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Definición de límites, continuidad y derivadas

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Definición y ejemplos paso a paso de límites, continuidad y derivadas.

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Definición de límites, continuidad y derivadas

  1. 1. SESIONES VIDEO MAT 1. LÍMITES 1.1.- Noción de límite de una función en un punto: Límite de una función f(x) en un punto a, es el valor al que se acerca f(x) cuando x se acerca a "a". Por ejemplo, vamos a ver el límite de la función f(x) = x^2 - 3x cuando x se acerca a -1: Damos valores a x próximos a -1 y vemos qué pasa con f(x): Gráficamente: Podemos ver que cuando x se acerca a -1 f(x) se acerca a 4. También podemos observar que en este caso, este valor coincide con f(-1). Esto siempre es así? No! en muchos casos esto no se cumple. 1.2.- Límites infinitos. Veamos qué pasa con la función f(x)= 1/(x+1) cuando x se acerca a -1: Upssss! se va haciendo cada vez más grande! En este caso diremos que cuando x tiende a -1, f(x) tiende a + ∞, o, lo que es lo mismo: El límite de la función f(x)= 1/(x+1) cuando x tiende a -1 es + ∞. Esto se expresa así: X -1,01 -1,001 -1,001 -1 -0,9999 0,999 -0,99 F(x) 4,0501 4,0050014,00050001 4 3,9995 3,9950 3,9501
  2. 2. Lim f(x) = L X->a En este caso: lim (1/(x+1) ) = + ∞ X->-1 En el caso anterior: Lim (x^2 -3x )= 4 X-> -1 En el último ejemplo vemos que el límite de la función en x= -1 no coincide con la imagen de -1 ya que ésta no existe por ser el denominador igual a cero. Esto es lo que se llama un límite infinito. 1.3.- Limites laterales. Existen funciones que en un cierto punto x = a, su gráfica da un "salto", así: La función y = f(x) tiene como límite L+ por la derecha del punto x=a, y el límite L- por la izquierda del punto x=a. Para la función y = f(x) del gráfico de arriba, no está definido el valor f(a) , y se dice que el límite de f(x) "por la derecha" del punto x = a es L+, y por la izquierda es L-. Smbólicamente: Sólo existirá límite de f(x) en el punto x = a sí los límites laterales son iguales, es decir, L+ = L-.
  3. 3. 1.4.- Límites en el infinito. Por último, nos puede interesar saber qué ocurre cuando x se hace infinitamente grande (decimos que x tiende a + ∞) o infinitamente "pequeña" (decimos que x tiende a - ∞). Entendiendo aquí pequeña como valores negativos altos: Puede ser que f(x) también se haga infinitamente grande o pequeña, o bien que se acerque a un determinado valor. Por ejemplo: f(x) = 1/x cuando x tiende a + ∞ y a - ∞: Observamos que cuando x se acerca a + ∞ f(x) se va acercando a 0 con valores positivos cada vez más pequeños, y que cuando x se acerca a - ∞ f(x) se va acercando a 0 con valores negativos cada vez más pequeños: Se dice entonces que el límite cuando x tiende a + ∞ es 0, y en este caso también el límite de f(x) cuando x tiende a - ∞ es también 0, y simbólicamente: Lim f(x) = L X-> + ∞. Lim f(x) = L X-> -∞. en este caso L es 0. 1.5.- INDETERMINACIONES Cuando en al cálculo de un límite nos encontramos con expresiones com las siguientes, donde no podemos determinar el valor numérico: estamos ante una indeterminación.
  4. 4. De lo que se trata aquí es de realizar un cálculo equivalente que nos permita encontrar dicho valor, si existe. en la sesión de hoy veremos como resolver las indeterminaciones del tipo: A) Indeterminación cero partido cero. Vamos a estudiar la indeterminación 0/0 en dos casos: Caso 1: Función racional
  5. 5. Caso 2: función con radicales 2.- CONTINUIDAD 2.1.- Definición de Continuidad de una función en un punto Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si podemos dibujar la función pasando por ese punto sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente hablando: si se cumple que: 1. F(x) existe en x = a. 2. Existe el límite de la función en el punto x = a. 3. La imagen del punto coincide con el límite de la función en el punto. Ejemplo Estudiar la continuidad de en x = 2 1. La función tiene imagen en x = 2. f(2)= 4 2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales. 3. En x = 2 la imagen coincide con el límite
  6. 6. 2.2.- Tipos de discontinuidades: a) Evitable: cuando existen los límites laterales y son iguales, pero no existe el valor de ella función en el punto. b) De salto: cuando existen los límites laterales, pero son diferentes, independientemente del valor de la función en el punto. c) De salto infinito: cuando al menos uno de los límites laterales es + ∞ o -∞. 3.- DERIVADAS: 3.1- Concepto de Derivada de una función en un punto La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
  7. 7. Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) = 3X^2 en el punto x = 2.

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