Raices

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Raices

  1. 1. RAICES
  2. 2. 4¿Qué es una Raíz?Una Raíz es una expresión que consta de unINDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.¿Indice, raíz, cantidad subradical?24IndiceCantidadSubradical(-5,3)854Símbolode Raíz2
  3. 3. Elementos de una RaízmanExponente delSubradicalINDICESUBRADICALSímbolode Raíz
  4. 4. __¿Qué significa la Raíz?(-5,3)354=Ojo: El Indice 2no se escribe.Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.425=52_42543(-5,3)_2=3(-5,3)6 54 776Raíz Potencia= 3(-0,6)2= (-0,6)232_72=672776
  5. 5. Transforma las siguientes Potencia a RaícesTransforma las siguientes raíces a Potencia=4=37=53=374=35=3 47=3235=5m=m nd=216( ) =253,0= 2952=324=−713657=bca214237215323743153473235mnd25m653,09523 2473657−b ca
  6. 6. _Importante:Lectura de una Raíz.-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej.-Indice 3, Raíz Cúbica. Ej.-Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.3 76564 76En Generalanb =bnanba0 = 0ba a1 = 1ba ≥ 2
  7. 7. Pero es solo una aproximación decimal de laRaíz, que no es exacta. Por lo que la mejorforma de representar a es como .Raíz Cuadrada=4 ya que2 =⋅22 4=9 ya que3 =⋅33 9=16 ya que4 =⋅44 16=25 ya que5 =⋅55 25=2 ...1688724273095048804142135623,12 2Esto sucede con muchas raíces que no entregan unresultado exacto
  8. 8. Pero, al igual que el anterior es solo una aproximacióndecimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejorforma de representar a es como .Raíz Cúbica=38 ya que2 =⋅⋅ 222 8=327 ya que3 =⋅⋅ 333 27=364 ya que4 =⋅⋅ 444 64=3125 ya que5 =⋅⋅ 555 125=33 ...6163831077907408382324422495703,133 33
  9. 9. 22_Propiedades:El Índice Igual al Exponente.Sabiendo que:723=32737¿Cuál será el resultado de?525=52_555=_an =ananaaEn General: = n212=2
  10. 10. Descomponer una Raíza a am n m n× =Resolver lo siguiente:750x6225 xx⋅⋅⋅25+ 732x++56216 xx⋅⋅⋅416+2⋅ x⋅ 6x⋅2⋅ x⋅ 3x⋅ 2⋅ x⋅ 3x⋅xx 25 3+ xx 24 3Son términos semejantesxx 29 32⋅ x⋅ 6x⋅=====
  11. 11. Otro ejemplo45 + 20Son términos semejantes54−80 125− −59⋅ 54⋅59 ⋅544 ⋅⋅ 255⋅54 ⋅ 544 ⋅⋅ 255 ⋅53 52 522 ⋅⋅ 55+++ −−−−−−53 52 54 55+ − −====
  12. 12. Ingresar Coeficiente• “El coeficiente se eleva al índice de la raízy luego multiplica al radicando.• Ej.n nna b a b= ×3 33 5 532 32 2 2 2= × =
  13. 13. 2Multiplicación de Raíces de Igual Índice.¿Cuál será el resultado de?9=an =nxaEn General:57• 29 7•5• mya anx•my
  14. 14. Ejemplos: Resuelve usando la Propiedada)b)c) =•3316943=•33366=• 28d)e)f)g)h)i)j)=••• 5635 33=••• 33339243( ) ( ) =−•−52,12,1=−•− 323543232=•3 43 5mm=• 57nn=••• 3 753 23 nnnnbaba644315303•6( )32,1943m6nnnba 32
  15. 15. 7División de Raíces de Igual Indice.¿Cuál será el resultado de?5=an =nxEn General:57÷ 75 75mya anxmy÷÷ ÷
  16. 16. Resuelve:a)b)d)=28=33381=3 43 755c)=••8328133e)f)h)=02,008,0=÷338143256=••3 23 23 83 5nmnmg)=•• 365343 2 dabdab235232122mnbaObs: nna anbb=
  17. 17. Raíz de una Raíz.7¿Cuál será el resultado de?5a=En General:=mn b•amn75475= 7563b
  18. 18. Resuelve usando la Propiedad Raíz de una Raíz:a)b)c)e)d)f)=16=37=3 45=48nm=3 3 183 24xx=3612yx26712542nmyx22x3 4 124 3 73 42 8 2 2 2= × =g)
  19. 19. Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradase Indice ParComo, por ejemplo, 24 = ya que 422 =⋅entoncesy así para todas las Raíces Cuadradasde Números PositivosNO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZRAÍZCUADRADACUADRADA DE NÚMEROSNEGATIVOSEs decir:4− No Existe2,0− No Existe3625− No ExisteEn General, Esta condición es propiade todas las Raíces de INDICE PAR.4 12,0− No Existe83625− No Existe
  20. 20. Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas eIndice ImparLas Raíces que tienen INDICE IMPARNO tienen restricciónEs decir:283−=− ya que =−⋅−⋅− 222 8−3273−=− ya que =−⋅−⋅− 333 27−322783 −=− ya que =−⋅−⋅−323232278−21287−=− ya que =−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅− 2222222 128−
  21. 21. RacionalizaciónRacionalizar es amplificar una fracción donde eldenominador presenta una Raíz, con el fin deque ésta no aparezca.Ejemplos:=2122 =3aa=3 23nn393n¿Qué es lo que hay que saber?Amplificar:27=⋅44828Multiplicar Raíces =⋅ 82 41682 ==⋅=⋅ 53xx 4853xxxx ==⋅PotenciasRaíz como PotenciaPropiedad de Raíces: xxx nnn n==aa
  22. 22. i) Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Formaaqp=37=⋅3337=⋅3337=2337337=xmn=⋅xxxmn=⋅ xxmxn=2xmxnmxxn=+752 ( ) =⋅+77752 ( ) =⋅+77752=⋅+27757273572 +=aqp=⋅aaaqp=⋅aaqap=2aqapqaapEn General1)2)3)=57n=147nn=nn47=⋅nnnn27=nnn274) =37nn
  23. 23. Ejemplo: Racionaliza las siguientes Expresiones⋅=117117⋅=aaxaax52155215⋅=abaaba10401040 22⋅=33aaaaaa⋅=497497=abab=+228=−xyxyyxxyi)ii)iii)iv)v)vi)vii)viii)
  24. 24. ii) Racionalizar Raíces de la Forman kaqp⋅=347=⋅3 23 234447=⋅3 234447=3 334474474=4 3xmn=⋅⋅444 3xxxmn=⋅⋅4 34xxmxn=⋅⋅4 44xmxnmxxn4=+3 23aaa ( ) =⋅+333 233 aaaaa ( ) =⋅+3 2333 aaaaa=⋅+3 333 23 aaaaaaaa333+=⋅n kaqp=⋅⋅ −−n knn knn kaaaqp=⋅⋅⋅−−n knkn knaaqap=⋅⋅ −n nn knaqapEn General1)2)3)aqap n kn⋅⋅ −=3 7474) =⋅3 6447=⋅33 6447=⋅32447.....444473 23 232⋅⋅
  25. 25. Racionaliza las siguientes Expresiones⋅= 33117117⋅=3 23 252155215aaxaax⋅=3 223 2210401040abaaba⋅=3 233 23baaabbaaab⋅= 33497497=3 5abab=+4 34 74 11222=−7 697 623yxyxxi)ii)iii)iv)v)vi)vii)viii)
  26. 26. iii) Racionalizar expresiones con binomio en el denominador( )67 2=+ ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 26 7 2 6 7 26 ( 7 2) 6( 7 2)2 7 27 4 3( 7 2)7 2 7 2/− / −− −× = = = = −− /−+ −Ejemplo 1( )75 2=− ( ) ( ) ( )( ) ( )2 27 5 2 7 5 27 ( 5 2) 7( 5 2)5 2 3( 5 2)5 2 5 2/− −+ +× = = =−+− −Ejemplo 2En ambos ejemplos tuvimos que amplificar por uno ( ),para formar una “suma por diferencia“ :(a+b)(a-b)= a2– b2Resumiendo, podemos generalizar de la siguiente Manera:( )a b cab cb c=−±mab c±
  27. 27. Ecuaciones con Irracionales.Una Ecuación Irracional es determinar el valor dela incógnita que se encuentra bajo raíces.Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:73 =+xxx 213 −=+13743 +=−++ xxx1375123+=++ xxPara resolverlas hay que seguir dospasos muy sencillos:i) Si hay más de una raíz, sedebe aislar en uno de los ladosde la ecuación.ii) Elevar al cuadrado ambos ladosde la ecuación.
  28. 28. OJO. En estricto rigor la solución de laecuación debe estar en el siguienteconjunto:Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:642 =−x[ [+∞,2Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aisladaen uno de los dos lados de la ecuación.642 =−x Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar amboslados de la igualdad a 2.( ) 22642 =−x El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice yel exponente se simplifiquen.3642 =−xSe resuelve como una ecuación de primergrado con una incógnita.20=x2/
  29. 29. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:138 =+−+ xxPaso i) Aislar una de las raíces en uno de los doslados de la ecuación.Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar amboslados de la igualdad a 2.El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice yel exponente se simplifiquen y en el otrolado de la igualdad tengamos que realizar elcuadrado de un binomio.xx ++=+ 3182/( ) ( )22318 xx ++=+xxx ++++=+ 33218x+= 324 Debemos volver al paso i), raíz aislada yelevamos al cuadrado ambos lados de laigualdad.2/( )22324 x+=( )x+= 3416x41216 +=x=1Aquí en adelante la Ecuación Irracional setransforma en una Ecuación de Primer Gradocon una Incógnita
  30. 30. Curiosidades...2121212112+++++=1)2) Algoritmo para determinar una raíz.
  31. 31. Linkshttp://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htmhttp://www.sectormatematica.cl/contenidos.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadradahttp://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.phphttp://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327
  32. 32. RAICESHarold Leiva MirandaHarold.leiva@sekmail.comColegio Sek – Pacífico

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