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Modelos de risco coletivo para um periodo generico

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Modelos de risco coletivo para um periodo generico

  1. 1. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. 4. modelos de risco colectivo para um per´ıodo gen´erico 1 / 129
  2. 2. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. 1 Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. 2 Processos associados `as indemniza¸c˜oes 3 Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına 4 Um Modelo a Tempo Discreto 5 Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial 6 A Perda Agregada M´axima. 2 / 129
  3. 3. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Neste cap´ıtulo abordaremos modelos matem´aticos que traduzem as varia¸c˜oes no montante de reserva (ou saldo) de uma seguradora ao longo de um per´ıodo de tempo alargado, genericamente [0, t[. 3 / 129
  4. 4. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Reserva Seja U(t), para t ≥ 0, a Reserva associada a um risco duma seguradora no instante t. Se denotarmos a reserva inicial por U(0), fruto eventualmente de opera¸c˜oes passadas, e se supusermos que o pr´emio P(t) ´e continuamente recebido em (0, t), a uma taxa c > 0, P(t) = ct (supondo deduzidos de encargos administrativos e de gest˜ao), ent˜ao U(t) = u + P(t) − S(t) = u + ct − S(t), onde S(t) denota o processo das indemniza¸c˜oes agregadas ocorridas em (0, t] relativas o risco considerado. 4 / 129
  5. 5. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Neste modelo s˜ao ignorados factores como o rendimento proveniente de investimentos, juros e outros factores para al´em das indemniza¸c˜oes e a parte dos pr´emios ap´os a dedu¸c˜ao das despesas de car´acter administrativo. Estamos, assim, perante o que desginamos por Processo de Reservas ou Processo de Risco em tempo cont´ınuo {U(t), t ≥ 0}. 5 / 129
  6. 6. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Figura: Realiza¸c˜ao t´ıpica do Processo de Risco em tempo cont´ınuo, U(t). 6 / 129
  7. 7. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Um dos problemas de grande aplicabilidade e constituindo ´area de estudo em Teoria do Risco ´e a an´alise da probabilidade de ru´ına, conceito intimamente ligado ao processo de reservas. Defina-se instante de ru´ına como instante de ru´ına T = min{t : t > 0 e U(t) < 0}, com a conven¸c˜ao de que T = ∞ ´e equivalente a U(t) ≥ 0 para todo o t > 0, o que significa ausˆencia de ru´ına para qualquer instante t (n˜ao ocorre ru´ına). 7 / 129
  8. 8. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Define-se probabilidade de ru´ına em horizonte infinito como probabilidade de ru´ına em horizonte infinito ψ(u) = P[T < ∞], fun¸c˜ao da reserva inicial u, a que corresponde a reserva negativa no instante de ru´ına, U(T). Nas aplica¸c˜oes pr´aticas as seguradoras est˜ao interessadas no estudo da ru´ına apenas num per´ıodo longo mas finito. 8 / 129
  9. 9. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Define-se probabilidade de ru´ına em horizonte finito como probabilidade de ru´ına em horizonte finito ψ(u, t) = P[T < t], ou seja, probabilidade de ru´ına anterior ao instante t. Iremos considerar apenas o estudo de ψ(u), que ´e um limite superior de ψ(u, t), j´a que ´e matematicamente mais trat´avel. 9 / 129
  10. 10. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Faremos uma breve referˆencia ao modelo que se obtem generalizando o modelo estudado anteriormente, para um per´ıodo gen´erico, (0, t]. O modelo de risco assenta em dois processos aleat´orios: o processo do n´umero de indemniza¸c˜oes {N(t), t ≥ 0}; o processo das indemniza¸c˜oes agregadas {S(t), t ≥ 0}; Para uma certa carteira de ap´olices, seja: N(t) o n´umero de sinistros que ocorrem at´e ao instante t; a contagem ´e iniciada em t = 0, sendo N(0) = 0; S(t) as indemniza¸c˜oes agregadas referentes ao mesmo per´ıodo (0, t]. 10 / 129
  11. 11. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes continuaremos a denotar por Xi o montante da i−´esima indemniza¸c˜ao. Ent˜ao, S(t) = N(t) i=1 Xi . Estamos, portanto, interessados em estudar as distribui¸c˜oes para todos os t ≥ 0, ao contr´ario do que sucedeu no cap´ıtulo anterior, em que est´avamos interessados em estudar a distribui¸c˜ao da soma apenas para um per´ıodo de tempo fixado `a partida. No que se segue consideraremos: 11 / 129
  12. 12. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes para t ≥ 0 e h > 0, N(t + h) − N(t) → n´umero de sinistros que ocorrem entre os instantes t e t + h; S(t + h) − S(t) → indemniza¸c˜oes agregadas entre os instantes t e t + h; Xi designa o montante da i−´esima indemniza¸c˜ao e Ti refere-se ao instante do i−´esimo sinistro, pelo que T1, T2, T3, . . . s˜ao v.a.’s verificando-se, obviamente, T1 ≤ T2 ≤ T3 ≤ . . . ; Wi := Ti − Ti−1, i ≥ 1 → tempo de espera entre sinistros sucessivos, a partir de W1 := T1. 12 / 129
  13. 13. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Note-se que: Tanto N(t) como S(t) s˜ao fun¸c˜oes “em escada”ou de “patamares”; Os dois processos apresentam descontinuidades para os mesmos instantes Ti , i = 1, 2, . . ., em que ocorrem os sinistros; A “altura dos degraus”para o processo do n´umero de indemniza¸c˜oes N(t) ´e sempre igual a 1, uma vez que n˜ao s˜ao admitidas ocorrˆencias simultˆaneas de sinistros no modelo considerado (na pr´atica, se tal suceder, considera-se a ocorrˆencia de apenas um senistro no instante Ti correspondente `a agrega¸c˜ao dos sinistros ocorridos). Quanto ao processo das indemniza¸c˜oes agregadas, S(t), a descontinuidade em Ti atinge uma magnitude igual `a indemniza¸c˜ao ocorrida, Xi . 13 / 129
  14. 14. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Os gr´aficos seguintes exemplificam a situa¸c˜ao t´ıpica para aqueles dois processos. Figura: Realiza¸c˜ao t´ıpica do processo do n´umero de sinistros, N(t). 14 / 129
  15. 15. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Figura: Realiza¸c˜ao t´ıpica do processo das indemniza¸c˜oes agregadas, S(t). 15 / 129
  16. 16. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes M´etodos para definir o processo de contagem de sinistros 1 M´etodo global: Para t ≥ 0 e h > 0, especifica-se a distribui¸c˜ao de N(t + h) − N(t). Esta distribui¸c˜ao poder´a depender de N(s) para s ≤ t. 16 / 129
  17. 17. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes 2 M´etodo infinitesimal: Especifica-se a probabilidade de ocorrˆencia de um sinistro no intevalo infinitesimal entre t e t + dt, i.e., P[N(t + dt) − N(t) = 1], considerada proporcional `a amplitude do intervalo, dt, podendo tamb´em depender de N(s) para s ≤ t. No caso do processo de Poisson homog´eneo, ´e igual a λdt + o(dt). Este m´etodo ´e restringido aos casos em que lim dt→0 P[N(t + dt) − N(t) > 1] dt = 0 (= o(dt) dt ). 17 / 129
  18. 18. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes 3 M´etodo discreto ou do tempo de espera: Especifica-se a distribui¸c˜ao conjunta dos tempos de espera W1, W2, W3, . . . ou, equivalentemente, dos instantes de sinistro T1, T2, T3, . . . 18 / 129
  19. 19. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Iremos ilustrar estes m´etodos para um caso no ramo Vida , aproveitando para dar a conhecer ou relacionar conceitos em C´alculo Actuarial. exemplo: tempos de vida Considerem-se n indiv´ıduos com idade x no instante 0. Sejam N(t) :=“No de mortes ocorridas at´e ao instante t” Ti :=“instante em que ocorre a i−´esima morte”, (i = 1, 2, . . . , n) e assuma-se a independˆencia dos tempos de vida. Pretende-se especificar o processo {N(t), t ≥ 0}. 19 / 129
  20. 20. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Resolu¸c˜ao: Considere-se a seguinte nota¸c˜ao, tradicional em matem´atica actuarial: y px := P[sobrevivˆencia de um indiv´ıduo de idade x at´e `a idade de x + y] y qx := 1 −y px = P[morte de um indiv´ıduo de idade x antes da idade de x + y] Vamos esquematizar como definir o processo de contagem utilizando cada um dos m´etodos referidos. 20 / 129
  21. 21. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes 1. usando o m´etodo global: a distribui¸c˜ao de N(t + h) − N(t), dado N(t) = i, para i = 0, 1, . . . , n − 1, ´e Binomial, i.e., N(t + h) − N(t)|N(t) = i Binomial(n − i,h qx+t). 21 / 129
  22. 22. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Realmente, P[N(t + h) − N(t) = k|N(t) = i] = = P[ morrerem k indiv´ıduos dos n − i existentes no intervalo (x + t, x + t + h) = n−i k (hqx+t)k(1 −h qx+t)n−i−k, k = 0, 1, . . . , n − i 22 / 129
  23. 23. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes 2. usando o m´etodo infinitesimal: Iremos caracterizar P[N(t + dt) − N(t) = 1|N(t) = i], para i = 0, 1, . . . , n. 23 / 129
  24. 24. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Consideremos a seguinte nota¸c˜ao: µx+t :=taxa de mortalidade para um indiv´ıduo de idade x + t, significando que P[um indiv´ıduo de idade x + t morrer num intervalo infinitesimal (t, t + dt)] = µx+tdt Logo, P[N(t+dt)−N(t) = 1|N(t) = i] = (n−i)µx+tdt, para i = 0, 1, ..., n, j´a pode ser tratado como um caso particular do m´etodo 1 com k → 1 e hqx+t → µx+tdt. 24 / 129
  25. 25. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes 3. usando o m´etodo dos tempos de espera: Iremos caracterizar P[Ti+1 > s + t|Ti = s], para i = 1, 2, ..., n. Realmente, P[Ti+1 > s + t|Ti = s] = P[Wi+1 > t] = P[N(s + t) − N(s) = 0|N(s) = i] = (1 −t qx+s)n−i , para i = 1, 2, ..., n. 25 / 129
  26. 26. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Caracter´ısticas do processo de Poisson Tal como no exemplo precedente, o Processo de Poisson pode ser definido por uma desta vias: 1. m´etodo global: O n´umero de ocorrˆencias (sinistros ou indemniza¸c˜oes) em qualquer intervalo de amplitude h tem distribui¸c˜ao de Poisson de parˆametro λh, independentemente da localiza¸c˜ao desse intervalo e da hist´oria passada do processo. formalizando, P[N(t + h) − N(t) = k|N(s), ∀s≤t] = e−λh(λh)k k! , k = 0, 1, 2, ..., ∀t≥0. 26 / 129
  27. 27. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Propriedades: O processo de Poisson tem incrementos independentes, i.e., Se (t1, t1 + h1); (t2, t2 + h2); ...; (tn, tn + hn) s˜ao disjuntos, ent˜ao N(t1 + h1) − N(t1); N(t2 + h2) − N(t2); ...; N(tn + hn) − N(tn) s˜ao v.a.’s independentes. O processo de Poisson tem incrementos estacion´arios, j´a que N(ti + hi ) − N(ti ) P(λhi ) n˜ao dependendo, portanto, de ti . 27 / 129
  28. 28. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes 2. m´etodo infinitesimal: Fazendo k = 1, vem: P[N(t + h) − N(t) = 1|N(s), ∀s≤t] = e−λh λh, ∀t ≥ 0, pelo que fazendo h → dt P[N(t + dt) − N(t) = 1|N(s), ∀s≤t] = λdt, ∀t ≥ 0. A probabilidade de 1 ocorrˆencia (sinistro) num intervalo de amplitude dt ´e λdt, e ´e independente da localiza¸c˜ao do intervalo e da hist´oria passada do processo. 28 / 129
  29. 29. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes 3. m´etodo dos tempos de espera: P[Wi+1 > h|Ti = t, N(s)∀s≤t] = P[N(t + h) − N(t) = 0|Ti = t, N(s)∀s≤t] = e−λh pelo que P[Wi+1 ≤ h] = 1 − e−λh , h > 0, i.i, Wi+1 tem distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro λ e ´e independente de Wi , Wi−1, ..., W2, W1. Ent˜ao a defini¸c˜ao, segundo este m´etodo, pode ser formalizada: Se W1, W2, ... s˜ao v.a.’s mutuamente independentes e exponenciais de parˆametro λ, ent˜ao {N(t), t ≤ 0} ´e Processo de Poisson homog´eneo de parˆametro λ. 29 / 129
  30. 30. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Doravante, sempre que n˜ao seja explicitado algo em contr´ario, suporemos que as indemniza¸c˜oes agregadas relativas a um determinado risco de uma companhia s˜ao modeladas por: S(t) = N(t) i=1 Xi Xi i.i.d. a X com f.d. FX (.) N(t) processo de Poisson homog´eneo Xi independentes de {N(t), t ≤ 0} {S(t), t ≤ 0} constitui um Processo de Poisson Composto: S(t) PPC(λt, FX ) Modelo de Cram´er-Lundberg 30 / 129
  31. 31. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Observa¸c˜ao: Se as indemniza¸c˜oes constitu´ırem um Processo de Poisson Composto, ent˜ao s˜ao v´alidos os resultados an´alogos aos do cap´ıtulo anterior, com os ajustamentos ´obvios para o intervalo (0, t), i.e., λ ´e substitu´ıdo por λt. Tem-se, por exemplo, que a f.d. associada a S(t) ´e FS(t)(x) := P[S(t) ≤ x] = ∞ n=0 F∗n X (x)P[N(t) = n] = ∞ n=0 F∗n X (x) e−λt(λt)n n! , x ≥ 0, E[S(t)] = λtp1, Var[S(t)] = λtp2 e 31 / 129
  32. 32. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes MS (r) = MN(t)(log MX (r)), geralmente, = exp{λt(MX (r) − 1)}, uma vez que se N(t) ´e Processo de Poisson, ent˜ao MN(t)(r) = exp{λt(er − 1)} O facto de o Processo de Indemniza¸c˜oes Agregadas constituir um Processo de Poisson Composto arrasta um certo n´umero de propriedades, nomeadamente: 32 / 129
  33. 33. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes 1. distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas as indemniza¸c˜oes agregadas em (t, t + h, para t ≥ 0 e h > 0, tˆem distribui¸c˜ao P[S(t + h) − S(t) ≤ x] = ∞ k=0 e−λh(λh)k k! F∗k X (x) 2. probabilidade num intervalo infinitesimal de amplitude dt Num intervalo infinitesimal de amplitude dt, existe um sinistro com probabilidade λdt e correspondente montante de indemniza¸c˜ao com distribui¸c˜ao FX , ou n˜ao existe sinistro, com probabilidade 1 − λdt. 33 / 129
  34. 34. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes 3. ocorrˆencia do pr´oximo sinistro Em qualquer instante h, a probabilidade de que o pr´oximo sinistro ocorra entre os instantes h + t e h + t + dt e que o montante de indemniza¸c˜ao correspondente n˜ao exceda x ´e dada por e−λt (λdt)FX (x) O tempo entre sinistros consecutivos ´e uma exponencial de parˆametro λ. 34 / 129
  35. 35. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Por outro lado, as propriedades do processo N(t) s˜ao “transportadas”para S(t): Assim, {S(t), t ≥ 0} tem incrementos independentes e estacion´arios, i.e., com (t1, t1 + h1); (t2, t2 + h2); . . . ; (tn, tn + hn) intervalos disjuntos, S(t1 + h1) − S(t1); S(t2 + h2) − S(t2); . . . S(tn + hn) − S(tn) s˜ao v.a.’s independentes. a distribui¸c˜ao de S(ti + hi ) − S(ti ) n˜ao depende de ti e s´o de hi . 35 / 129
  36. 36. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Ou em termos das indemniza¸c˜oes agregadas: As indemniza¸c˜oes agregadas para intervalos de tempo disjuntos s˜ao v.a.’s independentes. A distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas para determinado per´ıodo de tempo depende s´o da sua dura¸c˜ao e n˜ao da respectiva localiza¸c˜ao no tempo. O modelo que temos vindo a abordar ´e designado por Modelo a tempo cont´ınuo, em oposi¸c˜ao a uma vers˜ao an´aloga alternativa que toma a designa¸c˜ao de Modelo a tempo discreto. 36 / 129
  37. 37. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına O processo das reservas de risco {U(t), t ≥ 0}, com U(t) = u + ct − S(t), U(0) = u, pode ser estudado atrav´es da sua rela¸c˜ao com o processo das indemniza¸c˜oes agregadas {S(t), t ≥ 0}. 37 / 129
  38. 38. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Relativamente `a probabilidade de ru´ına, ψ(u), vamos apresentar: os limite superior e inferior para ψ(u), em geral; a forma expl´ıcita de ψ(u), para o caso de indemniza¸c˜oes individuais exponenciais. Salvo indica¸c˜ao expl´ıcita em contr´ario, iremos supor verificadas as seguintes hip´oteses: 38 / 129
  39. 39. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına 1. Sup˜oe-se que a taxa c de pr´emio excede as indemniza¸c˜oes esperadas por per´ıodo, i.e., c > λp1 e define-se um coeficiente de seguran¸ca positivo, θ, tal que c = (1 + θ)λp1, (princ´ıpio do valor m´edio para o c´alculo do pr´emio) Observa¸c˜ao: Se c ≤ λp1 ent˜ao ψ(u) = 1 (Ru´ına Certa!); i.e., se θ → 0 ou θ < 0 =⇒ ψ(u) = 1, como veremos mais tarde. 39 / 129
  40. 40. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına 2. Considera-se (−∞, γ) o maior intervalo onde existe a f.g.m. MX (r), γ > 0. Exemplos: 1 X Exp(β), i.e., com f.d. FX (x) = 1 − e−βx , x > 0. Ent˜ao, MX (r) = β β − r , r < β e, portanto, γ = β. 2 X com suporte limitado. Ent˜ao, MX (r) existe para todo o r e, portanto, γ = +∞. 40 / 129
  41. 41. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına 3. Considera-se ainda que lim r→γ MX (r) = ∞. Apresentamos de seguida a defini¸c˜ao de Coeficiente de Ajustamento para o caso que estamos a tratar, de as indemniza¸c˜oes agregadas formarem um Processo de Poisson Composto, S(t) PPC(λt, FX ). 41 / 129
  42. 42. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Defini¸c˜ao: Coeficiente de Ajustamento O Coeficiente de Ajustamento define-se como a ´unica ra´ız positiva r = R da equa¸c˜ao λ + cr = λMX (r), r < γ ou, equivalentemente, usando o facto de c = (1 + θ)λp1 1 + (1 + θ)p1r = MX (r), r < γ 42 / 129
  43. 43. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Observa¸c˜ao: Estabele¸ca a equa¸c˜ao anterior no caso particular de ser utilizado o princ´ıpio da variˆancia. 43 / 129
  44. 44. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Vejamos por que raz˜ao a equa¸c˜ao 1 + (1 + θ)p1r = MX (r) tem apenas uma ra´ız positiva: Ambas as fun¸c˜oes do gr´afico, correspondentes aos 2 membros da equa¸c˜ao, passam pelo ponto (0, 1) (solu¸c˜ao trivial); MX (r) ´e crescente e convexa j´a que MX (r) = E[XerX ] > 0 MX (r) = E[X2 erX ] > 0; O declive da recta ´e (1 + θ)p1 e o declive da tangente `a curva MX (r) em r = 0 ´e MX (0) = p1. Ora, (1 + θ)p1 > p1, j´a que θ > 0. O gr´afico ´e representativo da situa¸c˜ao em causa, verificando-se que a recta e a curva s´o se cruzam uma ´unica vez para um valor de r ≡ R estritamente positivo. 44 / 129
  45. 45. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Observa¸c˜ao: 1 Em geral, R ≡ R(θ) ´e crescente com θ. 2 A designa¸c˜ao de ”Ajustamento”para este coeficiente n˜ao ´e ainda clara nesta fase de apresenta¸c˜ao dos conceitos, mas poderemos desde j´a adiantar que R est´a relacionado com a probabilidade de ru´ına ψ(u), o que vir´a a justificar a designa¸c˜ao utilizada para R. Exemplo: Determinar o Coeficiente de Ajustamento, R, para o caso em que as indemniza¸c˜oes individuais s˜ao exponenciais, i.e., X Exp(β), com f.d. FX (x) = 1 − e−βx , x > 0. 45 / 129
  46. 46. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Resolu¸c˜ao: Tem-se MX (r) = β β−r , r < β; assim p1 = MX (0) = E[X] = 1 β . Consequentemente, 1 + (1 + θ)p1r = MX (r) ´e equivalente a 1 + (1 + θ) r β = β β − r ou ainda (1 + θ)r2 − θβr = 0 com solu¸c˜oes: r = 0 (solu¸c˜ao trivial) e R = θβ 1 + θ (Coeficiente de Ajustamento ) 46 / 129
  47. 47. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına A equa¸c˜ao 1 + (1 + θ)p1r = MX (r) nem sempre pode ser resolvida de forma expl´ıcita, pelo que os m´etodos num´ericos de resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes s˜ao utilizados. Uma sugest˜ao ´e a utiliza¸c˜ao do m´etodo da bissec¸c˜ao partindo do intervalo inicial de localiza¸c˜ao da ra´ız (0, 2θp1/p2) (exerc´ıcio te´orico-pr´atico). Tal ´e a situa¸c˜ao do exemplo seguinte, em que somos conduzidos a uma equa¸c˜ao transcendente. 47 / 129
  48. 48. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Exemplo: Calcular R se todas as indemniza¸c˜oes individuais tˆem montante 1; i.e., X ≡ 1 (X degenerada em 1). Resolu¸c˜ao parcial: p1 = E[X] = 1 e MX (r) = E[er ] = er pelo que haveria necessidade de resolver iterativamente a equa¸c˜ao transcendente: 1 + (1 + θ)r = er . 48 / 129
  49. 49. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Pode-se mostrar o seguinte resultado (ver Bowers et al.,(1987) pg.368). Rela¸c˜ao entre o coeficiente de ajustamento, R,e a probabilidade de ru´ına, ψ(u) Teorema: De acordo com as hip´oteses simplificadoras do problema formuladas anteriormente, para u ≥ 0, ψ(u) = e−Ru E e−RU(T) T < ∞ 49 / 129
  50. 50. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Coment´arios: 1 Em geral n˜ao ´e poss´ıvel calcular o denominador de ψ(u) = e−Ru E e−RU(T) T < ∞ , salvo algumas excep¸c˜oes: por exemplo, se u = 0 e se X ´e exponencial. 2 Este teorema ´e ´util para obten¸c˜ao de desigualdades, de forma a obter limites inferior e superior para a probabilidade de ru´ına, ψ(u). 3 Tal como j´a t´ınhamos referido, ´e de notar que se verifica o seguinte: “se o coeficiente de seguran¸ca que afecta o pr´emio recebido tende para 0 ou se ´e negativo, ent˜ao o processo de reservas de risco est´a sujeito a ru´ına certa”; 50 / 129
  51. 51. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına realmente, θ → 0 =⇒ R → 0 =⇒ ψ(u) = 1 Ru´ına Certa! Por outro lado, considere-se um outro coeficiente de seguran¸ca θ1 < 0; ent˜ao como o processo de reservas ´e crescente como fun¸c˜ao de θ (atente-se ao gr´afico de U(t) e ao declive dos segmentos de recta envolvidos), tem-se U1(t) ≡ U1(t, θ1) < U2(t, θ2), com θ2 positivo θ2 ↓ 0+ e para o qual ψ(u) = 1. Logo, θ < 0 =⇒ ψ(u) = 1 Ru´ına Certa! 51 / 129
  52. 52. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Limites Superior e Inferior para a probabilidade de ru´ına, ψ(u) De acordo com o ψ(u) = e−Ru E e−RU(T) T < ∞ , verifica-se o seguinte: 1 Comece-se por notar que supondo que existe ru´ına, no instante de ru´ına o processo de reservas ´e negativo; i.e., U(T) < 0, dado T < ∞; ent˜ao E e−RU(T) T < ∞ > 1 e, consequentemente, ψ(u) < e−Ru 2 Se X tem suporte limitado, de tal modo que FX (m) = 1, para algum m finito, ent˜ao iremos constatar que ψ(u) > e−R(u+m) 52 / 129
  53. 53. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Realmente, supondo que existe ru´ına, a reserva no instante de ru´ına ´e superior a −m, j´a que a reserva era positiva antes da ´ultima indemniza¸c˜ao que produziu a ru´ına; i.e., U(T) > −m, dado T < ∞; consequentemente, tem-se e−RU(T) < eRm =⇒ E e−RU(T) T < ∞ < eRm e ent˜ao ψ(u) > e−Ru e−Rm = e−R(u+m) . 53 / 129
  54. 54. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Aproxima¸c˜ao para a probabilidade de ru´ına, ψ(u) Alguns autores sugerem o uso da aproxima¸c˜ao ψ(u) ∼= e−Ru , se bem que este valor sobrevaloriza o verdadeiro valor de ψ(u), j´a que corresponde realmente a um limite superior para aquela probabilidade. No caso de severidade exponencial ´e poss´ıvel calcular o valor exacto da probabilidade de ru´ına, como verificaremos no exemplo que se segue. 54 / 129
  55. 55. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Exemplo: Calcular ψ(u), para o caso de indemniza¸c˜oes particulares exponenciais de parˆametro β, i.e., para X Exp(β), com f.d. FX (x) = 1 − e−βx , x > 0. Resolu¸c˜ao: Suponha-se que ocorre ru´ına para o instante T, sendo a reserva de U(T). Comecemos por calcular o denominador de ψ(u) = e−Ru E e−RU(T) T < ∞ , , 55 / 129
  56. 56. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına E e−RU(T) T < ∞ , verificando em primeiro lugar que a v.a. referente ao “montante pelo qual se d´a a ru´ına, dado que esta ocorre”´e uma exponencial com parˆametro igual ao das indemniza¸c˜oes particulares. 56 / 129
  57. 57. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Para tal considere-se o seguinte: u∗ – montante de reserva anterior a T. X – montante de indemniza¸c˜ao que causou a ru´ına. Consequentemente, X = u∗ − U(T). 57 / 129
  58. 58. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Ent˜ao o acontecimento {−U(T) > y| T < ∞} ´e equivalente a {X > u∗ + y| X > u∗}, vindo assim P [−U(T) > y| T < ∞] = P [X > u∗ + y| X > u∗ ] = 1 − FX (u∗ + y) 1 − FX (u∗) = e−β(u∗+y) e−βu∗ = e−βy , y > 0. pelo que a v.a. Y := −U(T)| T < ∞ Exp(β) . 58 / 129
  59. 59. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Ent˜ao o c´alculo do denominador pretendido corresponde ao valor da f.g.m. de Y no ponto R; i.e., E e−RU(T) T < ∞ = MY (R) = β β − R . Por outro lado, vimos no Exemplo que para indemniza¸c˜oes individuais exponenciais o coeficiente de ajustamento ´e dado por R = θβ 1+θ . Donde, ψ(u) = e−Ru β β−R = 1 1 + θ exp − θβ 1 + θ u 59 / 129
  60. 60. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Um Modelo a Tempo Discreto • Neste par´agrafo faz-se referˆencia a um modelo que pode ser considerado como a vers˜ao discreta do modelo a tempo cont´ınuo anterior. Nomeadamente, ser´a considerada a reserva ao fim de n anos, em fun¸c˜ao da soma das indemniza¸c˜oes nesse no de anos, quando se considera um montante de pr´emios recebidos proporcional ao montante anual de pr´emios. S˜ao redefinidos para o caso discreto os conceitos anteriores de coeficiente de ajustamento e probabilidade de ru´ına, sendo real¸cado que no caso de o montante anual de indemniza¸c˜oes poder ser encarado como Poisson Composto esta defini¸c˜ao cai no caso particular do Modelo em tempo Cont´ınuo. ´E ainda dada a aproxima¸c˜ao do coeficiente de ajustamento, mostrando que ´e exacta no caso de montante anual de indemniza¸c˜oes com comportamento Normal. 60 / 129
  61. 61. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Apresentaremos de seguida um modelo a tempo discreto, de certa forma a vers˜ao discreta do modelo a tempo cont´ınuo considerado at´e aqui. Tamb´em aqui estaremos interessados num modelo matem´atico que traduz as varia¸c˜oes no montante de reserva (ou saldo) de uma seguradora ao longo de um per´ıodo de n anos. 61 / 129
  62. 62. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Seja Un, para n = 0, 1, 2, · · · , a Reserva associada a um risco de uma seguradora, no fim do per´ıodo n (n-´esimo ano, por exemplo). Se denotarmos a reserva inicial por U0 = u, fruto eventualmente de opera¸c˜oes passadas, e se supusermos que o pr´emio global Pn ao fim de n anos ´e proporcional ao montante de pr´emios em cada per´ıodo c (pr´emios anuais, por exemplo), i.e., Pn = cn, ent˜ao Un = u + Pn − Sn = u + cn − Sn, onde Sn denota a soma das indemniza¸c˜oes anuais ocorridas nos primeiros n per´ıodos (anos), relativas ao risco considerado. 62 / 129
  63. 63. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Estamos, assim, perante o que designamos por um Processo de Reservas ou Processo de Risco em tempo discreto {Un, n = 0, 1, 2, · · · }. 63 / 129
  64. 64. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Suponhamos ainda que Sn = n i=1 Wi . Wi soma das indemniza¸c˜oes no per´ıodo i (ano i) Wi i.i.d. a W , i = 1, 2, · · · , n com f.d. FW (.) e f.g.m. MW (r) E[W ] = µ < c, i.e., pr´emio anual recebido superior ao pr´emio anual esperado. 64 / 129
  65. 65. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Neste contexto, defina-se instante de ru´ına Define-se instante de ru´ına como ˜T = min {n : Un < 0} , com a conven¸c˜ao de que ˜T = ∞ ´e equivalente a Un ≥ 0 para todo n, o que significa a ausˆencia de ru´ına no fim de qualquer per´ıodo n (N˜ao ocorre Ru´ına no fim de qualquer ano). 65 / 129
  66. 66. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Define-se probabilidade de ru´ına em horizonte infinito como fun¸c˜ao da reserva inicial u, ˜ψ(u) = P[ ˜T < ∞], a que corresponde a reserva negativa no instante de ru´ına, U˜T . No que respeita `a probabilidade de ru´ına ˜ψ(u), existe um resultado an´alogo a ψ(u) = e−Ru E(e−RU(T)|T<∞) , adaptado para os conceitos paralelos em tempo discreto. Para tal o Coeficiente de Ajustamento define-se como se segue: 66 / 129
  67. 67. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto O Coeficiente de Ajustamento define-se como a ´unica ra´ız positiva r = ˜R da equa¸c˜ao e−cr MW (r) = 1 , (1) Mostremos que realmente esta equa¸c˜ao tem apenas uma ra´ız positiva; notando que ´e equivalente a h(r) = 1, com h(r) := E e(W −c)r , e que h (r) = E[(W − c)e(W −c)r ] e h (r) = E[(W − c)2 e(W −c)r ] 67 / 129
  68. 68. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto ent˜ao h(0) = 1 e h (0) = E[W − c] = E[W ] − c = µ − c < 0, sendo o declive negativo para a recta tangente a h(r) no ponto de abcissa r = 0. Por outro lado, h (r) > 0, para todo r; pelo que h(r) ´e convexa. Supondo que a v.a. W assume valores superiores a c com probabilidade positiva, ent˜ao h (r) > 0, para r suficientemente elevado, tornando-se h(r) crescente. 68 / 129
  69. 69. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Figura: Coeficiente de Ajustamento, ˜R, para o modelo de risco em tempo discreto. Assim, o gr´afico ´e representativo da posi¸c˜ao relativa da curva h(r) e da recta de ordenada constante igual a 1, sendo ´obvia a conclus˜ao de que apenas se intersectam para outro valor de r = ˜R, estritamente positivo. 69 / 129
  70. 70. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Iremos agora abordar uma particulariza¸c˜ao do modelo a tempo discreto com interesse especial. Caso particular: Indemniza¸c˜ao anual com distribui¸c˜ao Poisson Composta {Wi }i=1,2,··· i.i.d. a W PC(λ, FX ) A equa¸c˜ao e−cr MW (r) = 1 ´e equivalente a log MW (r) − cr = 0 pelo que, como neste modelo a f.g.m. de W ´e MW (r) = exp {λ(MX (r) − 1)}, a equa¸c˜ao precedente concretiza-se em λ(MX (r) − 1) = cr 70 / 129
  71. 71. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto ou seja, λMX (r) = cr + λ que corresponde exactamente `a mesma equa¸c˜ao definidora de R no caso do modelo a tempo cont´ınuo considerado no par´agrafo anterior. Neste sentido, ˜R pode ser encarado como uma generaliza¸c˜ao de R. 71 / 129
  72. 72. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto O exemplo seguinte tem por objectivo de certo modo justificar uma aproxima¸c˜ao usual tomada para o coeficiente de ajustamento, como ser´a observado. exemplo: Determinar ˜R no caso de indemniza¸c˜ao anual normal, i.e., {Wi }i=1,2,··· i.i.d. a W ℵ(µW , σ2 W ) Resolu¸c˜ao: MW (r) = exp µW r + σ2 W r2 2 , pelo que 72 / 129
  73. 73. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto log MW (r) = cr ⇐⇒ µW r + σ2 W r2 2 = cr a qual tem por ra´ız n˜ao trivial o valor ˜R = 2(c − µW ) σ2 W . 73 / 129
  74. 74. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Pode-se mostrar que dada uma reserva inicial u > 0, ˜ψ(u) = e−˜Ru E e−˜RU˜T ˜T < ∞ . (2) Consequentemente, como U˜T < 0 por defini¸c˜ao de instante de ru´ına a tempo discreto, ent˜ao ˜ψ(u) < e−˜Ru constitui um limite superior para a probabilidade de ru´ına. 74 / 129
  75. 75. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto O valor seguinte constitui uma aproxima¸c˜ao usual para o Coeficiente de Ajustamento ˜R ∼= 2(c − µW ) σ2 W , denotando µW := E[W ] e σ2 W := Var[W ] Observa¸c˜ao: Esta aproxima¸c˜ao ´e exacta no caso de indemniza¸c˜ao anual normal (Exemplo anterior) 75 / 129
  76. 76. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Caso particular: Indemniza¸c˜ao anual com distribui¸c˜ao Composta {Wi }i=1,2,··· i.i.d. a W = N i=1 Xi , Modelo de Risco Colectivo anual S = N i=1 Xi . Com as nota¸c˜oes usuais referentes ao n´umero anual de sinistros N, aos momentos simples do montante de indemniza¸c˜ao individual, pk = E[Xk], e considerando um montante de pr´emio anual calculado com base no princ´ıpio do valor m´edio com coeficiente de seguran¸ca θ, c = (1 + θ)µW , 76 / 129
  77. 77. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto ent˜ao a aproxima¸c˜ao gen´erica para o coeficiente de ajustamento ´e ˜R ∼= 2θµW σ2 W = 2θp1E[N] (p2 − p2 1)E[N] + p2 1Var[N] exemplo: Dˆe um valor aproximado do coeficiente de ajustamento para o modelo de risco a tempo discreto, ˜R, no caso de frequˆencia anual de sinistro: 1 N P(λ) 2 N BN(k, p). 77 / 129
  78. 78. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto Neste caso, relembrando os resultados para um processo de 1 Poisson Composto W PC(λ, FX ), tem-se µW = λp1 e σ2 W = λp2, pelo que ˜R ∼= 2θp1 p2 . 2 Binomial Negativo Composto W BNC(k, q; FX ), tem-se µW = kq p p1 e σ2 W = kq p p2 + kq2 p2 p2 1, 78 / 129
  79. 79. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Um Modelo a Tempo Discreto pelo que ˜R ∼= 2θp1 (p2 + p2 1q/p) . observa¸c˜ao: Note-se que quando q → 0 no modelo binomial negativo, o resultado 2 reduz-se a 1 para uma frequˆencia de sinistro de Poisson, o que de certo modo j´a era esperado devido `a rela¸c˜ao entre estes dois modelos. 79 / 129
  80. 80. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Voltando ao modelo em tempo cont´ınuo, com indemniza¸c˜oes agregadas a constituirem um Processo de Poisson Composto e pr´emios calculados de acordo com carga de seguran¸ca a acrescer ao valor m´edio de indemniza¸c˜ao, ´e apresentado um resultado relativo `a probabilidade das reservas alguma vez descerem abaixo do seu n´ıvel inicial e estarem enquadradas num intervalo de amplitude infinitesimal. Com base nesse resultado, s˜ao deduzidas distribui¸c˜oes interessantes para o objectivo final de explorar a probabilidade de ru´ına. No caso de as indemniza¸c˜oes individuais serem exponenciais (resp., degeneradas num montante positivo) ´e deduzida a exponencialidade (resp., uniformidade) associada `a distribui¸c˜ao do montante pelo qual o n´ıvel de reservas desce abaixo do n´ıvel inicial pela primeira vez. 80 / 129
  81. 81. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Retomemos o modelo de risco a tempo cont´ınuo, formulado nas sec¸c˜oes anteriores. Consideremos o montante de reserva no instante em que esta desce abaixo do n´ıvel inicial, u. Convem notar que esta situa¸c˜ao pode nunca ocorrer, eventualmente. Pode-se mostrar o seguinte resultado (ver Bowers et al.,(1987) pg.370). 81 / 129
  82. 82. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Teorema: Num Processo de Poisson Composto, a probabilidade de que as reservas alguma vez des¸cam abaixo do seu n´ıvel inicial u e estejam situadas no intervalo infinitesimal (u − y − dy, u − y) quando tal sucede pela primeira vez ´e λ c [1 − FX (y)] dy = 1 − FX (y) (1 + θ)p1 dy, y > 0 82 / 129
  83. 83. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Figura: Primeira descida das reservas U(t) abaixo do n´ıvel inicial, u. 83 / 129
  84. 84. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Relembremos que: S(t) PPC(λt, FX ); c = (1 + θ)λp1; U(t) = u + ct − S(t), para t ≥ 0. Pelo teorema anterior conclui-se o seguinte: Corol´ario: A probabilidade das reservas alguma vez serem inferiores ao seu n´ıvel inicial, u, ´e 1 1+θ . 84 / 129
  85. 85. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Pelo teorema tem-se P [U(t) < u ∧ u − y − dy < U(t) < u − y] = λ c [1 − FX (y)] dy, para Pelo que P[U(t) < u] = ∞ 0 λ c [1 − FX (y)] dy = λ c ∞ 0 [1 − FX (y)] dy, Ora, p1 = ∞ 0 [1 − FX (y)] dy, j´a que X ´e uma v.a. n˜ao negativa, vindo ent˜ao P[U(t) < u] = λp1 c = λp1 (1 + θ)λp1 = 1 1 + θ . 85 / 129
  86. 86. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Conclus˜ao: A probabilidade das reservas alguma vez descerem do n´ıvel inicial u depende do coeficiente de seguran¸ca, θ, e n˜ao do n´ıvel inicial. Caso Particular: Seja u = 0; ent˜ao P[U(t) < 0] representa a probabilidade das reservas alguma vez descerem abaixo de 0, i.e., trata-se da probabilidade de ru´ına, quando o n´ıvel inicial ´e 0: ψ(0) = 1 1 + θ . Note-se que ψ(0) depende exclusivamente do coeficiente de seguran¸ca e n˜ao da forma particular da distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes individuais. 86 / 129
  87. 87. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Como j´a foi observado, as reservas podem n˜ao descer abaixo do n´ıvel inicial de onde partem. Realmente, esse acontecimento ocorre com um certa probabilidade, 1 1 + θ . Denote-se por L1 −→ v.a. do “montante pelo qual as reservas descem abaixo do seu n´ıvel inicial quando tal ocorre pela 1a vez, dado que tal acontece”. 87 / 129
  88. 88. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial corol´ario: A f.d.p. da v.a. L1 ´e fL1 (y) = 1 p1 [1 − FX (y)] , y > 0 Demonstra¸c˜ao: Comecemos por notar que L1 d = u − U(t)|{U(t) < u}; assim, e como consequˆencia dos teorema e corol´ario anteriores, fL1 (y)dy = P [y < u − U(t) < y + dy|U(t) < u] = P [−y − dy < U(t) − u < −y|U(t) < u] = P [u − y − dy < U(t) < u − y|U(t) < u] = P [U(t) < u ∧ u − y − dy < U(t) < u − y] P[U(t) < u] 88 / 129
  89. 89. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial = λ c [1 − FX (y)] dy 1 1+θ = (1 + θ)λ (1 + θ)λp1 [1 − FX (y)] dy = 1 p1 [1 − FX (y)] dy Quer dizer: a f.d.p. de L1 ´e dada por fL1 (y) = 1 p1 [1 − FX (y)] , y > 0 89 / 129
  90. 90. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Corol´ario: A f.g.m. de L1, ML1 (r), e a f.g.m. de X, MX (r) verificam ML1 (r) = 1 p1r [MX (r) − 1] . 90 / 129
  91. 91. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial ML1 (r) = E erL1 = 1 p1 ∞ 0 ery [1 − FX (y)] dy = 1 rp1 ery [1 − FX (y)] |∞ 0 + ∞ 0 ery fX (y)dy = 1 p1r [MX (r) − 1] uma vez que limy→∞ery [1 − FX (y)] = 0. 91 / 129
  92. 92. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial O exemplo seguinte tem por principal objectivo verificar que no caso em que a indemniza¸c˜ao individual ´e uma v.a. degenerada, ent˜ao L1 e o n´ıvel de reservas depois de sofrer a descida provocada por L1 s˜ao v.a.’s com distribui¸c˜ao uniforme. Exemplo: Escrever uma express˜ao para a distribui¸c˜ao do n´ıvel de reservas no instante em que a reserva desce abaixo do n´ıvel inicial, u, pela 1a vez, dado que tal acontece, para o caso de todas as indemniza¸c˜oes serem de montante igual a b. Resolu¸c˜ao: X ´e degenerada em b, X ≡ b; pelo que E[X] = b e FX (y) = 0, y ∈ (−∞, b) 1, y ∈ [b, ∞) . 92 / 129
  93. 93. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Assim a f.d.p. ´e dada por fL1 (y) = 1 b [1 − FX (y)] = 1 b , y ∈ [0, b) 0, y /∈ [0, b) . Ent˜ao L1 U(0,b) e o n´ıvel de reservas depois de tal descida u − L1 U(u−b,u). 93 / 129
  94. 94. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Exemplo: Determinar a distribui¸c˜ao de L1 para o caso de indemniza¸c˜oes particulares exponenciais de parˆametro β, i.e., para X Exp(β), com f.d. FX (y) = 1 − e−βy , y > 0. Resolu¸c˜ao: p1 = 1 β e fL1 (y) = 1 p1 [1 − FX (y)] = βe−βy , y > 0. Ent˜ao L1 Exp(β) . 94 / 129
  95. 95. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial Observa¸c˜ao: O n´ıvel de reservas depois de tal descida, u − L1, tem distribui¸c˜ao Weibull de m´aximos de forma unit´aria, localiza¸c˜ao igual ao n´ıvel inicial e escala igual `a indemniza¸c˜ao individual esperada. Fu−L1 (z) = eβ(u−z), z < u 1, z ≥ u . Observa¸c˜ao: Poder-se-ia obter a mesma conclus˜ao utilizando a rela¸c˜ao entre as f.g.m.’s do Corol´ario. 95 / 129
  96. 96. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima Define-se aqui fun¸c˜ao Perda Agregada M´axima como sendo o excesso m´aximo das indemniza¸c˜oes agregadas sobre os pr´emios recebidos. Mostrando a sua rela¸c˜ao directa com a probabilidade de ru´ına, real¸ca-se o car´acter misto desta v.a. Seguidamente, relacionando com o comportamento geom´etrico do no de vezes que a perda agregada bate um record, deduz-se uma express˜ao muito ´util para o c´alculo da probabilidade de ru´ına em certas situa¸c˜oes. Como exemplos de aplica¸c˜ao, s˜ao essencialmente tratados os casos em que a express˜ao do par´agrafo anterior ´e trat´avel analiticamente, nomeadamente o caso particular de indemniza¸c˜oes individuais modeladas atrav´es de mistura de exponenciais ou de comportamento gama. ´E ainda sugerida uma aproxima¸c˜ao para a probabilidade de ru´ına que resulta em exacta para o caso de indemniza¸c˜ao individual exponencial. 96 / 129
  97. 97. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. A seguinte defini¸c˜ao prende-se com a probabilidade de ru´ına. Defini¸c˜ao: Define-se perda agregada m´axima como sendo a v.a. n˜ao negativa L = max t≥0 {S(t) − ct} . A v.a. L n˜ao ´e mais do que o excesso m´aximo das indemniza¸c˜oes agregadas sobre os pr´emios recebidos. A v.a. perda agregada m´axima ´e n˜ao negativa, i.e., L ≥ 0, j´a que S(t) − ct = 0, para t = 0. 97 / 129
  98. 98. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Note-se ainda a dualidade sim´etrica dos gr´aficos que correspondem respectivamente ao Processo de Reservas de Risco {U(t) = u + ct − S(t), t ≥ 0} e ao Processo de Perda Agregada {S(t) − ct = u − U(t), t ≥ 0}. 98 / 129
  99. 99. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Figura: Simetria dos Processos de Reservas de risco U(t) = u + ct − S(t) e da Perda Agregada S(t) − ct . 99 / 129
  100. 100. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. De imediato se conclui a seguinte rela¸c˜ao entre a distribui¸c˜ao da Perda Agregada M´axima e a Probabilidade de Ru´ına. Teorema: A f.d. da v.a. L e a fun¸c˜ao ψ(.) verificam a igualdade ψ(u) = 1 − FL(u) , para todo o n´ıvel inicial u ≥ 0. Demonstra¸c˜ao: FL(u) = P[L ≤ u] = P max t≥0 {S(t) − ct} ≤ u , 100 / 129
  101. 101. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. = P [S(t) − ct ≤ u, ∀t ≥ 0], = P [u + ct − S(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0], = P [U(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0], = 1 − P [ru´ına], = 1 − ψ(u), para todo o n´ıvel inicial u ≥ 0. 101 / 129
  102. 102. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Corol´ario: A v.a. L ´e mista, tendo ponto de massa de probabilidade em L = 0, com P[L = 0] = θ 1 + θ . Demonstra¸c˜ao: Trata-se de uma consequˆencia directa do teorema anterior, j´a que FL(0) = P[L ≤ 0] = P[L = 0] = 1 − ψ(0) = θ 1+θ , pelo que L ´e v.a. mista, tendo um ponto de massa em L = 0, e sendo cont´ınua para u > 0. 102 / 129
  103. 103. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Pelos resultados anteriores imediatamente se conclui que A distribui¸c˜ao de Perda Agregada M´axima pode ser utilizada para obtermos informa¸c˜ao acerca da Probablidade de Ru´ına. 103 / 129
  104. 104. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Relembre-se ainda que a Probabilidade de Ru´ına, ψ(u), ´e uma fun¸c˜ao decrescente do n´ıvel inicial, u, partindo sempre do valor 1 1+θ . 104 / 129
  105. 105. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. No seguinte teorema ´e evidenciado mais uma vez o car´acter misto da v.a. L, atrav´es da respectiva f.g.m., assim com uma represen¸c˜ao de L como soma aleat´oria de v.a.’s i.i.d. a L1, definida na sec¸c˜ao anterior. Teorema: A v.a. L possui a f.g.m. seguinte ML(r) = θp1r 1 + (1 + θ)p1r − MX (r) . 105 / 129
  106. 106. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Considerem-se os instantes em que o processo de perca agregada, S(t) − ct, atinge novos recordes. (Na figura isso sucede por 2 vezes, com acr´escimos relativamente aos anteriores dados por L1 e L2). Dado que ocorreu um valor recorde, existe uma probabilidade ψ(0) de que seja ultrapassado e existe uma probabilidade 1 − ψ(0) de que permane¸ca o mesmo. Realmente, esta conclus˜ao ´e uma consequˆencia do facto de S(t) ser um Processo de Poisson Composto e, portanto, de incrementos estacion´arios e independentes. 106 / 129
  107. 107. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Assim, a ocorrˆencia de um valor recorde para o processo da perda agregada tem igual probabilidade da ocorrˆencia de uma descida abaixo do n´ıvel de que parte o processo de reservas, i.e., 1 1+θ = ψ(0) (basta pensar na dualidade entre os gr´aficos referentes ao processo de perda agregada e ao processo de reservas). Considere-se a v.a. seguinte: N −→ “o no de vezes que a perda agregada bate um recorde, contando a origem como o recorde n´umero 0 ” 107 / 129
  108. 108. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Ent˜ao, obviamente, P[N = n] = [1 − ψ(0)][ψ(0)]n = [ θ 1+θ ][ 1 1+θ ]n, n = 0, 1, 2 · · · . Trata-se de uma v.a. geom´etria, i.e., N Geo( θ 1+θ ) e, relembrando o Exemplo 6.1, a f.g.m. de N ´e MN(r) = θ 1+θ 1 − 1 1+θ er = θ 1 + θ − er . 108 / 129
  109. 109. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. A perda agregada m´axima,L, pode ser representada atrav´es da soma aleat´oria de N v.a.’s referentes aos montantes pelos quais os recordes s˜ao ultrapassados (veja-se o gr´afico do processo de perda agregada); i.e., L = N i=1 Li . Por outro lado, as v.a.’s Li s˜ao i.i.d. a L1, montante pelo qual as reservas descem abaixo do n´ıvel inicial pela primeira vez, dado que tal sucede; quer dizer: Li i.i.d. a L1 com f.d.p. fL1 (y) = 1 p1 [1 − FX (y)], y ≥ 0; Li s˜ao independentes de N; 109 / 129
  110. 110. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Ent˜ao, a f.g.m. de L ´e dada por ML(r) = MN(log ML1 (r)) = θ 1 + θ − ML1 (r) . Como pelo Corol´ario ML1 (r) = 1 p1r [MX (r) − 1], tem-se o resultado ML(r) = θp1r 1 + (1 + θ)p1r − MX (r) . 110 / 129
  111. 111. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. O seguinte resultado fornece uma equa¸c˜ao que revelar-se-´a muito ´util na obten¸c˜ao de algumas conclus˜oes como veremos. Teorema: A seguinte igualdade ´e verificada ∞ 0 eur (−ψ (u))du = 1 1 + θ · θ[MX (r) − 1] 1 + (1 + θ)p1r − MX (r) (3) Demonstra¸c˜ao: De acordo com o teorema anterior, ´e v´alida a seguinte decomposi¸c˜ao da f.g.m. de L na soma de 2 parcelas, evidenciando mais uma vez o car´acter misto da v.a. L ML(r) = θ 1 + θ + 1 1 + θ · θ[MX (r) − 1] 1 + (1 + θ)p1r − MX (r) . (4) 111 / 129
  112. 112. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. ou seja, ML(r) = P[L = 0].E[erL |L = 0] + P[L > 0].E[erL |L > 0] e ainda ML(r) = P[L = 0].E[e0] + P[L > 0]. ∞ 0 eru fL(u) P[L>0] du = = P[L = 0] + ∞ 0 erufL(u)du, 112 / 129
  113. 113. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Por outro lado a fun¸c˜ao de probabilidade de L ´e fL(u) = P[L = 0] = 1 − ψ(0), u = 0 −ψ (u) u > 0, pelo que ML(r) = P[L = 0] + ∞ 0 eru (−ψ (u))du, concluindo-se a igualdade pretendida por compara¸c˜ao directa da 2a parcela com a express˜ao (4), i.e. ∞ 0 eru (−ψ (u))du = 1 1 + θ · θ[MX (r) − 1] 1 + (1 + θ)p1r − MX (r) . 113 / 129
  114. 114. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. A express˜ao (3) pode ser usada com o objectivo de determinar a probabilidade de ru´ına, ψ(u); a sua utilidade revela-se, contudo, apenas para determinados casos; tal ´e a situa¸c˜ao em que as indemniza¸c˜oes particulares s˜ao exponenciais, misturas de exponenciais ou gama. caso particular: X ´e Mistura de Exponenciais fX (x) = n i=1 Ai βi e−βi x , x > 0, (5) com βi > 0, Ai > 0, ∀i=1,2,··· ,n, e n i=1 Ai = 1. 114 / 129
  115. 115. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Ent˜ao, MX (r) = n i=1 Ai βi βi − r , que s´o existe para r < min{β1, β2, · · · βn, }. Generalizemos esta defini¸c˜ao e estenda-se MX (r) para r ∈ R, r = βi , para i = 1, 2, · · · , n. Substituindo a express˜ao particular de MX (r) na equa¸c˜ao (3), vem no 2o membro da referida equa¸c˜ao um quociente de polin´omios em r, sendo n o grau do denominador; pelo que pode ser escrito na forma: 115 / 129
  116. 116. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. ∞ 0 eru (−ψ (u))du = n i=1 Ci ri ri − r , (6) para constantes Ci , e em que os ri , i = 1, 2, · · · , n, s˜ao as ra´ızes do denominador do 2o membro,i.e., satisfazem a equa¸c˜ao definidora do Coeficiente de Ajustamento 1 + (1 + θ)p1r = MX (r), sendo obviamente R ≡ min{r1, r2, , · · · rn, }. 116 / 129
  117. 117. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Corol´ario: No caso de X ser uma mistura de exponenciais definida em (5) e nas condi¸c˜oes anteriores, a fun¸c˜ao solu¸c˜ao que satisfaz simultaneamente (6) e ψ(∞) = 0 ´e ψ(u) = n i=1 Ci e−ri u , (7) 117 / 129
  118. 118. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Derivando ambos os membros de (7) obtem-se ∞ 0 eur (−ψ (u))du = ∞ 0 eur n i=1 Ci ri e−ri u du = = n i=1 Ci ri ∞ 0 e(r−ri )u du = = n i=1 Ci ri ri − r 118 / 129
  119. 119. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Exemplo: Deduzir uma express˜ao para ψ(u) para o caso de X Expβ). Resolu¸c˜ao: Trata-se de um caso particular da decomposi¸c˜ao do 2o membro (3) para o caso de uma mistura de exponenciais com n = 1. Assim, sendo a f.g.m. de X MX (r) = β β − r = 1 1 − p1r , obtem-se 1 1 + θ · θ[MX (r) − 1] 1 + (1 + θ)p1r − MX (r) = C1r1 r1 − r para constantes C1 e r1 a determinar. 119 / 129
  120. 120. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. A substitui¸c˜ao de MX (r) conduz a 1 1 + θ · θ θ − (1 + θ)p1r = C1r1 r1 − r , igualdade verificada para as constantes C1 = 1 1+θ e r1 = θ (1+θ)p1 determinados pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados, por exemplo. Por fim, pelo Corol´ario a probabilidade de ru´ına ´e ψ(u) = C1e−r1u = 1 1 + θ exp − θβ 1 + θ u , u ≥ 0. j´a obtido anteriormente. 120 / 129
  121. 121. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Exemplo: Deduzir uma express˜ao para ψ(u) para o caso de X com f.d.p. fX (x) = 3 2 e−3x + 7 2 e−7x , x > 0, e para um coeficiente de seguran¸ca de θ = 2 5. Resolu¸c˜ao: A v.a. X ´e uma mistura de duas exponenciais, tendo por f.g.m. MX (r) = 3/2 3 − r + 7/2 7 − r e com indemniza¸c˜ao individual esperada de p1 = E[X] = 1 2 · 1 3 + 1 2 · 1 7 = 5 21 . 121 / 129
  122. 122. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Neste caso n = 2 e somos conduzidos `a igualdade 1 1 + θ · θ[MX (r) − 1] 1 + (1 + θ)p1r − MX (r) = 2 i=1 Ci ri ri − r com constantes Ci e ri , (i = 1, 2), a determinar.A substitui¸c˜ao de MX (r) conduz a 1 1 + θ · θ[MX (r) − 1] 1 + (1 + θ)p1r − MX (r) = 6 7 · 5 − r 6 − 7r + r2 = C1 1 − r + 6C2 6 − r , j´a que r1 = 1(≡ R) e r2 = 6. 122 / 129
  123. 123. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Assim, pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados, obtem-se C1 = 24 35 e C2 = 1 35 pelo que ψ(u) = 24 35 e−u + 1 35 e−6u , u ≥ 0. 123 / 129
  124. 124. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Observa¸c˜ao: No caso de X Gama(α, β), as conclus˜oes s˜ao semelhantes ao caso tratado anteriormente de mistura de exponenciais. Realmente, neste modelo para as indemniza¸c˜oes individuais a f.g.m. ´e MX (r) = β β−r α e a solu¸c˜ao para ψ(u) ´e do mesmo tipo da anterior. 124 / 129
  125. 125. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. NOTA: Se a severidade X ´e uma mistura de m exponenciais de valores m´edios 1/βi , i = 1, 2, · · · , m, m ∈ N, respectivamente, ent˜ao as cons- tantes Ci que intervˆem na express˜ao ψ(u) = m i=1 Ci e−ri u , s˜ao dadas por Ci = m k=1,k=i rk rk − ri m j=1 βj − ri βj , com ri as ra´ızes da equa¸c˜ao λ + cr = λMX (r), generalizando a defini¸c˜ao de MX (r) para r ∈ R, r = βi , para i = 1, 2, · · · , m . SUGEST˜AO: Concretize a express˜ao anterior para m = 2 e confira os resultados obtidos no exemplo anterior. 125 / 129
  126. 126. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Muitos dos problemas pr´aticos requerem distribui¸c˜oes de severidade diferentes de misturas de exponenciais ou mesmo de distribui¸c˜oes gama. Por outro lado, para algumas distribui¸c˜oes a determina¸c˜ao do coeficiente de ajustamento pode n˜ao ser tarefa f´acil e, por consequˆencia, o c´alculo da probabilidade de ru´ına, mesmo que aproximado, pode ser muito dif´ıcil por essa via. Um m´etodo de c´alculo aproximado de probabilidade de ru´ına, baseado nos primeiros momentos da distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes individuais ´e de f´acil aplica¸c˜ao e revela resultados satisfat´orios para valores moderados de u. 126 / 129
  127. 127. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Nas condi¸c˜oes do modelo de risco colectivo que estamos a considerar, pode-se mostrar que (Exerc´ıcio 7.11), E [L] = p2 2θp1 . (8) Conjugando o facto de FL(u) = 1 − ψ(u), u ≥ 0 ψ(0) = 1 1 + θ ψ(u) < e−Ru 127 / 129
  128. 128. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. o m´etodo aproximado utiliza a aproxima¸c˜ao 1 − FL(u) = ψ(u) ∼= 1 1 + θ e−Ku , u ≥ 0, onde a constante K ´e escolhida por forma a que haja coincidˆencia entre os valores m´edios exacto e aproximado para a v.a. de perda agregada m´axima L; i.e., considerando que E[L] = ∞ 0 [1 − FL(u)]du ∼= 1 1 + θ · 1 K , escolhe-se para K o valor K = 2θp1 (1 + θ)p2 . 128 / 129
  129. 129. Introdu¸c˜ao. Processo de Reservas e Ru´ına. Processos associados `as indemniza¸c˜oes Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ru´ına Um Modelo a Tempo Discreto Primeira descida da reserva abaixo do n´ıvel inicial A Perda Agregada M´axima. A Perda Agregada M´axima. Assim, ´e sugerida a aproxima¸c˜ao da probabilidade de ru´ına ψ(u) ∼= 1 1 + θ exp − 2θp1u (1 + θ)p2 , u ≥ 0. Observa¸c˜ao: No caso de indemniza¸c˜oes individuais exponenciais, o resultado ´e exacto. Para isso, basta confirmar a express˜ao de ψ(u) obtida atrav´es desta express˜ao aproximada neste modelo particular com a express˜ao exacta obtida anteriormente (Exemplos) . 129 / 129

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