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PROGRAMAC¸ ˜AO LINEAR
Aplicada a Pesquisa Operacional
Andr´e Gustavo de A. Santos
2
SUM´ARIO
1 Programa¸c˜ao Linear e Pesquisa Operacional 5
1.1 Fases da Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . ....
6 An´alise de Sensibilidade 59
6.0.1 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Intervalo de Estabilidade
do Recurso I . . ...
CAP´ITULO 1
PROGRAMAC¸ ˜AO LINEAR E PESQUISA OPERACIONAL
O estudo de Pesquisa Operacional teve seu inicio durante a Segund...
1.1 Fases da Pesquisa Operacional
N˜ao existe um n´umero de fases espec´ıfico para a resolu¸c˜ao de um problema em Pes-
qui...
CAP´ITULO 2
MODELOS MATEM´ATICOS EM PROGRAMAC¸ ˜AO
LINEAR
Os modelos matem´aticos s˜ao representa¸c˜oes simplificadas da re...
3) Determina¸c˜ao da Fun¸c˜ao Objetivo: Em rela¸c˜ao ´e fun¸c˜ao objetivo, a Pro-
grama¸c˜ao Operacional busca encontrar o...
O problema ainda informa que a f´abrica possui um total de 40 oper´arios a serem
alocados nas duas linhas de produ¸c˜ao. O...
De uma forma geral, podemos escrever o modelo padr˜ao para maximiza¸c˜ao como:
MaxZ =
n
j=1
cjxj
Sujeita a:
n
j=1
aijxj ≤ ...
CAP´ITULO 3
RESOLUC¸ ˜AO GR´AFICA DE MODELOS
Como j´a vimos anteriormente, a programa¸c˜ao linear disp˜oe de v´arias t´ecn...
• O segundo passo ´e relaxar a inequa¸c˜ao e construir o gr´afico de 4x1 + 2x2 = 16, mas
para isto, devemos pˆor x2 em fun¸...
A regi˜ao de solu¸c˜oes vi´aveis ´e a intersec¸c˜ao das regi˜oes delimitadas pelas retas, isto
significa que, qualquer pont...
Figura 3.4:
Observe que `a medida que o valor de FO1 aumenta `a reta se afasta da origem do
sistema de eixos coordenados, ...
Figura 3.5:
Figura 3.6:
15
MaxZ = 30x + 40y
sujeito a :



x ≤ 24
2y ≤ 32
x + 2y ≤ 40
x ≥ 0, y ≥ 0
a) Tra¸cado da inequa¸c˜ao x ≤ 24: ...
Figura 3.8:
17
y = 16, seu gr´afico ´e uma reta horizontal.
c) Tra¸cado da inequa¸c˜ao x + 2y ≤ 40 : Para que essa reta seja tra¸cada, bas...
Figura 3.9:
Figura 3.10:
19
Figura 3.11:
3.1.4 Esbo¸co da Fun¸c˜ao Objetivo
A fun¸c˜ao objetivo est´a escrita na forma da equa¸c˜ao geral da reta, ist...
Figura 3.12:
Fazendo a fun¸c˜ao objetivo passar pelo ponto H(0, 10), tem-se L = 30 · 0 + 40 · 10
o que nos d´a L = 400. Co...
3.1.5 Interpreta¸c˜ao Gr´afica V´ertice a V´ertice
Com base em todas essas informa¸c˜oes, podemos, por meio gr´afico, realiz...
CAP´ITULO 4
M´ETODO SIMPLEX
O Simplex ´e um m´etodo iterativo que percorre os pontos extremos do conjunto de
solu¸c˜oes co...
Observe que para Z = 0 temos 0, 2x1 + 2x2 + 4x3 = 0 e que se x1 entra na base
com valor igual a 1, sendo x2 = x3 = 0, Z pa...
d) Tabela Simplex: A tabela ´e constru´ıda com os coeficientes do modelo. as colunas
s˜ao indicadas por Ci, as linhas por L...
Para isso, identifique o menor quociente obtido da divis˜ao dos termos independen-
tes bi pelos elementos da coluna pivˆo, ...
O elemento que deve ser transformado no elemento pivˆo ser´a obtido de C3 L2 que
no caso ´e 2.
O pr´oximo passo ´e constru...
b)MaxZ = 2x1 + 3x2 + 4x3
sujeito a :



x1 + x2 + x3 ≤ 100
2x1 + x2 ≤ 210
x1 ≤ 80
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
So...
O pr´oximo passo, como j´a sabemos, ´e construir uma matriz a partir da tabela e trans-
formar os elementos da coluna pivˆ...
4.1.1 Aplica¸c˜ao do M´etodo Simplex: Problema de Aloca¸c˜ao
(R´adios Standard e R´adios Luxo):
Recordemos agora o problem...
Tabela Simplex:
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
Z x1 x2 f1 f2 f3 bi
L1 1 -30 -40 0 0 0 0
L2 0 1 0 1 0 0 24
L3 0 0 1 0 1 0 16
L4 0 1 2...
a) C´alculo da Nova Solu¸c˜ao B´asica
A vari´avel que entra na base ´e x1, pois | − 30| = 30. A coluna pivˆo ´e C2.
A vari...
c) C´alculo da Nova Solu¸c˜ao B´asica: A vari´avel que entra na base ´e f2, pois
| − 20| = 20 e a coluna pivˆo ´e C5.
A va...
Agora, a nova solu¸c˜ao b´asica ´e:
(I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: f1 = 0, f3 = 0
(II) Vari´aveis b´asicas: x1 = 24, x2 = 8...
n˜ao influencia no espa¸co das solu¸c˜oes do problema. fazendo uma an´alise gr´afica, tal
restri¸c˜ao n˜ao interfere na regi...
C´alculo da Nova Solu¸c˜ao:



1 −3 −9 0 0 0
0 1/4 1 1/4 0 2
0 1 2 0 1 4



L1 −→ L1 + 9L2
L3 −→ L3 − 2L2



1 −3...
Veja que x1 = 0 (vari´avel b´asica), o que indica a solu¸c˜ao degenerada. O fato de o
decisor saber a priore que uma das r...
sujeito a :



x1 + 2x2 + f1 = 5
x1 + x2 + f2 = 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0
a) Solu¸c˜ao B´asica Inicial (SB...



1 0 0 2 0 10
0 1/2 1 1/2 0 5/2
0 1/2 0 −1/2 1 3/2



L3 −→ 2L3



1 0 0 2 0 10
0 1/2 1 1/2 0 5/2
0 1 0 −1 2 3
...
Observe o gr´afico do problema:
Figura 4.2:
b) Problema da Solu¸c˜ao Ilimitada: Quando a vari´avel que entra na base n˜ao
p...
Para tratar de problemas que envolvem a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo, devemos
multiplic´a-la por -1, assim, obter-se...
sujeito a :



2x1 + x2 ≥ 10
x1 + 5x2 ≥ 15
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Para aplica¸c˜ao do M´etodo Simplex, fa¸camos uma breve...
• Fique Atento!: O objetivo inicial n˜ao ´e determinar a solu¸c˜ao ´otima, mas eliminar
as vari´aveis auxiliares, portanto...
• Elemento Pivˆo: C3 L3 = 5 (5 ´e o elemento que dever´a ser transformado no ele-
mento pivˆo).
Aplicaremos a opera¸c˜ao e...
L1 −→ L1 − 13
5
L2
L3 −→ L3 − 1
5
L2
L4 −→ L4 + 9
5
L2






−1 0 0 13/9 1/9 −13/9 −1/9 −145/9
0 1 0 −5/9 1/9 5/9 −1...
CAP´ITULO 5
DUALIDADE
Um problema que d´a origem a maximiza¸c˜ao ou minimiza¸c˜ao em Programa¸c˜ao Linear, ´e
chamado de M...
O modelo dual associado ao primal ser´a escrito como:
MinW =
m
i=1
biyi
Sujeita a:
m
i=1
aijyi ≥ cj ∀ j = 1, 2, 3, . . . ,...
Vejamos um exemplo:
MaxZ = 4x1 + 6x2 + 5x3
sujeito a :



2x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 23
x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 19
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0...
• O n´umero de restri¸c˜oes do dual, corresponde ao n´umero de vari´aveis do primal com
a perda de uma vari´avel, no caso ...
Modelo Dual
MinW = 23y1 + 19y2
sujeito a :



2y1 + y2 ≥ 4
5y1 + 3y2 ≥ 6
3y1 + 4y2 ≥ 5
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
5.1.1...
Que corresponde ao modelo dual
MinW = 23y1 + 19y2
sujeito a :



2y1 + y2 ≥ 4
5y1 + 3y2 ≥ 6
3y1 + 4y2 ≥ 5
y...
MODELO PRIMAL
MaxZ = 5x1 + 8x2
Sujeito a :



60x1 + 100x2 ≤ 10.000
20x1 + 25x2 ≤ 3000
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
b) Vamos ap...
Dadas todas as informa¸c˜oes necess´arias, vamos `as itera¸c˜oes que nos mostrar´a a
nova solu¸c˜ao.
C´alculo da Nova Solu...
C´alculo da nova solu¸c˜ao b´asica:



1 −1/5 0 8/100 0 800
0 3/5 1 1/100 0 100
0 1 0 −1/20 1/5 100



L1 −→ L1 + 1
...
Ent˜ao o modelo dual ser´a:
MinW = 10.000y1 + 3.000y2
Sujeito a :



60y1 + 20y2 ≥ 5
100y1 + 25y2 ≥ 8
y1 ≥ 0, y2 ...
Se o valor de mercado for menor que o valor interno, o produto poder´a ser ou n˜ao
fabricado. Mas fique atento, se o valor ...
Pergunta-se:
a) Qual o modelo Dual?
b) Qual o quadro Dual Simplex (situa¸c˜ao final)?
c) Qual o valor de oportunidade do re...
J´a o recurso R2 (m˜ao de obra),n˜ao ´e escasso6
. Veja que de fato o resultado ´e
l´ogico, se y2 = 0, ent˜ao existem 40 h...
CAP´ITULO 6
AN´ALISE DE SENSIBILIDADE
Segundo Lachtermacher (2009) uma das hip´otese dos problemas de programa¸c˜ao linear...
Existem dois tipos b´asicos de an´alise de sensibilidade.
O primeiro estabelece limites inferiores e superiores para todos...
Analisando o ´ultimo quadro, podemos afirmar que:
Para maximizar os lucros da f´abrica de tijolos em R$ 1.560 u.m ´e necess...
Para isso, vamos considerar apenas as restri¸c˜oes do modelo primal
Sujeito a :



2x1 + 5x2 ≤ 400
4x1 + 5x2 ≤ 60...
6.0.2 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Intervalo de Es-
tabilidade do Recurso II
Vamos obter o intervalo de varia...
Vamos, inicialmente, descobrir os coeficientes angulares de cada uma das retas que
representam as restri¸c˜oes:
• 2x1 + 5x2...
Interpreta¸c˜ao dos resultados: ´E sabido que os coeficientes da fun¸c˜ao objetivo ´e a
contribui¸c˜ao individual de cada v...
CAP´ITULO 7
TRANSPORTES
O problema de transportes ´e um problema de fluxo de redes, que esquematicamente ´e
representado po...
7.1 Rela¸c˜ao entre Redes e Transporte
Num modelo de distribui¸c˜ao ´e necess´ario identificar duas informa¸c˜oes muito imp...
7.2 Sistemas Equilibrados e N˜ao Equilibrados
Dois casos podem ocorrer quando da necessidade de resolver um problema de di...
De forma an´aloga, se a quantidade do que se procura ´e maior do que a quantidade ofer-
tada, ent˜ao acrescenta-se uma ori...
Podemos dizer ent˜ao que a fun¸c˜ao objetivo ´e um somat´orio duplo das cargas a serem
transportadas em que os ´ındices re...
Do problema proposto inicialmente tem-se:
MinZ = 10x11 + 12x12 + 20x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32
Sujeito a:


...
7.4.1 M´etodo do Canto Noroeste
Este m´etodo tem o intuito de alocar carga a partir da primeira c´elula situada no canto
n...
CAP´ITULO 8
PESQUISA OPERACIONAL NO EXCEL - SOLVER
73
Pesquisa Operacional
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Pesquisa Operacional

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O presente trabalho, ainda em construção, trata de forma didática e acessível a construção de modelos em Programação Linear, resolução de problemas passo a passo fundamentando a matemática básica que está por trás de cada um dos problemas. Bons estudos e força sempre.

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Pesquisa Operacional

  1. 1. PROGRAMAC¸ ˜AO LINEAR Aplicada a Pesquisa Operacional Andr´e Gustavo de A. Santos
  2. 2. 2
  3. 3. SUM´ARIO 1 Programa¸c˜ao Linear e Pesquisa Operacional 5 1.1 Fases da Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Modelos Matem´aticos em Programa¸c˜ao Linear 7 2.0.1 Generaliza¸c˜ao do Modelo em Programa¸c˜ao Linear . . . . . . . . 9 3 Resolu¸c˜ao Gr´afica de Modelos 11 3.1 Representa¸c˜ao Gr´afica de Uma Inequa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.1 Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.2 Discuss˜ao Gr´afica de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.3 O M´etodo Gr´afico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.4 Esbo¸co da Fun¸c˜ao Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.5 Interpreta¸c˜ao Gr´afica V´ertice a V´ertice . . . . . . . . . . . . . . 22 4 M´etodo Simplex 23 4.1 Descri¸c˜ao de um M´etodo para Maximiza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.1 Aplica¸c˜ao do M´etodo Simplex: Problema de Aloca¸c˜ao (R´adios Standard e R´adios Luxo): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Solu¸c˜oes Degeneradas, Ilimitadas e M´ultiplas . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.1 Crit´erios Para Aplica¸c˜ao do Simplex . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2.2 De Volta Para Modelo Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2.3 M´etodo da Fun¸c˜ao Objetivo Auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . 41 5 Dualidade 46 5.1 Problema Primal × Problema Dual: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1.1 Algor´ıtmo de Transforma¸c˜ao do Primal Para Dual . . . . . . . . 50 5.1.2 An´alise Econˆomica do Dual: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3
  4. 4. 6 An´alise de Sensibilidade 59 6.0.1 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Intervalo de Estabilidade do Recurso I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.0.2 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Intervalo de Estabilidade do Recurso II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.0.3 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Intervalo de Estabilidade para os Coeficientes da Fun¸c˜ao Objetivo . . . . . . . . . . . . . 63 6.0.4 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Mudan¸ca no Coeficiente de uma Restri¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7 Transportes 66 7.1 Rela¸c˜ao entre Redes e Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.2 Sistemas Equilibrados e N˜ao Equilibrados . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.3 Modelo para Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.4 Solu¸c˜ao B´asica Inicial para Transportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.4.1 M´etodo do Canto Noroeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8 Pesquisa Operacional no Excel - Solver 73 9 Coletˆanea de Exerc´ıcios 74 4
  5. 5. CAP´ITULO 1 PROGRAMAC¸ ˜AO LINEAR E PESQUISA OPERACIONAL O estudo de Pesquisa Operacional teve seu inicio durante a Segunda Guerra Mundial, seu desenvolvimento se deu com o intuito principal de decidir sobre a forma mais eficaz de utiliza¸c˜ao dos recursos limitados durante a guerra. Portanto, o que denominamos de Pesquisa Operacional ´e a atividade desenvolvida com o intuito de suprir necessidades urgentes na aloca¸c˜ao de recursos escassos nas opera¸c˜oes militares. O primeiro programa formal de estudos da Pesquisa Operacional ocorreu em 1948, no Massachusetts Institute of Technology nos Estados Unidos, que culminou com um apri- moramento das t´ecnicas e grandes avan¸cos na resolu¸c˜ao de problemas de programa¸c˜ao linear. ´E Nesse cen´ario, que surge um dos 5 algoritmos mais importantes do mundo, o M´etodo Simplex, desenvolvido por George Dantzig em 1947, que com o aux´ılio da Programa¸c˜ao Linear, tem o intuito de resolver problemas diversos relacionados a ali- menta¸c˜ao, industrias petrol´ıferas e moveleiras, agricultura, manufatura, siderurgia, me- talurgia e transportes. 5
  6. 6. 1.1 Fases da Pesquisa Operacional N˜ao existe um n´umero de fases espec´ıfico para a resolu¸c˜ao de um problema em Pes- quisa Operacional, isso depende da complexidade do problema que o decisor tem em m˜ao, contudo, geralmente, o que se deseja ´e maximizar ou minimizar alguma coisa, portanto, o objetivo ´e chegar na solu¸c˜ao que otimiza o problema, a seguir, ser˜ao apre- sentadas algumas etapas que s˜ao essenciais nesse processo, com a certeza de que tal exposi¸c˜ao dar´a um norte do caminho a ser seguido pelo leitor. a) Defini¸c˜ao do Problema: ´e uma fase que se baseia em trˆes aspectos: (I) Identifica¸c˜ao das vari´aveis de decis˜ao (II) Descri¸c˜ao e defini¸c˜ao dos objetivos, bem como o reconhecimento das limita¸c˜oes (III) Restri¸c˜oes e exigˆencias do sistema. A resolu¸c˜ao do problema come¸ca pela defini¸c˜ao dos objetivos que pode ser de: maxi- miza¸c˜ao ou minimiza¸c˜ao de alguma coisa. O segundo ponto ´e determinar as vari´aveis de decis˜ao que est˜ao relacionadas aos objetivos. Por ´ultimo, deve ser identificada as limita¸c˜oes do problema ou exigˆencias do mesmo. b) Constru¸c˜ao do Modelo: o modelo deve estar atrelado a defini¸c˜ao do problema. essa ´e a fase que exige mais aten¸c˜ao do decisor, uma vez que a qualidade de todo o processo depende desta etapa. Os modelos matem´aticos s˜ao muito utilizados pelas empresas em seus processos decis´orios. c) Solu¸c˜ao do Modelo: O objetivo aqui ´e encontrar uma solu¸c˜ao para o modelo proposto atrav´es de t´ecnicas especificas, tais como: An´alise Gr´afica M´etodo Simplex An´alise de Sensibilidade Dualidade Simula¸c˜ao, dentre outras. d) Valida¸c˜ao do Modelo: Um modelo ´e v´alido quando for capaz de predizer um comportamento aceit´avel do sistema e uma resposta para a qualidade da decis˜ao a ser tomada. Um sistema pode ser validado por meio da an´alise de dados retirados do pr´oprio sistema, bem como da utiliza¸c˜ao desses dados para verificar se o sistema reproduziu comportamento parecido. e) Implementa¸c˜ao do Modelo: Nessa fase, a solu¸c˜ao ser´a apresentada ao admi- nistrador. A implementa¸c˜ao deve ser acompanhada observando comportamento do sistema como solu¸c˜ao adotada, algum ajuste pode ser requerido. 6
  7. 7. CAP´ITULO 2 MODELOS MATEM´ATICOS EM PROGRAMAC¸ ˜AO LINEAR Os modelos matem´aticos s˜ao representa¸c˜oes simplificadas da realidade, por isso, n˜ao traduz fielmente um problema de pesquisa operacional, contudo, proporciona os parˆametros necess´arios para o entendimento eficaz dos conceitos mais elementares de PL. No in- tuito de lan¸car luz aos primeiros passos a serem seguidos no processo de modelagem, vamos sugerir aqui um roteiro com base nos seguintes procedimentos: 1) Determina¸c˜ao das Vari´aveis de Decis˜ao: Para identificar as vari´aveis de de- cis˜ao recomenda-se passar pelas seguintes etapas: Identifique qual o objetivo do problema, fa¸ca a pergunta: O que se deseja maximizar ou minimizar? As respostas s˜ao as vari´aveis de decis˜ao. Seja preciso com as unidades, tais como: moeda, tempo etc. Obs. Cuidado para n˜ao confundir as vari´aveis de decis˜ao com os parˆametros do pro- blema ou com o n´umero de m´aquinas da f´abrica ou mesmo com a quantidade de cada recurso usado na fabrica¸c˜ao de um produto etc. 2) Determina¸c˜ao das Restri¸c˜oes: Restri¸c˜oes t´ıpicas incluem a existˆencia de li- mites sobre quantidades de recursos dispon´ıveis (colaboradores, m´aquinas, or¸camento, mat´erias primas, etc.) Cada restri¸c˜ao imposta na descri¸c˜ao do sistema deve ser ex- pressa como uma rela¸c˜ao linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as vari´aveis de decis˜ao. ´E importante enfatizar que todas as express˜oes mencionadas devem estar de acordo com a hip´otese principal da PL, pois todas as rela¸c˜oes entre vari´aveis devem ser lineares. Isso implica diretamente na proporcionalidade das contribui¸c˜oes envolvi- das, pois a contribui¸c˜ao individual de cada vari´avel ´e estritamente proporcional a seu valor, assim como a aditividade dessas contribui¸c˜oes, pois o total de todas as vari´aveis ´e igual a soma das contribui¸c˜oes individuais, independentemente dos valores delas. 7
  8. 8. 3) Determina¸c˜ao da Fun¸c˜ao Objetivo: Em rela¸c˜ao ´e fun¸c˜ao objetivo, a Pro- grama¸c˜ao Operacional busca encontrar o melhor que pode ser realizado com o que se tem dispon´ıvel, ou seja, se busca maximizar algo como lucro ou eficiˆencia ou minimi- zar algo como custo ou tempo. Nos modelos de Programa¸c˜ao Linear existe apenas um objetivo, mas ´e poss´ıvel, em outras ´areas de P.O estudos com m´ultiplos objetivos. A fun¸c˜ao objetivo mede a eficiˆencia do sistema para cada solu¸c˜ao proposta. Para melhor elucida¸c˜ao do que foi dito, vamos ver um exemplo de um problema de aloca¸c˜ao em Programa¸c˜ao Linear como motivador: Aloca¸c˜ao de Recursos: Uma f´abrica de r´adios possui duas linhas de produ¸c˜ao: r´adios standard e r´adios luxo. Com rela¸c˜ao aos r´adios standard, sabe-se que sua linha de produ¸c˜ao comporta um m´aximo de 24 oper´arios, sendo que um oper´ario produz um r´adio por dia e cada r´adio fornece um lucro de R$ 30,00. Para os r´adios luxo, a linha de produ¸c˜ao comporta um m´aximo de 32 oper´arios sendo que dois oper´arios produzem um r´adio por dia e cada r´adio fornece um lucro de R$ 40,00. Al´em disso, a f´abrica possui um total de 40 oper´arios a serem alocados nas duas linhas de produ¸c˜ao. Dˆe um modelo que maximize o lucro di´ario da f´abrica. Solu¸c˜ao: Definido o problema, vamos construir o modelo seguindo o roteiro sugerido anteriormente: a) Determina¸c˜ao das vari´aveis de decis˜ao: Qual o objetivo do problema? A res- posta ´e natural, Maximizar o lucro di´ario da produ¸c˜ao de r´adios standard e luxo. Note que a resposta fornece as vari´aveis de decis˜ao: x1 −→ Quantidade de produ¸c˜ao di´aria dos r´adios standard; x2 −→ Quantidade de produ¸c˜ao di´aria dos r´adios luxo; Observe que cada vari´avel de decis˜ao assume valores inteiros e n˜ao negativos, pois elas representam unidades de produtos. Portanto, x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0 . b) Determina¸c˜ao das restri¸c˜oes: Nessa fase, devemos estabelecer as restri¸c˜oes do problema. Para isso, voltemos ao texto para responder as perguntas (1) e (2). (1) Qual a capacidade m´axima di´aria da linha de produ¸c˜ao dos r´adios standard? j´a sa- bemos que, com rela¸c˜ao aos r´adios standard, a linha de produ¸c˜ao comporta um m´aximo de 24 oper´arios, sendo que um oper´ario produz um r´adio por dia, ou seja: 1 r´adio por dia Restri¸c˜ao Recursos Dispon´ıveis (m˜ao de obra) x1 ≤ 24 (2) Qual a capacidade m´axima di´aria da linha de produ¸c˜ao dos r´adios luxo? Com rela¸c˜ao aos r´adios standard, a linha de produ¸c˜ao comporta um m´aximo de 32 oper´arios, sendo que s˜ao necess´arios dois oper´arios para produzir um r´adio por dia, ou seja: 1 r´adio por dia Restri¸c˜ao Recursos Dispon´ıveis (m˜ao de obra) 2x2 ≤ 32 8
  9. 9. O problema ainda informa que a f´abrica possui um total de 40 oper´arios a serem alocados nas duas linhas de produ¸c˜ao. O que nos fornece a seguinte restri¸c˜ao: Soma das Produ¸c˜oes Restri¸c˜oes Recursos Dispon´ıveis (m˜ao de obra) x1 + 2x2 ≤ 40 O pr´oximo passo ´e determinar a soma das contribui¸c˜oes para o lucro da f´abrica na produ¸c˜ao dos dois tipos de r´adio. c) Determina¸c˜ao da Fun¸c˜ao Objetivo: Queremos maximizar o lucro di´ario da produ¸c˜ao de r´adios standard e luxo. Cada r´adio standard contribui com um lucro de R$ 30,00 e cada r´adio luxo contribui com um lucro de R$ 40,00, ent˜ao L(x1, x2) = 30x1 + 40x2. Em resumo, o modelo ´e dado por: MaxZ = 30x1 + 40x2 sujeito a :    x1 ≤ 24 2x2 ≤ 32 x1 + 2x2 ≤ 40 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 2.0.1 Generaliza¸c˜ao do Modelo em Programa¸c˜ao Linear Com base no que foi mostrado anteriormente, suponha agora que existem m recursos usados numa produ¸c˜ao de n produtos com as seguintes caracter´ısticas: MaxZ(x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn Sujeito a :    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x22 + · · · + a2nxn ≤ b2 ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn ≤ bm com xj ≥ 0 onde cj ´e o lucro na venda de uma unidade do produto j = 1, 2, 3, . . . , n bi ´e a quantidade de recursos dispon´ıveis i = 1, 2, 3, . . . , m aij ´e a quantidade de recursos i usada para produzir uma unidade do produto j xj ´e o n´ıvel de produ¸c˜ao do produto j 9
  10. 10. De uma forma geral, podemos escrever o modelo padr˜ao para maximiza¸c˜ao como: MaxZ = n j=1 cjxj Sujeita a: n j=1 aijxj ≤ bi ∀ i = 1, 2, 3, . . . , m sendo xj ≥ 0 com aij, bi, cj ∈ i e j s˜ao n´umeros naturais tais que 1 ≥ i ≤ m e 1 ≥ j ≤ n; xij s˜ao chamadas de vari´aveis de decis˜ao; Z(x1, x2, . . . , xn) ´e a fun¸c˜ao objetivo; n j=1 aijxj ≤ bi s˜ao as restri¸c˜oes t´ecnicas da fun¸c˜ao objetivo; xj ≥ 0 s˜ao chamadas de condi¸c˜ao de n˜ao negatividade; m e n s˜ao respectiva- mente, o n´umero de vari´aveis de decis˜ao e o n´umero de restri¸c˜oes do modelo. 10
  11. 11. CAP´ITULO 3 RESOLUC¸ ˜AO GR´AFICA DE MODELOS Como j´a vimos anteriormente, a programa¸c˜ao linear disp˜oe de v´arias t´ecnicas na busca da solu¸c˜ao ´otima, como: An´alise Gr´afica, M´etodo Simplex, An´alise de Sensibilidade, Dualidade, Simula¸c˜ao, dentre outras. Neste cap´ıtulo, iremos discutir acerca do M´etodo Gr´afico. Para resolver um problema de Programa¸c˜ao Linear pelo m´etodo gr´afico, ´e necess´ario que o problema apresente no m´aximo trˆes vari´aveis de decis˜ao, caso contr´ario, n˜ao ´e poss´ıvel a aplica¸c˜ao do m´etodo. Nesse livro, vamos abordar apenas a resolu¸c˜ao gr´afica de modelos que possuem duas vari´aveis, por entender que, embora muito simplificado, permite um entendimento s´olido dos conceitos que envolvem a Programa¸c˜ao Linear. O m´etodo consiste em representar atrav´es da intersec¸c˜oes das regi˜oes de cada restri¸c˜ao, bem como as intersec¸c˜oes das suas retas limites o conjunto de solu¸c˜oes vi´aveis do problema num sistema de eixos ortogonais. Os pontos pertencentes a essa regi˜ao ser˜ao os candidatos a solu¸c˜ao ´otima. Chamaremos a regi˜ao onde situam-se o conjunto solu¸c˜ao para o problema de regi˜ao de solu¸c˜oes vi´aveis. O conjunto formado pelos pontos (x1, x2) deve satisfazer ao grupo de restri¸c˜oes do modelo. Seu desempenho ser´a avaliado a partir da an´alise gr´afica da fun¸c˜ao objetivo. 3.1 Representa¸c˜ao Gr´afica de Uma Inequa¸c˜ao Antes de apresentarmos o M´etodo Gr´afico para resolu¸c˜ao de modelos em PL, vamos relembrar como podemos esbo¸car o gr´afico de uma inequa¸c˜ao. Inicialmente, considere a inequa¸c˜ao 4x1 + 2x2 ≥ 16, ent˜ao; 4x1 + 2x2 = 16 ou 4x1 + 2x2 > 16 11
  12. 12. • O segundo passo ´e relaxar a inequa¸c˜ao e construir o gr´afico de 4x1 + 2x2 = 16, mas para isto, devemos pˆor x2 em fun¸c˜ao de x1. • Da´ı temos: 4x1 + 2x2 = 16 ⇒ 2x2 = −4x1 + 16, portanto, x2 = −2x1 + 8. O gr´afico ent˜ao ser´a: Figura 3.1: A reta x2 = −2x1 + 8 ´e o limite da desigualdade. Como a inequa¸c˜ao tem sinal do tipo ≥, tem-se que todos os pontos da reta pertencem ao conjunto de valores que satisfazem a inequa¸c˜ao, bem como todos os valores situados na regi˜ao onde 4x1 + 2x2 > 16. Considere agora o sistema de inequa¸c˜oes lineares: sujeito a :    x − y ≤ 5 2x + y > 10 . Observe que x − y ≤ 5 ⇒ −y ≤ −x + 5 ⇒ y ≥ x − 5 e 2x + y > 10 ⇒ y < −2x + 10. O gr´afico que representa esse sistema ´e: Figura 3.2: 12
  13. 13. A regi˜ao de solu¸c˜oes vi´aveis ´e a intersec¸c˜ao das regi˜oes delimitadas pelas retas, isto significa que, qualquer ponto nessa regi˜ao satisfaz as duas desigualdades simultanea- mente, al´em disso, todos os pontos da reta y = x − 5 pertencem a essa regi˜ao, j´a os pontos da reta y = −2x + 10 n˜ao fazem parte do conjunto solu¸c˜ao do sistema. 3.1.1 Conjuntos Convexos Teorema: Um conjunto S ´e convexo se, e somente se, ele cont´em todas as combina¸c˜oes convexas dos seus elementos. Em outras palavras, podemos dizer que, um conjunto ´e convexo se dois pontos pertencentes a esse conjunto podem ser ligados por um seg- mento de reta, desde que todos os pontos do segmento perten¸cam ao conjunto. Figura 3.3: Podemos observar que na figura 2.3 (pol´ıgono n˜ao convexo) os pontos do segmento BD n˜ao fazem parte do conjunto. 3.1.2 Discuss˜ao Gr´afica de Modelos Nem sempre um problema de PL apresenta solu¸c˜ao ´otima, ent˜ao ´e necess´ario discutir os resultados poss´ıveis que podem ocorrer num problema de PL. Para isso, considere- mos 3 casos; Caso 1: Na figura (2.4), j´a sabemos, que a regi˜ao sombreada ´e chamada de regi˜ao de solu¸c˜oes vi´aveis, tal regi˜ao ´e delimitada por trˆes restri¸c˜oes lineares do modelo. As retas pontilhadas (paralelas a FO1 e FO2 ) s˜ao chamadas de curvas de n´ıvel das fun¸c˜oes ob- jetivos FO1 e FO2. O ponto P(a, b) est´a representando o ponto do pol´ıgono convexo mais distante da origem do sistema de eixos coordenados. As restri¸c˜oes do modelo est˜ao denotadas por R1, R2 e R3 respectivamente. 13
  14. 14. Figura 3.4: Observe que `a medida que o valor de FO1 aumenta `a reta se afasta da origem do sistema de eixos coordenados, varrendo toda a regi˜ao de solu¸c˜oes vi´aveis do problema, essa varredura se d´a com as curvas de n´ıvel da FO1 at´e encontrar o ponto P(a, b) (v´ertice do pol´ıgono). Como o ponto P(a, b) ´e o ponto mas distante da origem do plano cartesiano, isso nos faz concluir que P(a, b) ´e solu¸c˜ao ´otima para o problema, ou seja, ´e a solu¸c˜ao que maximiza o modelo. Por outro lado, podemos perceber, que a reta que representa a fun¸c˜ao objetivo FO2 coincide com a restri¸c˜ao R2 (ambas possuem o mesmo coeficiente angular), represen- tada pelo segmento AP, o que nos permite afirmar que, nesse caso, o problema ter´a infinitas solu¸c˜oes, pois entre dois pontos A e B de um segmento AB existe sempre um ponto C entre A e B. Quanto a reta s, veja que a mesma n˜ao cruza a regi˜ao de viabilidade, logo n˜ao pode conter solu¸c˜ao ´otima. Caso 2: Solu¸c˜ao degenerada ou problema invi´avel ocorre no caso em que n˜ao existe nenhum ponto (x1, x2) no plano cartesiano que satisfa¸ca simultaneamente as restri¸c˜oes i e j, conforme se observa na figura (2.5). Caso 3: Quando a solu¸c˜ao pode ser melhorada, mas n˜ao existem restri¸c˜oes que limi- tem esta solu¸c˜ao (o m´etodo n˜ao converge), isto ´e, o valor da fun¸c˜ao objetivo cresce indefinidamente na regi˜ao de viabilidade, chamamos de solu¸c˜ao indefinida. Observe que, n˜ao h´a como definir a solu¸c˜ao, pois a mesma tende para o infinito. 3.1.3 O M´etodo Gr´afico Agora, vamos a partir do Problema de Aloca¸c˜ao dos r´adios standard e luxo, discutido na se¸c˜ao 1.2 do cap´ıtulo 1 resolver o seu modelo usando o M´etodo Gr´afico, isso nos permitir´a entender o processo de produ¸c˜ao dos r´adios de forma anal´ıtica. O modelo obtido no problema foi: 14
  15. 15. Figura 3.5: Figura 3.6: 15
  16. 16. MaxZ = 30x + 40y sujeito a :    x ≤ 24 2y ≤ 32 x + 2y ≤ 40 x ≥ 0, y ≥ 0 a) Tra¸cado da inequa¸c˜ao x ≤ 24: Observe que x = 24 n˜ao ´e fun¸c˜ao, seu gr´afico ´e uma reta perpendicular ao eixo x (qualquer valor de y ter´a sempre a mesma abscissa x = 24). Ponto de intersec¸c˜ao no eixo das abscissas ´e (24, 0). Figura 3.7: A reta x = 24 indica o limite da produ¸c˜ao di´aria de r´adios standard. J´a x ≤ 24 indica a regi˜ao delimitada pela produ¸c˜ao de r´adios standard. b) Tra¸cado da inequa¸c˜ao y ≤ 16: A reta y = 16 indica o limite de produ¸c˜ao di´aria de r´adios luxo e y < 16 a regi˜ao delimitada dessa produ¸c˜ao. Nesse caso, temos o oposto da situa¸c˜ao anterior, y = 16 ´e uma fun¸c˜ao denominada fun¸c˜ao constante, todos os pontos da sua abscissa est˜ao associados ao mesmo valor 16
  17. 17. Figura 3.8: 17
  18. 18. y = 16, seu gr´afico ´e uma reta horizontal. c) Tra¸cado da inequa¸c˜ao x + 2y ≤ 40 : Para que essa reta seja tra¸cada, basta que se tenham dois pontos sobre o eixos coordenados, pela l´ogica temos que se x + 2y ≤ 40 ent˜ao x + 2y < 40 ou x + 2y = 40 . Tomemos a fun¸c˜ao afim x + 2y = 40. Tem-se ent˜ao que para y = 0 a raiz da fun¸c˜ao ´e x = 40, x = 0 temos y = 20, logo, os dois pontos pelo qual a reta passa s˜ao (40, 0) e (0, 20), o que nos d´a a reta: Cada par de pontos da reta x + 2y = 40 representa o uso m´aximo do limite de 40 funcion´arios na produ¸c˜ao dos r´adios standard e luxo. Pondo todos os gr´aficos no mesmo plano cartesiano tem-se: observe que as intersec¸c˜oes de todas as regi˜oes das restri¸c˜oes nos d´a o conjunto de todas as solu¸c˜oes que s˜ao vi´aveis para o modelo, isto ´e, tomando qualquer ponto dentro da regi˜ao de viabilidade, o ponto ir´a satisfazer o modelo, pois de acordo com a discuss˜ao da solu¸c˜ao gr´afica a solu¸c˜ao ´otima est´a num dos v´ertices:A(0, 0), B(0, 16), C(8, 16), D(24, 8), E(40, 0). Dessa forma, temos o seguinte gr´afico: 18
  19. 19. Figura 3.9: Figura 3.10: 19
  20. 20. Figura 3.11: 3.1.4 Esbo¸co da Fun¸c˜ao Objetivo A fun¸c˜ao objetivo est´a escrita na forma da equa¸c˜ao geral da reta, isto ´e, z = c1x + c2y. Para esbo¸carmos o gr´afico da fun¸c˜ao objetivo, devemos escrevˆe-la sob a forma reduzida da reta, ou seja, y = − c1 c2 x + z c2 com c2 = 0. Assim, utilizaremos o coeficiente angular da reta, que representar´a uma fam´ılia de re- tas (curvas de n´ıvel) com mesma dire¸c˜ao. Consideremos, como exemplo, a fun¸c˜ao objetivo do problema de aloca¸c˜ao dos r´adios standard e luxo, j´a modelado anteriormente. A fun¸c˜ao objetivo ´e L = 30x + 40y. Sua equa¸c˜ao reduzida da reta ´e y = − 3 4 x + L 40 O valor α = − 3 4 representa uma fam´ılia de retas negativamente inclinada. o esbo¸co da fun¸c˜ao objetivo no gr´afico do modelo est´a representado na Figura 11. Observe que a tangente do ˆangulo A ˆGF do triˆangulo ∆AFG ´e igual ao coeficiente angular da reta que representa a fun¸c˜ao objetivo, isto ´e, tg(α) = 3 4 . Da geometria, sabemos que tg(α) = cateto oposto hipotenusa , dessa forma: cateto oposto = 3 e cateto adjacente = 4. Portanto, a reta corta o eixo x em x = 4, o que nos d´a (4, 0) e o eixo y em y = 3, assim temos (0, 3), assim: 20
  21. 21. Figura 3.12: Fazendo a fun¸c˜ao objetivo passar pelo ponto H(0, 10), tem-se L = 30 · 0 + 40 · 10 o que nos d´a L = 400. Como na fun¸c˜ao objetivo o termo independente ´e L 40 , ent˜ao y = − 3 4 x + 10. Fazendo a fun¸c˜ao objetivo passar pelo ponto B(0, 16), tem-se L = 30 · 0 + 40 · 16 o que nos d´a L = 640. Ent˜ao, a fun¸c˜ao objetivo ser´a y = − 3 4 x + 16. Fazendo a fun¸c˜ao objetivo passar pelo ponto C(8, 16), tem-se L = 30 · 8 + 40 · 16 o que nos d´a L = 880. Dessa forma, a fun¸c˜ao objetivo ser´a y = − 3 4 x + 22. De forma an´aloga temos D(24, 8), que nos d´a L = 1040 e y = − 3 4 x + 26 e tamb´em E(24, 0), que nos d´a L = 720 e y = − 3 4 x + 18. Podemos ent˜ao, enunciar o primeiro teorema de Programa¸c˜ao linear: Teorema: T1. Se um problema de programa¸c˜ao linear tem solu¸c˜ao ´otima, ent˜ao esta solu¸c˜ao est´a em, pelo menos, um ponto da regi˜ao fact´ıvel. T2. Se a regi˜ao fact´ıvel de um problema de programa¸c˜ao linear ´e n˜ao vazia, ent˜ao existe uma solu¸c˜ao ´otima. T3. A regi˜ao fact´ıvel de um problema de programa¸c˜ao linear ´e um conjunto convexo. T4. A regi˜ao fact´ıvel de um problema de programa¸c˜ao linear tem um n´umero finito de pontos extremos (v´ertices). 21
  22. 22. 3.1.5 Interpreta¸c˜ao Gr´afica V´ertice a V´ertice Com base em todas essas informa¸c˜oes, podemos, por meio gr´afico, realizar uma an´alise econˆomica v´ertice a v´ertice do poliedro de solu¸c˜oes vi´aveis, ou mesmo tomar qual- quer ponto pertencente a essa regi˜ao para estudar a produ¸c˜ao di´aria de r´adios standard e luxo. O ponto de partida ´e o v´ertice que apresenta os menores valores para as vari´aveis de decis˜ao x e y, que no caso ´e o par (standard, luxo) = (x, y) = (0, 0). A partir desse ponto, caminha-se no sentido hor´ario at´e o ´ultimo v´ertice da pesquisa, faremos a seguir a interpreta¸c˜ao do problema proposto: • An´alise do v´ertice A(0,0): Nesse momento, ainda n˜ao h´a produ¸c˜ao na f´abrica de r´adios. • An´alise do v´ertice B(0,16): A f´abrica come¸ca a produ¸c˜ao de r´adios luxo com 16 unidades di´arias, mas ainda n˜ao produz r´adios standard nessa fase da produ¸c˜ao. A f´abrica aloca a capacidade m´axima de oper´arios na linha de produ¸c˜ao de r´adios luxo. • An´alise do v´ertice C(8,16): Inicia a produ¸c˜ao de r´adios standard com 8 unidades di´aria e mant´em-se a produ¸c˜ao de r´adios luxo em 16 unidades di´aria, para isso, s˜ao necess´arios 8 oper´arios e 32 oper´arios nas linhas de produ¸c˜ao de r´adios standard e luxo respectivamente. 22
  23. 23. CAP´ITULO 4 M´ETODO SIMPLEX O Simplex ´e um m´etodo iterativo que percorre os pontos extremos do conjunto de solu¸c˜oes compat´ıveis do problema. Este m´etodo ´e formado por um grupo de crit´erios para escolha de solu¸c˜oes b´asicas que melhorem o desempenho do modelo. Para ser iniciado ´e necess´ario se conhecer uma solu¸c˜ao compat´ıvel b´asica (chamada solu¸c˜ao ini- cial). O M´etodo Simplex ent˜ao, faz a mudan¸ca do ponto inicial para o ponto extremo adjacente que melhore o valor da fun¸c˜ao objetivo. O procedimento adotado para o ponto extremo inicial ´e repetido para este segundo ponto extremo. O processo fina- liza quando, estando num ponto extremo, todos os pontos extremos a ele adjacentes, fornecem valores piores para a fun¸c˜ao objetivo. 4.1 Descri¸c˜ao de um M´etodo para Maximiza¸c˜ao a) Teste de Otimalidade: Considere o modelo MaxZ = 0, 2x1 + 2x2 + 4x3 sujeito a :    x1 + 2x2 ≤ 20 3x1 + x3 ≤ 50 x1 + x2 − x3 ≤ 15 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 23
  24. 24. Observe que para Z = 0 temos 0, 2x1 + 2x2 + 4x3 = 0 e que se x1 entra na base com valor igual a 1, sendo x2 = x3 = 0, Z passa de Z = 0 para Z = 0,2 d´ecimos de unidade, o que aumenta Z em exatamente 0,2 que ´e o coeficiente de x1. Situa¸c˜ao semelhante vai ocorrer com x2 e x3, cada vari´avel contribuir´a na propor¸c˜ao do valor do seu coeficiente. Isso nos leva a crˆe que se os coeficientes das vari´aveis forem negativos o valor de Z pode ser aumentado com a entrada de uma vari´avel na base proporcionalmente ao valor do seu coeficiente, isto ´e, escrevendo a fun¸c˜ao objetivo na forma Z − 0, 2x1 − 2x2 − 4x3 = 0 a solu¸c˜ao testada somente ser´a ´otima quando, e somente quando as vari´aveis de decis˜ao n˜ao apresentarem coeficientes negativos. b) Vari´aveis de Folga: Toda inequa¸c˜ao do tipo ax + by ≤ c pode ser completada at´e se obter uma equa¸c˜ao linear, bastando apenas acrescentar uma vari´avel f ∈ Z com f ≥ 0 denominada ”vari´avel de folga”na inequa¸c˜ao obtendo ax + by + f = c. De forma an´aloga, toda inequa¸c˜ao do tipo ax + by ≥ c pode ser completada at´e se obter uma equa¸c˜ao linear, nesse caso, acrescentamos uma vari´avel f ∈ com f ≥ 0 denominada ”vari´avel de excesso”. Observe que nesse caso, a vari´avel de excesso entra com coefici- ente negativo resultando em ax + by − f = c. No caso da maximiza¸c˜ao, as vari´aveis de folga representam as sobras dessas restri¸c˜oes, isto ´e, a diferen¸ca entre o segundo e o primeiro membro. As vari´aveis de folga fi s˜ao sempre positivas. Cada vari´avel de folga ser´a introduzida em uma restri¸c˜ao t´ecnica do modelo e ir´a representar a diferen¸ca entre o segundo membro e o primeiro membro da restri¸c˜ao na qual ela ser´a introduzida. No exemplo anterior tem-se: f1 = 20 − (x1 + 2x2) ⇒ x1 + 2x2 + f1 = 20 f2 = 50 − (3x1 + x3) ⇒ 3x1 + x3 + f2 = 50 f3 = 15 − (x1 + x2 − x3) ⇒ x1 + x2 − x3 + f3 = 15 Como no problema proposto o modelo ´e de maximiza¸c˜ao, ent˜ao tem-se o seguinte: Z − 0, 2x1 − 2x2 − 4x3 = 0 sujeito a :    x1 + 2x2 + f1 = 20 3x1 + x3 + f2 = 50 x1 + x2 − x3 + f3 = 15 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0, f3 ≥ 0 c) Solu¸c˜ao B´asica Inicial: A fun¸c˜ao objetivo ´e escrita com as vari´aveis n˜ao b´asicas e as vari´aveis de folga s˜ao denominadas vari´aveis b´asicas, assim; x1, x2 e x3 ser˜ao cha- madas de vari´aveis n˜ao b´asicas e portanto x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0. J´a f1, f2 e f3 s˜ao chamadas de vari´aveis b´asicas, e al´em disso formam a solu¸c˜ao b´asica inicial do modelo, pois f1 = 20, f2 = 50 e f3 = 15. 24
  25. 25. d) Tabela Simplex: A tabela ´e constru´ıda com os coeficientes do modelo. as colunas s˜ao indicadas por Ci, as linhas por Li, al´em disso, bi representa os termos indepen- dentes. Na primeira linha L1 consta os coeficientes da fun¸c˜ao objetivo, observe que como n˜ao h´a vari´aveis de folga na fun¸c˜ao objetivo, ent˜ao completa-se com zeros, al´em disso, tem-se que o termo independente da fun¸c˜ao objetivo ´e zero. nas demais linhas L1, L2, L3 e L4 constam os coeficientes das restri¸c˜oes t´ecnicas, os coeficientes das suas respectivas vari´aveis de folga e os termos independentes de cada restri¸c˜ao. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 Z x1 x2 x3 f1 f2 f3 bi L1 1 -0,2 -2 -4 0 0 0 0 L2 0 1 2 0 1 0 0 20 L3 0 3 0 1 0 1 0 50 L4 0 1 1 -1 0 0 1 15 e) C´alculo da Nova Solu¸c˜ao B´asica: i) Vari´avel que entra na base: Identifique a vari´avel que entra na base pelo coe- ficiente negativo de maior valor absoluto da fun¸c˜ao objetivo na tabela. A coluna da vari´avel que entra na base ser´a a coluna pivˆo. ii) Vari´avel que sai: A vari´avel b´asica que primeiro se anular´a com a entrada da vari´avel n˜ao b´asica ´e aquela que pertence a a linha pivˆo. Essa linha ´e obtida identi- ficando o menor quociente obtido da divis˜ao dos termos independentes das restri¸c˜oes tecnicas pelos elementos da coluna pivˆo. iii) Elemento pivˆo: O elemento pivˆo ´e obtido pela interse¸c˜ao da coluna pivˆo (da vari´avel que entra) com a linha pivˆo (da vari´avel que sai). Se esse elemento for igual a 1, ent˜ao o elemento ´e chamado de elemento pivˆo, se n˜ao, transforme o elemento em 1 utilizando as opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de uma matriz. textbfiv) Obtendo a Solu¸c˜ao ´Otima: De acordo com a tabela temos as seguintes in- forma¸c˜oes: (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: f1 = 20, f2 = 50 e f3 = 15 (III) Z = 0 Inicialmente, devemos identificar a vari´avel que entra e a vari´avel b´asica que sai da base. Consequentemente iremos determinar a coluna e a a linha pivˆo, respectivamente. J´a sabemos que para determinar a vari´avel que entra na base devemos identificar o coeficiente negativo de maior valor absoluto da fun¸c˜ao objetivo. no caso temos −4x3, pois | − 4| = 4. Dessa forma, tem-se que a vari´avel que entra na base ´e x3 e a coluna pivˆo ´e C4. Agora, devemos determinar a primeira vari´avel b´asica que se anula com a entrada de x3. 25
  26. 26. Para isso, identifique o menor quociente obtido da divis˜ao dos termos independen- tes bi pelos elementos da coluna pivˆo, exceto claro, zero e n´umeros negativos. No caso em comento temos: 50 1 = 50. Logo, a linha pivˆo ´e L3 e o elemento pivˆo ´e 1. O pr´oximo passo ´e construir uma matriz a partir da tabela e transformar os elementos da coluna pivˆo em zero. Esse procedimento far´a a vari´avel x3 se tornar vari´avel b´asica e consequentemente transformar´a a vari´avel f2 em vari´avel n˜ao b´asica, isto ´e, f2 = 0.       1 −1/5 −2 −4 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 20 0 3 0 1 0 1 0 50 0 1 1 −1 0 0 1 15       L1 −→ L1 + 4L3 L4 −→ L4 + L3       1 59/5 −2 0 0 4 0 200 0 1 2 0 1 0 0 20 0 3 0 1 0 1 0 50 0 4 1 0 0 1 1 65       Que nos d´a a nova solu¸c˜ao b´asica C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 Z x1 x2 x3 f1 f2 f3 bi L1 1 11,8 -2 0 0 4 0 200 L2 0 1 2 0 1 0 0 20 L3 0 3 0 1 0 1 0 50 L4 0 4 1 0 0 1 1 65 (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, x2 = 0 e f2 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: f1 = 20, x3 = 50 e f3 = 65 (III) Z = 200 Z= 200 ´e uma solu¸c˜ao melhor do que Z = 0, contudo, como a fun¸c˜ao objetivo ainda possui coeficiente negativo na vari´avel x2, isso indica que Z = 200 ainda n˜ao ´e a solu¸c˜ao ´otima, dessa forma, devemos repetir todo processo inicial. Vari´avel que entra na base: x2, pois | − 2| = 2 (coeficiente negativo de maior valor absoluto) e portanto coluna pivˆo C3. Primeira vari´avel b´asica que se anula com a entrada de x3: Lembre-se que tal vari´avel ´e encontrada pelo menor quociente obtido da divis˜ao dos termos independen- tes bi pelos elementos da coluna pivˆo, exceto, zero e n´umeros negativos.Assim temos: 20 2 = 10 e 65 1 = 65. Logo, a linha pivˆo ser´a L2, pois o menor coeficiente obtido ´e 10. 26
  27. 27. O elemento que deve ser transformado no elemento pivˆo ser´a obtido de C3 L2 que no caso ´e 2. O pr´oximo passo ´e construir uma matriz a partir da tabela e em primeiro lugar, trans- formar o elemento pivˆo em 1. Em seguida, repetiremos o procedimento anterior trans- formando os elementos da coluna pivˆo em zero. Nesse novo procedimento a vari´avel x2 se tornar´a n˜ao b´asica e a vari´avel f1 se tornar´a vari´avel b´asica, isto ´e, f1 = 0.       1 59/5 −2 0 0 4 0 200 0 1 2 0 1 0 0 20 0 3 0 1 0 1 0 50 0 4 1 0 0 1 1 65       L2 −→ 1 2 L2       1 59/5 −2 0 0 4 0 200 0 1/2 1 0 1/2 0 0 10 0 3 0 1 0 1 0 50 0 4 1 0 0 1 1 65       L1 −→ L1 + 2L2 L4 −→ L4 − L2       1 64/5 0 0 1 4 0 220 0 1/2 1 0 1/2 0 0 10 0 3 0 1 0 1 0 50 0 7/2 0 0 −1/2 1 1 55       Nos dando assim a nova solu¸c˜ao b´asica C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 Z x1 x2 x3 f1 f2 f3 bi L1 1 12,8 0 0 1 4 0 220 L2 0 0,5 1 0 0,5 0 0 10 L3 0 3 0 1 0 1 0 50 L4 0 3,5 0 0 -0,5 1 1 15 (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, f1 = 0 e f2 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: x1 = 10, x3 = 50 e f3 = 55 (III) Z = 220 Observe que a fun¸c˜ao objetivo n˜ao possui coeficiente negativo em nenhuma de suas vari´aveis, assim, podemos dizer que a solu¸c˜ao ´otima para o problema ´e Z = 220 para x2 = 10, x3 = 50 e f3 = 55. 27
  28. 28. b)MaxZ = 2x1 + 3x2 + 4x3 sujeito a :    x1 + x2 + x3 ≤ 100 2x1 + x2 ≤ 210 x1 ≤ 80 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 Solu¸c˜ao (b): i)MaxZ − 2x1 − 3x2 − 4x3 = 0 sujeito a :    x1 + x2 + x3 + f1 = 100 2x1 + x2 + f2 = 210 x1 + f3 = 80 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0, f3 ≥ 0 Z x1 x2 x3 f1 f2 f3 bi 1 -2 -3 -4 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 100 0 2 1 0 0 1 0 210 0 1 0 0 0 0 1 80 De acordo com a tabela temos as seguintes informa¸c˜oes: (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: f1 = 100, f2 = 210 e f3 = 80 (III) Z = 0 Como j´a sabemos, devemos identificar a vari´avel que entra e a vari´avel b´asica que sai da base, isso nos mostrar´a tamb´em a coluna e a linha pivˆo, respectivamente. O coeficiente negativo de maior valor absoluto da fun¸c˜ao objetivo nos mostra a vari´avel que entra na base. no caso temos −4x3, pois | − 4| = 4. Dessa forma, tem-se que a vari´avel que entra na base ´e x3 e a coluna pivˆo ´e C4 Agora, devemos determinar a primeira vari´avel b´asica que se anula com a entrada de x3. Para isso, vamos identificar o menor quociente obtido da divis˜ao dos termos indepen- dentes bi pelos elementos da coluna pivˆo, exceto elementos iguais a zero e n´umeros negativos. No caso temos apenas 100 1 = 100 o que significa que f1 ´e a primeira vari´avel b´asica a se anular com a entrada de x3. Logo, a linha pivˆo ´e L2. Como C4 L2 = 1, ent˜ao o elemento pivˆo ´e 1. 28
  29. 29. O pr´oximo passo, como j´a sabemos, ´e construir uma matriz a partir da tabela e trans- formar os elementos da coluna pivˆo em zero. Esse procedimento far´a a vari´avel x3 se tornar n˜ao b´asica e consequentemente transformar´a a vari´avel f1 em vari´avel b´asica, isto ´e, f2 = 0.       1 −2 −3 −4 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 100 0 2 1 0 0 1 0 210 0 1 0 0 0 0 1 80       L1 −→ L1 + 4L2       1 2 1 0 4 0 0 400 0 1 1 1 1 0 0 100 0 2 1 0 0 1 0 210 0 1 0 0 0 0 1 80       A nova solu¸c˜ao b´asica ´e: C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 Z x1 x2 x3 f1 f2 f3 bi L1 1 2 1 0 4 0 0 400 L2 0 1 1 1 1 0 0 100 L3 0 2 1 0 0 1 0 210 L4 0 1 0 0 0 0 1 80 (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, x2 = 0, f1 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: x3 = 100, f2 = 210 e f3 = 80 (III) Z = 400 A fun¸c˜ao objetivo n˜ao possui coeficiente negativo em nenhuma de suas vari´aveis, pode- mos dizer ent˜ao que a solu¸c˜ao ´otima para o problema ´e Z = 400, se x3 = 100, f2 = 210. 29
  30. 30. 4.1.1 Aplica¸c˜ao do M´etodo Simplex: Problema de Aloca¸c˜ao (R´adios Standard e R´adios Luxo): Recordemos agora o problema de aloca¸c˜ao dos r´adios standard e luxo, aplicaremos o M´etodo Simplex e faremos uma interpreta¸c˜ao econˆomica quadro a quadro, dessa forma, vamos mostrar que a solu¸c˜ao dada no M´etodo Gr´afico ser´a a mesma solu¸c˜ao apresen- tada pelo M´etodo Simplex, o problema est´a descrito abaixo: Uma f´abrica de r´adios possui duas linhas de produ¸c˜ao: r´adios standard e r´adios luxo. Com rela¸c˜ao aos r´adios standard, sabe-se que sua linha de produ¸c˜ao comporta um m´aximo de 24 oper´arios, sendo que um oper´ario produz um r´adio por dia e cada r´adio fornece um lucro de R$ 30,00. Para os r´adios luxo, a linha de produ¸c˜ao comporta um m´aximo de 32 oper´arios, sendo que dois oper´arios produzem um r´adio por dia e cada r´adio fornece um lucro de R$ 40,00. Al´em disso, a f´abrica possui um total de 40 oper´arios a serem alocados nas duas linhas de produ¸c˜ao. J´a sabemos que o modelo que maximiza o lucro di´ario da f´abrica ´e: MaxZ = 30x1 + 40x2 sujeito a :    x1 ≤ 24 2x2 ≤ 32 x1 + 2x2 ≤ 40 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Z − 30x1 − 40x2 = 0 sujeito a :    x1 + f1 = 24 2x2 + f2 = 32 x1 + 2x2 + f3 = 40 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0, f3 ≥ 0 a) Solu¸c˜ao B´asica Inicial: (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, x2 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: f1 = 40, f2 = 24 e f3 = 16 (III) Z = 0 b) C´alculo da Nova Solu¸c˜ao B´asica: A vari´avel que entra na base ´e x2, pois | − 40| = 40, al´em disso, a coluna pivˆo ´e C3. A vari´avel que sai da base ´e a primeira que se anula com a entrada de x2, no caso f3, pois: 16 1 = 16 ´e o menor quociente obtido da divis˜ao dos termos independentes pelos elementos da coluna pivˆo (exceto n´umeros negativos e zero). A linha pivˆo nesse caso ´e L2 e o elemento Pivˆo ´e C3 L2 = 1. 30
  31. 31. Tabela Simplex: C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Z x1 x2 f1 f2 f3 bi L1 1 -30 -40 0 0 0 0 L2 0 1 0 1 0 0 24 L3 0 0 1 0 1 0 16 L4 0 1 2 0 0 1 40       1 −30 −40 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 24 0 0 1 0 1 0 16 0 1 2 0 0 1 40       L3 −→ L3 − 2L2 L1 −→ L1 + 40L2       1 −30 0 0 40 0 640 0 1 0 1 0 0 24 0 0 1 0 1 0 16 0 1 0 0 −2 1 8       A Nova Solu¸c˜ao B´asica ser´a: (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, f2 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: x2 = 16, f1 = 24 e f3 = 8 (III) Z = 640 Veja que nesse momento n˜ao h´a produ¸c˜ao de r´adios standard, pois x1 = 0, contudo, houve uma produ¸c˜ao de 16 unidades di´arias de r´adios luxo. Note que Z passou de Z = 0 para Z = 640. Esta ´e uma solu¸c˜ao melhor do que a anterior, mas n˜ao ´e a solu¸c˜ao ´otima, pois a primeira linha L1, que corresponde a fun¸c˜ao objetivo, ainda possui um coeficiente negativo. Isto significa, que todo processo anterior deve ser repetido, na busca de uma nova solu¸c˜ao b´asica. 31
  32. 32. a) C´alculo da Nova Solu¸c˜ao B´asica A vari´avel que entra na base ´e x1, pois | − 30| = 30. A coluna pivˆo ´e C2. A vari´avel que sai da base ´e a primeira que se anula com a entrada de x1 ´e f3, pois: 8 1 = 8 ´e o menor quociente obtido da divis˜ao dos termos independentes pelos elementos da coluna pivˆo (exceto n´umeros negativos e zero). Note que a linha pivˆo ser´a ent˜ao L4. Elemento Pivˆo: C2 L4 = 1.       1 −30 0 0 40 0 640 0 1 0 1 0 −2 8 0 0 1 0 1 0 16 0 1 0 0 −2 1 8       L2 −→ L2 − L4 L1 −→ L1 + 30L4       1 0 0 0 −20 30 880 0 0 0 1 2 −1 16 0 0 1 0 1 0 16 0 1 0 0 −2 1 8       b) A Nova Solu¸c˜ao B´asica ser´a: (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: f2 = 0, f3 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: x1 = 8, x2 = 16 e f1 = 16 (III) Z = 880 Agora a f´abrica est´a produzindo 8 unidades di´arias de r´adios standard e mantem a produ¸c˜ao de 16 unidades di´arias de r´adios luxo (em rela¸c˜ao a an´alise anterior). Nesse momento, est˜ao alocados 8 oper´arios na produ¸c˜ao dos r´adios standard e a produ¸c˜ao de r´adios luxo est´a em sua capacidade m´axima (32 oper´arios). f1 = 16 indica a sobra de 16 unidades de r´adios standard. Nesse cen´ario, Z passou de Z = 640 para Z = 880, que ´e uma solu¸c˜ao bem melhor que a anterior, mas n˜ao ´otima devido a primeira linha (da fun¸c˜ao objetivo) apresentar ainda coeficiente negativo. Devemos ent˜ao repetir o procedimento anterior. 32
  33. 33. c) C´alculo da Nova Solu¸c˜ao B´asica: A vari´avel que entra na base ´e f2, pois | − 20| = 20 e a coluna pivˆo ´e C5. A vari´avel que sai da base ´e a primeira que se anula com a entrada de f2 ´e f1, pois: 16 2 = 8 ´e o menor quociente obtido da divis˜ao dos termos independentes pelos elemen- tos da coluna pivˆo. A linha pivˆo ser´a L2 e o elemento Pivˆo C5 L2 = 2. Devemos ent˜ao calcular o novo elemento pivˆo       1 0 0 30 0 −20 880 0 1 0 1 0 −2 8 0 0 0 −1 1 2 16 0 0 1 0 0 1 16       L2 −→ 1 2 L2       1 0 0 30 0 −20 880 0 1 0 1 0 −2 8 0 0 0 −1/2 1/2 1 8 0 0 1 0 0 1 16       Ap´os o c´alculo do novo elemento pivˆo, retornamos ao procedimento inicial a) C´alculo da Nova Solu¸c˜ao B´asica       1 0 0 30 0 −20 880 0 1 0 1 0 −2 8 0 0 0 −1/2 1/2 1 8 0 0 1 0 0 1 16       L1 −→ L1 + 20L2 L2 −→ L2 + 2L2 L3 −→ L3 − L2       1 0 0 10 0 20 1040 0 0 0 1/2 1 −1/2 8 0 0 1 −1/2 0 1/2 8 0 1 0 1 0 0 24       33
  34. 34. Agora, a nova solu¸c˜ao b´asica ´e: (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: f1 = 0, f3 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: x1 = 24, x2 = 8 e f2 = 8 (III) Z = 1040 Se a f´abrica alocar 24 oper´arios para produ¸c˜ao de r´adios standard e 16 oper´arios na li- nha de produ¸c˜ao de r´adios luxo haver´a uma sobra de 8 unidades de r´adios luxo (f2 = 8) e n˜ao haver´a sobra de r´adios standard, dessa forma, Z passou de Z = 880 para Z = 1040, e esta ´e a solu¸c˜ao ´otima, pois a primeira linha L1, que corresponde a fun¸c˜ao objetivo, n˜ao apresenta nenhum valor negativo. An´alise Econˆomica: A produ¸c˜ao que maximiza o lucro para R$ 1040,00 fica estabe- lecida da seguinte forma: devem ser produzidas 24 unidades di´arias de r´adio standard e 8 unidades de r´adios luxo por dia. A quantidade de oper´arios alocados nas duas linhas de produ¸c˜ao deve ser 24 oper´arios para a linha de produ¸c˜ao de r´adios standard e 16 oper´arios para a linha de produ¸c˜ao de r´adios luxo, isso garante o m´aximo de oper´arios trabalhando nas duas linhas de produ¸c˜ao (40 oper´arios), al´em disso, n˜ao houve sobras na produ¸c˜ao de r´adios standard, o que respalda essa afirma¸c˜ao ´e o fato de que f1 = 0. A sobra de 8 unidades na produ¸c˜ao de r´adios luxo pode estar relacionada com a quan- tidade de oper´arios alocados nessa produ¸c˜ao, isto pode ser considerado um fator para esse limite. 4.2 Solu¸c˜oes Degeneradas, Ilimitadas e M´ultiplas Na utiliza¸c˜ao do M´etodo Simplex podem surgir 4 casos especiais: • Degenera¸c˜ao; • M´ultiplas Solu¸c˜oes; • Solu¸c˜ao Ilimitada; • Solu¸c˜ao Invi´avel; a) Problema de Degenera¸c˜ao: No desenvolvimento do Simplex, a linha pivˆo ´e a restri¸c˜ao que apresenta o menor quociente n˜ao negativo, na divis˜ao dos termos indepen- dentes pelos coeficientes positivos da vari´avel que entra (regra da raz˜ao m´ınima).Ocorre, que pode haver resultados iguais na aplica¸c˜ao da regra (empate), e nessas condi¸c˜oes, a escolha da vari´avel que sai se d´a de forma arbitr´aria, assim, a solu¸c˜ao ´otima pode apresentar uma vari´avel b´asica com valor nulo (igual a zero). Uma caracter´ıstica im- portante da degenera¸c˜ao ´e o fato de que, a sa´ıda de uma vari´avel b´asica nula provoca o aparecimento de outra vari´avel b´asica nula na solu¸c˜ao seguinte, sem altera¸c˜ao do valor da fun¸c˜ao objetivo. Na pr´atica, a degenera¸c˜ao indica que existe uma restri¸c˜ao redundante (recursos sup´erfluos) no modelo, isto ´e, uma restri¸c˜ao que, se retirada, 34
  35. 35. n˜ao influencia no espa¸co das solu¸c˜oes do problema. fazendo uma an´alise gr´afica, tal restri¸c˜ao n˜ao interfere na regi˜ao de viabilidade, podendo ser retirada sem comprometi- mento da solu¸c˜ao ´otima.. Vamos observar um exemplo: MaxZ = 3x1 + 9x2 sujeito a :    x1 + 4x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Z − 3x1 − 9x2 = 0 sujeito a :    x1 + 4x2 + f1 = 8 x1 + 2x2 + f2 = 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0 a) Solu¸c˜ao B´asica Inicial (SBI): (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, x2 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: f1 = 8, f2 = 4 (III) Z = 0 Vari´aveis que entra e sai da base: • Vari´avel que entra na base (VEB): x2, pois -2 ´e o coeficiente negativo de maior valor absoluto. • Vari´avel que sai da base (VSB):f1 ou f2, pois h´a empate no crit´erio da raz˜ao m´ınima: 8 4 = 2 e 4 2 = 2 • Elemento Pivˆo: C3 L2 = 4 C1 C2 C3 C4 C5 C6 Z x1 x2 f1 f2 bi L1 1 -3 -9 0 0 0 L2 0 1 4 1 0 8 L3 0 1 2 0 1 4 L2 −→ 1 4 L2 35
  36. 36. C´alculo da Nova Solu¸c˜ao:    1 −3 −9 0 0 0 0 1/4 1 1/4 0 2 0 1 2 0 1 4    L1 −→ L1 + 9L2 L3 −→ L3 − 2L2    1 −3/4 0 9/4 0 18 0 1/4 1 1/4 0 2 0 1/2 0 −1/2 1 0    L3 −→ 2L3    1 −3/4 0 9/4 0 18 0 1/4 1 1/4 0 2 0 1 0 −1 2 0    L1 −→ L1 + 3 4 L3 L2 −→ L2 − 1 4 L2    1 0 0 3/2 3/2 18 0 0 1 1/2 −1/2 2 0 1 0 −1 2 0    a) Nova Solu¸c˜ao: (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, x2 = 2 (II) Vari´aveis b´asicas: f1 = 0, f2 = 0 (III) Z = 18 36
  37. 37. Veja que x1 = 0 (vari´avel b´asica), o que indica a solu¸c˜ao degenerada. O fato de o decisor saber a priore que uma das restri¸c˜oes ´e redundante (recursos sup´erfluos), traz grande vantagem na tomada de decis˜ao. A informa¸c˜ao tamb´em pode levar a descober- tas de distor¸c˜oes e irregularidades na modelagem do problema. Vejamos o problema graficamente. Observe que a restri¸c˜ao x1 + 4x2 ≤ 8 (reta vermelha) pode ser removida Figura 4.1: sem comprometer a regi˜ao de viabilidade (abaixo da reta verde). Dizemos que o ponto (0, 2) ´e superdeterminado. c) Problema de M´ultiplas Solu¸c˜oes: Se no quadro final simplex resultar numa solu¸c˜ao ´otima com coeficiente de uma vari´avel n˜ao b´asica igual a zero, significa que ela poder´a entrar na base sem alterar o valor da fun¸c˜ao objetivo, gerando outra solu¸c˜ao ´otima. Neste caso, teremos solu¸c˜oes m´ultiplas, pois qualquer combina¸c˜ao linear dessas duas solu¸c˜oes tamb´em ser´a solu¸c˜ao ´otima. Observe o exemplo abaixo: MaxZ = 2x1 + 4x2 sujeito a :    x1 + 2x2 ≤ 5 x1 + x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Z − 2x1 − 4x2 = 0 37
  38. 38. sujeito a :    x1 + 2x2 + f1 = 5 x1 + x2 + f2 = 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0 a) Solu¸c˜ao B´asica Inicial (SBI): (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, x2 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: f1 = 5, f2 = 4 (III) Z = 0 Vari´aveis que entra e sai da base: • Vari´avel que entra na base (VEB): x2, pois -4 ´e o coeficiente negativo de maior valor absoluto. • Vari´avel que sai da base (VSB):f1 • Elemento Pivˆo: C3 L2 = 2 C1 C2 C3 C4 C5 C6 Z x1 x2 f1 f2 bi L1 1 -2 -4 0 0 0 L2 0 1 2 1 0 5 L3 0 1 1 0 1 4 L2 −→ 1 2 L2 C´alculo da Nova Solu¸c˜ao:    1 23 −4 0 0 0 0 1/2 1 1/2 0 5/2 0 1 1 0 1 4    L1 −→ L1 + 4L2 L3 −→ L3 − L2    1 0 0 2 0 10 0 1/2 1 1/2 0 5/2 0 1/2 0 −1/2 1 3/2    Observe que o coeficiente de x1 ´e igual a zero, isso indica que x1 pode entrar na solu¸c˜ao b´asica sem alterar o valor da fun¸c˜ao objetivo, contudo, sua entrada provocar´a mudan¸cas nos valores das outras vari´aveis. Vamos mostrar isto fazendo x1 entrar na base e for¸cando a sa´ıda de f2. 38
  39. 39.    1 0 0 2 0 10 0 1/2 1 1/2 0 5/2 0 1/2 0 −1/2 1 3/2    L3 −→ 2L3    1 0 0 2 0 10 0 1/2 1 1/2 0 5/2 0 1 0 −1 2 3    L2 −→ L2 − 1 2 L3    1 0 0 2 0 10 0 0 1 1 −1 1 0 1 0 −1 2 3    a) Nova Solu¸c˜ao: (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 3, x2 = 1 (II) Vari´aveis b´asicas: f1 = 0, f2 = 0 (III) Z = 10 ´E importante notar que o M´etodo Simplex fornece apenas os extremos do intervalo das m´ultiplas solu¸c˜oes. Na solu¸c˜ao da itera¸c˜ao 1,x1 = 0x2 = 5/2, significa que o ponto onde a restri¸c˜ao corta o eixo x2 ´e (0; 2, 5) na itera¸c˜ao 2,x1 = 3, x2 = 1, isto ´e, o ponto ´otimo (v´ertice do poliedro convexo) ´e o ponto (3, 1). Portanto, todas as m´ultiplas solu¸c˜oes para o problema se encontram entre esses dois pontos. 39
  40. 40. Observe o gr´afico do problema: Figura 4.2: b) Problema da Solu¸c˜ao Ilimitada: Quando a vari´avel que entra na base n˜ao possui em sua coluna nenhum coeficiente positivo o problema possui solu¸c˜ao ilimi- tada. Devemos ent˜ao, buscar a ´ultima solu¸c˜ao b´asica antes da solu¸c˜ao ter se tornado ilimitada. 4.2.1 Crit´erios Para Aplica¸c˜ao do Simplex Os modelos de programa¸c˜ao linear apresentados at´e aqui (maximiza¸c˜ao) possuem as seguintes caracter´ısticas: • A fun¸c˜ao objetivo deve ser maximizada • Todas as vari´aveis de decis˜ao s˜ao n˜ao negativas • Existe uma solu¸c˜ao b´asica inicial Isso significa que, para aplica¸c˜ao do M´etodo Simplex, todas as caracter´ısticas mencio- nadas devem ser satisfeitas, dessa forma, podemos perceber, que precisamos de t´ecnicas espec´ıficas para tratar de problemas que se referem a: • Minimiza¸c˜ao da Fun¸c˜ao Objetivo • Vari´aveis Livres • Solu¸c˜ao B´asica Inicial 40
  41. 41. Para tratar de problemas que envolvem a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo, devemos multiplic´a-la por -1, assim, obter-se-´a uma fun¸c˜ao equivalente para maximiza¸c˜ao. Quando as restri¸c˜oes do modelo forem do tipo (≥), devemos acrescentar uma vari´avel com coeficiente negativo igual a -1 denominada de vari´avel de excesso. As restri¸c˜oes do tipo (=), n˜ao recebem nem vari´aveis de folga nem vari´aveis de ex- cesso. Se houver vari´avel livre no modelo, significa que a condi¸c˜ao de n˜ao negatividade n˜ao est´a satisfeita, nesses casos, podemos substitu´ı-la pela diferen¸ca de duas outras vari´aveis n˜ao negativas, pois um n´umero qualquer sempre pode ser escrito como a di- feren¸ca de dois n´umeros positivos. Sempre que houver restri¸c˜oes do tipo (≥) ou ( = ), devemos acrescentar nessas restri¸c˜oes o que denominamos de vari´aveis artificiais ηi, cujo objetivo ´e for¸car uma solu¸c˜ao b´asica inicial para aplica¸c˜ao do M´etodo Simplex. 4.2.2 De Volta Para Modelo Original Quando inserimos vari´aveis artificiais no modelo para produzir uma solu¸c˜ao b´asica ini- cial, perdemos a originalidade do mesmo com rela¸c˜ao as suas vari´aveis iniciais, por isso devemos buscar uma forma de retornar ao modelo original. As t´ecnicas mais utilizadas para retornar ao modelo original s˜ao: • M´etodo do Big M e • M´etodo da Fun¸c˜ao Objetivo Auxiliar/ M´etodo das duas Fases Ambos os m´etodos tˆem o mesmo objetivo, eliminar as vari´aveis auxiliares do mo- delo mantendo a solu¸c˜ao b´asica inicial, isto ´e, transform´a-las de vari´aveis b´asicas em vari´aveis n˜ao b´asicas, em outras palavras, devemos fazer η1 = η2 = η3 = · · · = ηn = 0 e A = 0. 4.2.3 M´etodo da Fun¸c˜ao Objetivo Auxiliar O M´etodo da Fun¸c˜ao Objetivo Auxiliar ´e aplicado em problemas de minimiza¸c˜ao, ou problemas que apresentam restri¸c˜oes do tipo (≥) e (=) no mesmo modelo. O m´etodo consiste na introdu¸c˜ao de vari´aveis auxiliares ηi nas restri¸c˜oes do modelo estudado, para que assim, seja poss´ıvel a existˆencia de uma solu¸c˜ao b´asica inicial, crit´erio essencial para in´ıcio dos procedimentos da aplica¸c˜ao do M´etodo Simplex. Para melhor entendermos, vamos descrever os passos para aplica¸c˜ao do m´etodo em um exemplo. Considere o modelo dado por: MinZ = 3x1 + 2x2 41
  42. 42. sujeito a :    2x1 + x2 ≥ 10 x1 + 5x2 ≥ 15 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Para aplica¸c˜ao do M´etodo Simplex, fa¸camos uma breve discuss˜ao: A fun¸c˜ao objetivo ´e de minimiza¸c˜ao, ent˜ao devemos multiplic´a-la por -1: MinZ = 3x1 + 2x2 · (−1) ⇒ −Z = −3x1 − 2x2, e portanto −Z + 3x1 + 2x2 = 0 ´e a fun¸c˜ao objetivo equivalente para maximiza¸c˜ao. As restri¸c˜oes s˜ao do tipo (≥), ent˜ao devemos introduzir as vari´aveis de excesso fi com os coeficientes negativos (-1) e fi ≥ 0 em cada restri¸c˜ao. Al´em disso, ainda pelo fato de as restri¸c˜oes serem do tipo (≥) devemos tamb´em inserir nas restri¸c˜oes t´ecnicas as vari´aveis ηi auxiliares em cada uma das restri¸c˜oes. Ent˜ao: Min(−Z) + 3x1 + 2x2 = 0 sujeito a :    2x1 + x2 − f1 + η1 = 10 x1 + 5x2 − f2 + η2 = 15 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0, η1 ≥ 0, η2 ≥ 0 Depois de realizada a discuss˜ao, devemos construir a fun¸c˜ao objetivo auxiliar A, formada pela soma das vari´aveis auxiliares. A = η1 + η2 + η3 + · · · + ηn No modelo em estudo temos ent˜ao A = η1 + η2. A fun¸c˜ao A deve ser escrita em termos das vari´aveis originais para compor o novo objetivo a ser minimizado. Assim, o pr´oximo passo ´e escrever cada uma das vari´aveis artificiais das restri¸c˜oes t´ecnicas em fun¸c˜ao das vari´aveis originais, visando substitu´ı-las na fun¸c˜ao objetivo au- xiliar A. • Restri¸c˜ao 1: η1 = −2x1 − x2 + f1 + 10 • Restri¸c˜ao 2: η2 = −x1 − 5x2 + f2 + 15. Agora, devemos substituir η1 e η2 na fun¸c˜ao objetivo auxiliar A. A = −2x1 − x2 + f1 + 10 + −x1 − 5x2 + f2 + 15 que nos d´a A = −3x1 − 6x2 + f1 + f2 + 25 Lembre-se que MinA = Max(−A) = 3x1 + 6x2 − f1 − f2 − 25. 42
  43. 43. • Fique Atento!: O objetivo inicial n˜ao ´e determinar a solu¸c˜ao ´otima, mas eliminar as vari´aveis auxiliares, portanto, ´e necess´ario ficar atento na escolha da vari´avel que entra na base, esta deve ser `aquela que expulsa uma das vari´aveis auxiliares do qua- dro simplex. Isso dever´a ocorrer enquanto houver vari´avel auxiliar no modelo, quando todas forem eliminadas, devemos abandonar o quadro simplex e retornar ao quadro original com a solu¸c˜ao b´asica inicial mantida. Ressaltamos que, isso ocorrer´a quando: η1 = η2 = η3 = · · · = ηn = 0 e A = 0 Pode haver casos em que a fun¸c˜ao auxiliar A apresenta solu¸c˜ao ´otima quando todas as vari´aveis auxiliares j´a s˜ao iguais a zero, neste caso, o problema ´e imposs´ıvel de ser resolvido, isto ´e, n˜ao existe solu¸c˜ao. Al´em disso, ´e poss´ıvel que as vari´aveis n˜ao b´asicas n˜ao possuam condi¸c˜oes de expulsar uma vari´avel b´asica auxiliar, nesse caso, n˜ao haver´a solu¸c˜ao b´asica, e consequentemente, o problema n˜ao apresentar´a solu¸c˜ao. Agora sim, estamos prontos para aplicar o M´etodo Simplex no problema proposto de minimiza¸c˜ao. A Tabela Simplex com a fun¸c˜ao objetivo auxiliar A ´e: C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 Vari´aveis Z x1 x2 f1 f2 η1 η2 bi F.O original -1 3 2 0 0 0 0 0 L1 (R1) 0 2 1 -1 0 1 0 10 L2 (R2) 0 1 5 0 -1 0 1 15 L3 F.O auxiliar -1 -3 -6 1 1 0 0 -25 L4 Vamos escolher qualquer vari´avel que entre na base com o objetivo de eliminar uma vari´avel auxiliar qualquer, isto ´e, provocar sua sa´ıda, no problema proposto temos que: • Se a vari´avel x1 entrar na base primeiro, ent˜ao sai a vari´avel b´asica auxiliar η1 • Se a vari´avel x2 entrar na base primeiro, ent˜ao sai a vari´avel b´asica auxiliar η2 Sabendo disso, vamos come¸car mostrando uma solu¸c˜ao b´asica inicial com as vari´aveis artificiais: (I) Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = 0, x2 = 0, f1 = 0, f2 = 0 (II) Vari´aveis b´asicas: η1 = 10, η2 = 15 (III) Z = 0 C´alculo da Nova Solu¸c˜ao B´asica: • A vari´avel que entra na base ´e x2, pois | − 6| = 6 e a coluna pivˆo ´e C3. • A vari´avel que sai da base ´e a primeira que se anula com a entrada de x2, no caso ´e η2, pois estamos considerando: 15 5 = 3 ´e o menor quociente obtido da divis˜ao dos ter- mos independentes pelos elementos da coluna pivˆo (exceto n´umeros negativos e zero) e a linha pivˆo ser´a L3. 43
  44. 44. • Elemento Pivˆo: C3 L3 = 5 (5 ´e o elemento que dever´a ser transformado no ele- mento pivˆo). Aplicaremos a opera¸c˜ao elementar L3 −→ 1 5 L3 na tabela anterior, visando transformar o elemento pivˆo em 1, para assim iniciarmos o processo com as matrizes. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 Vari´aveis Z x1 x2 f1 f2 η1 η2 bi F.O original -1 3 2 0 0 0 0 0 L1 (R1) 0 2 1 -1 0 1 0 10 L2 (R2) 0 1 5 0 -1 0 1 15 L3 F.O auxiliar -1 -3 -6 1 1 0 0 -25 L4 L3 −→ 1 5 L3 O que nos d´a:       −1 3 2 0 0 0 0 0 0 2 1 −1 0 1 0 10 0 1 5 1 0 −1 5 0 1 5 3 −1 −3 −6 1 1 0 0 −25       L1 −→ L1 − 2L3 L2 −→ L2 − L3 L4 −→ L4 + 6L3       −1 13/5 0 0 2/5 0 −2/5 −6 0 9/5 0 −1 −1/5 1 −1/5 7 0 1/5 1 0 −1/5 0 1/5 3 −1 −9/5 0 1 −1/5 0 6/5 −7       Da ´ultima matriz podemos tirar as seguintes informa¸c˜oes: • Vari´aveis n˜ao b´asicas: x1 = f1 = f2 = η2 = 0 • Vari´aveis b´asicas: x2 = 3, η1 = 7 • Vari´avel que entra na base: x1, coluna pivˆo C2 • Vari´avel b´asica que sai da base: η1 • Elemento Pivˆo: 9 5 • Z = −6 (n˜ao conv´em) Aplicando a opera¸c˜ao elementar L2 −→ 5 9 L2 na linha pivˆo (na ´ultima matriz), temos:       −1 13/5 0 0 2/5 0 −2/5 −6 0 1 0 −5/9 1/9 5/9 −1/9 35/9 0 1/5 1 0 −1/5 0 1/5 3 −1 −9/5 0 1 −1/5 0 6/5 −7       44
  45. 45. L1 −→ L1 − 13 5 L2 L3 −→ L3 − 1 5 L2 L4 −→ L4 + 9 5 L2       −1 0 0 13/9 1/9 −13/9 −1/9 −145/9 0 1 0 −5/9 1/9 5/9 −1/9 35/9 0 0 1 1/9 −2/9 −1/9 2/9 20/9 −1 0 0 0 0 1 1 0       Est´a matriz nos d´a a nova solu¸c˜ao b´asica. Agora, temos as seguintes informa¸c˜oes: • Vari´aveis n˜ao b´asicas: f1 = f2 = η1 = η2 = 0 • Vari´aveis b´asicas: x1 = 3, ¯88, x2 = 2, ¯22 Observe que, agora, a solu¸c˜ao b´asica est´a formada com as vari´aveis originais, pois η1 = η2 = 0. Assim, podemos abandonar o ´ultimo quadro e reescrever a nova tabela Simplex sem as vari´aveis auxiliares e sem a fun¸c˜ao objetivo auxiliar. C1 C2 C3 C4 C5 C6 Z x1 x2 f1 f2 bi L1 -1 0 0 13/9 1/9 -145/9 L2 0 1 0 -5/9 1/9 35/9 L3 0 0 1 1/9 -2/9 20/9 Veja que n˜ao h´a coeficientes negativos na fun¸c˜ao objetivo, isto significa que a solu¸c˜ao −Z = − 145 9 ⇒ Z = 145 9 ´e a solu¸c˜ao ´otima se, e somente se, x1 = 35 9 e x2 = 20 9 . 45
  46. 46. CAP´ITULO 5 DUALIDADE Um problema que d´a origem a maximiza¸c˜ao ou minimiza¸c˜ao em Programa¸c˜ao Linear, ´e chamado de Modelo Primal. J´a mostramos que tais modelos s˜ao escritos da seguinte forma: MaxZ = n j=1 cjxj Sujeita a: n j=1 aijxj ≤ bi ∀ i = 1, 2, 3, . . . , m sendo xj ≥ 0 ou MinZ = n j=1 cjxj Sujeita a: n j=1 aijxj ≥ bi ∀ i = 1, 2, 3, . . . , m sendo xj ≥ 0 Para todo modelo primal, tem-se associado um outro modelo denominado de Mo- delo Dual. O modelo dual ´e subsequente do modelo primal, isto ´e, se o modelo primal ´e de maximiza¸c˜ao ou minimiza¸c˜ao, ent˜ao o modelo dual ser´a de minimiza¸c˜ao ou maximiza¸c˜ao. 46
  47. 47. O modelo dual associado ao primal ser´a escrito como: MinW = m i=1 biyi Sujeita a: m i=1 aijyi ≥ cj ∀ j = 1, 2, 3, . . . , m sendo yi ≥ 0 ou MaxW = m i=1 biyi Sujeita a: m i=1 aijyi ≤ cj ∀ j = 1, 2, 3, . . . , m sendo yi ≥ 0 Analisando os modelos primal e dual, pode-se concluir que: • Os termos independentes das restri¸c˜oes do primal, s˜ao os coeficientes da fun¸c˜ao ob- jetivo do dual; • Os coeficientes da fun¸c˜ao objetivo do primal, s˜ao os termos independentes do dual; • O n´umero de vari´aveis do primal, corresponde ao n´umero de restri¸c˜oes do dual. Isto ´e, o dual tem tantas vari´aveis quantas restri¸c˜oes h´a no primal; • Na transforma¸c˜ao do primal para o dual, o dual perde uma vari´avel existente no primal; • Os resultados do primal e do dual s˜ao iguais; • O dual do problema dual resulta no primal; • O dual ser´a indicado no quadro Simplex pelos coeficientes das vari´aveis de folga (ou excesso) na linha da fun¸c˜ao objetivo da situa¸c˜ao final, e ir´a representar os custos internos que vamos denominar de pre¸cos sombra. 5.1 Problema Primal × Problema Dual: Dado um problema de programa¸c˜ao Linear do tipo MaxZ = n j=1 cjxj. Na forma ma- tricial temos; MaxZ = CX Sujeita a: AX ≤ B com X ≥ 0. Ent˜ao a forma matricial do seu modelo dual ser´a: MinW = BY Sujeita a: AT Y ≥ C com Y ≥ 0. Veja que, o modelo dual associado ao modelo primal ´e determinado pela transposta da matriz dos coeficientes das vari´aveis yi do modelo dual com sinal ≥. Al´em disso, os coeficientes ci do modelo primal, passam a ser os termos independentes do modelo dual. 47
  48. 48. Vejamos um exemplo: MaxZ = 4x1 + 6x2 + 5x3 sujeito a :    2x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 23 x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 19 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 • Representa¸c˜ao Matricial do Primal Max Z = 4 6 5    x1 x2 x3    Sujeito a: 2 5 3 1 3 4    x1 x2 x3   ≤ 23 19 Como j´a sabemos: • Os termos independentes das restri¸c˜oes do primal, s˜ao os coeficientes da fun¸c˜ao ob- jetivo do dual, isto ´e: 21 16 ·• Os coeficientes da fun¸c˜ao objetivo do primal, correspondem aos termos independentes do dual, o que nos d´a:    4 6 5    • Os termos independentes do primal, agora s˜ao os coeficientes da fun¸c˜ao objetivo do dual; 21 16 • A matriz dos coeficientes das restri¸c˜oes do dual, corresponde `a transposta da matriz do primal, ou seja:    2 1 5 3 3 4    48
  49. 49. • O n´umero de restri¸c˜oes do dual, corresponde ao n´umero de vari´aveis do primal com a perda de uma vari´avel, no caso x3. y1 y2 Ent˜ao, o modelo dual pode ser escrito: MinW = 21 16 · y1 y2 Sujeito a:    2 1 5 3 3 4    y1 y2 ≥    4 6 5    Isto ´e: MinW = 23y1 + 19y2 Sujeito a :    2y1 + y2 ≥ 4 5y1 + 3y2 ≥ 6 3y1 + 4y2 ≥ 5 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 Ent˜ao temos: Modelo Primal MaxZ = 4x1 + 6x2 + 5x3 Sujeito a :    2x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 23 x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 19 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 49
  50. 50. Modelo Dual MinW = 23y1 + 19y2 sujeito a :    2y1 + y2 ≥ 4 5y1 + 3y2 ≥ 6 3y1 + 4y2 ≥ 5 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 5.1.1 Algor´ıtmo de Transforma¸c˜ao do Primal Para Dual O algor´ıtmo que ser´a apresentado para transformar um modelo primal em um modelo dual ser´a denominado de M´etodo Indiano, ele facilitar´a em muito o processo que envolve transforma¸c˜ao de problemas primais em problemas duais, para aplica¸c˜ao do algor´ıtmo, voltemos ao problema anterior, obter o modelo dual correspondente ao modelo primal: MaxZ = 4x1 + 6x2 + 5x3 Sujeito a :    2x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 23 x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 19 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 Construa a matriz ampliada do conjunto de restri¸c˜oes t´ecnicas A =    2 5 3 23 1 3 4 19 − − − −    Introduza os coeficientes e o termo independente da fun¸c˜ao objetivo na ´ultima linha da matriz. Note que, se Z = 0 (solu¸c˜ao b´asica inicial), ent˜ao 4x1 + 6x2 + 5x3 = 0. A =    2 5 3 23 1 3 4 19 4 6 5 0    Calcule At At =       2 1 4 5 3 6 3 4 5 23 19 0       50
  51. 51. Que corresponde ao modelo dual MinW = 23y1 + 19y2 sujeito a :    2y1 + y2 ≥ 4 5y1 + 3y2 ≥ 6 3y1 + 4y2 ≥ 5 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 Vejamos um exemplo: Uma f´abrica de embalagens produz dois tipos de caixas, cereais e sab˜ao em p´o. Nas caixas de cereais s˜ao gastos 60dm2 de papel˜ao e 0,20 homem-hora1 e nas caixas de sab˜ao em p´o gastam-se 100dm2 de papel˜ao e 0,25 homem-hora. A empresa pode contar dia- riamente, com 100m2 de papel˜ao e, atualmente, possui 5 funcion´arios que trabalham 6 horas por dia. Sabendo-se que a contribui¸c˜ao para o lucro das caixas de cereais e das caixas de sab˜ao em p´o ´e de R$ 5,00 e R$ 8,00 respectivamente, responda: a) Qual o modelo que maximiza o lucro da f´abrica? b) Quantas caixas de cereais e de sab˜ao em p´o a f´abrica deve produzir para obter o lucro m´aximo? Qual ´e esse lucro? c) Com quais valores cada recurso utilizado deve contribuir para forma¸c˜ao do lucro na venda de cada caixa? Fa¸ca uma an´alise econˆomica? Solu¸c˜ao (a): Inicialmente, vamos fazer a MODELAGEM. Chamaremos de n´ıveis de produ¸c˜ao das caixas de cereais e sab˜ao em p´o de x1 e x2 respectivamente. Para produ¸c˜ao di´aria das caixas de cereais s˜ao gastos 60dm2 de papel˜ao e para as caixas de sab˜ao em p´o 100dm2 , como existe uma disponibilidade m´axima di´aria de 100m2 , tem-se que 60x1 + 100x2 ≤ 10.000 (100m2 −→ 10.000dm2) que ´e a restri¸c˜ao (R1). A segunda restri¸c˜ao ´e composta pelo recurso Homem-hora. Para as caixas de cereal e sab˜ao em p´o necessitam-se de 0,20 e 0,25 homens-hora respectivamente, isso nos leva a segunda restri¸c˜ao (R2): 0, 20x1 + 0, 25x2 ≤ 30. As contribui¸c˜oes individuais para o lucro da f´abrica s˜ao R$ 5,00 para as caixas de cereais e R$ 8,00 para as caixas de sab˜ao em p´o, e portanto, a fun¸c˜ao objetivo ´e MaxZ = 5x1 + 8x2 = 0. Em resumo, o modelo pode ser escrito. 1 Unidade convencionada e subjetiva que mede a quantidade de trabalho realizada por uma pessoa durante uma hora. 51
  52. 52. MODELO PRIMAL MaxZ = 5x1 + 8x2 Sujeito a :    60x1 + 100x2 ≤ 10.000 20x1 + 25x2 ≤ 3000 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 b) Vamos aplicar o M´etodo Simplex para responder a pergunta: Quantas caixas de cereais e de sab˜ao em p´o a f´abrica deve produzir para obter o lucro m´aximo? De MaxZ = 5x1 + 8x2 temos Z − 5x1 − 8x2 = 0. Inserindo as vari´aveis de folga f1 e f2 nas restri¸c˜oes temos:    60x1 + 100x2 + f1 = 10.000 20x1 + 25x2 + f2 = 3.000 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 Z x1 x2 f1 f2 bi L1 1 -5 -8 0 0 0 L2 0 60 100 1 0 10.000 L3 0 20 25 0 1 3.000 Podemos observar que: A solu¸c˜ao b´asica inicial ´e dada por: • Vari´aveis n˜ao b´asicas:    x1 = 0 x2 = 0 • Vari´aveis b´asicas:    f1 = 10.000 f2 = 3.000 A vari´avel que entra na base2 ´e x2 e portanto a coluna pivˆo ´e C3. A vari´avel que sai da base3 ´e f1 e ent˜ao a linha pivˆo ´e L2. O elemento pivˆo ´e dado por C3 L2 = 100 2 Aquela que possui coeficiente negativo de maior valor absoluto 3 identificada pela divis˜ao dos termos independente com elementos da coluna pivˆo 52
  53. 53. Dadas todas as informa¸c˜oes necess´arias, vamos `as itera¸c˜oes que nos mostrar´a a nova solu¸c˜ao. C´alculo da Nova Solu¸c˜ao: C1 C2 C3 C4 C5 C6 Z x1 x2 f1 f2 bi L1 1 -5 -8 0 0 0 L2 0 60 100 1 0 10.000 L3 0 20 25 0 1 3.000 L2 −→ 1 100 L2    1 −5 −8 0 0 0 0 3/5 1 1/100 0 100 0 20 25 0 1 3.000    L1 −→ L1 + 8L2 L3 −→ L3 − 25L2    1 −1/5 0 8/100 0 800 0 3/5 1 1/100 0 100 0 5 0 −1/4 1 500    Desse ultimo quadro (matriz), podemos notar que a solu¸c˜ao ainda n˜ao ´e ´otima4 , dessa forma, devemos continuar as itera¸c˜oes na busca da solu¸c˜ao ´otima, mas antes, vamos analisar o ´ultimo quadro: A solu¸c˜ao b´asica ´e: • Vari´aveis n˜ao b´asicas:    x1 = 0 f1 = 0 • Vari´aveis b´asicas:    x2 = 100 f2 = 500 A vari´avel que entra na base ´e x1 e a coluna pivˆo ´e C2. A vari´avel que sai da base ´e f2 e a linha pivˆo ´e L3. O elemento pivˆo ´e C2 L3 = 5 Multiplicando toda a linha L3 por 1 5 , isto ´e L3 −→ 1 5 L3 temos: 4 Pois ainda existe coeficiente negativo na fun¸c˜ao objetivo (primeira linha da matriz). 53
  54. 54. C´alculo da nova solu¸c˜ao b´asica:    1 −1/5 0 8/100 0 800 0 3/5 1 1/100 0 100 0 1 0 −1/20 1/5 100    L1 −→ L1 + 1 5 L3 L2 −→ L2 − 3 5 L3    1 0 0 7/100 1/25 820 0 0 1 3/100 −3/25 40 0 1 0 −1/20 1/5 100    No novo quadro Simplex podemos ver que para a f´abrica conseguir um lucro m´aximo de R$ 820,00 diariamente, ´e necess´ario produzir 40 caixas de cereais e 100 caixas de sab˜ao em p´o. No item (c) a pergunta ´e: Com quais valores cada recurso utilizado deve contribuir para forma¸c˜ao do lucro na venda de cada caixa? Isso nos remete ao que denominamos de pre¸cos sombra. Na Dualidade o principal objetivo ´e identificar o valor de oportunidade de cada re- curso produtivo envolvido na produ¸c˜ao de bem. O gestor decide por meio da Dualidade se existe a necessidade de produ¸c˜ao de um bem, ou mesmo, se mant´em em estoque os recursos envolvidos no processo produtivo. Chamamos de Pre¸cos Sombra, os valores duais, que tem o significado de ser a contribui¸c˜ao unit´aria de cada recurso utilizado para forma¸c˜ao do lucro que ´e produzido na venda do bem, ou seja, os pre¸cos sombra s˜ao os valores por unidade dos recursos adicionais. Ent˜ao, para an´alise dos pre¸cos sombras, precisamos do MODELO DUAL: Tal modelo pode ser obtido da transposta da matriz ampliada do primal: A =    60 100 10.000 20 25 3.000 5 8 0    At =    60 20 5 100 25 8 10.000 3.000 0    54
  55. 55. Ent˜ao o modelo dual ser´a: MinW = 10.000y1 + 3.000y2 Sujeito a :    60y1 + 20y2 ≥ 5 100y1 + 25y2 ≥ 8 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 5.1.2 An´alise Econˆomica do Dual: Do quadro final Simplex do primal, podemos construir um quadro final Dual Simplex da seguinte forma: W y1 y2 s1 s2 B 1 0 0 100 40 820 1 0 7/100 0 1 1/25 • O valor de y1 (0,07) foi obtido do coeficiente f1, e representa, portanto, o valor de oportunidade do recurso R1, isto ´e, cada unidade do recurso R1 tem a capacidade de gerar um lucro de R$ 0,07. • O valor de y2 (0,04) foi obtido do coeficiente f2, e representa, portanto, o valor de oportunidade do recurso R2, isto ´e, cada unidade do recurso R2 tem a capacidade de gerar um lucro de R$ 0,07. Os valores de y1 e y2 s˜ao, portanto, o valor de oportunidade por unidade do recurso R1 e R2, isto ´e, a capacidade de os recursos gerarem lucro nessa situa¸c˜ao. Veja que, na solu¸c˜ao ´otima, os valores coincidem com o lucro atribu´ıdo aos produtos pelo mercado, ou seja, o valor de oportunidade do mercado. Cada uma das restri¸c˜oes compara o valor de oportunidade atribu´ıda aos produtos pelos recursos, com o valor de oportunidade atribu´ıdo aos produtos pelo mercado. Vamos fazer uma verifica¸c˜ao pela primeira restri¸c˜ao do modelo dual: • Caixas de Cereal: A restri¸c˜ao 60y1 + 20y2 ≥ 5 nos mostra que para produzir uma caixa de cereal s˜ao necess´arios 60dm2 de papel˜ao mais 20 homens/hora, estes recurso s˜ao denominados valor interno(lado esquerdo da desigualdade). O valor (5) (lado direito da desigualdade), indica o valor de oportunidade atribu´ıdo pelo mercado, este valor tamb´em ´e conhecido como valor externo. Quando a remunera¸c˜ao do mercado (valor externo) cobre o valor interno, o produto pode ser fabricado. 55
  56. 56. Se o valor de mercado for menor que o valor interno, o produto poder´a ser ou n˜ao fabricado. Mas fique atento, se o valor interno superar o valor externo, ent˜ao algo de errado pode est´a ocorrendo dentro da empresa, como: problemas na negocia¸c˜ao de pre¸cos dos recursos produtivos junto aos fornecedores, ou a empresa pode estar atuando com margens de lucros muito pequenas. Vejamos o que est´a ocorrendo na F´abrica de caixas de cereal e sab˜ao em p´o em rela¸c˜ao a primeira restri¸c˜ao 60y1 + 20y2 ≥ 5. Substituindo os valores (pre¸cos sombra) no modelo tem-se: 60(0, 07) + 20(0, 04) ≥ 5 ⇒ 5 ≥ 5 O resultado nos mostra que o valor interno ´e igual ao valor externo, quando isso acontece, significa que o bem deve ser fabricado, portanto, as caixas de cereal devem ser fabricadas. De forma an´aloga, na segunda restri¸c˜ao, tem-se que o valor interno ´e igual ao valor ex- terno, e portanto as caixas de sab˜ao em p´o tamb´em podem ser fabricadas. A decis˜ao de fabricar ou n˜ao um bem deve ser tomada com base no desempenho do modelo quanto ao pre¸co sombra, se ao substituir o pre¸co sombra no modelo o resultado indicar que o valor interno ´e menor ou igual do que o valor externo, sugere-se fabricar o bem, no entanto, se o valor interno ´e maior do que o valor externo, sugere-se que o produto n˜ao seja fabricado5 . Exemplo 2: Considere uma empresa que fabrica porta e port˜oes de ferro cujo mo- delo que maximiza os lucros da empresa ´e: MaxZ = 200x1 + 500x2 Sujeito a :    20x1 + 30x2 ≤ 120 20x1 + 10x2 ≤ 80 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 . Sendo R1: Recurso Ferro (Restri¸c˜ao 1) e R2: Horas m˜ao de obra e a situa¸c˜ao final do quadro Simplex Z x1 x2 f1 f2 b 1 133,3 0 16,66 0 2.000 0 0,67 1 0,03 0 4 0 13,33 0 -0,33 1 40 5 Note que, em termos de mercado, dificilmente o produto n˜ao seria fabricado, pois isso poderia resultar em perdas significativas para a empresa, como clientes insatisfeitos e perda de participa¸c˜ao de mercado. Cabe ao decisor analisar o cen´ario atual para decidir sobre o fabrico ou n˜ao do produto. 56
  57. 57. Pergunta-se: a) Qual o modelo Dual? b) Qual o quadro Dual Simplex (situa¸c˜ao final)? c) Qual o valor de oportunidade do recurso R1. Explique. d) Qual o valor de oportunidade do recurso R1. Explique. e) Se vocˆe fosse o Engenheiro de Produ¸c˜ao dessa f´abrica, vocˆe produziria port˜oes de ferro? Por quˆe? f) Quanto as portas de ferro, vale a pena a produ¸c˜ao desse bem? Por quˆe? Solu¸c˜ao: O modelo Primal ´e: MaxZ = 200x1 + 500x2 Sujeito a :    20x1 + 30x2 ≤ 120 20x1 + 10x2 ≤ 80 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 . O modelo Dual ´e dado pela matriz transposta da matriz ampliada do primal, isto ´e: A =    20 30 120 20 10 80 200 500 0    At =    20 20 200 30 10 500 120 80 0    logo:MinW = 120y1 + 80y2 Sujeito a :    20y1 + 20y2 ≥ 200 30y1 + 10y2 ≥ 500 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 O quadro final Dual Simplex ´e: W y1 y2 s1 s2 B 1 0 40 0 4 2000 1 0 16,66 0 1 133,33 O valor de oportunidade do recurso R1 (ferro) ´e R$ 16,66, isto ´e, cada unidade do recurso I, se aumentada, tem capacidade de gerar R$ 16,66 de lucro para empresa. 57
  58. 58. J´a o recurso R2 (m˜ao de obra),n˜ao ´e escasso6 . Veja que de fato o resultado ´e l´ogico, se y2 = 0, ent˜ao existem 40 horas de m˜ao de obra dispon´ıveis para uso. Agora, vamos comparar o valor de oportunidade atribu´ıda ao produto pelos recursos de cada uma das restri¸c˜oes com o valor atribu´ıdo aos produtos pelo mercado. • Da primeira restri¸c˜ao do Dual temos: 20y1 + 20y2 ≥ 200. Veja que a restri¸c˜ao dual indica quanto de cada recurso ´e utilizado na fabrica¸c˜ao de uma porta de ferro, isto ´e, para produzir uma porta de ferro, s˜ao necess´arios 20 unidades do recurso ferro e 20 horas de m˜ao de obra. Substituindo os valores de oportunidade de cada recurso temos: 20(16, 66) + 20(0) ≥ 200 ⇒ 333, 2 ≥ 200 Isso significa que o valor interno (lado esquerdo da desigualdade) supera o valor ex- terno (lado direito da desigualdade), nesse caso, sugere-se n˜ao fabricar portas de ferro, pois algum problema pode est´a ocorrendo na empresa, como estabelecimento de uma margem muito pequena de lucro. • Da segunda restri¸c˜ao do Dual temos: 30y1 + 10y2 ≥ 500, ou seja, para fabricar um port˜ao de ferro, s˜ao necess´arios 30 unidades de ferro e 10 horas de m˜ao de obra. Substituindo os valores de oportunidade de cada recurso temos: 30(16, 66) + 10(0) ≥ 500 ⇒ 499, 8 ≥ 500 Isso significa que o valor de mercado cobre o valor interno, e dessa forma, o produto pode ser fabricado. Conclus˜ao: Pode-se fabricar os port˜oes de ferro, mas ´e necess´ario cautela na decis˜ao de fabricar portas de ferro, recomenda-se o n˜ao fabrico desse produto. Agora, imagine que a empresa decida realizar um estudo para verificar o impacto que a fabrica¸c˜ao de uma unidade de porta de ferro (x1) causaria na resultado final da fabrica¸c˜ao dos port˜oes (x2) e como o lucro da empresa (Z) seria afetado com essa fabrica¸c˜ao. Para isso, vamos procurar na coluna de x2 o elemento pivˆo (1). Como o produto a ser fabricado ser´a x1, devemos localizar na linha do elemento pivˆo o valor correspondente em x1, que no caso ´e 0, 67. Este valor representa a varia¸c˜ao que x2 sofrer´a com a fabrica¸c˜ao de x1, ent˜ao, ∆x2 = −0, 67 (varia¸c˜ao negativa), pois x2 + 0, 67 = 4, o que resulta em x2 = 3, 33. Da´ı tem-se que se, Z = 200x1 + 500x2 ⇒ Z = 200.(1) + 500(3, 33) ∴ Z = 1.865. Esse resultado, mostra que se uma unidade de porta de ferro for fabricada, haver´a um preju´ızo para a empresa de R$ 135,00. Isso se chama An´alise de Sensibilidade, ´e o que estudaremos no pr´oximo cap´ıtulo. 6 N˜ao escassez significa um bem que n˜ao ´e desejado, N˜ao h´a procura por esse bem no mercado. Matematicamente isso ocorre quando uma vari´avel de decis˜ao do Dual ´e n˜ao b´asica (igual a zero), pois se isto acontece, ´e devido ao valor da vari´avel de folga no quadro final do primal, que indica sobra de recursos. 58
  59. 59. CAP´ITULO 6 AN´ALISE DE SENSIBILIDADE Segundo Lachtermacher (2009) uma das hip´otese dos problemas de programa¸c˜ao linear ´e a certeza sobre os valores dos coeficientes da fun¸c˜ao objetivo e das constantes das restri¸c˜oes. Na modelagem de um problema em Pesquisa Operacional, a inclus˜ao de da- dos cujos valores s˜ao dependentes do mercado podem sofrer varia¸c˜oes com o tempo ou com a inser¸c˜ao de novas informa¸c˜oes. Por isso , a pesquisa da estabilidade da solu¸c˜ao adotada em face dessas varia¸c˜oes ´e muito importante. Nesse estudo, veremos que a solu¸c˜ao otimizada ´e dependente dos coeficientes da fun¸c˜ao objetivo (geralmente lucro, receita ou custo), dos coeficientes e das constantes das restri¸c˜oes (geralmente necessi- dades por produto e disponibilidade de um recurso). Como quase nunca temos certeza destes valores na vida real, devemos saber o quanto a solu¸c˜ao otimizada est´a depen- dente de uma determinada constante ou coeficiente. Se for observada uma alto grau de dependˆencia, devemos tomar um grande cuidado na determina¸c˜ao dessa solu¸c˜ao. Para isso, realizaremos uma an´alise p´os-otimiza¸c˜ao que tem o intuito de verificar as poss´ıveis varia¸c˜oes para cima e para baixo dos valores dos coeficientes da fun¸c˜ao objetivo, dos coeficientes e das constantes das restri¸c˜oes, sem que os pre¸cos sombra sejam alterados. Este estudo ´e denominado de An´alise de Sensibilidade. Para realiza¸c˜ao dele, devemos responder basicamente a trˆes perguntas: Qual o efeito de uma mudan¸ca num coeficiente da fun¸c˜ao objetivo? Qual o efeito de uma mudan¸ca numa constante (termo independente) de uma res- tri¸c˜ao? Qual o efeito de uma mudan¸ca num coeficiente de uma restri¸c˜ao? 59
  60. 60. Existem dois tipos b´asicos de an´alise de sensibilidade. O primeiro estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da fun¸c˜ao objetivo e para as constantes das restri¸c˜oes. O segundo verifica se mais de uma mudan¸ca simultˆanea em um problema altera a sua solu¸c˜ao ´otima. Para melhor compreen¸c˜ao do que foi exposto, vamos resolver o problema da fabrica de tijolos. Uma fabrica produz dois tipos de tijolos para constru¸c˜ao civil: tijolo baiano e tijolo comum. A f´abrica gasta 2 unidades do recurso I e 4 unidade dos recurso II na fa- brica¸c˜ao dos tijolos do tipo baiano. Na fabrica¸c˜ao dos tijolos do tipo comum s˜ao gastos 5 unidades do recurso I e 5 unidades do recurso II. A contribui¸c˜ao para o lucro dos tijolos baiano e comum ´e R$ 10,00 e R$ 14,00, respectivamente. A f´abrica disp˜oe de 400 unidades do recurso I e 600 unidades do recurso II. Deseja-se saber quais as quan- tidades que devem ser produzidas para que o lucro da empresa seja m´aximo. O modelo que maximiza o lucro da f´abrica ´e: MaxZ = 10x1 + 14x2 Sujeito a :    2x1 + 5x2 ≤ 400 4x1 + 5x2 ≤ 600 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 . O quadro que Simplex inicial ´e: C1 C2 C3 C4 C5 C6 Z x1 x2 f1 f2 bi L1 1 -10 -14 0 0 0 L2 0 2 5 1 0 400 L3 0 4 5 0 1 600 Ap´os todas as itera¸c˜oes para determina¸c˜ao da solu¸c˜ao ´otima tem-se o seguinte quadro final: C1 C2 C3 C4 C5 C6 Z x1 x2 f1 f2 bi L1 1 0 0 3/5 11/5 1.560 L2 0 0 1 2/5 -1/5 40 L3 0 1 0 -1/2 1/2 100 60
  61. 61. Analisando o ´ultimo quadro, podemos afirmar que: Para maximizar os lucros da f´abrica de tijolos em R$ 1.560 u.m ´e necess´ario a produ¸c˜ao di´aria de 100 unidades de tijolo baiano e 40 unidades de tijolo comum. O valor de oportunidade (pre¸co sombra) do tijolo baiano ´e de R$ 0,60 u.m e do tijolo comum ´e de R$ 2,20 u.m. Portanto a capacidade dos tijolos baiano e comum de gerar lucro para a f´abrica ´e de R$ 0,60 u.m e R$ 2,20 u.m respectivamente. ´E importante observar se o valor de oportunidade atribu´ıdo aos produtos pelos recursos ´e maior, menor ou igual ao valor de oportunidade atribu´ıdo aos produtos pelo mercado. Para isso precisamos do modelo dual: A =    2 5 400 4 5 600 10 14 0    At =    2 4 10 5 5 14 400 600 0    O modelo dual ´e: MinW = 400y1 + 600y2 Sujeito a :    2y1 + 4y2 ≥ 10 5y1 + 5y2 ≥ 14 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 Da primeira restri¸c˜ao temos 2y1 + 4y2 ≥ 10 ⇒ 2(0, 60) + 4(2, 20) = 10, 00, e por- tanto, o valor de oportunidade de mercado ´e igual ao valor de oportunidade atribu´ıdo ao produto pelo recurso, recomenda-se a fabrica¸c˜ao dos tijolos do tipo baiano. De forma an´aloga podemos interpretar a situa¸c˜ao na segunda restri¸c˜ao, pois: 5y1 + 5y2 ≥ 14 ⇒ 5(0, 60) + 5(2, 20) = 14, o nos mostra que os tijolos do tipo comum tamb´em podem ser fabricados. Mas, se quisermos saber, qual o intervalo de estabilidade dos recursos I e II (termos independentes)? Esse estudo deve ser realizado separadamente, portanto, inicialmente, vamos ver como identificar um intervalo est´avel para o recurso I, isto ´e, vamos identificar os valores m´aximo e minimo no qual podemos crescer e decrescer este recurso sem alterar o pre¸co sombra. 61
  62. 62. Para isso, vamos considerar apenas as restri¸c˜oes do modelo primal Sujeito a :    2x1 + 5x2 ≤ 400 4x1 + 5x2 ≤ 600 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 . 6.0.1 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Intervalo de Es- tabilidade do Recurso I Se queremos estabelecer o intervalo de varia¸c˜ao do recurso I, devemos tomar a primeira restri¸c˜ao do primal: 2x1 + 5x2 ≤ 400 Para identificar o intervalo de varia¸c˜ao do recurso I devemos obter os pontos (x1, 0) e (0, x2) na segunda restri¸c˜ao: • Para x1 = 0 temos 4(0) + 5x2 = 600 ∴ x2 = 120 e portanto (0, 120) • Para x2 = 0 temos 4x1 + 5(0) = 600 ∴ x1 = 150 e portanto (150, 0) Esses valores s˜ao os limites aceit´aveis para o recurso I, dessa forma, substituindo os pontos encontrados na restri¸c˜ao que representa o recurso I temos: • Para (0, 120) ⇒ 2(0) + 5(120) = 600 • Para (150, 0) ⇒ 2(150) + 5(0) = 300 Esse dois valores s˜ao os limites admiss´ıveis para o crescimento das quantidades do recurso I, logo, seu intervalo de varia¸c˜ao ser´a: 300 ≤ b1 ≤ 600 Como o recurso I dispon´ıvel ´e de 400 unidades, o valores podem decrescer de 100 uni- dades ou aumentar de 200 unidades que o pre¸co sombra n˜ao se alterar´a e o valor de Z permanecer´a maximizado. Obs: Esse m´etodo ´e baseado em an´alise geom´etrica, pois, mantendo-se a reta que representa a segunda restri¸c˜ao fixa, a reta que representa a primeira restri¸c˜ao s´o po- der´a se deslocar at´e os pontos (0, 120) e (150, 0), devido a tal deslocamento somente ser poss´ıvel enquanto houver intersec¸c˜ao entre as duas retas. 62
  63. 63. 6.0.2 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Intervalo de Es- tabilidade do Recurso II Vamos obter o intervalo de varia¸c˜ao do recurso II de forma an´aloga ao recurso I. Tomando a segunda restri¸c˜ao temos: 4x1 + 5x2 ≤ 600 vamos obter os limites aceit´aveis de varia¸c˜ao fazendo: • x1 = 0 na primeira restri¸c˜ao: 2(0) + 5x2 = 400 ∴ x2 = 80 da´ı (0, 80) • x2 = 0 na primeira restri¸c˜ao: 2x1 + 5(0) = 400 ∴ x1 = 200 da´ı (200, 0) Substituindo os pontos na segunda restri¸c˜ao temos: • Para (0, 80) ⇒ 4(0) + 5(80) = 400 • Para (200, 0) ⇒ 4(200) + 5(0) = 800 Ent˜ao, o intervalo de varia¸c˜ao para o recurso II ser´a: 400 ≤ b2 ≤ 800 Como o recurso II dispon´ıvel ´e de 600 unidades, os valores s´o podem crescer at´e 200 unidades e decrescer at´e 200 unidades sem alterar o pre¸co sombra. 6.0.3 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Intervalo de Es- tabilidade para os Coeficientes da Fun¸c˜ao Objetivo Assim como utilizamos a ideia de an´alise geom´etrica baseada nas retas que representa- vam as restri¸c˜oes, quando estabelecemos um intervalo de estabilidade para os recursos (termos independentes), faremos o mesmo para determinar os intervalos de varia¸c˜ao dos coeficientes da fun¸c˜ao objetivo, contudo, nesse caso, devemos garantir que, enquanto o coeficiente angular da fun¸c˜ao objetivo estiver entre os coeficientes angulares das retas que determinam a solu¸c˜ao ´otima (restri¸c˜oes), a solu¸c˜ao ´otima n˜ao se alterar´a. Para isso, vamos considerar o problema proposto da f´abrica de tijolos, em que a fun¸c˜ao objetivo ´e MaxZ = 10x1 + 14x2. Sabemos que as restri¸c˜oes do problema s˜ao:    2x1 + 5x2 ≤ 400 4x1 + 5x2 ≤ 600 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 . 63
  64. 64. Vamos, inicialmente, descobrir os coeficientes angulares de cada uma das retas que representam as restri¸c˜oes: • 2x1 + 5x2 = 400 ⇒ 5x2 = −2x1 + 400 ∴ x2 = − 2 5 x1 + 400. Logo α = − 2 5 . • 4x1 + 5x2 = 600 ⇒ 5x2 = −4x1 + 600 ∴ x2 = − 4 5 x1 + 600. Logo β = − 4 5 . Agora devemos calcular o coeficiente da fun¸c˜ao objetivo sabendo que: −0, 80 ≤ Coeficiente da F.O ≤ −0, 4 De uma forma geral, a fun¸c˜ao objetivo com duas vari´aveis de decis˜ao pode ser escrita como Z = c1x1 + c2x2, e portanto x2 = − c1 c2 x1 + Z c2 Podemos perceber que o seu coeficiente ser´a dado por θ = − c1 c2 Vamos tomar a fun¸c˜ao objetivo do problema Z = 10x1 + 14x2 ∴ x2 = − 10 14 x1 + Z 14 , donde θ = − 10 14 . Assim, para obter o intervalo de estabilidade do coeficiente da fun¸c˜ao objetivo, proce- demos da seguinte forma: −0, 80 ≤ − c1 c2 ≤ −0, 40 Inicialmente vamos supor que c1 sofrer´a altera¸c˜ao:    − c1 14 ≤ −0, 4 − c1 14 ≥ −0, 80 . Para c2 = 14 temos: −0, 80 ≤ − c1 14 ≤ −0, 40 − c1 14 ≥ −0, 80 ⇒ −c1 ≥ −11, 20 ∴ c1 ≤ 11, 20 − c1 14 ≤ −0, 4 ⇒ −c1 ≤ −5, 6 ∴ c1 ≥ 5, 6 5, 6 ≤ c1 ≤ 11, 20 64
  65. 65. Interpreta¸c˜ao dos resultados: ´E sabido que os coeficientes da fun¸c˜ao objetivo ´e a contribui¸c˜ao individual de cada vari´avel para o lucro, que no caso prov´em da fabrica¸c˜ao de tijolos, dessa forma, podemos dizer que o intervalo da contribui¸c˜ao para o lucro da venda de tijolos do tipo baiano ´e 5, 6 ≤ c1 ≤ 11, 20, ou seja, 10−5, 6 ≤ c1 ≤ 11, 20−10, o que nos leva a 4, 40 ≤ c1 ≤ 1, 20, isto ´e, c1 pode decrescer em 4,40 unidades ou au- mentar em 1,20 unidades que o lucro permanecer´a o mesmo. O lucro em ambas as situa¸c˜oes permaneceria o mesmo, pois os valores em quest˜ao se encontram dentro do intervalo 5, 6 ≤ c1 ≤ 11, 20. Isso garante que o intervalo de estabilidade ´e leg´ıtimo. Agora faremos c2 sofrer `a altera¸c˜ao: Para c1 = 10 temos: −0, 80 ≤ − 10 c2 ≤ −0, 40    − 10 c2 ≤ −0, 40 − 10 c2 ≥ −0, 80 . − 10 c2 ≥ −0, 80 ⇒ −10 ≥ −0, 8c2 ∴ 12, 5 ≤ c2 − 10 c2 ≤ −0, 4 ⇒ −10 ≤ −0, 4c2 ∴ 25 ≥ c2 12, 5 ≤ c2 ≤ 25 Interpreta¸c˜ao dos resultados: Nesse caso, o intervalo da contribui¸c˜ao para o lucro da venda de tijolos do tipo comum ´e 12, 5 ≤ c2 ≤ 25 . Isto ´e, pode decrescer at´e o limite de 1,5 unidades ou aumentar at´e o limite de 11 unidades que o lucro permanecer´a o mesmo, pois, se a contribui¸c˜ao para o lucro na fabrica¸c˜ao de tijolos do tipo comum ´e de R$ 14,00, ent˜ao, se fizermos 14 − 12, 5 ≤ c2 ≤ 25 − 14 teremos 1, 5 ≤ c2 ≤ 11. Portanto, o limite minimo permitido ´e 1,5 unidades e o limite m´aximo permitido ´e de 11 unidades. O lucro em qualquer das situa¸c˜oes permaneceria o mesmo por se encontrarem dentro do intervalo de estabilidade, assim, n˜ao h´a altera¸c˜ao dos pre¸cos sombra, o que legitima o intervalo de estabilidade encontrado. 6.0.4 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Mudan¸ca no Co- eficiente de uma Restri¸c˜ao 65
  66. 66. CAP´ITULO 7 TRANSPORTES O problema de transportes ´e um problema de fluxo de redes, que esquematicamente ´e representado por meio de grafos . Grafo ´e uma representa¸c˜ao esquem´atica de pontos que s˜ao ligados por linhas, os pontos s˜ao geralmente denominados por n´os e as linhas de arcos. N´os s˜ao c´ırculos em cujo interior ´e inserido um n´umero ou letra que os identifica, eles s˜ao ligados pelos arcos. Sobre os arcos s˜ao colocados valores represen- tativos de suas capacidades, distˆancias, tempo. Num problema de transporte ´e muito comum que tais valores representem os custos de distribui¸c˜ao. Ali´as falar em problemas de transportes significa resolver problemas de distribui¸c˜ao. Os grafos bipartidos s˜ao aqueles que geralmente mais aparecem em problemas de transporte, pois esses grafos possuem dois n´os com caracter´ısticas distintas. 66
  67. 67. 7.1 Rela¸c˜ao entre Redes e Transporte Num modelo de distribui¸c˜ao ´e necess´ario identificar duas informa¸c˜oes muito importan- tes: O ofertante e o demandante. O ofertante ´e aquele produz, distribui aquilo que foi produzido, o demandante ´e aquele que procura, necessita do que foi produzido pelo ofertante. Nosso esquema ent˜ao ser´a: Figura 7.1: • Do lado esquerdo encontram-se os n´os 1, 2 e 3 que representam as origens. • Respectivamente, ao lado das origens 1, 2 e 3, localizam-se as ofertas 50, 100 e 120. • O somat´orio da oferta ´e igual a 270. • Do lado direito est˜ao localizados os n´os 1 e 2 que correspondem aos destinos. • As demandas 100 e 170 encontram-se ao lado dos n´os 1 e 2 (destinos). • O somat´orio das ofertas e das demandas s˜ao iguais a 270. • Os custos dos transportes da origem i para os destinos j est˜ao representados pelos Cij, isto ´e: o custo do transporte da origem 1 para o destino 1 ´e dado por C11 = 10, o custo de distribui¸c˜ao da origem 1 para o destino 2 ´e de C12 = 12. De forma an´aloga, os custos de transportes das origens 2 (azul) s˜ao C21 = 20, C22 = 8 e 3 (verde) s˜ao C31 = 6 e C32 = 15. • A quantidade m´ınima a ser transportada (os caminhos) de cada origem i para cada destino j est´a representada pelos arcos vermelhos, azuis e verdes. 67
  68. 68. 7.2 Sistemas Equilibrados e N˜ao Equilibrados Dois casos podem ocorrer quando da necessidade de resolver um problema de distri- bui¸c˜ao: o sistema pode estar em equil´ıbrio ou desequilibrado. Quando o sistema se encontra equilibrado, as quantidades existentes na origem e no destino s˜ao iguais, isto ´e, o somat´orio da oferta ´e igual ao somat´orio da demanda. No caso do sistema se encontrar desequilibrado, as quantidades na origem e no destino s˜ao diferentes. • Caso 1: Sistema Equilibrado A quantidade ofertada ´e igual a quantidade deman- dada, isto ´e: Oferta = Demanda na figura 6.1 podemos observar que o sistema est´a equilibrado, pois Oferta = Demanda = 270 • Caso 2: Sistema N˜ao Equilibrado: A quantidade ofertada ´e diferente da quan- tidade demandada, podem ocorrer duas situa¸c˜oes: Oferta > Demanda ou Oferta < Demanda Quando a quantidade ofertada ´e maior do que a quantidade demandada, acrescenta-se uma demanda fantasma no destino com custo zero e a carga obtida de Oferta− Demanda, completando assim com a quantidade necess´aria para o equil´ıbrio da de- manda. Figura 7.2: 68
  69. 69. De forma an´aloga, se a quantidade do que se procura ´e maior do que a quantidade ofer- tada, ent˜ao acrescenta-se uma origem fantasma de valor Demanda− Oferta, que ir´a equilibrar o sistema. Figura 7.3: Em verdade, as quantidades que s˜ao transportadas para o destino fantasma, ficam depositadas na origem e tem o ´unico intuito de equilibrar o sistema, o mesmo vale para a origem fantasma, suas quantidades s˜ao mantidas nos dep´ositos origin´arios e s˜ao acrescentadas com o objetivo de manter o sistema balanceado. 7.3 Modelo para Transporte a. Vari´aveis de Decis˜ao: O significado das vari´aveis de decis˜ao num modelo de transporte s˜ao as quantidades a serem transportadas de uma origem i para um destino j que denotaremos por xij. Cada arco no esquema de redes representa uma das vari´aveis de decis˜ao. b. Fun¸c˜ao Objetivo: A fun¸c˜ao objetivo, no modelo de transporte, ´e dada pela soma dos produtos dos custos individuais Cij de cada transporte realizado da origem i para um destino j. O objetivo ´e minimizar os custos de transporte. De acordo com o esquema apresentado na figura 6.1 temos a seguinte fun¸c˜ao objetivo: MinZ = 10x11 + 12x12 + 20x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32 69
  70. 70. Podemos dizer ent˜ao que a fun¸c˜ao objetivo ´e um somat´orio duplo das cargas a serem transportadas em que os ´ındices representam as origens e os destinos. De uma forma geral, a fun¸c˜ao objetivo ligada ao transporte pode ser escrita da seguinte forma: MinZ = m i n j xij em que i indica a origem e j o destino. c. Restri¸c˜oes: As restri¸c˜oes do problema de transporte est˜ao relacionadas as capa- cidades das quantidades existentes na origem (disponibilidade) e no destino (necessi- dade). No problema em comento temos que,as quantidades retiradas das origens devem ser a disponibilidade existente em cada uma delas Restri¸c˜oes de Disponibilidade:    x11 + x12 = 50 x21 + x22 = 100 x31 + x32 = 120 As quantidades transportadas para cada destino devem ser a necessidade em cada um deles Restri¸c˜oes de Demanda:    x11 + x21 + x31 = 100 x12 + x22 + x31 = 170 . De uma forma geral, as restri¸c˜oes podem ser escrita da seguinte forma:    m i=1 xij = ai n j=1 xij = bj xij ≥ 0; i = 1, 2, 3, . . . , m ∧ j = 1, 2, 3, . . . , n Como em qualquer modelo de PL, n˜ao podemos esquecer a condi¸c˜ao de n˜ao nega- tividade: xij ≥ 0. Em resumo, o modelo geral ´e: MinZ = m i n j xij Sujeito a:    m i=1 xij = ai n j=1 xij = bj xij ≥ 0; i = 1, 2, 3, . . . , m ∧ j = 1, 2, 3, . . . , n com xij ≥ 0 70
  71. 71. Do problema proposto inicialmente tem-se: MinZ = 10x11 + 12x12 + 20x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32 Sujeito a:    x11 + x21 + x31 = 100 x12 + x22 + x31 = 170 x11 + x12 = 50 x21 + x22 = 100 x31 + x32 = 120 xij ≥ 0 7.4 Solu¸c˜ao B´asica Inicial para Transportes Vamos agora descobrir, como determinar uma solu¸c˜ao b´asica inicial vi´avel para um problema de transportes. Ser˜ao apresentados trˆes algoritmos para isso: M´etodo do Canto Noroeste, M´etodo do Custo M´ınimo e o M´etodo de Vogel ou das Pe- nalidades. Cada m´etodo tem caracter´ıstica pr´opria, mas fazem uso de ideias similares. Considere o problema a seguir: A prefeitura de Salvador est´a atualmente fazendo obras em trˆes pontos diferentes da cidade. O material para essas obras ´e transportado dos dep´ositos do Sub´urbio Fer- rovi´ario de Salvador,Lauro de Freitas e S˜ao Caetano, de onde s˜ao retiradas 57, 76 e 93 toneladas de material respectivamente. As Obras s˜ao nos bairros da Barra, Itapu˜a e Rio Vermelho , que necessitam, diariamente, de 41, 80 e 105 toneladas, respectivamente. Os custos unit´arios para o transporte desse material, bem como as disponibilidades e necessidades encontram-se na tabela Barra Itapu˜a Rio Vermelho Disponibilidades Sub. Ferrovi´ario 7 8 4 57 Lauro de Freitas 5 3 6 76 S˜ao Caetano 6 5 4 93 Necessidades 41 80 105 226 71
  72. 72. 7.4.1 M´etodo do Canto Noroeste Este m´etodo tem o intuito de alocar carga a partir da primeira c´elula situada no canto noroeste. O processo consiste em descarregar o m´aximo poss´ıvel de carga de acordo com a demanda da primeira coluna e as ofertas da primeira linha, repetindo o processo da esquerda para direita at´e que toda a carga dispon´ıvel no primeiro dep´osito tenha sido distribu´ıda. Em seguida, repetimos o processo para as linhas seguintes, at´e que toda carga seja distribu´ıda. O processo finaliza quando toda a capacidade de oferta satisfaz a toda demanda existente. Vejamos sua aplica¸c˜ao. Barra Itapu˜a Rio Vermelho Disponibilidades Sub. Ferrovi´ario 7 8 4 57 Lauro de Freitas 5 3 6 76 S˜ao Caetano 6 5 4 93 Necessidades 41 80 105 226 Barra Itapu˜a Rio Vermelho Disponibilidades Sub. Ferrovi´ario 41 16 57 16 0 Lauro de Freitas 64 12 76 12 0 S˜ao Caetano 93 93 0 Necessidades 41 0 80 64 0 105 93 0 226 72
  73. 73. CAP´ITULO 8 PESQUISA OPERACIONAL NO EXCEL - SOLVER 73

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