Tcm 04

Transferência de Calor e
Massa
Prof. Dr. Lucas Freitas Berti
Engenharia de Materiais - UTFPR
lenberti@gmail.com
1

Aula 4
Condução Unidimensional em
Regime Permanente
29/05/2013

Transferência de Calor e Massa
Presença
Cobrança da presença
3

Revisão
 A Equação da Difusão de Calor (Difusão Térmica)
 Condições de Contorno e Inicial
4
 Ementa

A Equação da
Difusão de Calor
(Difusão Térmica)
5

Um dos objetivos principais da análise da condução
de calor é determinar o campo de temperaturas
(distribuição de temperaturas) num meio resultante
das condições impostas em suas fronteiras.
Uma vez conhecida esta distribuição, o fluxo de
calor por condução em qualquer ponto do meio ou na
sua superfície pode ser determinado através da Lei de
Fourier.
6

Objetivo: uma equação diferencial cuja solução, para
condições de contorno especificadas, forneça a
distribuição de temperaturas no meio.
Metodologia: aplicação da conservação da energia, ou
seja, define-se um volume de controle diferencial,
identificam-se os processos de transferência de
energia relevantes e substituem-se as equações das
taxas de transferência de calor apropriadas.
7

acusaigent EEEE  
Volume de controle diferencial, dx.dy.dz, para análise da condução em coordenadas cartesianas.
8

 Equação da Difusão do Calor (Difusão Térmica)
Coordenadas cartesianas
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p

































Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência
de energia por condução no interior de um volume unitário
somada à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve
ser igual à taxa de variação da energia térmica acumulada no
interior deste volume.
9

Com frequência, é possível trabalhar com versões
simplificadas da Equação do Calor.
Exemplo: condução 1D com propriedades constantes e
sem geração de energia.
t
T
x
T






1
2
2
10

11
Heat Flux Components
(2.22)
     
    
  
T T T
q k i k j k k
r r z
rq q zq
• Coordenadas Cilíndricas:  , ,T r z
sin
     
    
  
T T T
q k i k j k k
r r r  
(2.25)
rq q
q
•Coordenadas Esféricas  , ,T r  
• Coordenadas Cartesianas:  , ,T x y z
     
    
  
T T T
q k i k j k k
x y z
xq yq zq
(2.3)

12
Heat Flux Components (cont.)
• In angular coordinates , the temperature gradient is still
based on temperature change over a length scale and hence has
units of C/m and not C/deg.
 or ,  
• Heat rate for one-dimensional, radial conduction in a cylinder or sphere:
– Cylinder
2  r r r rq A q rLq
or,
2    r r r rq A q rq
– Sphere
2
4  r r r rq A q r q

 Equação do Calor: Coordenadas Cilíndricas
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
rr
T
kr
rr
p


































2
11
radial, r
circunferencial, Φ
axial, z
13

 Equação do Calor: Coordenadas Esféricas
radial, r
polar, θ
azimutal, Φ
t
T
cq
T
senk
senr
T
k
senrr
T
kr
rr
p




































222
2
2
111
14

Condições de
Contorno e Inicial
15

Para determinação da distribuição de temperaturas num
meio, é necessário resolver a forma apropriada da Equação
do Calor.
Tal solução depende das condições físicas existentes nas
fronteiras do meio, e, se a situação variar com o tempo
(processo transiente), a solução também depende das
condições existentes no meio em algum instante inicial.
16

Condição Inicial: como a Equação do Calor é de primeira
ordem em relação ao tempo, apenas uma condição deve ser
especificada. [T(x,t)t=0 = T(x,0)]
Condições na Fronteira (Condições de Contorno): há várias
possibilidades comuns que são expressas de maneira simples
em forma matemática. Como a Equação do Calor é de segunda
ordem em relação às coordenadas espaciais, duas condições de
contorno devem ser fornecidas para cada coordenada espacial
necessária para descrever o problema.
17

Condições de contorno para a equação da difusão do calor na superfície (x = 0).
Condição de
Dirichlet
Condição de
Neumann
Condição de
Robin
18

Homework
Chapter 2 (Incropera et al, 2008):
 2.2, 2.3, 2.4, 2.6, 2.8, 2.13, 2.20, 2.26, 2.35, 2.36,
2.39, 2.50
19

Exemple 2.3
20

Exemple 2.3
21

Sumário da aula
 A Parede Plana
▫ Distribuição de Temperaturas
▫ Resistência Térmica
▫ A Parede Composta
▫ Resistência de Contato
 Uma Análise Alternativa da Condução
 Sistemas Radiais
▫ O Cilindro
▫ A Esfera
 Resumo dos Resultados da Condução 1D
22
 Ementa

A Parede Plana
23

Transferência de calor através de uma placa plana (distribuição de temperaturas).
24

Distribuição de Temperaturas
Em regime permanente, sem a presença de fontes ou
sumidouros de energia no interior da parede, a forma
apropriada da Equação do Calor é:
0





dx
dT
k
dx
d
Para condução 1D em RP numa parede plana sem geração
de calor, o fluxo térmico é uma constante, independente de x.
25

se k = cte, a equação pode ser integrada duas vezes,
obtendo-se a solução geral,
As condições de contorno para este problema são:
com isso, tem-se que
  21 cxcxT 
  10 ,sTT    2,sTLT 
L
TT
c ,s,s 12
1

 12 ,sTc 
26

Substituindo na solução geral, a distribuição de
temperaturas é
    112 ,s,s,s T
L
x
TTxT 
Para a condução 1D em RP numa parede plana sem
geração de calor e condutividade térmica constante, a
temperatura varia linearmente com x.
27

Utilizando a distribuição de temperaturas e a Lei de
Fourier, tem-se que
 21 ,s,sx TT
L
kA
dx
dT
kAq 
 21 ,s,s
x
x TT
L
k
A
q
q 
A taxa de transferência de calor por condução qx e o fluxo
térmico q"x são constantes, independentes de x.
28

 Procedimento Padrão para solução de problemas
de condução.
1) Solução geral para a distribuição de temperaturas é obtida
através da resolução da forma apropriada da Equação do
Calor.
2) As condições de contorno são utilizadas para obtenção da
solução particular
3) Lei de Fourier é utilizada para determinação da taxa de
transferência de calor.
29

Resistência Térmica
Caso especial da transferência de calor 1D sem geração
interna de energia e com propriedades constantes.
Analogia entre as difusões de calor e de carga elétrica.
Da mesma forma que uma resistência elétrica está
associada à condução de eletricidade, uma resistência
térmica está associada à condução de calor.
Definição: razão entre um potencial motriz e a
correspondente taxa de transferência.
30

 Resistência térmica para condução
 Resistência térmica para convecção
kA
L
q
TT
R
x
,s,s
cond,t 

 21
hAq
TT
R s
conv,t
1


 
Representações na forma de circuitos fornecem uma
ferramenta útil tanto para a conceituação quanto para a
quantificação de problemas da transferência de calor.
31

 Circuito térmico equivalente para a parede plana com
condições de convecção nas superfícies.
qx pode ser determinada pela consideração em separado de
cada elemento da rede (qx é constante ao longo da rede)























 
Ah
TT
kA
L
TT
Ah
TT
q ,,s,s,s,s,
x
2
2221
1
11
11
32

Em termos da diferença de temperatura global e da
resistência térmica total, a taxa de transferência de
calor pode ser representada por
sendo que
tot
,,
x
R
TT
q 21  

AhkA
L
Ah
Rtot
21
11

33

A troca radiante entre a superfície e a vizinhança pode,
também, ser importante se h for pequeno.
 Resistência térmica para radiação
Ahq
TT
R
rrad
vizs
rad,t
1



Nota: as resistências convectiva e radiante em uma superfície
atuam em paralelo, e se T∞ = Tviz, elas podem ser combinadas
para se obter uma resistência na superfície única e efetiva.
34

Parede Composta
Circuito térmicos equivalentes podem ser utilizados em
sistemas mais complexos, como, por exemplo, paredes
compostas.
Tais paredes possuem uma quantidade qualquer de
resistências térmicas em série e em paralelo, devido à
presença de camadas diferentes de materiais.
35

Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série.
36

A taxa de transferência de calor 1D para esse sistema
pode ser representada por
sendo que

 

t
,,
x
R
TT
q 41
 




































AhAk
L
Ak
L
Ak
L
Ah
R
C
C
B
B
A
A
t
41
11
37

Alternativamente, a taxa de transferência de calor pode
ser relacionada à diferença de temperaturas e à
resistência térmica associadas a cada elemento. Por
exemplo,
























 
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ah
TT
q
B
B
A
A
,s,s,
x
3221
1
11
1
38

Em sistemas compostos, é conveniente definir um
coeficiente global de transferência de calor, U, por
uma expressão análoga à Lei de Resfriamento de
Newton.
ou ainda,
 
UAq
T
RR ttot
1
TUAqx 
39

As paredes compostas também podem ser caracterizadas
por configurações série-paralelo. Embora nesse sistema
o escoamento de calor seja multidimensional, é
razoável a hipótese de condições 1D.
Com base nesta hipótese, dois circuitos térmicos
diferentes podem ser usados.
40

Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as
superfícies normais à direção x sejam isotérmicas.
41

Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as
superfícies paralelas à direção x sejam adiabáticas.
42

Resistência de Contato
x
BA
c,t
q
TT
R



43

A existência de uma resistência de contato não-nula se
deve principalmente aos efeitos da rugosidade da
superfície.
A transferência de calor é devida à condução através da
área de contato real e à condução e/ou radiação
através dos interstícios.
Os resultados mais confiáveis para predizer R"t,c são
aqueles que foram obtidos experimentalmente.
44

45

Em muitas aplicações ocorre a transferência de calor
em um meio saturado, i.e. meio poroso, que é uma
combinação estacionária de fluido e um sólido.
No capítulo 7 é estudado sobre leito fluidizado, onde
um sólido estacionário é percolado por um fluido
46

Meio poroso
47

Meio poroso
48

Meio poroso
49

Meio poroso
50

Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
 Tanto keff,min e keff,max dão boas estimativas para meios
onde efeitos de micro- e nanoescala são desprezíveis.
Do contrário, a equação de Maxwell para é preferível
para melhores valores:
 No entanto, ela é aplicável para meios com no
máximo 0,25 de porosidade
51

Problema 3.1
52

Problema 3.1
53

Problema 3.1
54

Problema 3.1
55

Problema 3.1
56

Problema 3.1
57

Problema 3.1
58

Problema 3.1
59

Problema 3.1
60

Uma Análise
Alternativa da
Condução
61

Para condições de RP, sem geração de calor e sem
perda de calor pelas superfícies laterais, a taxa de
transferência de calor qx é necessariamente uma
constante independente de x, ou seja, para qualquer
elemento diferencial dx, qx = qx+dx .
Essa condição é, obviamente, uma consequência da
exigência da conservação da energia e deve ser válida
mesmo que A(x) e k(T).
62

Um procedimento alternativo pode ser utilizado para as
condições de interesse no momento.
63

Além disso, mesmo que a distribuição de temperaturas
possa ser 2D, variando em função de x e y, com
frequência é razoável desprezar a variação na direção
y e supor uma distribuição 1D na direção x.
Com isso, é possível trabalhar exclusivamente com a
Lei de Fourier ao efetuar uma análise de condução.
   
dx
dT
xATkqx 
64

Em particular, uma vez que a taxa condutiva é uma
constante, a equação da taxa pode ser integrada,
mesmo sem o prévio conhecimento de qx e de T(x).
 
  
x
x
T
T
x dTTk
xA
dx
q
0 0
65

Sistemas Radiais
66

Com frequência, em sistemas cilíndricos e esféricos há
gradientes de temperatura somente na direção radial,
o que possibilita analisá-los como sistemas 1D.
Além disso, em RP sem geração de calor, tais sistemas
podem ser analisados pelo método padrão, que
começa com a forma apropriada da Equação do
Calor, ou pelo método alternativo, que começa com
a forma apropriada da Lei de Fourier.
67

O Cilindro
Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies.
68

 Distribuição de temperaturas
     
  2
21
2
21 ,s,s,s T
rrln
rrln
TTrT 
A distribuição de temperaturas associadas à condução radial
através de uma parede cilíndrica é logarítmica, não linear. (Na
parede plana sob as mesmas condições ela é linear).
69

 Taxa de transferência de calor
 Resistência térmica (condução radial)
 
 12
212
rrln
TTLk
q ,s,s
r



 
Lk
rrln
R cond,t
2
12

70

Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta.
71

     































 
44
342312
11
41
2
1
2222
1
LhrLk
rrln
Lk
rrln
Lk
rrln
Lhr
TT
q
CBA
,,
r

 41
41
,,
tot
,,
r TTUA
R
TT
q 




  1
44332211

 tRAUAUAUAU
 Coeficiente global de transferência de calor
72

A Esfera
Condução numa casca esférica.
73

 Distribuição de temperaturas
 Resistência térmica (condução casca esférica)
     
  1
21
1
12
1
1
,s,s,s T
rr
rr
TTrT 








 
   21
21
11
4
rr
TTk
q ,s,s
r











21
11
4
1
rrk
R cond,t

74

Esferas compostas podem ser tratadas da mesma forma
que as paredes e os cilindros compostos, onde formas
apropriadas da resistência total e do coeficiente
global de transferência de calor podem ser
determinadas.
75

Raio crítico de isolamento
76

Raio crítico de isolamento
77

Resumo dos
Resultados da
Condução 1D
78

21 ,s,s TTT 
79

Tcm 04

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