 1)} 26 / 89
  27. 27. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual No caso de os dados referentes ao n´umero de sinistros apontarem no sentido de E[N] < Var[N], tem sido sugerido N BN(k, q) o modelo Binomial Negativo de parˆametros k e q, N BN(k, q) com P[N = n] = k + n − 1 n pk qn , n = 0, 1, 2, . . . e k > 0, 0 < q < 1. 27 / 89
  28. 28. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Para este modelo, momentos e f.g.m. de N E[N] = kq p < Var[N] = kq p2 MN(r) = p 1−qer k N BN(k, q) ⇒ S BNC(k, q, FX ) Nestas condi¸c˜oes, diz-se que S tem distribui¸c˜ao Binomial Negativa Composta. 28 / 89
  29. 29. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual momentos e f.g.m. de S BNC(k, q, FX ) E[S] = E[N]p1 ⇒ E[S] = kq p p1 Var[S] = E[N](p2−p2 1)+p2 1Var[N] ⇒ Var[S] = kq p p2+ kq p2 p2 1 MS (r) = MN(log MX (r)) ⇒ MS (r) = p 1−qMX (r) k O caso particular de k = 1 corresponde `a Geom´etrica. 29 / 89
  30. 30. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Outro modelo conveniente quando se verifica que E[N] < Var[N] ´e o seguinte: v.a. estrutural Seja Λ uma v.a. com f.d.p. fΛ(λ), λ > 0. Suponha-se que a v.a. N condicional a um valor de Λ = λ tem distribui¸c˜ao de Poisson de parˆametro λ, i.e., N|Λ = λ Poisson(λ) A Λ chama-se v.a. de estrutura e `a sua f.d.p. fun¸c˜ao de estrutura. 30 / 89
  31. 31. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Uma situa¸c˜ao pr´atica de aplica¸c˜ao deste tipo de modelos surge para uma carteira de seguros em que o n´umero de sinistros ´e bem modelado por uma Poisson, mas com alguma flexibilidade no que respeita ao parˆametro λ associado, de acordo com as diversas classes da carteira. Poisson mista Neste caso diz-se que N tem uma distribui¸c˜ao Poisson mista e a sua f.m.p. ´e obtida com recurso ao Teorema da Probabilidade Total: P[N = n] = ∞ 0 P[N = n|Λ = λ]fΛ(λ)dλ = ∞ 0 e−λλn n! fΛ(λ)dλ 31 / 89
  32. 32. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual valor m´edio, variˆancia e f.g.m. da Poisson mista E[N] = E[E[N|Λ]] = E[Λ] Var[N] = E[Var[N|Λ]] + Var[E[N|Λ]] = E[Λ] + Var[Λ] MN(r) = E[erN] = E[E[erN|Λ]] = E[eΛ(er −1)] = MΛ(er − 1) Observa¸c˜ao: E[N|Λ = λ] = Var[N|Λ = λ] = λ E[erN|Λ = λ] = exp(λ(er − 1)) porque N|Λ = λ Poisson(λ) 32 / 89
  33. 33. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Exerc´ıcio: Seja Λ Gama(α, β), i.e., uma v.a. com f.d.p. dada por fΛ(λ) = βα Γ(α) λα−1 e−βλ , λ > 0, onde Γ(α) ´e a fun¸c˜ao gama, Γ(α) = ∞ 0 xα−1e−x dx. ´E sabido que MΛ(r) = β β − r α , r < β. Mostre que: 1 N BN(k, q) com k = α e p := 1 − q = β 1+β ; 2 E[Λ] = α β e Var[Λ] = α β2 , sendo novamente confirmados os resultados para N. 33 / 89
  34. 34. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual N B(n, p) ⇒ S BC(n, p, FX ) No caso em que N Binomial(n, p), diz-se que S tem distribui¸c˜ao Binomial Composta. Verificam-se conclus˜oes an´alogas `as obtidas para os modelos anteriores. 34 / 89
  35. 35. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Quanto aos modelos associados `as indemniza¸c˜oes particulares, X, consideram-se, por um lado, modelos em que o c´alculo da convolu¸c˜ao est´a simplificado como ´e o caso dos modelos Normal e Gama. Contudo, referimos igualmente alguns modelos associados tradicionalmente a certos tipos de ramos de seguros, para os quais a v.a. referente ao montante de indemniza¸c˜ao ´e positiva e assim´etrica positivamente (ou `a direita). Os modelos Lognormal, Pareto e Mistura de Exponenciais s˜ao sugeridos, numa primeira an´alise, para candidatos a modela¸c˜ao de dados do ramo Incˆendio, enquanto que ao ramo Acidente Autom´ovel est´a associado o modelo Gama. 35 / 89
  36. 36. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Relembremos alguns resultados obtidos facilmente recorrendo `as propriedades da f.g.m: se {Xi }n i=1 i.i.d. N(µ, σ2) =⇒ n i=1 Xi N(nµ, nσ2) se {Xi }n i=1 i.i.d. Gama(α, β) =⇒ n i=1 Xi Gama(nα, β) se {Xi }n i=1 i.i.d. Exp(1) =⇒ n i=1 Xi Gama(n, 1) - recorde-se que a Exp(1) corresponde `a Gama(1, 1) Para este ´ultimo caso, iremos determinar a express˜ao anal´ıtica da f.d. das indemniza¸c˜oes agregadas S, FS (x), o que no caso geral contitui uma tarefa de dif´ıcil resolu¸c˜ao. 36 / 89
  37. 37. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Considere-se que fX (x) = e−x , x > 0. Ent˜ao, f ∗n X (x) = xn−1e−x (n − 1)! , x > 0 j´a que a soma de Exponenciais i.i.d. tem distribui¸c˜ao Gama. Assim, F∗n X (x) = x 0 yn−1e−y (n − 1)! dy = 1 − ∞ x yn−1e−y (n − 1)! dy integrando por partes... 37 / 89
  38. 38. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual = 1 − − yn−1e−y (n − 1)! |∞ x + ∞ x (n − 1)yn−2e−y (n − 1)! dy = 1 − −0 + xn−1e−x (n − 1)! + ∞ x yn−2e−y (n − 2)! dy = F ∗(n−1) X (x) − xn−1e−x (n − 1)! = . . . = F∗0 X (x) − n−1 i=0 xi e−x i! = 1 − n−1 i=0 xi e−x i! 38 / 89
  39. 39. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual vindo finalmente, FS (x) = ∞ n=0 F∗n X (x)P[N = n] = ∞ n=0 1 − n−1 i=0 xi e−x i! P[N = n] = ∞ n=0 P[N = n] − ∞ n=0 P[N = n] n−1 i=0 xi e−x i! = 1 − e−x ∞ n=0 P[N = n] n−1 i=0 xi i! 39 / 89
  40. 40. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Ou seja, no caso de {Xi }n i=1 i.i.d. Exp(1), probabilidade de excedˆencia P[S > x] = e−x ∞ n=0 P[N = n] n−1 i=0 xi i! 40 / 89
  41. 41. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta Teorema: soma de v.a.’s independentes PC ´e ainda PC Sejam S1, S2, . . . , Sm v.a.’s mutuamente independentes, com Si PC(λi ; Fi ), i = 1, 2, . . . , m; ent˜ao m i=1 Si PC λ := m i=1 λi ; F := m i=1 λi λ Fi 41 / 89
  42. 42. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Demonstra¸c˜ao: Seja Mi (r) a f.g.m. associada a Fi , para i = 1, 2, . . . , m. Ent˜ao, MSi (r) = exp{λi (Mi (r) − 1)}. As v.a.’s Si s˜ao independentes pelo que a f.g.m. de S ´e igual ao produto das f.g.m. das suas parcelas: MS (r) = m i=1 MSi (r) = exp m i=1 λi (Mi (r) − 1) = exp λ m i=1 λi λ Mi (r) − 1 com λ := m i=1 λi . A express˜ao da f.g.m. de S caracteriza uma Poisson Composta com os parˆametros respectivos. 42 / 89
  43. 43. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Em termos de seguros convenientes, este resultado torna os modelos de Poisson Composta atractivos, de forma a combinar v´arias carteiras numa s´o: Se combinarmos m carteiras de seguros em que as indemniza¸c˜oes agregadas s˜ao bem modeladas com a Poisson Composta e independentes (n˜ao necessariamente identicamente distribu´ıdas), ent˜ao faz sentido considerar que as indemniza¸c˜oes agregadas para a carteira global tˆem distribui¸c˜ao de Poisson Composta. 43 / 89
  44. 44. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Se considerarmos uma carteira de seguros para um per´ıodo de m anos com indemniza¸c˜oes anuais agregadas mutuamente independentes e distribu´ıdas de acordo com a Poisson Composta (n˜ao necessariamente identicamente distribu´ıdas), ent˜ao faz sentido considerar para o per´ıodo total de m anos um modelo de Poisson Composto. 44 / 89
  45. 45. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Corol´ario: Sejam m reais distintos x1, x2, . . . , xm; m v.a.’s independentes N1, N2, . . . , Nm, com Ni P(λi ), i = 1, 2, . . . , m. Ent˜ao S = m i=1 xi Ni tem distribui¸c˜ao de Poisson Composta com parˆametro de frequˆencia λ = m i=1 λi montante de severidade com f.m.p. P[X = xi ] = λi λ , i = 1, 2, . . . , m 0, outros casos 45 / 89
  46. 46. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Demonstra¸c˜ao: Comece-se por observar que xi Ni = Ni k=1 xi =: Si , para i = 1, 2, . . . , m. Quer dizer, Si PC(λi , Fi ), com Fi f.d. degenerada em x = xi i.e., com f.g.m. associada Mi (r) = erxi . Pelo teorema anterior, S = m i=1 Si = m i=1 xi Ni tem f.g.m. MS (r) = exp λ m i=1 λi λ erxi − 1 o que, definindo MX (r) := m i=1 λi λ erxi , caracteriza a v.a. X. 46 / 89
  47. 47. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Os lemas que se seguem servem para ponto de partida para conclus˜oes acerca do comportamento de combina¸c˜oes lineares de v.a.’s com distribui¸c˜ao de Poisson. Lema 1: Toda a v.a. das indemniza¸c˜oes agregadas S = N j=1 Xj , com Xj discretas i.i.d. a X : xi , i = 1, 2, . . . , m P[X = xi ] = πi , pode ser representada como combina¸c˜ao linear de v.a.’s Ni do tipo S = m i=1 xi Ni . 47 / 89
  48. 48. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Demonstra¸c˜ao: Considere-se Ni :=“node parcelas iguais a xi na soma N j=1 Xj para i = 1, 2, . . . , m. Ent˜ao, N = m i=1 Ni , vindo S = N j=1 Xj = m i=1 Ni k=1 xi = m i=1 xi Ni . Veremos mais adiante que no caso de S ter uma distribui¸c˜ao de Poisson Composta, ent˜ao as v.a.’s Ni s˜ao mutuamente independentes e de Poisson. 48 / 89
  49. 49. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Lema 2: Considere-se Ni :=“node ocorrˆencias do acontecimento Ai em n provas de Bernoulli”para i = 1, 2, . . . , m. Denote-se πi := P[Ai ], com m i=1 πi = 1 e m i=1 Ni = n. No modelo multinomial P[N1 = n1, . . . , Nm = nm] = n! n1! . . . nm! πn1 1 . . . πnm m . Ent˜ao E exp m i=1 ri Ni = m i=1 πi eri . Note-se que Ni Bernoulli(πi ) e que, dado que m i=1 Ni = n, (N1, . . . , Nm) tem distribui¸c˜ao Multinomial(π1, . . . , πm). 49 / 89
  50. 50. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Demonstra¸c˜ao: Comece-se por notar que a f.g.m. de um vector aleat´orio (N1, . . . , Nm) ´e M(N1,...,Nm)(r1, . . . , rm) = E exp m i=1 ri Ni . Neste caso, E(exp( m i=1 ri Ni )) = n1,...,nm n1+...+nm=n exp( m i=1 ri ni ) n! n1! . . . nm! πn1 1 . . . πnm m = n1,...,nm n1+...+nm=n n! n1! . . . nm! (π1er1 )n1 . . . (πmerm )nm = (π1er1 + . . . + πmerm )n 50 / 89
  51. 51. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados f.g.m. de um vector aleat´orio Define-se a f.g.m para um vector aleat´orio ˜Z := (Z1, . . . , Zn) como M˜Z (˜r) := E e(˜r,˜Z) = E exp( n i=1 ri Zi ) , sendo ˜r := (r1, . . . , rn) um vector de componentes reais. O vector ˜Z tem componentes independentes sse M˜Z (˜r) = n i=1 MZi (ri ). 51 / 89
  52. 52. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Teorema Se S = m i=1 xi Ni PC(λ, FX ), com X : xi , i = 1, . . . , m P[X = xi ] = πi , , ent˜ao: N1, N2, . . . , Nm s˜ao mutuamente independentes Ni P(λi ), com λi := λπi , i = 1, . . . , m. 52 / 89
  53. 53. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Demonstra¸c˜ao: Iremos constatar que naquelas condi¸c˜oes M˜N(˜r) = m i=1 MNi (ri ) ficando portanto demonstrado que N1, N2, . . . , Nm s˜ao mutuamente independentes. A express˜ao que obteremos para MNi (ri ) permitir-nos-´a concluir que Ni P(λi ), com λi := λπi , i = 1, . . . , m. Seja N := m i=1 Ni ; ent˜ao 53 / 89
  54. 54. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados M˜N(˜r) = E exp( m i=1 ri Ni ) = ∞ n=0 E exp( m i=1 ri Zi )|N = n P(N = n) = ∞ n=0 m i=1 πi eri n e−λλn n! = e−λ ∞ n=0 ( m i=1 πi eri λ)n n! = e−λ exp m i=1 πi eri λ 54 / 89
  55. 55. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados = exp m i=1 λπi eri − λ m i=1 πi = m i=1 exp (λπi (eri − 1)) = m i=1 exp (λi (eri − 1)) = m i=1 MNi (ri ). com Ni P(λi ), i = 1, . . . , m. 55 / 89
  56. 56. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados toda a v.a. de Poisson ´e Poisson Composta Note-se que qualquer v.a. N de Poisson com parˆametro λ pode ser encarada como uma v.a. de Poisson Composta. Para tal, basta notar que se pode escrever sempre N = N i=1 1 = N i=1 Xi com Xi i.i.d. a uma v.a. degenerada em 1. 56 / 89
  57. 57. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Estes resultados s˜ao ´uteis para: 1. c´alculo da distribui¸c˜ao de Poisson Composta com montante de indemniza¸c˜ao individual discreto come¸ca-se por calcular as f.m.p das v.a.’s x1N1, x2N2, . . . , xmNm; calcula-se, de seguida, a convolu¸c˜ao das m f.m.p. anteriores Obs.: Mesmo quando o montante de indemniza¸c˜ao individual ´e uma v.a. cont´ınua, este m´etodo pode ser ´util ap´os uma “discretiza¸c˜ao”da v.a. associada. 57 / 89
  58. 58. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados 2. c´alculo do valor m´edio e variˆancia das indemniza¸c˜oes agregadas E(S) e Var(S), com S Poisson Composta com montante de indemniza¸c˜ao discreto E(S) = E( m i=1 xi Ni ) = m i=1 xi λi = m i=1 xi (λπi ) = λ m i=1 xi πi = λp1 Var(S) = Var( m i=1 xi Ni ) = m i=1 x2 i λi = m i=1 x2 i (λπi ) = λ m i=1 x2 i πi = λp2 58 / 89
  59. 59. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados 3. por vezes ´e conveniente encarar S como soma de v.a.’s mutuamente independentes do tipo xi Ni , i = 1, . . . , m, com distribui¸c˜ao de Poisson Composta de facto, podemos escrever aquelas v.a.’s como xi Ni = Ni k=1 xi = Ni k=1 Xk, com Xk i.i.d. a X∗ i , v.a. degenerada em xi . Pelo que xi Ni PC(λi , Fi ), com Fi (x) = 0, x < xi 1, x ≥ xi 59 / 89
  60. 60. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados No exemplo que se segue s˜ao explorados dois m´etodos de c´alculo da distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas. O primeiro refere-se ao c´alculo directo, j´a utilizado antes, e o segundo tem por base o resultado do teorema anterior. Exemplo: Considere S PC(λ, FX ) com λ = 0.8 e FX e f.d. associada `a f.m.p. dada por x 1 2 3 fX (x) 0.25 0.375 0.375 Calcular fS (x) := P(S = x), para x = 0, 1, 2, . . . , 6. 60 / 89
  61. 61. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Come¸caremos por obter a f.m.p. de S com recurso a fS (x) = P[S = x] = ∞ n=0 f ∗n X (x)P[N = n] = ∞ n=0 P[ n i=1 Xi = x]P[N = n], com λ = 0.8 x f ∗0 X (x) f ∗1 X (x) f ∗2 X (x) f ∗3 X (x) f ∗4 X (x) f ∗5 X (x) f ∗6 X (x) fS (x) 0 1.0 - - - - - - 0.449329 1 - 0.25 - - - - - 0.089866 2 - 0.375 0.0625 - - - - 0.143785 3 - 0.375 0.1875 0.015625 - - - 0.162357 4 - - 0.328125 0.070313 0.003906 - - 0.049905 5 - - 0.281250 0.175781 0.023438 0.000997 - 0.047360 6 - - 0.140625 0.263672 0.076172 0.007324 0.000244 0.030923 ... - - - - - ... n 0 1 2 3 4 5 6 P[N = n] = = e−λ λn n! 0.449329 0.359463 0.143785 0.038343 0.007669 0.001227 0.000164 61 / 89
  62. 62. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Aqui s˜ao apresentados os c´alculos auxiliares para a f.d. de S de acordo com o resultado do teorema , com m = 3, λ = 0.8, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 λ1 = λπ1 = 0.2, λ2 = λπ2 = 0.3, λ3 = λπ3 = 0.3, S = 1.N1 + 2.N2 + 3.N3 62 / 89
  63. 63. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados x P(N1 = x) P(2N2 = x) P(3N3 = x) P(N1 + 2N2 = x) P(N1 + 2N2 + 3N3 = x) = fS (x) 0 0.818731 0.740818 0.740818 0.606531 0.449329 1 0.163746 0.000000 0.000000 0.121306 0.089866 2 0.016375 0.222245 0.000000 0.194090 0.143785 3 0.001092 0.000000 0.222245 0.037201 0.162357 4 0.000055 0.033337 0.000000 0.030974 0.049905 5 0.000002 0.000000 0.000000 0.005703 0.047360 6 0.000000 0.033337 0.033337 0.003288 0.030923 ... ... i 1 2 3 λi 0.2 0.3 0.3 P(Ni = x) e−λ1 λx 1 x! e−λ2 λx 2 x! e−λ3 λx 3 x! 63 / 89
  64. 64. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. F´ormulas recursivas; m´etodo de Panjer No par´agrafo anterior os resultados obtidos de forma a calcular a distribui¸c˜ao das distribui¸c˜oes agregadas, exigiam que a severidade fosse discreta. Estudaremos de seguida um m´etodo alternativo que exige, ainda, que a severidade tome valores no conjunto dos inteiros positivos. O m´etodo ´e recursivo e o resultado em que se baseia ser´a deduzido para o caso da frequˆencia de Poisson, embora seja referida uma express˜ao mais geral para um certo tipo de frequˆencia que possa ser calculada de forma recursiva (Panjer (1981)). 64 / 89
  65. 65. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Teorema: Perante indemniza¸c˜oes agregadas com distribui¸c˜ao de Poisson Composta, e no caso do montante de indemniza¸c˜ao, X, tomar valores nos inteiros positivos, i.e., tomar valores xi = i, ´e v´alida a seguinte express˜ao recursiva para a f.m.p de S: fS (x) = P(S = x) = ∞ i=1 i x λi fS (x − i) para x = 1, 2, . . ., com λi = λπi , sendo πi = P(X = i), partindo do valor inicial fS (0) = e−λ. 65 / 89
  66. 66. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados a respeito de fS (0) Note-se que o valor inicial ´e obtido atrav´es do facto de o acontecimento de as indemniza¸c˜oes agregadas assumirem o valor zero ser equivalente ao acontecimento do n´umero de indemniza¸c˜oes ser nulo, uma vez que a severidade toma sempre valores positivos. Assim, fS (0) = P(S = 0) = P(N = 0) = e−λ . Desta forma, poderemos calcular recursivamente fS (1), fS (2), ... . 66 / 89
  67. 67. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Lema: Nas condi¸c˜oes anteriores, f ∗(n+1) X (x) = ∞ i=1 (n + 1) i x πi f ∗(n) X (x − i). Este lema estabelece uma rela¸c˜ao recursiva para as convolu¸c˜oes da distribui¸c˜ao de X, que demonstraremos de seguida. Demonstra¸c˜ao: Comecemos por considerar os valores m´edios condicionais E X1| n+1 i=1 Xi = x = . . . = E Xn+1| n+1 i=1 Xi = x = C, com C constante j´a que os Xi s˜ao i.i.d. . 67 / 89
  68. 68. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Ent˜ao, somando estes valores, n+1 k=1 E Xk| n+1 i=1 Xi = x = n+1 k=1 C = (n + 1)C. Por outro lado, n+1 k=1 E Xk| n+1 i=1 Xi = x = E n+1 k=1 Xk| n+1 i=1 Xi = x = x pelo que se conclui que C = x n + 1 . Consequentemente, 68 / 89
  69. 69. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados x n + 1 = E(X1| n+1 i=1 Xi = x) = ∞ i=1 iP(X1 = i| n+1 j=1 Xj = x) = ∞ i=1 i P(X1 = i, n+1 j=1 Xj = x) P( n+1 j=1 Xj = x) = ∞ i=1 i P(X1 = i).P( n+1 j=2 Xj = x − i) P( n+1 j=1 Xj = x) = ∞ i=1 iπi f ∗(n) X (x − i) f ∗(n+1) X (x) demonstrando-se o lema. 69 / 89
  70. 70. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Demonstra¸c˜ao do teorema: Vimos atr´as que fS (x) = P[S = x] = ∞ n=0 f ∗n X (x)P[N = n] = ∞ n=0 f ∗n X (x) e−λλn n! o que no caso de X ser discreta em 1, 2, 3, ... se reduz a fS (x) = ∞ n=1 f ∗n X (x) e−λλn n! = ∞ n=0 f ∗(n+1) X (x) e−λλn+1 (n + 1)! j´a que fS (0) = 0 para x = 0 e N ´e Poisson(λ) 70 / 89
  71. 71. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Aplicando o resultado do lema tem-se fS (x) = ∞ n=0 e−λλn+1 (n + 1)! ∞ i=1 (n + 1) i x πi f ∗n X (x − i) = ∞ i=1 i x λπi ∞ n=0 e−λλn n! f ∗n X (x − i) = ∞ i=1 i x λi fS (x − i), obtendo-se o pretendido. 71 / 89
  72. 72. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Exemplo: Retomemos o exemplo anterior, uma vez que os montantes de indemniza¸c˜ao s˜ao inteiros positivos, para calcular a f.m.p. de S. λ = 0.8, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 λ1 = λπ1 = 0.2, λ2 = λπ2 = 0.3, λ3 = λπ3 = 0.3. Partindo do valor inicial fS (0) = P[N = 0] = e−λ = e−0.8 = 0.449329, e notando que X ≤ 3, 72 / 89
  73. 73. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados fS (x) = ∞ i=1 i x λi fS (x − i) = min(x,3) i=1 i x λi fS (x − i), obtendo-se sucessivamente fS (1) = min(1,3) i=1 i 1 λi fS (1−i) = 1 1 λ1fS (1−1) = λ1fS (0) = 0.2fS (0) = 0.089866 fS (2) = min(2,3) i=1 i 2 λi fS (2 − i) = 1 2 (λ1fS (1) + λ2fS (0)) = 0.143785 fS (3) = min(3,3) i=1 i 3 λi fS (3−i) = 1 3 (λ1fS (2) + λ2fS (1) + λ3fS (0)) = 0.162358 . . . 73 / 89
  74. 74. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados f´ormulas de Panjer(1981) Para determinados modelos de distribui¸c˜ao composta, referentes a v.a.’s N cuja f.m.p. possa ser calculada de forma recursiva, a distribui¸c˜ao da v.a. das indemniza¸c˜oes agregadas, S, pode ser, ela pr´opria, calculada recursivamente, para os casos em que os montantes de indemniza¸c˜ao s˜ao inteiros positivos. As express˜oes relativas aos casos referidos s˜ao conhecidas por f´ormulas de Panjer. 74 / 89
  75. 75. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados f.m.p. de N obtida de forma recursiva Suponha-se que X toma valores nos inteiros positivos xi = i = 1, 2, ... com probabilidades πi = P(X = i). Suponha-se ainda que N tem f.m.p que pode ser calculada de forma recursiva, i.e., P(N = n + 1) = a + b n + 1 P(N = n), n = 0, 1, 2, ..., com a e b constantes. 75 / 89
  76. 76. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Obs.:As distribui¸c˜oes de Poisson e Binomial Negativa verificam esta express˜ao de recursividade: N Poisson(λ), λ > 0 P(N = n+1) = e−λλn+1 (n + 1)! = (0+ λ n + 1 ) e−λλn n! ⇒ a = 0, b = λ N BN(k, q) P(N = n + 1) = k + n + 1 − 1 n + 1 pk qn+1 = (q + (k − 1)q n + 1 ) k + n − 1 n pk qn ⇒ a = q, b = (k − 1)q 76 / 89
  77. 77. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Teorema: Panjer (1981) nas condi¸c˜oes definidas anteriormente e se a f.m.p. de N puder ser calculada recursivamente, a f.m.p. de S pode ser calculada recursivamente atrav´es de fS (x) = x i=1 (a + b i x )πi fS (x − i), x = 1, 2, ..., com fS (0) = P(N = 0). 77 / 89
  78. 78. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados casos particulares: N Poisson(λ) fS (x) = x i=1 i x λi fS (x − i), x = 1, 2, ... fS (0) = P(N = 0) = e−λ . N BN(k, q) fS (x) = q x i=1 (1 + (k − 1) i x )πi fS (x − i), x = 1, 2, ... fS (0) = P(N = 0) = pk . 78 / 89
  79. 79. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Obs. : 1 Se X assume apenas valore num conjunto finito de inteiros positivos xi = i = 1, 2, ..., k, ent˜ao fS (x) = min(x,k) i=1 (a + b i x )πi fS (x − i), x = 1, 2, ..., 2 A aplica¸c˜ao do m´etodo recursivo ainda ´e v´alida quando alguns dos πi s˜ao nulos. 79 / 89
  80. 80. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados M´etodos aproximados Quando o valor esperado do n´umero de sinistros, E(N), ´e muito elevado, a utiliza¸c˜ao do m´etodo recursivo torna-se morosa. Por outro lado, ´e frequente que para as indemniza¸c˜oes particulares, X, n˜ao se conhe¸ca a distribui¸c˜ao mas apenas alguns momentos. Nestas circunstˆancias, torna-se conveniente encontrar uma solu¸c˜ao aproximada. 80 / 89
  81. 81. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados aproxima¸c˜ao `a Normal Quando o coeficiente de assimetria de S, γS := E[(S − µS )3] (σ2 S )3/2 = µ3 µ 3/2 2 ; µS := E(S), σ2 S := Var(S), n˜ao atinge um valor elevado (γS < 0.1) ´e razo´avel utilizar a aproxima¸c˜ao `a Normal de modo an´alogo ao realizado com o modelo de risco individual no cap´ıtulo anterior. 81 / 89
  82. 82. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Assim, para uma carteira em que o n´umero esperado de sinistros E[N] ´e elevado, FS (x) ∼= Φ x − µS σS µS e σS para PC e BNC: No caso da distribui¸c˜ao de Poisson Composta, µS = λp1 e σ2 S = λp2 e no caso da distribui¸c˜ao Binomial Negativa Composta, µS = kq p p1 e σ2 S = kq p p2 + kq2 p2 p2 1. 82 / 89
  83. 83. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Estas aproxima¸c˜oes baseiam-se no seguinte Teorema: 1 Se S PC(λ, FX ), ent˜ao S∗ := S − µS σS = S − λp1 √ λp2 d −−−→ λ→∞ Z N(0, 1) 2 Se S BNC(k, q; FX ), ent˜ao S∗ := S − µS σS = S − kq p p1 kq p p2 + kq2 p2 p1 d −−−→ k→∞ Z N(0, 1) 83 / 89
  84. 84. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Aproxima¸c˜ao `a Gama deslocada Uma primeira abordagem ´e feita com recurso `a distribui¸c˜ao Gama deslocada, considerando FS (x) ∼= x−x0 0 βαtα−1 Γ(α) e−βt dt, ou, de forma equivalente, FS (x) ∼= x x0 βα (z − x0)α−1 Γ(α) e−β(z−x0) dz = x x0 fZ (z; α, β, x0)dz, onde fZ (z; α, β, x0) representa a f.d.p. duma v.a. Z com distribui¸c˜ao Gama de parˆametros (α, β), com localiza¸c˜ao x0. 84 / 89
  85. 85. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Ent˜ao µZ = x0 + α β σ2 Z = α β2 sendo γZ = 2√ α o coeficiente de assimetria de Z. Os parˆametros s˜ao escolhidos de forma a que o valor m´edio, a variˆancia e o ceficiente de assimetria de S calculados atrav´es da aproxima¸c˜ao referida coincidam com os originais, i.e., µS ≡ µZ , σ2 S ≡ σ2 Z , γS ≡ γZ 85 / 89
  86. 86. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados aproxima¸c˜ao `a Gama deslocada no caso S PC(λ, FX ) γS = λp3 (λp2)3/2 . Tal traduz-se em escolher para o modelo aproximado: o parˆametro de forma α = 4λ(p2)3 (p3)2 , o parˆametro de escala β = 2p2 p3 , o parˆametro de localiza¸c˜ao x0 = λp1 − 2λ(p2)2 p3 . 86 / 89
  87. 87. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Aproxima¸c˜ao Normal Power (NP) Para valores de x−µS σS > 1, FS (x) ∼= Φ − 3 γS + 9 γ2 S + 1 + 6 γS . x − µS σS , com Φ(.) a f.d. da N(0, 1), constitui uma boa aproxima¸c˜ao para a distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas, desde que o coeficiente de assimetria n˜ao seja excessivamente elevado (γS < 2). 87 / 89
  88. 88. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Nas aplica¸c˜oes pr´aticas, ´e frequentemente requerido o c´alculo de um percentil de S, x ( pequeno, em geral) tal que FS (x ) = P(S ≤ x ) = 1 − , o que se resolve de forma aproximada. 88 / 89
  89. 89. introdu¸c˜ao distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas modelos de frequˆencia e de severidade propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer. M´etodos aproximados Note-se que P(S > x ) = , consistindo, portanto a solu¸c˜ao na obten¸c˜ao da aproxima¸c˜ao (por invers˜ao ) de z ∼= − 3 γS + 9 γ2 S + 1 + 6 γS . x − µS σS o que implica que x ∼= µS + z + γS 6 (z − 1) , com z o percentil da N(0, 1) tal que Φ(z ) = 1 − . 89 / 89

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